《流體力學(xué)》2014.01

1、Fluid Mechanics流體力學(xué)流體力學(xué)柳柳 波波機(jī)電工程學(xué)院液壓研究所周立強(qiáng) 流體力學(xué)是研究流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律及其應(yīng)用的科學(xué)，是力學(xué)的一個(gè)重要分支。流體力學(xué)研究的對(duì)象液體和氣體。固體有一定的體積和一定的形狀；液體有一定的體積而無(wú)一定的形狀；氣體既無(wú)一定的體積也無(wú)一定的形狀。固體、液體和氣體的宏觀表象差異：機(jī)電工程學(xué)院液壓研究所周立強(qiáng) 第一階段（16世紀(jì)以前）：流體力學(xué)形成的萌芽階段 第二階段（16世紀(jì)文藝復(fù)興以后-18世紀(jì)中葉）流體力學(xué)成為一門(mén)獨(dú)立學(xué)科的基礎(chǔ)階段 第三階段（18世紀(jì)中葉-19世紀(jì)末）流體力學(xué)沿著兩個(gè)方向發(fā)展歐拉、伯努利 第四階段（19世紀(jì)末以來(lái)）流體力學(xué)飛躍發(fā)展第一階段（16

2、世紀(jì)以前）：流體力學(xué)形成的萌芽階段 公元前2286年公元前2278年大禹治水疏壅導(dǎo)滯（洪水歸于河）（傳說(shuō)） 公元584年公元610年隋朝南北大運(yùn)河、船閘應(yīng)用；埃及、巴比倫、羅馬、希臘、印度等地水利、造船、航海產(chǎn)業(yè)發(fā)展 系統(tǒng)研究古希臘哲學(xué)家阿基米德論浮體（公元前250年）奠定了流體靜力學(xué)的基礎(chǔ)第二階段（16世紀(jì)文藝復(fù)興以后-18世紀(jì)中葉）流體力學(xué)成為一門(mén)獨(dú)立學(xué)科的基礎(chǔ)階段 1586年斯蒂芬水靜力學(xué)原理 1612年伽利略物體沉浮的基本原理 1650年帕斯卡“帕斯卡原理” 1686年牛頓牛頓內(nèi)摩擦定律 1738年伯努利理想流體的運(yùn)動(dòng)方程即伯努利方程 1775年歐拉理想流體的運(yùn)動(dòng)方程即歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程

3、第三階段（18世紀(jì)中葉-19世紀(jì)末）流體力學(xué)沿著兩個(gè)方向發(fā)展歐拉（理論）、伯努利（實(shí)驗(yàn)）工程技術(shù)快速發(fā)展，提出很多經(jīng)驗(yàn)公式1769年謝才謝才公式（計(jì)算流速、流量）1895年曼寧曼寧公式（計(jì)算謝才系數(shù)）1732年比托比托管（測(cè)流速）1797年文丘里文丘里管（測(cè)流量）理論1823年納維，1845年斯托克斯分別提出粘性流體運(yùn)動(dòng)方程組（N-S方程）第四階段（19世紀(jì)末以來(lái)）流體力學(xué)飛躍發(fā)展理論分析與試驗(yàn)研究相結(jié)合量綱分析和相似性原理起重要作用 1877-1878年 Lord Raleigh在其聲理論中闡述了“因次方法”1883年雷諾雷諾實(shí)驗(yàn)（判斷流態(tài)）1903年普朗特邊界層概念（繞流運(yùn)動(dòng)） 1911年

4、，俄國(guó)人A.Federmann和Raibouchinsky分別發(fā)現(xiàn)了量綱分析的基本定理 1914年，美國(guó)人E.Buckingham引入了術(shù)語(yǔ)“-定理” 1933-1934年尼古拉茲尼古拉茲實(shí)驗(yàn)（確定阻力系數(shù)）流體力學(xué)與相關(guān)的鄰近學(xué)科相互滲透，形成很多新分支和交叉學(xué)科機(jī)電工程學(xué)院液壓研究所周立強(qiáng)1.1 理論研究方法 力學(xué)模型物理基本定律求解數(shù)學(xué)方程分析和揭示本質(zhì)和規(guī)律 實(shí)驗(yàn)方法相似理論實(shí)驗(yàn)建模實(shí)驗(yàn)（量綱分析與相似理論） 數(shù)值方法計(jì)算機(jī)數(shù)值方法是現(xiàn)代分析手段中發(fā)展最快的方法之一。（研究生學(xué)習(xí)階段） 理論分析方法、實(shí)驗(yàn)方法、數(shù)值方法相互配合，互為補(bǔ)充剛體：有形狀、有體積液體：無(wú)形狀、有體積氣體：既無(wú)

5、形狀、也無(wú)體積 假設(shè)流體是由一個(gè)接一個(gè)、連續(xù)充滿空間的具有確定質(zhì)量的流體微團(tuán)（或流體質(zhì)點(diǎn)）組成的。微團(tuán)之間無(wú)孔洞，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相鄰微團(tuán)之間不能超越也不能落后，微團(tuán)變形過(guò)程中相鄰微團(tuán)永遠(yuǎn)連接在一起。（連續(xù)性）其目的是在流體力學(xué)研究中，利用連續(xù)函數(shù)的概念和場(chǎng)論的方法。連續(xù)介質(zhì)流體微元具有流體宏觀特性的最小體積的流體團(tuán)理想流體不考慮粘性的流體不可壓縮性=c0limmmm Ff根據(jù)作用方式的不同，可將力分為質(zhì)量力和表面力。1.3.1質(zhì)量力：如：重力、慣性力、電磁力單位質(zhì)量力000limlimlimxxmyymzzmfmfmfmFFF注意：?jiǎn)挝毁|(zhì)量力具有加速度量綱力作用在所研究的流體質(zhì)量中心，與質(zhì)量成正

6、比mxyzffffijk式中 ：流體微元體的質(zhì)量； ：作用在該微元體上的質(zhì)量力；mmF()mmxyzddmdmfffFfijk單位質(zhì)量流體所受的質(zhì)量力稱(chēng)為單位質(zhì)量力，記作重力zGg V 00 xyzfffg 00 xyzGGGg V 單位質(zhì)量重力x圖圖1-1 作用在流體表面的作用在流體表面的質(zhì)量力與表面力質(zhì)量力與表面力zyVng VOnPPPVaAP表面力慣性力aFa V xxyyzzfafafa xxyyzzFVaFVaFVa 單位質(zhì)量慣性力0limAPA 1.3.2.表面力：應(yīng)力切線方向：切向應(yīng)力剪切力內(nèi)法線方向：法向應(yīng)力壓強(qiáng)0limnAPpA 0limAPA PAPnPt剪切力：流體相對(duì)

7、運(yùn)動(dòng)時(shí)，因粘性而產(chǎn)生的內(nèi)摩擦力外界對(duì)所研究流體表面的作用力。與所作用的表面積大小成正比zyxVng VOnPPPVaA1.3.3.應(yīng)力場(chǎng)：圖1-2 一點(diǎn)處的應(yīng)力PAnPPMA PB n 圖1-3 一點(diǎn)處的應(yīng)力關(guān)系（四面體）O nnnp dAxxp dAyyp dAzzp dAzxyA B C MxpO zy-xxpxpC B 正面正面負(fù)面負(fù)面M（b）（a）對(duì)于圖1-2，在外法線為n的面上的點(diǎn)M的的應(yīng)力為：0limnnAPpA 該應(yīng)力可分解為如圖1-3所示的分力：xpypzp正面：xpypzp負(fù)面：yypp xxpp zzpp 根據(jù)牛頓第三定律：x、y、z方向上的面積投影關(guān)系：cos,cos,c

8、os,xnxnynynznzndAdAn xn dAdAdAn yn dAdAdAn zn dA（1-7）則最終作用在四面體四個(gè)微元面積上的總外表面力分別為：yyp dAxxp dAzzp dAnnp dA作用在四面體上的外力還有質(zhì)量力（包括慣性力）根據(jù)達(dá)朗伯原理：0nxyznxyzfdmp dAp dAp dAp dA 其中13ndmdAh 四面體ABC面的高（1-9）當(dāng)四面體趨向于點(diǎn)M時(shí)，0h ，則（1-9）式可變?yōu)閤yznxyzpn pn pn p （1-11）nxxxxyyxzzxnyyxyyyyzzynzxxzyyzzzzpn pn pn ppn pn pn ppn pn pn p應(yīng)

9、力在三個(gè)方向上的投影形式為（1-12）應(yīng)力所在平面法線法向應(yīng)力的方向 xxxyxzyxyyyzzxzyzzppppppppp xxxyxzyxyyyzzxzyzzppp將（1-12）改為矩陣形式（1-13）（1-14） 0 00 00 0 xxyyzzppp由（1-14）（1-15）靜止流體不顯示粘性，理想流體模型無(wú)粘性。根據(jù)靜止流體和理想流體的性質(zhì)可知， =xxyyzzpppp 流體靜力學(xué)中的壓強(qiáng)1.4.1易流動(dòng)性 任何微小的剪切力都可以使流體連續(xù)變形的性質(zhì)稱(chēng)為流體的易流動(dòng)性。與固體相比，流體微團(tuán)的易流動(dòng)性，使其不能用位移和變形量本身來(lái)量度，而必須用速度和變形速度來(lái)量度。1.4.2 慣性連續(xù)

10、介質(zhì)范圍分子效應(yīng)范圍mVmV振蕩范圍OVVMVm微元體圖1-4 一點(diǎn)處密度的定義limVVmV 0limVmV 點(diǎn)密度對(duì)于均質(zhì)流體mV對(duì)于可壓縮流體，當(dāng)壓強(qiáng)、速度或空間發(fā)生變化時(shí)，應(yīng)采用上式。（1-17）（1-18）（1-19）1.4.3重力特征GmgVV均質(zhì)流體的重度，又稱(chēng)均質(zhì)流體容重非均質(zhì)流體任意一點(diǎn)的重度00limlimVVGmgVV mVg（1-23）（1-20）（1-21）fluid elementxydyxFux靜止板恒定速度ux xvyy 二板的面積均為A圖1-5 Planar Couette（庫(kù)愛(ài)特粘度計(jì)）（庫(kù)愛(ài)特粘度計(jì)）1.4.4 粘性 Viscosity 理想流體模型流體具

11、有抵抗其微團(tuán)之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)（剪切變形）的性質(zhì)稱(chēng)為粘性。粘性與溫度、壓力、速度梯度有關(guān)。xy v速度梯度速度梯度(velocity gradient) or 剪切速率剪切速率(shear rate)shear stressshear rateFAv1687年， Isaac Newton 首先提出了流體粘度的模型。盡管Newton 定義的粘度是理想的（牛頓流體）。 但對(duì)于諸如低分子液體、稀薄的氣體，在許多條件下仍然適用；然而對(duì)于諸如聚合物、溶液、熔液、血液、油墨和膠體懸浮液不能用Newton定律進(jìn)行描述。這樣的流體被稱(chēng)為 非牛頓流體（non-Newtonian）.1.4.5 粘性系數(shù)- -與剪切應(yīng)力

12、和速度梯度相關(guān)聯(lián)與剪切應(yīng)力和速度梯度相關(guān)聯(lián)對(duì)于二維平面 Couette流, Newton 定義的粘度可以由下式給出xyxddyv（1-27）式式1-27表達(dá)剪切應(yīng)力與表達(dá)剪切應(yīng)力與 和速度梯度的關(guān)系和速度梯度的關(guān)系 絕對(duì)粘度（absolute viscosity） 與溫度、壓力有關(guān)聯(lián)的系數(shù)與溫度、壓力有關(guān)聯(lián)的系數(shù) 因此對(duì)于牛頓流體（Newtonian fluid ） = 。注意：是 Newtonian-model 參數(shù), 其與溫度和壓力有關(guān)； 而是一個(gè)更一般的材料特性，可以隨剪切率做非線性變化。h與與m概概念不相念不相同同xxddtvdyxdtvxddtd1.4.6 速度梯度的物理意義xddy

13、角變形速度（剪切變形速度）xddtdtgddyxdddydt流體與固體在摩擦規(guī)律上完全不同固體： 與正壓力成正比，與速度無(wú)關(guān)流體：與xddy成正比Oxddy0塑性流體脹塑性流體牛頓流體假塑性流體圖1-7 牛頓流體與非牛頓流體絕對(duì)粘度與密度有關(guān)，將它與密度比較得出運(yùn)動(dòng)粘度，相對(duì)粘度。 1.4.7 運(yùn)動(dòng)粘度 kinematic viscosity （1-32）與溫度有關(guān)單位與溫度和壓力有關(guān)；單位2msPa s 例1-1：汽缸直徑D=120mm，活塞直徑d=119.6mm，活塞長(zhǎng)度L=140mm，活塞往復(fù)運(yùn)動(dòng)的速度為1m/s，工作時(shí)的潤(rùn)滑油的=0.1Pas。求：作用在活塞上的粘性力。解：xdFAdy

14、20.11960.140.053Ad Lm30.0530.1 5 1026.5FN 3-1-01-05 10(-)/ 2(0.12-0.1196)/ 2xxdsdyD dxdFAdy因?qū)儆谂ｎD流體26.5 126.5xNFW 消耗功率例1-2：旋轉(zhuǎn)圓筒粘度計(jì)，外筒固定，內(nèi)筒轉(zhuǎn)速n=10r/min。內(nèi)外筒間充入實(shí)驗(yàn)液體。內(nèi)筒r1=19.3mm，外筒 r2=20mm，內(nèi)筒高h(yuǎn)=70mm，間隙d=0.2mm，轉(zhuǎn)軸上扭距M=0.0045Nm。求該實(shí)驗(yàn)液體的粘度。解：260n且111121rMFrArrrxdFAdy因?qū)儆谂ｎD流體1）對(duì)于外圓表面，有12Arh21rrr孔軸旋轉(zhuǎn)2311111212126

15、0215nrnhrMrhrrrrr231100.070.01930.00473 150.0007MN m2）對(duì)于端面（圓盤(pán)旋轉(zhuǎn)）OBdzydr uu r uu z圓盤(pán)縫隙中的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)durdzdurdz 2dAdr22rdFdAdr431221022drMr dr總力矩12MMM20.00124M計(jì)算得0.00450.004730.001240.00450.753770.004370.00124Pa s1.4.8壓縮（膨脹）性 不可壓縮流體模型壓縮系數(shù)在一定溫度下，密度的變化率與壓強(qiáng)的變化成正比pddp流體的壓縮性和熱脹性0dmdVVddV因質(zhì)量守恒ddV V pddV Vdpdp 虎克定律虎

16、克定律Hookes law（1-47）（1-46）體積彈性模量1pdpdpEVddV E 的單位2N m當(dāng)壓強(qiáng)一定，溫度發(fā)生變化時(shí)TddV VdTdT 熱膨脹系數(shù)不可壓縮流體模型 在一般溫度和壓強(qiáng)情況下，流體的可壓縮性很小，我們一般認(rèn)為不可壓縮。例如：20C水，在100MPa壓強(qiáng)作用下，其體積減少約5%，壓縮系數(shù)為5x10-10m2/N，各種礦物液壓油的平均壓縮系數(shù)為6x10-10m2/N，所以，在液壓系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，往往認(rèn)為液壓油不可壓縮。 注意：若對(duì)液壓系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真時(shí)，往往需要考慮。1.4.9 理想氣體狀態(tài)方程pRTR氣體常數(shù)空氣R=8.31/0.029=287J/kgK 等溫過(guò)程：壓縮

17、系數(shù) 等壓過(guò)程：膨脹系數(shù) 絕熱過(guò)程：壓縮系數(shù) 低速（標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)，v 68m/s）氣流可按不可壓縮流體處理1Tddp pdpdpp 1pdV VdT TdTdTT1ddppdpdpp 由液壓泵等裝置吸入油液時(shí)帶入的空氣可以迅速溶入液體，在壓力降低到一定程度時(shí)產(chǎn)生氣泡， - dissolving （溶解） coefficient at normal pressure At normal pressure Va=Vf .21afpVVpAt high pressure, the volume of the dissolved air is much more than the volume of th

18、e liquid爬行、振動(dòng)、噪聲轉(zhuǎn)換動(dòng)作遲緩降低了熱傳導(dǎo)加速油液老化氣蝕00201famixturelflaVVKKVpKVpKl: 液體可壓縮性Vf: 液體體積Va0: 正常狀態(tài)下氣體體積p0: 標(biāo)準(zhǔn)壓力p: 實(shí)際壓力本小節(jié)總結(jié)：本小節(jié)總結(jié)：要求掌握：粘性的概念及其特性（與溫度、壓強(qiáng)的關(guān)系）；牛頓內(nèi)摩擦定律及其計(jì)算；了解可壓縮性與熱膨脹性；不可壓縮流體注意：運(yùn)動(dòng)粘度反映流體的流動(dòng)性，動(dòng)力粘度反映運(yùn)動(dòng)的剪切應(yīng)力。運(yùn)動(dòng)要素：表征流體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量 場(chǎng)的概念：如果在全部空間或部分空間的每一點(diǎn)、都對(duì)應(yīng)某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，就說(shuō)在這個(gè)空間里確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)，如果這個(gè)物理量是數(shù)量，就稱(chēng)這個(gè)場(chǎng)

19、為數(shù)量場(chǎng)。若是矢量，就稱(chēng)這個(gè)場(chǎng)為矢量場(chǎng)。場(chǎng)的描述方法：拉格朗日（ Lagrange）法和歐拉（Euler）法場(chǎng)又可分為： 穩(wěn)定場(chǎng) 時(shí)變場(chǎng)（不穩(wěn)定場(chǎng)）1.5.1 拉格朗日拉格朗日法（隨體法或跟蹤法）基本思想：跟蹤每個(gè)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)全過(guò)程，記錄它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)過(guò)程中的各物理量及其變化規(guī)律。()()()xx abctyy abctzz abct， ， ， ， ， ， ，時(shí)刻，微團(tuán)坐標(biāo)為（a，b，c）；則t 時(shí)刻位移流體質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)變?yōu)椋何锢砀拍钋逦?，但處理?wèn)題十分困難0t（1-53）()()()xx abctyy abctzz abct， ， ， ， ， ， ，1.流體質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)：2.速度：()()

20、()()()()x abctuu abctty abctvv abcttz abctww abctt， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，3.流體質(zhì)點(diǎn)的加速度222222()()()()()()()()()xxyyyyu abctx abctaaabctttv abcty abctaaabctttw abctz abctaaabcttt， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程1.5.2 歐拉法（Euler法）Euler 描述法 ： 在流體所占據(jù)的空間中，對(duì)每一個(gè)固定點(diǎn)，研究流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)該點(diǎn)時(shí)其力學(xué)量的變化情況，整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)可認(rèn)為

21、是空間各點(diǎn)流動(dòng)參量變化情況的綜合。 用空間點(diǎn)位置坐標(biāo) ( x, y, z )來(lái)表示某一確定點(diǎn)，稱(chēng)(x, y, z)為 Euler 坐標(biāo)或空間坐標(biāo)。通常稱(chēng)f ( x, y, z, t )為Euler 變量。 若以f 表示流體的某一個(gè)物理量，其Euler 描述的數(shù)學(xué)表達(dá)式是： (),fF xyztFtr， ， ，（1-56） 在任意 t 時(shí)刻，空間任意一點(diǎn) ( x, y, z ) 的V、 p、T、將是 （x, y, z, t ）的函數(shù)，即 ()()()()VV xyztpp xyztTT xyztxyzt， ， ， ， ， ， ， ， ，（1-57）若x、y、z為常量，上式表示在空間某一特定點(diǎn)上，

22、 V、 p、 T、隨時(shí)間 的變化情況；若 t 恒定，則上式表示空間各個(gè)點(diǎn)在某一個(gè)特定時(shí)刻有關(guān)力學(xué)量的 數(shù)值分布。V, , p, , 等有關(guān)力學(xué)量都是空間點(diǎn)x、y、z 坐標(biāo)的函數(shù) 速度場(chǎng)、壓力場(chǎng)、密度場(chǎng)等 流體運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究有關(guān)矢量場(chǎng)和數(shù)量場(chǎng)問(wèn)題 按場(chǎng)內(nèi)函數(shù)空間位置 x、 y、 z是否變化， 分為 均勻場(chǎng)和非均勻場(chǎng) 。按場(chǎng)內(nèi)函數(shù)與 t 的關(guān)系，分為定常場(chǎng)（穩(wěn)定場(chǎng)）和非定常場(chǎng)（不穩(wěn)定場(chǎng)）。1.5.3 Lagrange法與法與Euler法的關(guān)系設(shè)表達(dá)式 f =（a、b、c、d、t）表示流體質(zhì)點(diǎn)在 t 時(shí)刻的物理量。如果設(shè)想流體某一質(zhì)點(diǎn)（a、b、c、d ）恰好在 t 時(shí)刻運(yùn)動(dòng)到空間點(diǎn) （x, y

23、, z）上，則應(yīng)有()()()xx abcdtyy abcdtzz abcdt， ， ， ， ， ， ， ， ， ，()()()()aa xyztbb xyztcc xyztdd xyzt， ， ， ， ， ， ， ， ，()fabctfa xyztb xyztc xyzttF xyzt， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，LagrangeEuler為了與教材一致(),fF xyztFtr， ， ，設(shè)Euler表達(dá)式：()xyzt， ， ，及()()()xyzx abctutdy abctfudttz abctutr， ， ， ， ， ， ，常微分方程的解為：當(dāng)0tt時(shí)，abcr， ，11

24、0220330()()()cc abctccabctccabct， ， ， ， ， ， ，,t),c,cz(cz,t),c,cy(cy,t),c,cx(cx321321321()()()xx abctyy abctzz abct， ， ， ， ， ， ，將此式代入 f =F (x，y，z，t )，即得到 Lagrange 描述。 例1-3 已知Lagrange描述： ttxaeybe，求速度與加速度的Euler描述。解：速度與加速度的Lagrange描述為：ttxyyttxxydxdyuaeubedtdtduduaaeabedtdt ，因已知ttxaeybe，可得ttaxebye，并將此式代入

25、上式，得Euler描述xyxyuxuyaxay ，例1-4 已知Euler描述： xyuxuy ，初始條件為，0txayb時(shí)，求速度與加速度的Lagrange 描述。解：12xyttdxdyuxuydtdtxc eyc e ，0txayb又因時(shí)，得-ttttxyyttxxyxaeybeuxaeuybeduduaaeabedtdt，Lagrange 描述1.5.4 加速度場(chǎng)AOrr+drdrBMAMxzyOM（x，y，z）u（x，y，z，t）MM（x+dx，y+dy，z+dz）u（x+dx，y+dy，z+dz，t+dt）dt圖1-16 Lagrange法與Euler法圖1-17 流場(chǎng)內(nèi)空間點(diǎn)()

26、xyztuu， ， ，速度場(chǎng)中某點(diǎn)M位置()xdxydyzdztdtxyztddtdtuuua， ， ，以u(píng)為中心，將u 按泰勒（Taylor）級(jí)數(shù)展開(kāi)()xdxydyzdztdtxyztdxdydzdtxyztuuuuuu， ， ，Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)請(qǐng)參閱高等數(shù)學(xué)有關(guān)章節(jié)由上，則有xyzduuudtdttxyzuuuuuuu()xdxydyzdztdtxyztdtdxdydzdtx dty dtz dtt dtuuuuuu， ， ，a在直角坐標(biāo)上的投影：xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzduuuuuuuudttxyzduuuuuuuudttxyzduuuuuuuudttxyz

27、討論：在歐拉描述中，著眼點(diǎn)是空間點(diǎn)（不是質(zhì)點(diǎn)），物理量被表示為空間點(diǎn)的函數(shù)；因此，要描述質(zhì)點(diǎn)物理量隨時(shí)間的變化，沒(méi)有Lagrange直接。要求一質(zhì)點(diǎn)物理量隨時(shí)間的變化，必須跟著質(zhì)點(diǎn)看物理量變化，這時(shí)作為質(zhì)點(diǎn)空間位置的坐標(biāo)（x,y,z）也就是時(shí)間t的函數(shù)了（注意，在歐拉描述中，x,y,z本是自變量，但討論到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，作為質(zhì)點(diǎn)空間位置的x,y,z時(shí)，它就變?yōu)闀r(shí)間t的函數(shù)）。這樣，求歐拉的物理量F跟隨質(zhì)點(diǎn)的時(shí)間變化率隨體導(dǎo)數(shù)（有時(shí)稱(chēng)質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)）時(shí)，就有： xyzdx ty tz ttdtdxdydztxdtydtzdtuuutxyztFFFFFFFFFFuF，由上式看出，隨體導(dǎo)數(shù)是兩項(xiàng)之和，第一項(xiàng)，是

28、物理量F場(chǎng)的時(shí)間變化率（x, y, z不變），稱(chēng)局部導(dǎo)數(shù)，第二項(xiàng)，是物理量F隨質(zhì)點(diǎn)位置變化引起的（u u方向上F的變化），稱(chēng)對(duì)流導(dǎo)數(shù)（或位變導(dǎo)數(shù)）。 xyz ijk漢密爾頓（漢密爾頓（W. R. Hamilton）Nabla nbl例1-5：已知速度場(chǎng)解：22423xyxyxyxyzuu，試問(wèn) （1）點(diǎn)（1，1，2）的加速度是多少 ；（；（2）流動(dòng)是幾元流 ? （3）流動(dòng)是恒定流還是非恒定流 ? （4）是均勻）是均勻流還是非均勻流動(dòng)。流還是非均勻流動(dòng)。xxxxxxxyzyyyyyyxyzduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyzxxxxxyyyyyxyduuuauudtx

29、yduuuauudtxy22222222424242333423xyxyxyxyxyaxyxyxyzxyxyzxyzaxyxyxyzxy22224283242332xyaxyxyxxyxyzxaxyxyxyzy代入點(diǎn)（1，1，2）得421813122175421 3312213xyaa 三元流；不隨時(shí)間變化，穩(wěn)定流（恒定流）；隨空間變化，非均勻流。例1- 6：流場(chǎng)的速度分布為：22z65375xyxyxtyxyzt uuu，求流體在點(diǎn)（2，1，4 ）和時(shí)間t =3 時(shí)的速度、加速度。 解：代入點(diǎn) （2，1，4） 和時(shí)間t =3，得速度值為 2222z656 2 1 5 2 34233 1375

30、7 2 15 4 346xyxyxtyxyzt uuuxxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzzzzxyzduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyz因 2222223 5x6xy5xt6y5t3y6x7xy5zt0 5x18xy60 xyt25xt 065036750 =18xxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzxduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyzxyxtyyxyztyduuaudtt 2222 5657314755 525zzzyzuuuuuxyzzxyxtyyxyxyzttzzt 代入點(diǎn)（2、1、4）

31、與t=3的值，得加速度的值856 18880 xxyyzzduadtduadtduadt1.6.1跡線 ：跡線：流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)位置的連線。跡線的概念直接與 Lagrange 描述聯(lián)系。 對(duì)于 Euler描述求跡線較為復(fù)雜。 ()()()xyzdxx abctudttddyy abctfudtdttdzz abctudttr， ， ， ， ， ， ，()()()xyzdxdtuabctdydtuabctdzdtuz abct， ， ， ， ， ， ，()()()xyzdxdydzuabctuabctuz abdtct， ， ， ， ， ， ，流線方程Euler描述是某一確定時(shí)間，某物理

32、特性的分布。1.6.2 流線 ：流線：描述流場(chǎng)中各點(diǎn)流動(dòng)方向的曲線，線上任一點(diǎn)的切線方向與 該點(diǎn)在該時(shí)刻的速度矢量方向一致。0d ru000()()()xyzdxdydzuabctuabctuabct， ， ， ， ， ， ，流線的性質(zhì) ： （1）過(guò)一點(diǎn)只能有一條流線；（2）流線不能轉(zhuǎn)折。 流線就是液體或氣體流動(dòng)時(shí)軌跡，常用于研究液體或氣體環(huán)繞固體面流動(dòng)的狀況流線（streamline） 風(fēng)洞棒球風(fēng)洞1.6.3 流面、流管與流束C對(duì)于場(chǎng)中的任意一條曲線C（非矢量線），在其上的每一個(gè)點(diǎn)處，也皆有且僅有一條矢量線通過(guò)，這些矢量線的全體，就構(gòu)成一張通過(guò)曲線C的曲面，稱(chēng)之為矢量面。當(dāng)C為一封閉曲線時(shí)，

33、通過(guò)C的矢量面，就構(gòu)成了一個(gè)管形曲面，稱(chēng)之為矢量管。對(duì)于流體分別稱(chēng)之為流面和流管。C流面流管流束 ：流管內(nèi)的流線組成一束。 流體朝一個(gè)方向流動(dòng)即流道的軸線方向流動(dòng)，這樣可以 把空間近似看成一個(gè)流管。在數(shù)學(xué)上變成一維問(wèn)題，用斷面上平均物理量來(lái)代替斷面上的物理量的實(shí)際分布。流管的兩個(gè)重要特性：（1）流體不能穿越流管 ；（2）當(dāng)封閉曲線的面積A很小時(shí)，流管斷面可認(rèn)為物理量均勻分布。管狀流動(dòng)： 流道上與流線族成正交的面。其面積用 A 來(lái)表示，則斷面上的平均速度定義為過(guò)流斷面：AudAA其中，AQudA流量端面上一點(diǎn)的速度平均速度例1-7 已知：xuxt，yuyt 0zu ，。 求t=0時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-

34、1，-1）的流線和跡線。dxdyxtyt解：流線微分方程為：xtytc當(dāng)t=0時(shí)，x=-1，y=-11c 經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-1，-1）的流線為1xy dxx tdt 求跡線dyy tdt ，1211ttxcetyc et 當(dāng)t=0 時(shí)，x=-1，y=-1120cc11xtyt 消去t2xy例1-8已知流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是 x=at +1, y = bt1，求流線族。 解：11xatybt，a、b 表達(dá)式，為11xyabtt，流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度xydxdyua ubdtdt，11xyxyuaubtt ，將a、b代入上式由流線方程，可得11dxdyxy流線族11xc y 1.7 速度分解定理速度分解定理剛

35、體運(yùn)動(dòng)：平移運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)流體微團(tuán)：平移運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)變形運(yùn)動(dòng)角變形運(yùn)動(dòng)線變形運(yùn)動(dòng)ududy平移繞定軸旋轉(zhuǎn)變形（線性變形與轉(zhuǎn)角變形）剪切流動(dòng)：圖1-28 方形流體微團(tuán)ADCBMxuyudydx22xxyyudxuxudxux22xxyyudyuyudyuy22xxyyudyuyudyuy22xxyyudxuxudxux具有速度梯度流體微團(tuán)的平移運(yùn)動(dòng) 平移運(yùn)動(dòng)速度 xyzuuu， ，流體微團(tuán)的線變形運(yùn)動(dòng) A、C點(diǎn)之間在x方向上的速度差：xCxAxuuudxx線變形速度:xxxudx dtuxdx dtxADCBMxuyudydx22xxyyu dxuxudxux22xxyyu dyuyudyuy22

36、xxyyu dyuyudyuy22xxyyu dxuxudxuxdt時(shí)間內(nèi)拉伸長(zhǎng)度單位長(zhǎng)度、單位時(shí)間線性變形速度xxyyzzuxuyuzyxzuuudivxyzu單位體積膨脹率：同理可得：流體隨空間的變化0div u表示無(wú)源或不可壓縮流體0div u表示被壓縮，或有泄漏、蓄能器蓄能等0div u表示被拉伸、膨脹；流體有補(bǔ)充，即有泵、蓄能器釋放能量等流體微團(tuán)的線變形運(yùn)動(dòng)contd. 流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) B、C點(diǎn)速度22xBxxyCyyudyuuyudxuuxB、C點(diǎn)相對(duì)于M點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度： 22xxudyuydyyB點(diǎn)C點(diǎn)22yyudxuxdxxdy/2規(guī)定：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正 MBFCBFCyxdx/2速度增量與x軸相反速度增量與y軸相同 MF 相對(duì)于 M點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度為BM和CM 這兩條邊旋轉(zhuǎn)角速度的平均值 12yxzuuxy同理可推至空間坐標(biāo)121212yzxxzyyxzuuyzuuzxuuxy1122xyzxyzuuu ijkuxyzijk或右手定則若0有勢(shì)無(wú)旋渦線方程：xyzdxdydz渦量（即旋度）：等于2倍的。其值越大，渦旋強(qiáng)度越大。其值越大，渦旋強(qiáng)度越大。rotuuyzxxzyyzzu