自適應(yīng)濾波算法原理及其應(yīng)用

1、自適應(yīng)濾波算法原理與應(yīng)用經(jīng)典的濾波算法包括,維納濾波,卡爾曼濾波,自適應(yīng)濾波.維納濾波與卡爾曼濾波能夠滿足一些工程問題的需求,得到較好的濾波效果.但是他們也存在局限性,對于維納濾波來說,需要得到足夠多的數(shù)據(jù)樣本時,才能獲得較為準(zhǔn)確的自相關(guān)函數(shù)估計值,一旦系統(tǒng)設(shè)計完畢,濾波器的長度就不能再改變,這難以滿足信號處理的實時性要求；對于卡爾曼濾波,需要提前對信號的噪聲功率進(jìn)行估計,參數(shù)估計的準(zhǔn)確性直接影響到濾波的效果.在實際的信號處理中,如果系統(tǒng)參數(shù)能夠隨著輸入信號的變化進(jìn)行自動調(diào)整,不需要提前估計信號與噪聲的參數(shù),實現(xiàn)對信號的自適應(yīng)濾波,這樣的系統(tǒng)就是自適應(yīng)濾波系統(tǒng).1.根本自適應(yīng)濾波算法自適應(yīng)濾波

2、算法的根本思想是根據(jù)輸入信號的特性自適應(yīng)調(diào)整濾波器的系數(shù),實現(xiàn)最優(yōu)濾波.M1y(n)=£w(m)x(n-m)(1)m-0e(n)=d(n)-y(n)(2)其中d(n)為期望信號,e(n)為誤差信號.M1My(n)=£w(m)x(nm)Tyj=Ewixj(3)mzSi=1令W=Ws,Wi,L,Wm4T,Xj=Xij,X2j,L,XNjT(4)那么濾波器的輸出可以寫成矩陣形式：yj二X：W=WTXj(5)ej=dj-yj=dj-X：W=dj-WTXj(6)定義代價函數(shù):_2_2J(j)=Eej=E(dj")一T2=E(dj-WXj)當(dāng)使上式中的代價函數(shù)取到最小值時,認(rèn)

3、為實現(xiàn)最優(yōu)濾波,這樣的自適應(yīng)濾波成為最小均方自適應(yīng)濾波(LMS).對于最小均方自適應(yīng)濾波,需要確定使得均方誤差最小的濾波器系數(shù),一般使用梯度下降法求解這類問題.濾波器系數(shù)向量的迭代公式為：(8)式中,N為步長因子,Vjj為代價函數(shù)的梯度.(9)由于瞬時梯度2Xjej為真實梯度值的無偏估計,實際應(yīng)用中可使用瞬時梯度代替真實梯度,即有:(10)(11)"J-2Xj(dj-WTXj)=-2Xj0Wj1=WjJejXj通過逐步迭代,即可得到最優(yōu)的濾波器系數(shù),實現(xiàn)對輸入信號的自適應(yīng)濾波2,自適應(yīng)濾波的工程應(yīng)用為了比擬不同濾波算法的濾波效果,這里仍然采用前面用到的二維圓周運動軌跡追蹤的問題作為工

4、程背景.自適應(yīng)濾波算法的程序設(shè)計思路如圖2所示.圖2自適應(yīng)濾波算法流程圖迭代步長N=0.2時,得到的濾波結(jié)果為：圖3X方向自適應(yīng)濾波結(jié)果-根本自適應(yīng)濾波0=0.2圖4Y方向自適應(yīng)濾波結(jié)果-根本自適應(yīng)濾波卜=0.2從X與Y方向上的位移變化曲線與方差變化曲線上可以看出,濾波結(jié)果出現(xiàn)了發(fā)現(xiàn),最終得到的結(jié)果并沒有到達(dá)最優(yōu)解.分析其原因,可能是迭代步長太大,將迭代步長減小之后,取N=0.1,得到較為理想的濾波結(jié)果,示于圖5和6.圖5X方向自適應(yīng)濾波結(jié)果-根本自適應(yīng)濾波卜=0.1圖6Y方向自適應(yīng)濾波結(jié)果-根本自適應(yīng)濾波R=0.1可以看出,減小步長因子之后,兩個方向上的濾波軌跡與期望的軌跡之間的誤差明顯減小

5、,證實了自適應(yīng)濾波的有效性.3.自適應(yīng)濾波的收斂性分析在上一節(jié)的討論中,迭代步長選擇對于算法的收斂性具有決定性作用,步長值的微小改變即可對算法的收斂效果產(chǎn)生明顯影響,因此如何確定適宜的步長值是自適應(yīng)濾波算法中重要的內(nèi)容.22Eej=E(dj-yj)22TTT=Edj-2E(djXjW+WEXjXjW(12)2TT=Ed2-2RTxWWTRxxWVj=2RxxW-2RdX(13)系統(tǒng)的最小均方誤差最小時,有：j=0那么下式成立：W.m=Rx：Rdx(14)對于濾波器系數(shù)的迭代過程,有：EWj1=EWj/EejXj=EWjE(dj-WTXj)Xj=EWj舊(由應(yīng)叫)(15)=(I-Rxx)EWjR

6、xxW對自相關(guān)矩陣進(jìn)行分解,即：Rx-QhAQ(16)那么相鄰兩次迭代過程的濾波器系數(shù)之間滿足關(guān)系式：_H._H(17)QEWj1一川吶=(1-k)QEWj-Wopt=(|一)jQHEW0WoptEWj4=Wopt+Q(IM)jQH(W.雙總(18)當(dāng)?shù)螖?shù)為無窮大時,理論上可以實現(xiàn)最優(yōu)濾波,即迭代步長應(yīng)該滿足：I口4=0|1叫|<1i=1,2,L,N(19)從而有：01/'max(20)式20即為保證算法收斂迭代步長應(yīng)滿足的條件.得到步長的收斂性條件,即可在滿足要求的范圍內(nèi)調(diào)整步長因子,選擇最正確的步長,在保證算法收斂的前提下,提升收斂速度.對于二維軌跡追蹤問題,取步長因子為

7、0=0.6%ax,得到的濾波結(jié)果如圖7至9所示.圖7X方向自適應(yīng)濾波結(jié)果-根本自適應(yīng)濾波0=0.6Nmax圖8Y方向自適應(yīng)濾波結(jié)果-根本自適應(yīng)濾波0=0.6NmaxLJUS自通立足波圖閨運動心逋口蹤圖9二維圓周運動軌跡濾波結(jié)果-根本自適應(yīng)濾波N=0.6Nmax從X方向,Y方向上的濾波結(jié)果可以看出,濾波軌跡在起初的一段時間內(nèi)與期望軌跡存在較大的誤差,但隨著迭代次數(shù)增加,兩者的誤差逐漸減小,最終得到誤差的最小值.二維軌跡圖上也能得到類似的結(jié)論.4.變步長自適應(yīng)濾波在滿足收斂性條件的要求下選擇迭代步長,可以保證最終得到收斂的結(jié)果,但是這一步長在整個過程中是固定的.然而,更為理想的情況是在濾波的初始階

8、段,誤差值很大時,迭代步長可以取較大的值,以取得較快的收斂速度,隨著誤差減小,逐漸接近最優(yōu)目標(biāo)時,迭代步長也相應(yīng)減小,從而得到較好的收斂精度,這就是變步長自適應(yīng)濾波算法.變步長的自適應(yīng)濾波算法已經(jīng)有了較長時間的開展,前人開展了很多有效的變步長算法,這里僅選擇兩種常用的方法.(1)歸一化變步長自適應(yīng)濾波算法j一：X：XjWji=Wj:"1-j6jXj其中a,p為常數(shù),且滿足0<2,p>00歸一化的變步長濾波算法使用輸入信號的能量對步長因子進(jìn)行歸一化,保證其取到適宜的值.(2)Sigmod函數(shù)變步長自適應(yīng)濾波算法：(1-e-ej)其中a,P為常數(shù),且滿足口>0,0MP&

9、lt;Nmax.Sigmod函數(shù)使用濾波器的輸出誤差對迭代步長進(jìn)行限制,從表達(dá)式中可以看出,誤差較大時,步長因子的值較大,誤差減小時,步長因子的值也會相應(yīng)減小.圖10變步長自適應(yīng)濾波算法程序設(shè)計流程圖采用變步長的自適應(yīng)濾波算法對二維圓周運動的軌跡進(jìn)行追蹤,濾波結(jié)果示于圖11至13.其中參數(shù)口=1.2,P=2.圖11X方向自適應(yīng)濾波結(jié)果-變步長自適應(yīng)濾波圖12Y方向自適應(yīng)濾波結(jié)果-變步長自適應(yīng)濾波圖13二維圓周運動軌跡濾波結(jié)果-變步長自適應(yīng)濾波從X方向與Y方向上的濾波曲線可以看出,變步長的自適應(yīng)濾波輸出結(jié)果與期望信號之間的誤差更小,固定步長時起始階段的大幅度波動也消失了,對運動軌跡的追蹤效果也更

10、好.5 .解相關(guān)自適應(yīng)濾波當(dāng)輸入信號之間具有較強的相關(guān)性時,自適應(yīng)濾波的效果并不理想,因此改良自適應(yīng)濾波算法的一個方法就是消除相鄰輸入信號序列的相關(guān)性,稱為解相關(guān)自適應(yīng)濾波.解相關(guān)自適應(yīng)濾波算法的實現(xiàn)過程為：rXXj_iZj二Xj_rXj口jZ：XjWj.1=Wj'Zj該算法通過求解相鄰兩個輸入信號序列的相關(guān)系數(shù),在當(dāng)前輸入信號中減去與上一輸入信號的相關(guān)局部,作為當(dāng)前的輸入信號,實現(xiàn)解相關(guān)的自適應(yīng)濾波.圖14給出了解相關(guān)自適應(yīng)濾波算法的程序設(shè)計流程.15至17圖14解相關(guān)自適應(yīng)濾波算法流程圖將該算法應(yīng)用于二維圓周運動的軌跡追蹤問題,所得結(jié)果示于圖$方向尼號去盤邊果比照圖16Y方向自適應(yīng)

11、濾波結(jié)果-解相關(guān)自適應(yīng)濾波與白送信賽就三)用憶力地定泊加圖17二維圓周運動軌跡濾波結(jié)果-解相關(guān)自適應(yīng)濾波圖15,16,17顯示了應(yīng)用解相關(guān)自適應(yīng)濾波算法對二維圓周運動軌跡進(jìn)行濾波后的結(jié)果.X與Y方向上的信號均與期望信號符合的很好,并且最小均方誤差的變化曲線也呈現(xiàn)較快的收斂趨勢.在二維軌跡圖上,濾波軌跡的波動性大大降低,僅在初始階段存在稍微的波動,但總體上取得了理想的濾波結(jié)果,能夠滿足實際應(yīng)用的需求.6 .變換域自適應(yīng)濾波從解相關(guān)自適應(yīng)濾波算法結(jié)果看出,如果能夠消除輸入信號的相關(guān)性,自適應(yīng)濾波的效果將得到極大的改良,在此根底上,有開展出了變換域的自適應(yīng)濾波算法.其根本思想是使用一組正交基,將時域

12、信號變換到對應(yīng)的變換域上,那么在變換域上,信號的相關(guān)性就會降低,對信號進(jìn)行歸一化后,自相關(guān)矩陣特征值的分散度就會降價,從而提升算法的收斂性.根本的變換包括頻率域變換,余弦變換,小波變換,分?jǐn)?shù)階Fourier變換.(1)基于頻域的自適應(yīng)濾波將輸入信號和期望信號分別形成N點數(shù)據(jù)塊,然后做N點離散Fourier變換,權(quán)系數(shù)每N個樣點更新一次.對信號進(jìn)行變換與反變換時,可以利用快速Fourier正變換與逆變換算法,能夠有效提升運算速度.(2)基于余弦變換域的自適應(yīng)濾波算法余弦變換能夠較好地近似理想正交變換,基于余弦變換域的LMS自適應(yīng)濾波算法不僅減小了輸入信號的自相關(guān)程度,明顯提升了收斂速度,減小了權(quán)

13、失調(diào)噪聲,而且該算法的計算量也大大減小.(3)基于小波變換域的自適應(yīng)濾波算法對自適應(yīng)濾波器的輸入信號進(jìn)行正交變換,利用小波的時頻局部特性,將輸入向量正交分解到多尺度空間.減小了自適應(yīng)濾波器輸入向量自相關(guān)陣的譜動態(tài)范圍,大大增加了算法的收斂步長,提升了收斂速度和穩(wěn)定性.(4)基于分?jǐn)?shù)階Fourier域的自適應(yīng)濾波算法分?jǐn)?shù)階Fourier變換是一種時頻分析工具和旋轉(zhuǎn)算子,信號在分?jǐn)?shù)Fourier域上的表示同時融合了信號在時域和頻域的信息.基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換域的自適應(yīng)濾波利用前一時刻已獲得的濾波器參數(shù)等結(jié)果,自動調(diào)節(jié)現(xiàn)時刻的濾波器參數(shù),以適應(yīng)信號和噪聲未知的或隨時間變化的統(tǒng)計特性,從而實現(xiàn)最優(yōu)濾波

14、.圖18變換域自適應(yīng)濾波算法流程圖參考文獻(xiàn)1李方偉,張浩.一種新的變步長LMS自適應(yīng)濾波算法及其仿真J.重慶郵電大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2021,(05):591-594.2齊林,周麗曉.變換域自適應(yīng)濾波算法的研究J.鄭州大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版),2007,(01):61-66.3馮存前,張永順.變步長頻域快速自適應(yīng)收發(fā)隔離算法研究J.電子對抗技術(shù),2004,(05):22-25+45.4DehertyJ,PorayathR.Arobustechocancelerforacousticenvironments.IEEETrans.CircuitsandSystems,II,1997,44:389-3

15、98.5張賢達(dá).現(xiàn)代信號處理(第三版).北京希華大學(xué)出版社,2021.6高西全,丁玉美.數(shù)字信號處理-時域離散隨機信號處理.西安:西安電子科技大學(xué)出版社,2002.代碼：自適應(yīng)濾波算法：%該程序?qū)崿F(xiàn)對二維圓周運動軌跡的自適應(yīng)濾波%該程序為主函數(shù),調(diào)用不同的子函數(shù)實現(xiàn)不同的濾波方法%子函數(shù)1:fun_fplms_filter2-固定步長自適應(yīng)濾波%子函數(shù)2：fun_cplms_filter2-變步長自適應(yīng)濾波%子函數(shù)3:fun_lms_filter_der2-解相關(guān)自適應(yīng)濾波clearcloseallN=2000;theta=linspace(0,2*pi,N);%坐標(biāo)參數(shù)e_x=cos(the

16、ta);%x,y方向上的期望信號e_y=sin(theta);no_x=normrnd(0,sqrt(0.08),1,N);%高斯白噪聲no_y=normrnd(0,sqrt(0.12),1,N);m_x=e_x+no_x;%觀測信號m_y=e_y+no_y;%fixedstep%Err_x,f_x=fun_fplms_filter2(e_x,m_x,N,10);%Err_y,f_y=fun_fplms_filter2(e_y,m_y,N,10);%changedstep%Err_x,f_x=fun_cplms_filter2(e_x,m_x,N,10);%Err_y,f_y=fun_cplm

17、s_filter2(e_y,m_y,N,10);%decorrelationErr_x,f_x=fun_lms_filter_der2(e_x,m_x,N,10);Err_y,f_y=fun_lms_filter_der2(e_y,m_y,N,10);figureplot(e_x,e_y,'k','linewidth',2)holdonplot(m_x,m_y,'b')holdonplot(f_x,f_y,'r-')title('LMS自適應(yīng)濾波圓周運動軌跡追蹤')legend('期望軌跡',

18、9;觀測軌跡','濾波軌跡')figuresubplot(211)plot(e_x,'k')holdonplot(m_x,'b')holdonplot(f_x,'r')title('x方向上信號濾波效果比照')legend('期望信號','觀測信號','濾波信號',4)subplot(212)plot(Err_x,'k')title('x方向上濾波方差變化曲線')figuresubplot(211)plot(e_y,'k

19、')holdonplot(m_y,'b')holdonplot(f_y,'r')title('y方向上信號濾波效果比照')legend('期望信號','觀測信號','濾波信號',4)subplot(212)plot(Err_y,'k')title('y方向上濾波方差變化曲線')functionSE,x_f=fun_fplms_filter2(x0,xm,n,m)%thisfunctionconductstheadaptivefilteringwithfixed

20、steplengthx_e=x0;x_m0=xm;N=n;M=m;x_f=x_m0;%orderoffilterandinitialweightvaluesw=zeros(1,M);SE=zeros(1,N);%fundmentalLMSadptivefilterModernSPZxdP183rxx=xcorr(x_m0)/N;Rxx=toeplitz(rxx(N:end);mui_max=1/max(eig(Rxx);%trace(Rxx)%mui_max=1/trace(Rxx);%convergenceconditionmui=0.6*mui_max;%initialsteplength

21、%normalizedLMSModernSPZxdP183%alpha=0.8;beta=2;%theiterativefilterx_m=zeros(1,M)x_m0;fori=1:Nu_in=x_m(M+i:-1:i+1);u_out=sum(u_in.*w);err=x_e(i)-u_out;%mui=alpha/(beta+sum(u_in.A2);%mui=0.06;w=w+mui*u_in*err;x_f(i)=u_out;se=x_e-x_f;SE(i)=sum(se.A2)/N;endfunctionSE,x_f=fun_cplms_filter2(x0,xm,n,m)%thi

22、sfunctionconductstheadaptivefilteringwithvaringlengthx_e=x0;%parameterinfunctionmodex_m0=xm;N=n;M=m;x_f=x_m0;%orderoffilterandinitialweightvaluesw=zeros(1,M);SE=zeros(1,N);%fundmentalLMSadptivefilterModernSPZxdP183%rxx=xcorr(x_m0)/N;%Rxx=toeplitz(rxx(N:end);%mui_max=1/max(eig(Rxx);%trace(Rxx)%mui_ma

23、x=1/trace(Rxx);%convergencecondition%mui=0.6*mui_max;%initialsteplength%normallizedLMSModernSPZxdP183%alpha=0.8;beta=2;alpha=-6.6;beta=0.18;a=2;%Sigmoidfucntion%theiterativefilterx_m=zeros(1,M)x_m0;fori=1:Nu_in=x_m(M+i:-1:i+1);u_out=sum(u_in.*w);err=x_e(i)-u_out;mui=beta*(1-exp(alpha*errAa);%mui=alp

24、ha/(beta+sum(u_in.A2);w=w+mui*u_in*err;x_f(i)=u_out;se=x_e-x_f;SE(i)=sum(se.A2)/N;end%x_f(M:M+3)=x_m(M:M+3);%toimprovetheinitialstepsoffilter%Err=x_f-x_e;%Re=Err./x_e;%find(abs(Re)=max(abs(Re)%plotthefilteroutputsfigureplot(x_e,'k')holdonplot(x_m0,'b')holdonplot(x_f,'r')%legend('expected,measured,filtered,)legend('期望信號,觀測信號,濾波信號)%figure%plot(SE,k)%title(,自適應(yīng)濾波方差變化曲線,)functionSE,x_f=fun_lms_f