第4章插值法1

1、數(shù)值計(jì)算方法第第4 4章章 插值與擬合插值與擬合o插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法，早在一千多年前插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法，早在一千多年前的隋唐時(shí)期定制的隋唐時(shí)期定制歷法歷法時(shí)就廣泛應(yīng)用了二次插值。時(shí)就廣泛應(yīng)用了二次插值。劉焯將等距節(jié)點(diǎn)的二次插值應(yīng)用于天文計(jì)算。劉焯將等距節(jié)點(diǎn)的二次插值應(yīng)用于天文計(jì)算。o插值理論卻是在插值理論卻是在1717世紀(jì)微積分產(chǎn)生后才逐步發(fā)展世紀(jì)微積分產(chǎn)生后才逐步發(fā)展起來(lái)的，起來(lái)的，NewtonNewton插值公式理論是當(dāng)時(shí)的重要成果。插值公式理論是當(dāng)時(shí)的重要成果。o由于計(jì)算機(jī)的使用以及航空、造船、精密儀器的由于計(jì)算機(jī)的使用以及航空、造船、精密儀器的加工，插值法在理論和實(shí)踐上

2、都得到進(jìn)一步發(fā)展，加工，插值法在理論和實(shí)踐上都得到進(jìn)一步發(fā)展，獲得了廣泛的應(yīng)用。獲得了廣泛的應(yīng)用。當(dāng)精確函數(shù)當(dāng)精確函數(shù) y = f(x) 非常復(fù)雜或未知時(shí)，在一非常復(fù)雜或未知時(shí)，在一系列節(jié)點(diǎn)系列節(jié)點(diǎn) x0 xn 處測(cè)得函數(shù)值處測(cè)得函數(shù)值 y0 = f(x0), yn = f(xn)，由此構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單易算的近似函，由此構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單易算的近似函數(shù)數(shù) P(x) f(x)，滿足條件，滿足條件P(xi) = f(xi) (i = 0, n)。這里的。這里的 P(x) 稱(chēng)為稱(chēng)為f(x) 的的插值函數(shù)插值函數(shù)。最常。最常用的插值函數(shù)是用的插值函數(shù)是 ?多項(xiàng)式多項(xiàng)式x0 x1x2x3x4xP(x) f(x)一

3、、插值問(wèn)題一、插值問(wèn)題上的代數(shù)插值多項(xiàng)式為在區(qū)間設(shè)函數(shù),)(baxfy nnnxaxaxaaxP2210)(且滿足且滿足niyxPiin,2 , 1 ,0)(滿足這種條件的滿足這種條件的n次插值多項(xiàng)式是否唯一？次插值多項(xiàng)式是否唯一？唯一的！唯一的！滿足線性方程組的系數(shù)即多項(xiàng)式nnaaaaxP,)(21000202010yxaxaxaann11212110yxaxaxaannnnnnnnyxaxaxaa2210-(2)上述方程組的系數(shù)行列式為上述方程組的系數(shù)行列式為n+1n+1階范德蒙行列式階范德蒙行列式nnnnnnxxxxxxxxxV212110200111101)(ninijijxxjixx

4、 0由由CramerCramer法則法則, ,線性方程組線性方程組(2)(2)有唯一解有唯一解唯一解唯一解定理定理1.1. nnnxaxaxaaxP2210)(niyxPiin,2 , 1 ,0)(),(jixxji若插值節(jié)點(diǎn)則滿足插值條件則滿足插值條件的插值多項(xiàng)式的插值多項(xiàng)式存在且唯一存在且唯一.反證：若不唯一，則除了反證：若不唯一，則除了Pn(x) 外還有另一外還有另一 n 階多項(xiàng)階多項(xiàng)式式 Ln(x) 滿足滿足 Ln(xi) = yi ?？疾炜疾?則則 Qn 的階數(shù)的階數(shù), )()()(xLxPxQnnn n而而 Qn 有有 個(gè)不同的根個(gè)不同的根n + 1x0 xn注：注：若不將多項(xiàng)式次

5、數(shù)限制為若不將多項(xiàng)式次數(shù)限制為 n ，則插值多項(xiàng)式，則插值多項(xiàng)式不唯一不唯一。例如例如 也是一個(gè)插值也是一個(gè)插值多項(xiàng)式，其中多項(xiàng)式，其中 可以是任意多項(xiàng)式?？梢允侨我舛囗?xiàng)式。 niinxxxpxLxP0)()()()()(xp為了求得便于使用的簡(jiǎn)單的插值多項(xiàng)式為了求得便于使用的簡(jiǎn)單的插值多項(xiàng)式P(x),我們先討論我們先討論n=1的情形的情形111,(),()kkkkkxxyf xyf xk假定已知區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值要求線性插值多項(xiàng)式要求線性插值多項(xiàng)式L1(x),使它滿足使它滿足：1111(),()kkkkL xyL xyL1(x)的幾何意義就是通過(guò)這兩點(diǎn)的直線；的幾何意義就是通過(guò)這兩點(diǎn)的直線；

6、11111111( )()( )(kkkkkkkkkkkkkkyyL xyxxxxxxxxL xyyxxxx點(diǎn)斜式）兩點(diǎn)式）yx由兩點(diǎn)式可以看出，由兩點(diǎn)式可以看出， L L1 1(x)(x)是由兩個(gè)線性函數(shù)是由兩個(gè)線性函數(shù)1111kkkkkkkxxxxyxxxxk和線性組合得到，其系數(shù)分別為y 及11( )( )( )k kkkxy lxylx1即L也是線性插值多項(xiàng)式也是線性插值多項(xiàng)式1() 1()0kkkkl xlx111()0()1kkkkl xlx1( )( )kklxlx和線性無(wú)關(guān)稱(chēng)為線性插值基函數(shù)稱(chēng)為線性插值基函數(shù)11111( )(kkkkkkkkxxxxL xyyxxxx兩點(diǎn)式）n

7、=2的情況，假定插值節(jié)點(diǎn)為的情況，假定插值節(jié)點(diǎn)為112,( )()(1, ,1)kkkjjxxxxL xyjkk k2要求一個(gè)二次插值多項(xiàng)式L，使它滿足211( ),),),)kkkyL xyyyk-1kk+1在幾何上就是通過(guò)三點(diǎn)(x(x(x的拋物線為了求出為了求出L L2 2(x)(x)的表達(dá)式，可采用基函數(shù)方法的表達(dá)式，可采用基函數(shù)方法11kkklll此時(shí)基函數(shù) ， ，是二次函數(shù)，且在節(jié)點(diǎn)上滿足條件111111()1()0()1()0()1()0kkkjkkkjkkkjlxlxlxlxlxlx ， (j=k,k+1) ， (j=k-1,k+1) ， (j=k-1,k)1111( ),()(

8、)0kkkkklxlxlx如求：因?yàn)?1( )()()kkklxA xxxx可以表示為111111()1()()kkkkkklxAxxxx 11111()()( )()()kkkkkkkxxxxlxxxxx同理同理111111111()()()()( ),( )()()()()kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxlxlxxxxxxxxx線性無(wú)關(guān)，作為二次插值基函數(shù)線性無(wú)關(guān)，作為二次插值基函數(shù)得到二次插值多項(xiàng)式得到二次插值多項(xiàng)式211112( )( )( )( )()(1, ,1)kkk kkkjjL xylxy lxylxL xyjkk k顯然它滿足例1:15)225(,13)169(

9、,12)144()(fffxf滿足已知.)175(,)(的近似值并求插值多項(xiàng)式的二次作fLagrangexf解:225,169,144210 xxx設(shè))(0 xl插值基函數(shù)為的二次則Lagrangexf)()()(201021xxxxxxxx2025)225)(169(xx)(1xl)()(210120 xxxxxxxx1400)225)(144(xx)(2xl)()(120210 xxxxxxxx4536)169)(144(xx15,13,12210yyy插值多項(xiàng)式為的二次因此Lagrangexf)()()()()(2211002xlyxlyxlyxL且)175(f)175(2L)175(1

10、5)175(13)175(12210lll73158230.13在例在例1中中,如果只給出兩個(gè)節(jié)點(diǎn)如果只給出兩個(gè)節(jié)點(diǎn)169和和225,也可以作插值也可以作插值多項(xiàng)式多項(xiàng)式,即即1次次Lagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式,有兩個(gè)插值基函數(shù)有兩個(gè)插值基函數(shù),這種插值方法稱(chēng)為這種插值方法稱(chēng)為L(zhǎng)agrange線性插值線性插值,也可以在也可以在n+1個(gè)個(gè)節(jié)點(diǎn)中取相鄰的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)作線性插值節(jié)點(diǎn)中取相鄰的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)作線性插值17513.228756555322952.例2.).175(1fLagrange中的線性插值多項(xiàng)式求例用之間與在由于插值點(diǎn)22516917521xxx解:為插值節(jié)點(diǎn)與因此取22516921

11、xx)(1xl212xxxx56225x)(2xl121xxxx56169xLagrange插值基函數(shù)為L(zhǎng)agrange線性插值多項(xiàng)式為)()()(22111xlyxlyxL5622513x5616915x)175(f5622517513561691751571285214.13所以所以17513.228756555322952.考慮通過(guò)n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)01( )()(0,1)njjxxxnxxyjnnn 的 次插值多項(xiàng)式L，要滿足條件L( )xn如何構(gòu)造Ln 1希望找到希望找到li(x)，i = 0, , n 使得使得 li(xj)= ij ；然后令；然后令 niiinyxlxP0)()(，則顯

12、然有，則顯然有Pn(xi) = yi 。li(x)每個(gè)每個(gè) li 有有 n 個(gè)根個(gè)根 x0 xi xn njj i jiniiixxCxxxxxxCxl00)().().()( j i jiiiixxCxl)(11)( njijjijixxxxxl0)()()( niiinyxlxL0)()(Lagrange Polynomial與與 有關(guān)，而與有關(guān)，而與 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)f1)(0 niixl注意注意 :(1) 對(duì)于插值節(jié)點(diǎn)對(duì)于插值節(jié)點(diǎn),只要求它們互異只要求它們互異,與大小次序無(wú)關(guān)與大小次序無(wú)關(guān); 以以 xi (i=0,1,n)為插值節(jié)點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn), 函數(shù)函數(shù) f(x) 1作插值多作插值多項(xiàng)

13、式項(xiàng)式, 由插值多項(xiàng)式的唯一性即得由插值多項(xiàng)式的唯一性即得基函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)基函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)(2) 插值基函數(shù)插值基函數(shù)l i(x) 僅由插值節(jié)點(diǎn)僅由插值節(jié)點(diǎn)xi (i=0,1, ,n)確定確定, 與被插函數(shù)與被插函數(shù) f(x)無(wú)關(guān)無(wú)關(guān);(3) 插值基函數(shù)插值基函數(shù)l i(x) 的順序與的順序與插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)xi (i=0,1, ,n) 的順序一致的順序一致.1)(0 niixl這是因?yàn)槿羧∵@是因?yàn)槿羧?(x)=xk (k=0,1,n),由插值多項(xiàng)式的唯由插值多項(xiàng)式的唯一性有一性有0( ),0,1,nkkiiil x xxkn 特別當(dāng)特別當(dāng)k=0k=0時(shí)時(shí), ,就得到就得到所以所以019141

14、( )(9), ( )(4)495945xxlxxlxx 10 01 111( )( )( )2(9)3(4)55L xy lxy lxxx 1137(7)2.65L01,4,9,yx xx 7例例 已知已知 用線性插值用線性插值(即一次插即一次插值多項(xiàng)式值多項(xiàng)式)求求 的近似值。的近似值。012,3,yy 基函數(shù)分別為基函數(shù)分別為:解解插值多項(xiàng)式為插值多項(xiàng)式為23(9)(4)55xx 1(6)5x( )4, 3, 1, 13210 xxxx)4)(3)(1(401)41)(31)(11()4)(3)(1()(0 xxxxxxxl)4)(3)(1(121)41)(31)(11()4)(3)(1

15、()(1 xxxxxxxl)4)(1)(1(81)43)(13)(13()4)(1)(1()(2 xxxxxxxl)3)(1)(1(151)34)(14)(14()3)(1)(1()(3 xxxxxxxl例例2 求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)(- -1,- -2), (1,0), (3,- -6), (4,3)的拋物線插值的拋物線插值(即即三次插值多項(xiàng)式三次插值多項(xiàng)式).解解 以以以為節(jié)點(diǎn)的基函數(shù)以為節(jié)點(diǎn)的基函數(shù)分別為分別為:)()()()()(332211003xlyxlyxlyxlyxL ) 3)(1)(1(1513)4)(1)(1(81)6()4)(3)(1(1210)4)(3)(1(401) 2( xx

16、xxxxxxxxxx)3)(1)(1(51)4)(1)(1(43)4)(3)(1(201 xxxxxxxxx3423 xx()則拉格朗日則拉格朗日的三次插值多項(xiàng)式為的三次插值多項(xiàng)式為 插值余項(xiàng)插值余項(xiàng)Remainder插值的從上節(jié)可知Lagrangexfy)(,滿足nixfxLiin, 1 , 0)()(,bax但)()(xfxLn不會(huì)完全成立不會(huì)完全成立因此因此, ,插值多項(xiàng)式存在著截?cái)嗾`差插值多項(xiàng)式存在著截?cái)嗾`差, ,那么我們?cè)鯓庸滥敲次覀冊(cè)鯓庸烙?jì)這個(gè)截?cái)嗾`差呢？計(jì)這個(gè)截?cái)嗾`差呢？niiinxlyL0)()()(,xPxfban的插值多項(xiàng)式為上假設(shè)在區(qū)間)()()(xPxfxRnn令上顯然

17、在插值節(jié)點(diǎn)為), 1 , 0(nixi)()()(iniinxPxfxRni, 1 , 0,0個(gè)零點(diǎn)上至少有在因此1,)(nbaxRn)()()(1xxKxRnn設(shè))()()(101nnxxxxxxx為待定函數(shù))(xK其中)()()()()(1xxKxPxfxRnnn)()()()(1xxKxPxfnn0)()()()()(1txKtPtftnn若引入輔助函數(shù))(x則有0的區(qū)分與注意xt)(ix且)()()(1ininxxKxR0即個(gè)零點(diǎn)上至少有在區(qū)間若令因此,2,)(,nbatxxi,0)(xni, 1 , 0nixi, 2 , 1 , 0,0)(也可微則可微因此若為多項(xiàng)式和由于)(,)(,

18、)()(1txfxxPnn)()()()(1xxKxPxfnn)()()()(1ininixxKxPxf近似函數(shù)近似函數(shù)誤差誤差根據(jù)根據(jù)RolleRolle定理定理, ,個(gè)零點(diǎn)上有至少在區(qū)間1),()(nbat再由再由RolleRolle定理定理, ,個(gè)零點(diǎn)上有至少在區(qū)間nbat),()( 依此類(lèi)推階導(dǎo)數(shù)為零的使得內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)在區(qū)間1)(,),(ntba0)()1(n)()1(tn)()()()()(1txKtPtftnn)()()()()1(1)1()1(txKtPtfnnnnn由于)()()()()()1(1)1()1()1(nnnnnnxKPf因此)!1()()()1(nxKfn0(

19、)( )tt在的兩個(gè)零點(diǎn)間至少有一個(gè)零點(diǎn))!1()()()1(nfxKn)()()(1xxKxRnn)()!1()(1)1(xnfnn所以)()()(截?cái)嗾`差的余項(xiàng)為插值多項(xiàng)式稱(chēng)xPxRnn定理定理2 2.有則插值節(jié)點(diǎn)為次插值多項(xiàng)式上的在為階可微上在區(qū)間設(shè),)()(,1,)(0baxbaxnbaxfxPnbaxfniin)(xRn)()!1()(1)1(xnfnn,)()(01niinxxx其中.,),(xba且依賴于Lagrange型余項(xiàng)1n 時(shí)線性插值余項(xiàng)為 12010111( )( )( )( )()(),22R xfxfxxxxxx 2012021( )( )()()(),6R xfx

20、xxxxxxx2n 時(shí)線性插值余項(xiàng)為注：注： 通常不能確定通常不能確定 x , 而是估計(jì)而是估計(jì) , x (a,b) 將將 作為誤差估計(jì)上限。作為誤差估計(jì)上限。1)1()( nnMxf niinxxnM01|)!1(當(dāng)當(dāng) f(x) 為任一個(gè)次數(shù)為任一個(gè)次數(shù) n 的的多項(xiàng)式多項(xiàng)式時(shí)，時(shí)， , 可知可知 ，即插值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù)，即插值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù) n 的的多項(xiàng)多項(xiàng)式是式是精確精確的。的。0)()1( xfn0)( xRn|)(|max)1(1xfMnbxan|)(|)(|011niinnxxxN設(shè)設(shè)|)(|xRn則)()!1()(1)1(xnfnn11)!1(1nnNMn例：例：已知已知233s

21、in,214sin,216sin 分別利用分別利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值計(jì)算插值計(jì)算 sin 50 并估計(jì)誤差。并估計(jì)誤差。 解：解：0 x1x2x185500 n = 1分別利用分別利用x0, x1 以及以及 x1, x2 計(jì)算計(jì)算4,610 xx利用利用216/4/6/214/6/4/)(1 xxxL這里這里)3,6(,sin)(,sin)()2( xxxfxxf而而)4)(6(!2)()(,23sin21)2(1 xxfxRxx00762. 0)185(01319. 01 Rsin 50 = 0.7660444)185(50sin10 L0.77614

22、外推外推 /* extrapolation */ 的實(shí)際誤差的實(shí)際誤差 0.010010.010013,421 xx利用利用sin 50 0.76008, 00660. 018500538. 01 R內(nèi)插內(nèi)插 /* interpolation */ 的實(shí)際誤差的實(shí)際誤差 0.00596 0.00596內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計(jì)算的要計(jì)算的 x 所在的區(qū)間的所在的區(qū)間的端點(diǎn)，插值效果較好。端點(diǎn)，插值效果較好。n = 223)()(21)()(21)()()(4363463464363646342 xxxxxxxL)185(50sin20 L0.7654323cos21;)3

23、)(4)(6(!3cos)(2 xxxxxxR 00077. 018500044. 02 Rsin 50 = 0.76604442次插值的實(shí)際誤差次插值的實(shí)際誤差 0.00061 0.00061高次插值通常優(yōu)于高次插值通常優(yōu)于低次插值低次插值例3:225,169,144,)(,. 1三個(gè)節(jié)點(diǎn)為若中在上節(jié)例xxf線性插值的余項(xiàng)為設(shè)LagrangexR)(1插值的余項(xiàng)為二次LagrangexR)(2解:.)175(截?cái)嗾`差近似值的線性和二次插值做試估計(jì)用fLagrangexxf21)(2341)( xxf2583)( xxf|)(|max2251692xfMx |)169(| f 41014. 1

24、|)(|max2251443xfMx |)144(| f 61051. 1|)(|22xN|)225175)(169175(|300|)(|33xN|)225175)(169175)(144175(|9300|)(|1xR22! 21NM3001014. 121421071. 1|)(|2xR33! 31NM93001051. 161631035. 2誤差更小二次插值比線性插值的用時(shí)在求從以上分析可知Lagrange175, niiinyxlxL0)()( njijjijixxxxxl0)()()(其中其中)(xRn)()!1()(1)1(xnfnn余項(xiàng)：余項(xiàng)：LagrangeLagrange

25、插值多項(xiàng)式的缺點(diǎn)：插值多項(xiàng)式的缺點(diǎn)：插值基函數(shù)計(jì)算復(fù)雜插值基函數(shù)計(jì)算復(fù)雜高次插值的精度不一定高高次插值的精度不一定高上一節(jié)回顧o插值問(wèn)題插值問(wèn)題o插值多項(xiàng)式的存在唯一性插值多項(xiàng)式的存在唯一性o插值余項(xiàng)插值余項(xiàng)oLagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式滿足插值條件滿足插值條件 Pn(xi)=f(xi), ( i=0,1,2,n) n次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn 存在而且惟一存在而且惟一. niixnnxxnfxR0)1()(! ) 1()()( njijjijixxxxxl0)()()( niiinyxlxL0)()(Lagrange插值多項(xiàng)式的缺點(diǎn)插值多項(xiàng)式

26、的缺點(diǎn))(xljnjiiijixxxx0)()(nj,2 , 1 ,0我們知道我們知道,Lagrange,Lagrange插值多項(xiàng)式的插值基函數(shù)為插值多項(xiàng)式的插值基函數(shù)為理論分析中很方便，理論分析中很方便，但是但是當(dāng)當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)時(shí)全部插值全部插值基函數(shù)基函數(shù)就要隨之就要隨之變化變化，整個(gè)公式也將發(fā)生變化，這在，整個(gè)公式也將發(fā)生變化，這在實(shí)際計(jì)算中是很實(shí)際計(jì)算中是很不方便不方便的；的；解決解決由線性代數(shù)的知識(shí)可知由線性代數(shù)的知識(shí)可知, ,任何一個(gè)任何一個(gè)n n次多項(xiàng)式都可以表示成次多項(xiàng)式都可以表示成, 1,0 xx ),)(10 xxxx)()(110nxxxxxx,共共n+1n

27、+1個(gè)多項(xiàng)式的線性組合個(gè)多項(xiàng)式的線性組合那么，是否可以將這那么，是否可以將這n+1n+1個(gè)多項(xiàng)式作為插值基函數(shù)呢？個(gè)多項(xiàng)式作為插值基函數(shù)呢？, 1,0 xx ),)(10 xxxx)()(110nxxxxxx,顯然，多項(xiàng)式組顯然，多項(xiàng)式組線性無(wú)關(guān)，線性無(wú)關(guān)， 因此，因此，可以作為插值基函數(shù)可以作為插值基函數(shù),ix設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為nifi, 1 , 0,函數(shù)值為1,2 , 1 ,0,1nixxhiiinifxPii, 1 , 0,)(插值條件為具有如下形式設(shè)插值多項(xiàng)式)(xP01,na aa其中 為待定系數(shù)基函數(shù)基函數(shù))()()()()(110102010nnxxxxxxaxxxxaxxaaxP)(

28、)()()()(110102010nnxxxxxxaxxxxaxxaaxPnifxPxPii, 1 , 0,)()(應(yīng)滿足插值條件000)(afxP有)()(011011xxaafxP00fa 01011xxffa)()()(12022021022xxxxaxxaafxP12010102022xxxxffxxffa再繼續(xù)下去待定系再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復(fù)雜數(shù)的形式將更復(fù)雜 。為此引入差商和差分的概念為此引入差商和差分的概念 divided difference */),()()(,jijijijixxjixxxfxfxxf 1階差商階差商 /* the 1st divided diffe

29、rence of f w.r.t. xi and xj */)(,kixxxxfxxfxxxfkikjjikji 2階差商階差商定義定義2.2.nifxxfii, 1 , 0,)(處的函數(shù)值為在互異的節(jié)點(diǎn)設(shè)11101010111010,.,.,.,.,., kkkkkkkkkkkxxxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxf(k+1)階階差差商商)()()()()()(4433221100 xfxxfxxfxxfxxfxxfxkk四階差商三階差商二階差商一階差商差商的計(jì)算方法差商的計(jì)算方法( (表格法表格法):):,10 xxf,21xxf,32xxf,43xxf,210 xxxf,321xx

30、xf,432xxxf,3210 xxxxf,4321xxxxf,410 xxxf規(guī)定函數(shù)值為規(guī)定函數(shù)值為零階差商零階差商差商表差商表例例 列出列出f(x)=x3在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)x=0,2,3,5,6上的各階差商值。上的各階差商值。ix02356if x08271252161,iif x x 80420 2781932 125274953 2161259165 12 ,iiif x xx 194530 49 191052 91491463 105150 14 10162 1 1060 三階差商三階差商 四階差商四階差商解：解：列表計(jì)算列表計(jì)算差商具有如下性質(zhì)差商具有如下性質(zhì): :且的線性組合表示可由

31、函數(shù)值階差商的,)(,),(),(,)()1(10110kkkxfxfxfxxxxfkxf,110kkxxxxfkikiiiiiiixxxxxxxxxf0110)()()()(差商的值與差商的值與 xi 的順序無(wú)關(guān)！的順序無(wú)關(guān)！NewtonNewton插值公式及其余項(xiàng)插值公式及其余項(xiàng),)()()(000 xxfxxxfxf ,)(,101100 xxxfxxxxfxxf ,.,)(,.,.,0010nnnnxxxfxxxxfxxxf 12 n+11+ (x x0) 2+ + (x x0)(x xn 1) n+1.)(,)(,)()(102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf).(,

32、.,100 nnxxxxxxf)().(,.,100nnnxxxxxxxxxf Nn(x)Rn(x)ai = f x0, , xi NewtonNewton插值公式及其余項(xiàng)插值公式及其余項(xiàng)ix0 x1x2x3xif x0()f x1()f x2()f x3()f x1,iif x x 01,f xx12,f x x23,f xx12,iiif x xx 012,f xx x123,f x xx123 ,iiiif x xxx 0123,f xx xx00100121001110( )()() ,()() ,()()() ,nnnP xf xxxf x xxxxxf xx xxxxxxxf xx

33、 x 例：例： 已知已知x=1,4,9的平方根為的平方根為1,2,3，利用牛頓基本差商，利用牛頓基本差商 公式求公式求 的近似值。的近似值。ix149ix1231,iif x x 2 10 333334 1. 320 294. 12 ,iiif x xx 0 20 333330 0166791. 7解：解：從而得二階牛頓基本差商公式為從而得二階牛頓基本差商公式為210 3333310 0166714( ).().()()P xxxx 272 69992( ).P 因此計(jì)算得因此計(jì)算得 的近似值為的近似值為7性質(zhì)性質(zhì)3 3一般的，總認(rèn)為次數(shù)越高，一般的，總認(rèn)為次數(shù)越高，逼近逼近f(x)f(x)的

34、精度就越好，的精度就越好，但實(shí)際上并非如此。但實(shí)際上并非如此。-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)不同次數(shù)的Lagrange插值多項(xiàng)式的比較圖Runge現(xiàn)象現(xiàn)象從上圖可以看出，隨著從上圖可以看出，隨著n n的增加，的增加，L Ln n(x)(x)的計(jì)算結(jié)果和的計(jì)算結(jié)果和誤差的絕對(duì)值幾乎成倍的增加，這說(shuō)明當(dāng)誤差的絕對(duì)值幾乎成倍的增加，這說(shuō)明當(dāng)n n趨于無(wú)窮大趨于無(wú)窮大時(shí)，時(shí)， L Ln n(x)(x)在在-5-5，55上不收斂；上不收斂；-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.

35、20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81的圖象分段線性插值)(1xLy 的一條折線實(shí)際上是連接點(diǎn)niyxkk, 1 , 0,),(也稱(chēng)折線插值也稱(chēng)折線插值, ,如右圖如右圖曲線的光滑性較差曲線的光滑性較差在節(jié)點(diǎn)處有尖點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)處有尖點(diǎn) 但如果增加節(jié)點(diǎn)的數(shù)量但如

36、果增加節(jié)點(diǎn)的數(shù)量減小步長(zhǎng)減小步長(zhǎng), ,會(huì)改善插值效果會(huì)改善插值效果上連續(xù)在若,)(baxf因此因此)(lim10 xLh)(xf則則 分段線性插值分段線性插值 /* piecewise linear interpolation */在每個(gè)區(qū)間在每個(gè)區(qū)間 上，用上，用1階多項(xiàng)式階多項(xiàng)式 (直線直線) 逼近逼近 f (x):,1 iixx11111)()( iiiiiiiiyxxxxyxxxxxPxf,for 1 iixxx記記 ，易證：當(dāng)，易證：當(dāng) 時(shí)，時(shí)，|max1iixxh 0h)()(1xfxPh一致一致失去了原函數(shù)的光滑性。失去了原函數(shù)的光滑性。 分段分段Hermite插值插值 /* Hermite piecewise polynomials */給定給定nnnyyyyxx ,.,;,.,;,.,000在在 上利用兩點(diǎn)的上利用兩點(diǎn)的 y 及及 y 構(gòu)造構(gòu)造3次次Hermite函數(shù)函數(shù),1 iixx導(dǎo)數(shù)一般不易得到。導(dǎo)數(shù)一般不易得到。How can we make a smooth interpolation witho