高等數(shù)學-第七版--第七章極限7-1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理

1、一、區(qū)間套定理 在第一章與第二章中, 我們已經(jīng)證明了實數(shù)集中的確界定理、單調(diào)有界定理,致密性定理和柯西收斂準則. . 上述定理反映了實數(shù)的一種特性,這種特性稱之為完備性. . 而有理數(shù)集是不具備這種性質(zhì)的. . 在本章中, 將著重介紹與上述定理的等價性定理及其應(yīng)用. .這些定理是數(shù)學分析理論的基石. .1 關(guān)于實數(shù)集完備性的 基本定理數(shù)學分析 第七章實數(shù)的完備性二、聚點定理與有限覆蓋定理 三、實數(shù)完備性基本定 理的等價性*點擊以上標題可直接前往對應(yīng)內(nèi)容數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性定義1nn

2、ab,:設(shè)閉區(qū)間列滿足如下條件設(shè)閉區(qū)間列滿足如下條件111. , ,1, 2,nnnnababn2. lim()0 ,nnnba,.nnab則則稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)間間套套 簡簡稱稱區(qū)區(qū)間間套套定義定義1 中的條件中的條件1 實際上等價于條件實際上等價于條件1221.nnaaabbb區(qū)間套定理后退 前進 目錄 退出1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性定理7.1（區(qū)間套定理）nna aa a121nnbbb b12 1,nnab若若是是一一個個區(qū)區(qū)間間套套,1,

3、2,nnabn 或者或者. ,1nnnba 證證 由定義由定義1 的條件的條件1 可知可知, 數(shù)列數(shù)列an遞增遞增, 所以由單調(diào)有界定理所以由單調(diào)有界定理, 可知可知 an 的極限存在的極限存在. x , 則存在唯一的實數(shù)則存在唯一的實數(shù)使使有上界有上界b1.區(qū)間套定理數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性從而由定義從而由定義1 的條件的條件2 可得可得nnnnnnnaabb lim)(limlim因為因為 an 遞增遞增, bn 遞減遞減, ,nnba 設(shè)設(shè) 1 也滿足也滿足,1nnba lim=

4、 ,nna 設(shè)設(shè)這樣就證明了這樣就證明了 的存在性的存在性. . 1,. 即即唯唯一一性性得得證證10.nnba那那么么下面來證明唯一性下面來證明唯一性.區(qū)間套定理所以所以數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性 推論證證 由區(qū)間套定理的證明可得由區(qū)間套定理的證明可得:limlim.nnnnab 由極限的保號性由極限的保號性, 對于任意正數(shù)對于任意正數(shù) , 存在存在 N,( ; ).nna bU 則任給則任給 0, 存在存在 N, 當當 n N 時時,設(shè)設(shè) an ,bn 是一個區(qū)間套是一個區(qū)間套,1,

5、 2,.n ,nnab 區(qū)間套定理nN, 當時 有當時 有nnab,即即這就是說這就是說,na . nbnnab,(,). 數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性注注1 該推論有著很強的應(yīng)用價值該推論有著很強的應(yīng)用價值,請大家務(wù)請大家務(wù)必牢記必牢記. .注注2 區(qū)間套定理中的閉區(qū)間若改為開區(qū)間區(qū)間套定理中的閉區(qū)間若改為開區(qū)間, 那么結(jié)那么結(jié)例如對于開區(qū)間列例如對于開區(qū)間列 , 顯然顯然10n，論不一定成立論不一定成立.區(qū)間套定理111.0,0,1, 2,1nnn 12.lim00.nn但是定理但是定

6、理1中的中的 是不存在的是不存在的, 110,.nn 這是因為這是因為數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性證證明過程明過程, 哪一步通不過哪一步通不過?10,1n讀讀者者可可以以反反思思一一下下, ,對對于于，按按照照定定理理的的區(qū)間套定理作為區(qū)間套定理的應(yīng)用作為區(qū)間套定理的應(yīng)用, 下面來證明柯西收斂準則下面來證明柯西收斂準則.即證明數(shù)列即證明數(shù)列 an 收斂的充要條件是收斂的充要條件是: 對任意的對任意的,.nmm nNaa 當時有當時有存在存在 N, , 0,證證 (必要性必要性)lim,nn

7、aA 設(shè)由數(shù)列極限的定義設(shè)由數(shù)列極限的定義, 對于任意正數(shù)對于任意正數(shù), 0 N存在存在時，有時，有Nnm ,2 Aan.2 AamnmnmaaaAaA因因而而有有. 數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性(:lim.)nNnaa 注注意意 這這并并不不能能說說明明()充分性充分性Na Na Nax, 0 由題設(shè)，對于任意由題設(shè)，對于任意，存在存在N時，時，Nn . Nnaa(,).nNNnNaaa即即當當時時，,21 令,1N存在存在,21,21111 NNnaaaNn時，時， .21,21,11

8、11 NNaaba取取區(qū)間套定理,212 令),(12NN 存在存在時，時，2Nn nNNaaa222211,22數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性ababba1122221,22222112211,.22NNaba baa 取取顯顯然然有有nnNaa b222,.并且當時并且當時. . . . . . .區(qū)間套定理11,.22kknNNkkaaa),(1 kkNN存在存在時，時，kNn ,21k 令. . . . . . .,kkab這這樣樣就就得得到到一一列列閉閉區(qū)區(qū)間間滿滿足足1111,.

9、22kkkkkkNNkkababaa 取取數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性11(i) ,kkkkabab 1, 2,;k 11(ii)0,2kkkba k; 區(qū)間套定理00,(,),kkab ,.kkab 由由區(qū)區(qū)間間套套定定理理 存存在在唯唯一一的的由定理由定理1的的+(iii)N ,.knkkknNaab 當當時時推論，推論， , 0 對于任意對于任意,0k存在存在使使03,knN 由性質(zhì)當時由性質(zhì)當時00,(,),nkkaab lim.nna . na所以所以這就證明了這就證明了數(shù)學分析

10、 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性定義2設(shè)設(shè) S 為數(shù)軸上的非空點集為數(shù)軸上的非空點集, 為直線上的為直線上的一個定點一個定點(當然可以屬于當然可以屬于 S, 也可以不屬于也可以不屬于S). 數(shù)數(shù) , ,在在 ( , + ) 中含有中含有S 的無限個點的無限個點, 10Sn 比比如如: : 是是的的一一個個聚聚點點; ;聚點定理與有限覆蓋定理則稱則稱 是是 S 的一個的一個聚點聚點.US( ; ), 無無限限集集即即11, 1( 1).nSn是是的的兩兩個個聚聚點點聚點定理與有限覆蓋定理 若對若對于任意

11、正于任意正數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性定義2”定義2為了便于應(yīng)用為了便于應(yīng)用,下面介紹兩個與定義下面介紹兩個與定義 2 等價的定義等價的定義.SRR,.0, 設(shè)若對于任意設(shè)若對于任意若存在各項互異的收斂數(shù)列若存在各項互異的收斂數(shù)列,Sxn .lim的的一一個個聚聚點點稱稱為為那那么么極極限限Sxnn 若設(shè)若設(shè) S 是是 0, 1中的無理數(shù)全體中的無理數(shù)全體, ( ; ),.USS 那么稱是的一個聚點那么稱是的一個聚點S (稱為稱為 S 的導(dǎo)集的導(dǎo)集) 為閉區(qū)間為閉區(qū)間 0, 1. 則則 S

12、 的聚點集合的聚點集合聚點定理與有限覆蓋定理 數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性定義定義2 定義定義2 由定義直接得到由定義直接得到.定義定義2 定義定義2那么那么;.下面簡單敘述一下這三個定義的等價性下面簡單敘述一下這三個定義的等價性. 因為因為, 0 , 0);( SU , 11 取取;)1 ;(1SUx 21min 1 2,x取取;);(22SUx ,1min1 nnxn取取;);(SUxnn 聚點定理與有限覆蓋定理 .,nnnxSx 這樣就得到一列由的取法兩兩這樣就得到一列由的取法兩兩互

13、異互異, ,并且并且,10nxnn lim.nnx 由此由此數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性定理7.2（聚點定理）定義定義2定義定義2 由極限的定義可知這是顯然的由極限的定義可知這是顯然的.實數(shù)軸上的任意有界實數(shù)軸上的任意有界無限點無限點集必有聚點集必有聚點.聚點定理與有限覆蓋定理 我們再次使用區(qū)間套定理來證明聚點定理我們再次使用區(qū)間套定理來證明聚點定理, 請務(wù)必請務(wù)必證證 因為因為S為有界點集為有界點集, 11,.SM MabM M 且記且記現(xiàn)將現(xiàn)將 a1, b1 等分為兩個子區(qū)間等分為兩個

14、子區(qū)間 a1, c1, c1,b1,要注意在區(qū)間套的構(gòu)成中所建立的性質(zhì)要注意在區(qū)間套的構(gòu)成中所建立的性質(zhì) (iii). .所以存在正數(shù)所以存在正數(shù) M, 使使.2111bac 其中其中1111, ,a cc b那那么么中中至至少少有有一一數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性個區(qū)間個區(qū)間含有含有 S 的無限多個點的無限多個點. 聚點定理與有限覆蓋定理 記該區(qū)間為記該區(qū)間為a2, b2.,2211baba 顯然有顯然有再將再將a2, b2等分為兩個子區(qū)間等分為兩個子區(qū)間. 區(qū)區(qū)間含有間含有 S 的無限

15、多個點的無限多個點, 將這個區(qū)間記為將這個區(qū)間記為a3, b3.)(212233abab 同樣至少有一個子同樣至少有一個子1122,a ba b顯顯然然又又有有33,a b)(211122abab .M .2M 無限重復(fù)這個過程無限重復(fù)這個過程, 就可得到一列閉區(qū)間就可得到一列閉區(qū)間,nnab滿足滿足數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性nnnMba1(ii)0;2 (iii) 每個閉區(qū)間每個閉區(qū)間an, bn 均含均含S 的無限多個點的無限多個點.nnnnababn11(i) ,1, 2,;,nn

16、ab 由區(qū)間套定理 存在惟一的由區(qū)間套定理 存在惟一的., 2, 1 n聚點定理與有限覆蓋定理 ,( ; ),NNabU 所以由所建立的性質(zhì)所以由所建立的性質(zhì)(iii)這就證明了這就證明了 是是 S 的一個聚點的一個聚點.的推論的推論：由定理由定理1, 對于任意的正數(shù)對于任意的正數(shù),N存在存在使使( ; ),NNUSabS .無限集無限集 數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性推論（致密性定理）證證 設(shè)設(shè)xn為有界數(shù)列為有界數(shù)列, 這些相等的項可成一個子列這些相等的項可成一個子列. 若數(shù)列若數(shù)列xn

17、 不含有無限多個相等的項不含有無限多個相等的項, 由聚點原理由聚點原理, 可設(shè)可設(shè) 是是xn 的一個的一個有界數(shù)列必有收斂子列有界數(shù)列必有收斂子列.收斂于收斂于 . .那么再由定義那么再由定義 2 , ,可知可知 xn 中有中有一個子列一個子列 若若xn 中有無限項相等中有無限項相等, 取取該子列顯然是收斂的該子列顯然是收斂的.則則xn作為作為點集是有界的點集是有界的.聚點聚點,聚點定理與有限覆蓋定理 定理定理7.2 有一個非常重要的推論有一個非常重要的推論( (致密性定理致密性定理).).該該定理在整個數(shù)學分析中定理在整個數(shù)學分析中, ,顯得十分活躍顯得十分活躍. .數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的

18、完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性00lim(), , ,().nnf xAxa bf xA那么存在使那么存在使, bxakn 又因又因由極限的不等式性質(zhì)由極限的不等式性質(zhì), 可得可得.0bxa 例例1( ) , , .nf xa bxa b 設(shè)設(shè)在在上上連連續(xù)續(xù)，如如果果證證 , ,nxa b因因.nx故有有界界 由致密性定理，由致密性定理，.knnxx存存在在一一個個收收斂斂子子列列.lim0 xxknk 設(shè)設(shè)聚點定理與有限覆蓋定理 連續(xù)，在點在點由于由于0)(xxf根據(jù)根據(jù)歸結(jié)原理結(jié)原理)(limknkxfA )

19、(lim0 xfxx ).(0 xf 數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性例例2 用致密性定理證明柯西收斂準則用致密性定理證明柯西收斂準則. 證證NNMaaaa121max|,|,| 1, 令令.knnaa由由致致密密性性定定理理, ,存存在在的的收收斂斂子子列列na設(shè)設(shè)是是一一個個柯柯西西列列，, 10 那么對于那么對于存在存在,NnN時時，, 10 Nnaa. 1 Nnaa故n那那么么對對一一切切 ，,Man .na所所以以是是有有界界數(shù)數(shù)列列聚點定理與有限覆蓋定理 .limAaknk 設(shè)設(shè)下

20、面證明下面證明 an 以以 A為極限為極限.數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性因為因為 an 是柯西列是柯西列, 1,N 1,|.nmn mNaa 當時，當時，lim,knkaA 又又因因為為lim.nnaA 所以所以|.knaA 所以對于任意正數(shù)所以對于任意正數(shù), 所所以以對對上上述述，存在存在K時，有時，有當當Kk ,max1KnNN 令時，時，當當Nn AaaaAaKKnnnn ,2 聚點定理與有限覆蓋定理 數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定

21、理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性定義3設(shè)設(shè) S 為數(shù)軸上的一個點集為數(shù)軸上的一個點集, ,H為一些開區(qū)間的集合為一些開區(qū)間的集合( ,).H 即即中中的的元元素素均均為為形形如如的的開開區(qū)區(qū)間間xSHx,( ,),( ,), 若對于任意都存在使若對于任意都存在使則稱則稱 H 是是 S 的一個開覆蓋的一個開覆蓋.若若 H是是 S 的一個開覆蓋的一個開覆蓋, 并且并且H 中的元素中的元素(開區(qū)開區(qū)間間) ) 僅有有限個僅有有限個, 11,1, 2, .(0,1)2Hnnn例例如如是是區(qū)區(qū)間間的的一個開覆蓋一個開覆蓋.聚點定理與有限覆蓋定理 則稱則稱 H 是是 S 的一個有限開覆

22、蓋的一個有限開覆蓋.數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性定理7.3(海涅博雷爾有限覆蓋定理)設(shè)設(shè) H是閉區(qū)間是閉區(qū)間 a, b 的一個開覆蓋的一個開覆蓋, 證證 證明該定理有多種證明該定理有多種海涅海涅( Heine,H.E. 1821-1881,德國德國 )博雷爾博雷爾( Borel,E.1871-1956, 法國法國 ) 出出有限個開區(qū)間有限個開區(qū)間, ,構(gòu)成閉區(qū)間構(gòu)成閉區(qū)間 a, b 的一個子覆蓋的一個子覆蓋. .要注意區(qū)間套的取法要注意區(qū)間套的取法.間套定理來證明間套定理來證明, 仍然仍然

23、方法方法. 這里還是運用區(qū)這里還是運用區(qū)聚點定理與有限覆蓋定理 則從則從 H 中可選中可選數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性也就是說也就是說 a, b不能不能被被 H 中任何中任何再將再將 a1, b1 等分成兩個子區(qū)間等分成兩個子區(qū)間, 將區(qū)間將區(qū)間a, b等分成兩個子等分成兩個子那么這兩個子區(qū)間中至少有一個不能被那么這兩個子區(qū)間中至少有一個不能被 H中任意有限個開區(qū)間所覆蓋中任意有限個開區(qū)間所覆蓋, 不能被不能被 H 中有限個開區(qū)間所覆蓋中有限個開區(qū)間所覆蓋. 顯然有顯然有若定理不成立若定理

24、不成立,有限個開區(qū)間所覆蓋有限個開區(qū)間所覆蓋.區(qū)間區(qū)間,a1 , b1. 設(shè)該區(qū)間為設(shè)該區(qū)間為11, , ,a ba b).(2111abab 并且并且其中至少有一個其中至少有一個聚點定理與有限覆蓋定理 同樣有同樣有a2 ,b2.設(shè)該區(qū)間為設(shè)該區(qū)間為2211,a ba b).(211122abab 并且并且數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性11(i) ,1, 2,;nnnnababn(iii) 對每一個閉區(qū)間對每一個閉區(qū)間 an, bn, 都不能被都不能被 H 中有限個中有限個滿足下列三個性質(zhì)滿

25、足下列三個性質(zhì):將上述過程無限進行下去將上述過程無限進行下去, 可得一列閉區(qū)間可得一列閉區(qū)間,nnab1(ii)()0,2nnnbaba;n 聚點定理與有限覆蓋定理 ,1, 2,.nnabn , 由由區(qū)區(qū)間間套套定定理理, ,存存在在惟惟一一的的使使開開區(qū)間所覆蓋區(qū)間所覆蓋.11,a b 因因 , ,Ha b覆覆蓋蓋了了,H 故故存存在在()(),. 使使()()0min, 取取1 . 7由定理由定理數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性這就是說這就是說, aN , bN 被被 H 中的一個開區(qū)間所

26、覆蓋中的一個開區(qū)間所覆蓋,矛矛盾盾. .聚點定理與有限覆蓋定理 的推論，的推論，存在存在N0,;NNabU 使使,. ()()1(1 )1 2 .1Hnn 比如開區(qū)間集，覆蓋了比如開區(qū)間集，覆蓋了區(qū)間區(qū)間 (0, 1). 注注 定理定理7.3中的閉區(qū)間不可以改為開區(qū)中的閉區(qū)間不可以改為開區(qū)間間. .能覆蓋能覆蓋 (0, 1).很明顯很明顯, H 中的任何有限個開區(qū)間均不中的任何有限個開區(qū)間均不數(shù)學分析 第七章 實數(shù)的完備性高等教育出版社1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理區(qū)間套定理聚點定理與有限覆蓋定理 實數(shù)完備性基本定理的等價性我們已經(jīng)學習了關(guān)于實數(shù)完備性的六個定理我們已經(jīng)學習了關(guān)于實數(shù)完備性的六個定理, 它它實數(shù)完備性定理的等價性確界定理確界定理下面證明