定積分在幾何中的簡單應用教學設計

1、定積分在幾何中的簡單應用教學設計設計教師：祁磊教學年級：高二年級課題名稱：定積分在幾何中的簡單應用教材版本：人教版高中數學選修2-2授課時間：40分鐘一教學構思應用型的課題是培養(yǎng)學生觀察、分析、發(fā)現、概括、推理和探索能力的極好素材。本節(jié)課通過創(chuàng)設情景、熱身訓練、問題探究、抽象歸納，鞏固練習、應用提升等探究性活動，培養(yǎng)學生的數學創(chuàng)新精神和實踐能力，使學生們掌握定積分解題的規(guī)律，體會數學學科研究的基本過程與方法。二教學理念以學生發(fā)展為本。新型的師生關系；新型的教學目標；新型的教學方式；新型的呈現方式。三教材分析定積分的應用是在學生學習了定積分的概念、定積分的計算、定積分的幾何意義之后，對定積分知識

2、的總結和升華，通過用定積分解決一些簡單的面積問題，初步感受定積分在解決數學問題與實際問題中的作用，體會導數與定積分之間的內在了解。 四教學目標【知識與技能目標】 通過本節(jié)課的探究，學生能夠應用定積分解決不太規(guī)則的平面圖形的面積，能夠初步掌握應用定積分解決實際問題的基本思想和方法?！具^程與方法目標】探究過程中通過數形結合的思想，加深對知識的理解，同時體會到數學研究的基本思路和方法?！厩楦小B(tài)度與價值觀目標】探究式的學習方法能夠激發(fā)學生的求知欲，培養(yǎng)學生對學習的濃厚興趣；探究式的學習過程能夠培養(yǎng)學生嚴謹的科學思維習慣和方法，培養(yǎng)學生勇于探索和實踐的精神；探究過程中對學生進行數學美育的滲透，用哲學的

3、觀點指導學生自主探究。五教學重點難點【教學重點】應用定積分解決平面圖形的面積，使學生在解決問題的過程中體會定積分的價值?！窘虒W難點】如何恰當選擇積分變量和確定被積函數。六教學方法教學方法是“問題誘導啟發(fā)討論探索結果”、“直觀觀察抽象歸納總結規(guī)律”的一種研究性教與學的方法，過程中注重“誘、思、探、練”的結合，從而引導學生轉變學習方式。采用激發(fā)興趣、主動參與、積極體驗、自主探究地學習，形成師生互動的教學氛圍。 六教學過程教學過程教學過程教學過程教學過程教學過程教學過程教學過程師生活動設計意圖（一） 課前準備：復習定積分的概念、定積分的計算、定積分的幾何意義.（二） 情景引入： 展示精美的大橋油畫，

4、講述古代數學家的故事及偉大發(fā)現：拱形的面積【課件展示】課題：定積分在幾何中的簡單應用 油畫圖片問：橋拱的面積如何求解呢？答：【學生活動】本環(huán)節(jié)安排學生討論，自主發(fā)現解決問題方向定積分跟面積的關系，（三） 新課講授：【熱身訓練】練習計算 計算 【學生活動】思考口答【課件展示】定積分表示的幾何圖形、練習答案. 0yx xyNMOabABCD【熱身訓練】練習用定積分表示陰影部分面積xyNMOabABCD 圖1 圖2【學生活動】回憶并口答圖1的答案；引導學生由X為積分變量的定積分類型來發(fā)現以Y為積分變量的另一種定積分類型?！镜贸鼋Y論】定積分表示曲邊梯形面積的兩種類型. 【板書】配合學生探究的進展書寫推

5、理的過程.【課件展示】圖1 選擇X為積分變量，曲邊梯形面積為圖2 選擇Y為積分變量，曲邊梯形面積為【問題探究】【課件展示】探究由曲線所圍平面圖形的面積解答思路abXA0y【學生活動】思考、探究、討論【展示結論】A2ab曲邊梯形（三條直邊，一條曲邊）abXA0y曲邊形面積 A=A1-A2ab1【教師簡單點評】探索到的結論一定可行嗎？這就需要通過實踐來檢驗?！纠}實踐】例計算由曲線與所圍圖形的面積【師生活動】探究解法的過程.1. 找到圖形-畫圖得到曲邊形.2. 曲邊形面積解法-轉化為曲邊梯形，做出輔助線.3. 定積分表示曲邊梯形面積-確定積分區(qū)間、被積函數.4. 計算定積分.【板書】根據師生探究的

6、思路板書重要分析過程.【課件展示】解答過程xyOABCD11-1-1解：作出草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積.解方程組得到交點橫坐標為及 曲邊梯形OABC 曲邊梯形OABD【例題實踐】例計算由與所圍圖形的面積.【師生活動】討論探究解法的過程1找到圖形-畫圖得到曲邊形.2曲邊形面積解法-轉化為曲邊梯形，做出輔助線.3定積分表示曲邊梯形面積-確定積分區(qū)間、被積函數.問題：表示不出定積分.探討：X為積分變量表示不到，那換成Y為積分變量呢？4計算定積分.【板書】根據師生探究的思路板書重要分析過程.【課件展示】解答過程解：作出草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積解方程組得到交點坐標為(2,-2)及(8,

7、4)選為積分變量【抽象歸納】解由曲線所圍的平面圖形面積的解題步驟【學生活動】學生根據例題探究的過程來歸納【教師簡單點評】幫助學生修改、提煉，強調注意注意選擇y型積分變量時，要把函數變形成用y表示x的函數 .【課件展示】解由曲線所圍的平面圖形面積的解題步驟：1畫草圖，求出曲線的交點坐標2將曲邊形面積轉化為曲邊梯形面積3根據圖形特點選擇適當的積分變量（注意選擇y型積分變量時，要把函數變形成用y表示x的函數）4確定被積函數和積分區(qū)間5計算定積分，求出面積.【鞏固練習】練習計算由曲線與及軸所圍平面圖形的面積【學生活動】學生分組合作完成x4yO8422S1S2【成果展示】邀請同學們把自己的成果展示給大家

8、，發(fā)現這道題目有多種解答方法，過程中解決學生在解題過程中暴露出來的各種問題。4xyO8422S2S1S1S222248Ox4yA: B: C: 【師生活動】此題為一題多解，解體的大方向分為選X做積分變量和選Y做積分變量.問：遇到一題多解時，你會想到什么？答：找最簡單的解法.問：以次題為例，如何尋找最簡解法？答：我們熟悉X做積分變量的類型；做輔助線時，盡量將曲邊形轉化成我們熟悉的平面圖形，如三角形、矩形、梯形和曲邊梯形組合的圖形.【鞏固練習】練習計算由曲線與及、所圍平面圖形的面積【學生活動】學生獨立思考【成果展示】邀請一位同學把自己的成果展示給大家xyO1S1S2 【師生活動】解答思路清晰，表達

9、正確問：此題還有其他解法嗎？答： 所以只算一個S，取2倍就可以了.【教師點評】做的漂亮，解題時要注意發(fā)現題目的特征，了解我們以前的知識將問題化簡后再解答，提高效率.【應用提升】hb如圖，一橋拱的形狀為拋物線，已知該拋物線拱的高為常數h，寬為常數b求證：拋物線拱的面積【師生活動】探究解題方法1.建立平面直角坐標系 確定拋物線方程2.求由曲線圍成的平面圖形面積的解題步驟xhby0問：如何建立平面直角坐標系會使得拋物線方程的求解簡單答：以拋物線的頂點為坐標原點建立坐標系.【學生活動】學生獨立求解拋物線方程.【成果展示】投影學生練習如圖建立平面直角坐標系，可設拋物線方程為 ，代拋物線上一點入方程，則有

10、 解得 ，所以拋物線方程為 .【教師點評】在投影中與全班同學一起點評學生的練習.【師生活動】探究、并在投影中完成該題問：所求圖形有什么特點？答：左右對稱；可以解答一半取2倍.【成果展示】在黑板上與學生共同完成設一半的面積為S，則有 （四）互動小結問：本節(jié)課我們做了什么探究活動呢？答：用定積分解曲邊形面積。問：如何用定積分解決曲邊形面積問題呢？答：1.畫草圖，求出曲線的交點坐標2.將曲邊形面積轉化為曲邊梯形面積3.根據圖形特點選擇適當的積分變量（注意選擇y型積分變量時，要把函數變形成用y表示x的函數）4.確定被積函數和積分區(qū)間5.計算定積分，求出面積問：解答曲線所圍的平面圖形面積時須注意什么問題

11、？答：選擇最優(yōu)化的積分變量；根據圖形特點選擇最優(yōu)化的解題方法.問：體會到什么樣的數學研究思路及方法呢？答：從問題出發(fā)，了解相關知識，探究出解決問題的思路，通過實踐的檢驗得到一般方法，通過練習鞏固，通過應用提升。（五）作業(yè) 課本67組168組3創(chuàng)新訓練No.13培養(yǎng)學生復習的學習習慣。激發(fā)學生們的求知欲和探索欲，設下懸念，以激發(fā)學生的探索激情，為后面作開啟性的鋪墊。復習定積分的幾何意義培養(yǎng)學生用發(fā)展、了解的哲學思想解決問題培養(yǎng)學生樂于嘗試、敢于創(chuàng)新的精神。通過探究，發(fā)現并掌握數學學科研究的基本過程與方法鞏固了學生的作圖能力，在尋找曲邊梯形的過程中提高了學生的想象能力。完成了一般理論和具體問題的有機結合，初步達到了識記的目標，突顯了教學重點。使學生懂得如何靈活選擇積分變量，確定被積函數，通過該題突破教學難點。探索到的結果通過實踐，學生都得到了一些解題心得，及時指導學生進行抽象歸納，便是探究的階段小結，得到解題的一般方法。趁學生們還沉浸在成功的喜悅之中，探索欲望高漲的時候，適時給學生擴大成就感的機會。所以準備了鞏固練習，目的在于鞏固解題方法、由一題多解鍛煉學生的發(fā)散思維體現了對稱的思想和分類思想，培養(yǎng)學生的觀察能力和分析思考問題的嚴密性，在此過程中進行了數學美育的滲透。把本節(jié)課的探究活動推向高潮，解決了前面設