機器人的微分運動與速度

1、第八講第八講 機器人的雅可比矩陣機器人的雅可比矩陣與速度分析與速度分析（一）雅可比矩陣的定義（二）雅可比矩陣的構造法（三）逆雅可比矩陣（四）力雅可比（五）加速度關系例一：兩自由度平面機構)cos(cos12211llxB)sin(sin12211llyB)()cos(cos12122111llyB)()sin(sin12122111llxB211221221112212211)cos()cos(cos)sin()sin(sinllllllyxVVVBByxB雅可比矩陣雅可比矩陣J J寫成矩陣形式：末端速度向量末端速度向量關節(jié)速度向量關節(jié)速度向量例二、三自由度平面機械手由圖可知：)cos(5 .

2、 0)cos(4 . 0cos8 . 0123121Ax)sin(5 . 0)sin(4 . 0sin8 . 0123121Ay)()cos(5 . 0)()cos(4 . 0cos8 . 0123123121211Ay)()sin(5 . 0)()sin(4 . 0sin8 . 0123123121211Ax321321寫成矩陣形式：321321321111cos5 . 0cos4 . 0cos8 . 0sin5 . 0sin4 . 0sin8 . 0AAzyxAyxVVV雅可比矩陣雅可比矩陣J J手爪速度向量手爪速度向量關節(jié)速度向量關節(jié)速度向量結論 雅可比（Jacobian）矩陣反映了機械

3、臂末端速度和各關節(jié)速度之間的關系； 雅可比（Jacobian）矩陣不是一個常數矩陣，它與關節(jié)變量有關，機械臂工作時，各關節(jié)協(xié)調運動，關節(jié)變量是變化的，雅可比（Jacobian）矩陣也是變矩陣； 雅可比（Jacobian）矩陣的求法與求導有關； 雅可比（Jacobian）矩陣具有重要的研究意義；（一）雅可比矩陣的定義 把機器人關節(jié)速度向量 定義為： 式中， 為連桿 相對于 的角速度或線速度。 手爪在基坐標系中的廣義速度向量為： 與 之間的線性映射關系稱為 雅可比矩陣J，即：iq Tnqqqq21), 2 , 1 (nqii1iTzyxzyxvVq VnzyxqqqJzyx21（一）雅可比矩陣的定

4、義 在數學上，機器人終端手爪的廣義位姿向量 可寫成： 對左式求導，有：),(),(),(),(),(),(212121212121nznynxnnnqqqqqqqqqqqqzqqqyqqqxPV（一）雅可比矩陣的定義 在機器人學中，雅可比矩陣是一個把關節(jié)速度向量變換為手爪相對于基座標的廣義速度向量的變換矩陣。 在三維空間運行的機器人，J的行數恒為6；在二維平面運行的機器人， J的行數恒為3；列數則為機械手含有的關節(jié)數目。（一）雅可比矩陣的定義 對于平面運動的機器人來說，手的廣義位置向量 容易確定，且方位 與角運動的形成順序無關，可采用直接微分法求 ，非常方便。TyxJ（一）雅可比矩陣的定義 直

5、接微分法對于三維空間運行的機器人則不完全適用。從機器人運動學方程，可以獲得直角坐標位置向量 的顯式方程，但找不到方位向量 的一般表達式。不能用直接微分法求雅可比矩陣，應采用構造法。TzyxTzyx（二）雅可比矩陣的構造法 矢量積法和微分構造法： 對于有n個關節(jié)的機器人，其雅可比矩陣是6n矩陣，其前三行稱為位置雅可比矩陣，代表對手爪線速度 的傳遞比；后三行稱為方位矩陣，代表相應的關節(jié)速度 對手爪角速度 的傳遞比，因此將 分塊為： qqJV dqqJDJnaaainiiqqqJJJJJJV2122121Viq 矢量積法構造雅可比矩陣 對于移動關節(jié)0,0iiiizJqzwv ioniiiiionii

6、zpzJqzpzwv, nioionipRp i 對于轉動關節(jié)i微分變換法構造雅可比矩陣微分變換法構造雅可比矩陣微分變換的等價變換，是聯(lián)體坐標系下的微分變換與基微分變換的等價變換，是聯(lián)體坐標系下的微分變換與基坐標系下的微分變換之間的關系，也就是從在基坐標系坐標系下的微分變換之間的關系，也就是從在基坐標系下的微分運動到在聯(lián)體坐標系下的微分運動的轉換。下的微分運動到在聯(lián)體坐標系下的微分運動的轉換。由于微分變換的等價變換是針對機器人末端的相同位姿變化，由于微分變換的等價變換是針對機器人末端的相同位姿變化，所以：所以：根據矢量相乘的性質根據矢量相乘的性質: :因此，轉動關節(jié)的微分平移和微分旋轉矢量，可

7、表示為：因此，轉動關節(jié)的微分平移和微分旋轉矢量，可表示為：轉動關節(jié)的微分平移和微分旋轉矢量：轉動關節(jié)的微分平移和微分旋轉矢量：（三）逆雅可比矩陣及奇異性逆雅可比矩陣 若給定機器人手爪的廣義速度向量 ，由式 可解出相應的關節(jié)速度： 稱為逆雅可比矩陣， 為加給對應關節(jié)進給伺服系統(tǒng)的速度輸入變量。 當 不是方陣時， 是不存在的，可以用廣義逆雅可比矩陣來確定關節(jié)速度向量。 當 是方陣時，可對 直接求逆，得到 ，但比較困難。 通常直接對機器人的逆解進行微分來求 。 qqJV VqJq1V qJ1q qJ1 qJ1 qJ1JJJ（三）逆雅可比矩陣及奇異性例題：圖中所示二自由度機械手，手部沿固定坐標系X正向

8、以1.0m/s的速度移動，桿長均為0.5m。設在某瞬時130，260，求相應瞬時的關節(jié)速度。 （三）逆雅可比矩陣及奇異性 雅可比矩陣的奇異性由此可見，當雅可比矩陣的行列式為0時，既使手爪的速度為一個定值，關節(jié)速度也將趨于無窮大，最終結果會導致關節(jié)及該關節(jié)的驅動裝置損壞。 qJqJqJ*1 0qJ qJ1 VqJq1則則若若雅可比矩陣的奇異性 如前所述，雅可比矩陣不是一個常數矩陣，它的行列式值隨著機械手的運動在變化； 因此，當機械手運動到某個形位時，恰好使此時的雅可比行列式值為0，就會造成奇異，此時機械手的形位成為奇異形位； 機械手在工作時，應避開奇異形位附近，以免發(fā)生危險，這導致了機械手的工作

9、空間進一步縮小。奇異性的例子顯然，連桿的長度是不可能為顯然，連桿的長度是不可能為0 0的；因此，若的；因此，若 ，則則 。機構出現奇異。該機構的奇異形位就是兩連。機構出現奇異。該機構的奇異形位就是兩連桿完全伸展或完全折疊，即機構工作空間的邊界處。桿完全伸展或完全折疊，即機構工作空間的邊界處。（每個人都拿胳膊試試每個人都拿胳膊試試）)cos()cos(cos)sin()sin(sin1221221112212211llllllJ2211221221112212211sin)cos()cos(cos)sin()sin(sinllllllllJ0Jk2四、力雅可比 機器人在與外界環(huán)境相互作用時，在接觸處要產生力 和力矩 ，統(tǒng)稱為末端廣義力矢量，記做： 在靜止狀態(tài)下，廣義力矢量 應與各關節(jié)的驅動力或力矩平衡。 個關節(jié)的驅動力矩組成 維矢量： ，稱為關節(jié)力矢量。TnT21nfFFfnnn FqJT四、力雅可比例：2自由度機械手如圖所示。取10（rad），2/2（rad）的姿態(tài)時，分別求解