第九講 數(shù)據(jù)插值與擬合

1、第九講第九講 曲線擬合與插值曲線擬合與插值在工程實踐和科學實驗中，常常需要從一組實驗觀測數(shù)據(jù) niyxii, 1 , 0),(揭示自變量x與因變量y之間的關(guān)系， 一般可以用一個近似的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f（x）來表示 通?？梢圆捎脙煞N方法：曲線擬合和插值 擬合主要是考慮到觀測數(shù)據(jù)受隨機誤差的影響，尋求整體誤差最小、較好反映觀測數(shù)據(jù)的近似函數(shù)，并不保證所得到的函數(shù)一定滿足 )(iixfy 曲線擬合的目的是根據(jù)實驗獲得的數(shù)據(jù)去建立因變量與自變量之間有效的經(jīng)驗函數(shù)關(guān)系，為進一步的深入研究提供線索 插值函數(shù)一般是已知函數(shù)的線性組合或者稱為加權(quán)平均插值在工程實踐和科學實驗中有著非常廣泛而又十分重要的應用，例如，

2、信息技術(shù)中的圖像重建、圖像放大中為避免圖像的扭曲失真的插值補點、建筑工程的外觀設計?；瘜W工程實驗數(shù)據(jù)與模型的分析、天文觀測數(shù)據(jù)、地理信息數(shù)據(jù)的處理如(天氣預報）以及社會經(jīng)濟現(xiàn)象的統(tǒng)計分析等等插值則要求函數(shù)在每個觀測點處一定要滿足 )(iixfy 1、船在該海域會擱淺嗎船在該海域會擱淺嗎 在某海域測得一些點(x，y)處的水深z（單位：英尺）由下表給出，水深數(shù)據(jù)是在低潮時測得的船的吃水深度為5英尺，問在矩形區(qū)域(75,200)*(-50，150）里的哪些地方船要避免進人 一、實例及其模型分析分析由于測量點是散亂分布的，先在平面上作出測量點的分布圖，再利用二維插值方法補充一些點的水深，然后作出海底曲

3、面圖和等高線圖，并求出水深小于5的海域范圍在化學反應中，為研究某化合物的濃度隨時間的變化規(guī)律，測得一組數(shù)據(jù)如表2、濃度的變化規(guī)律、濃度的變化規(guī)律表中的數(shù)據(jù)反映了濃度隨時間變化的函數(shù)關(guān)系，它是一種離散關(guān)系若需要推斷20，40分鐘時的濃度值，能否用一個顯函數(shù)y=f(t)來擬合表中的離散數(shù)據(jù)，然后再計算濃度值f(20), f（40）?問題分析問題分析（1）首先將這些離散數(shù)據(jù)分布在直角坐標系下，由此可發(fā)現(xiàn)濃度與時間之間呈現(xiàn)什么規(guī)律這種數(shù)據(jù)分布在直角坐標系下的圖形被稱為散點圖；（2）根據(jù)散點圖，判段它接近于哪類函數(shù)曲線， 即確定函數(shù)形式（3）函數(shù)形式確定以后，關(guān)鍵是要確定函數(shù)中含有的 待定參數(shù)。 最常用

4、的確定待定系數(shù)的方法是，曲線擬合的最小二乘法 二、二、 插值與擬合插值與擬合1、插值方法、插值方法（1）分段線性插值）分段線性插值分段線性插值的提法如下： （2）分段三次埃爾米特插值分段三次埃爾米特插值 在插值問題中，如果除了插值節(jié)點的函數(shù)值給定外，還要求在節(jié)點的導數(shù)值為給定值，即插值問題變?yōu)橄喈斢谠诿恳恍《紊蠎獫M足四個條件（方程），可以確定四個待定參數(shù)三次多項式正好有四個系數(shù)，所以可以考慮用三次多項式函數(shù)作為插值函數(shù)，這就是分段三分段三次埃爾米特插值次埃爾米特插值，它與分段線性插值一起都稱為分段多項式插值 （3）三次樣條插值）三次樣條插值 2、曲線擬合的最小二乘法、曲線擬合的最小二乘法給定平

5、面上的點, 2 , 1),(niyxi進行曲線擬合有多種方法，最小二乘法是解決曲線擬合最常用的一種方法 最小二乘法的原理是求f(x),使 niiiniiyxf1212)(達到最小簡單地說，最小二乘法準則就是使所有散點到曲線的距離平方和最小 線性最小二乘法線性最小二乘法擬合函數(shù)可由一些簡單的“基函數(shù)”（例如冪函數(shù)，三角函數(shù)等等） )(,),(),(10 xxxn來線性表示)()()()(1100 xcxcxcxfmm現(xiàn)在要確定系數(shù) ,10mccc使達到極小為此 三、插值的matlab實現(xiàn)MATLAB中的插值函數(shù)為interp1，其調(diào)用格式為 ) ,( 1intmethodxiyxerpyi 其中

6、x，y為插值點，yi為在被插值點xi處的插值結(jié)果，x, y為向量。 注意：所有的插值方法都要求x是單調(diào)的，并且xi不能夠超過x的范圍。 linearsplinecubicnearestmethod) ,( 1intmethodxiyxerpyi MATLAB提供的插值方法有幾種 表示采用的插值方法：分段線性插值pchip：三次Hermite插值（立方插值）：三次分段樣條插值：最近點等值方式缺省時表示線性插值 例例1 在一 天24小時內(nèi)，從零點開始每間隔2小時測得的環(huán)境溫度數(shù)據(jù)分別為 12，9，9，1，0，18 ，24，28，27，25，20，18，15，13，推測中午（即13點）時的溫度x=0

7、：2：24；y=12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13；x113 ；y1interp1（x，y，x1，spline）若要得到一天24小時的溫度曲線 x=0：2：24；y=12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13xi0：13600：24；yi=interp1(x,y,xi,spline );plot(x, y, o, xi, yi)2、高維插值、高維插值 N維插值函數(shù)interpN（） 其中N可以為2，3，如N2為二維插值，調(diào)用格式為) ,(2intmethodyixizyxerpzi 其中 x，y，z為插值節(jié)點，zi為被插值點(

8、xi，yi)處的插值結(jié)果 且， xi， yi為被插值節(jié)點構(gòu)成的新的網(wǎng)格數(shù)據(jù)methods代表的意思和可選擇的插值方法和前面一樣注意：注意：所有的插值方法都要求x和y是單調(diào)的網(wǎng)格，x和 y可以是等距的也可以是不等距的 (1) 網(wǎng)格數(shù)據(jù)插值問題例例2 氣旋變化情況的可視化下表是氣象學家測量得到的氣象資料，它們分別表示在南半球地時按不同緯度。不同月份的平均氣旋數(shù)字根據(jù)這些數(shù)據(jù)，繪制出氣旋分布曲面圖形y=5:10:85;x=1:12;x,y=meshgrid(x,y);plot(x,y,*);pausez=2.4,1.6,2.4,3.2,1.0,0.5,0.4,0.2,0.5,0.8,2.4,3.6;

9、 18.7 21.4 16.2 9.2 2.8 1.7 1.4 2.4 5.8 9.2 10.3 16; 20.8 18.5 18.2 16.6 12.9 10.1 8.3 11.2 12.5 21.1 23.9 25.5; 22.1 20.1 20.5 25.1 29.2 32.6 33.0 31.0 28.6 32.0 28.1 25.6; 37.3 28.8 27.8 37.2 40.3 41.7 46.2 39.9 35.9 40.3 38.2 43.4; 48.2 36.6 35.5 40 37.6 35.4 35 34.7 35.7 39.5 40 41.9; 25.6 24.2

10、25.5 24.6 21.1 22.2 20.2 21.2 22.6 28.5 25.3 24.3; 5.3 5.3 5.4 4.9 4.9 7.1 5.3 7.3 7 8.6 6.3 6.6; 0.3,0,0,0.3,0,0,0.1,0.2,0.3,0,0.1,0.3;figuresurf(x,y,z)pausexi,yi=meshgrid(1:12,5:1:85);zi=interp2(x,y,z,xi,yi,spline );figuremesh(xi,yi,zi)xlabel(月份),ylabel(緯度),zlabel(氣旋),axis(0 12 0 90 0 50)title(南半球

11、氣旋可視化圖形)（2）、一般二維分布的數(shù)據(jù)插值）、一般二維分布的數(shù)據(jù)插值 在實際應用問題中，大部分的數(shù)據(jù)以實測的多組（xi,yi,zi）給出，所以不能直接使用interp2（）函數(shù)。 Matlab中提供了另一個函數(shù)griddata( )，用來專門解決這類問題。其調(diào)用格式如下Z=griddata(x,y,z,x0,y0,method)x,y,z是已知樣本點的坐標，可以是任意分布的。X0,y0是期望的插值位置，即被插值節(jié)點, 可以是單點，向量或者網(wǎng)格型矩陣插值方法，除了上面的 方法外，還有一個是4.0版本提供的一個插值方法，選項為v4四、曲線擬合的四、曲線擬合的matlab實現(xiàn)實現(xiàn)1、已知函數(shù)原型

12、的、已知函數(shù)原型的（1）多項式擬合）多項式擬合假設已知函數(shù)原型為 11nnnaxaxayMatlab提供的擬合函數(shù)為 a=polyfit(xdata,ydata,n)其中n表示多項式的最高階數(shù)，xdata，ydata為將要擬合的數(shù)據(jù)，它是用數(shù)組的方式輸入 輸出參數(shù)a為擬合多項式 的系數(shù),11nnaaaa 注：注：多項式在x處的值y可用下面程序計算 y=polyval(a,x)T=19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0;R=76.30 77.80 79.25 80.80 82.35 83.90 85.10;PR=polyfit(T,R,1);t=10:60;r=po

13、lyval(PR,t);plot(T,R,*,t,r)解：Matlab程序（2）一般函數(shù)線性組合的曲線擬合）一般函數(shù)線性組合的曲線擬合假設已知函數(shù)原型為 )()()()(1100 xcxcxcxfmm通過求解線性方程可得待定系數(shù)，一般方法：X= %已知數(shù)據(jù)x的列向量Y= %已知數(shù)據(jù)y的列向量A=f1(X),f2(X),fm(X) %系數(shù)矩陣，fm（）為基函數(shù)c=Ay解：matlab程序X=0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6Y=2 2.20254 2.40715 2.61592 2.83096 3.05448 3.28876A=ones(size(X),exp(X),exp(-X

14、);c1=AY;C=c1x=0:0.05:1;y=C(1)+C(2)*exp(x)+C(3)*exp(-x);plot(X,Y,*,x,y)（3）一般的曲線擬合）一般的曲線擬合假設已知函數(shù)原型是一般的函數(shù)，可以是多項式，可以是線性，也可以是非線性的，一般情況下用這個來求解非線性情況 Matlab在優(yōu)化工具箱中提供的求解一般的曲線擬合函數(shù)lsqcurvefit(),其調(diào)用格式如下其中Fun表示函數(shù)Fun(p,data)的M函數(shù)文件，p0表示函數(shù)的初值.。p=lsqcurvefit(Fun,p0,xdata,ydata)注：若要求解點x處的函數(shù)值可用程序f=Fun(p,x)計算 (1)函數(shù)原型m文

15、件function y=fname(a,t)y=a(1)*exp(-a(2)*t);注：注：因為后面可能要用到計算函數(shù)在一些點上的值，因此寫函數(shù)原型表達式時，記得用點運算點運算tk=0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8;Ik=3.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56;a=lsqcurvefit(fname,1,1,tk,Ik)x=0:0.05:1;y=fname(a,x);plot(tk,Ik,*,x,y)運行結(jié)果：a = 5.6361 2.8906(2)擬合程序2、函數(shù)原型未知、函數(shù)原型未知已知一組數(shù)據(jù)，用什么樣的曲線擬合最好呢？可以根據(jù)散點圖進行直觀判斷，在此基礎上，選擇幾種曲線分別擬合，然后觀察哪條曲線的最小二乘指標最小。圖(a)，數(shù)據(jù)接近于直線，故宜采用線性函數(shù)y=a+bx擬合； 解解：先將表中的數(shù)據(jù)用曲線表示X=1.1052 1.2214 1.3499 1.4918 1.6487 1.8221 2.0138 2.2255 2.4596 2.7183 3.6693;Y=0.6795 0.6006 0.5309 0.4693 0.4148 0.3666 0.3241 0.2865 0.2532 0.22