第3章 離散傅里葉變換

1、第第3章章 離散傅立葉變換及其應(yīng)用離散傅立葉變換及其應(yīng)用3.1引言 第2章講到周期序列的傅里葉級數(shù)展開（DFS），它揭示了離散的周期序列的頻譜也是離散，但由于它們是周期序列，無始無終，還是不能直接使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。如果把有限長序列（假設(shè)N點(diǎn)）進(jìn)行周期延拓。那么就可以借用DFS進(jìn)行計(jì)算，并將最后結(jié)果截取其一個周期；基于這樣的思想提出了離散傅里葉變換（DFT）。并于1965年由庫利（Cooley）和圖基（Tukey）提出高效率計(jì)算DFT的快速方法，使得DFT的各種應(yīng)用突飛猛進(jìn)，尤其是在卷積計(jì)算、調(diào)制、解調(diào)、離散余弦變換等數(shù)字信號處理算法中。 3.2 離散傅立葉變換 3.2.1 DFT定義假定一個

2、周期序列 ，它是由長為N點(diǎn)的有限長序列x(n) 經(jīng)周期延拓而成，即( ) 01( )=,0 x nnNx n%其他( )=()rx nx nrN%周期序列的主值區(qū)間主值區(qū)間與主值序列主值序列： 對于周期序列 ，定義：第一個周期 n=0N-1，為 的“主值區(qū)間主值區(qū)間”主值區(qū)間上的序列為主值序列為主值序列 x(n)。x(n)與 的關(guān)系可描述為：)(nx)(nx)(nx)()()()(主值序列的是的周期延拓是nxnxnxnx)()()()()()()(nRnxnRnxnxnxnxNNNN RN（n）為矩形序列。符號(n)N 是余數(shù)運(yùn)算表達(dá)式余數(shù)運(yùn)算表達(dá)式，表示 n 對 N 求余數(shù)。例： 是周期為

3、N=8 的序列，求 n=11 和 n=-2 對 N的余數(shù)。)(nx6)2(68) 1(23)11(3811188nn)6()2(),3()11(xxxx頻域上的主值區(qū)間與主值序列： 周期序列 的離散傅里葉級數(shù) 也是一個周期序列，也可給它定義一個主值區(qū)間 ，以及主值序列 X(k)。)(nx)(kX10NkNNkXkXkRkXkX)()()()()(10)()()(10NkWnxnxDFSkXNnkn10)(1)()(10NnWkXNkXIDFSnxNnkn再看周期序列的離散傅里葉級數(shù)變換（DFS）公式： 這兩個公式的求和都只限于主值區(qū)間（0N-1），它們完全適用于主值序列 x(n) 與 X(k)

4、 ，因而我們可得到一個新的定義有限長序列離散傅里葉變換有限長序列離散傅里葉變換定義。 長度為N的有限長序列 x(n) ，其離散傅里葉變換 X(k) 仍是一個長度為N 的有限長序列，它們的關(guān)系為：10)(1)()(10)()()(1010NnWkXNkXIDFTnxNkWnxnxDFTkXNkknNNnknN x(n) 與 X(k) 是一個有限長序列離散傅里葉變換對，已知 x(n) 就能唯一地確定 X(k) ，同樣已知 X(k) 也就唯一地確定 x(n) 。 x(n) 與 X(k) 都是長度為 N 的序列（復(fù)序列）都有N個獨(dú)立值，因而具有等量的信息。 可以看出，k=0，1，2，N-1，相當(dāng)于頻率

5、從直流DC到(N-1)fs的N個頻率等分點(diǎn)。這些頻率點(diǎn)上的余弦序列和正弦序列我們稱之為頻率單元，或分析頻點(diǎn)。也就是說，輸入時域序列x(n)與頻率單元做序列點(diǎn)積運(yùn)算而得到頻譜的實(shí)部和虛部，即該頻率點(diǎn)所分解到的復(fù)系數(shù)X(k)。11122000( )( )( )cos()( )sin()1NNNnkNNNnnnX kx nWx nnkjx nnkkN = ;0 DFT具有隱含周期性，同樣地，可以證明IDFT中，x(n)也是隱含N點(diǎn)周期的。11()00()( )( )( )NNkmN nknNNnnX kmNx n Wx n WX kDFT表示成矩陣形式，令 x=x(0)，x(1) ，x(2) ，x(

6、N-1)T構(gòu)成時域序列的列矩陣。 X=X(0)，X(1) ，X(2) ，X(N-1) T構(gòu)成頻域序列的列矩陣。NX=W x11 21(1)22 22(1)N(1)2(1)(1) (1)111111W1NNNNNNNNNNNNNNNWWWWWWWWW 1N1x=WXN【例3.2.1】某復(fù)合正弦信號 用Matlab計(jì)算出16個采樣數(shù)據(jù)。t=0:1/16000:15/16000; % 時間增量1/16ms xt=sin(2*pi*2000*t)+0.5*sin(2*pi*6000*t-3*pi/4); figure(1);stem(t,xt);xlabel(n);ylabel(x(n);( )sin

7、(22000 )0.5sin(260003/ 4)x ttt 構(gòu)造1616的變換矩陣WN，并計(jì)算出頻譜X(k)。 n=0:15;k=0:15; %兩個行向量 WN=exp(-j*2*pi/16).(n*k); %構(gòu)造變換矩陣X=xt*WN;Xa=abs(X);Xb=(angle(X)*180/pi; %弧度換成角度。 figure(2); subplot(2,1,1);stem(k,Xa);xlabel(k);ylabel(X(k); %幅度譜 subplot(2,1,2);stem(k,Xb);xlabel(k);ylabel(k); %相位譜圖中k=0和k=16是一樣的，對應(yīng)的是DC或fs

8、(16KHz)；k=2和k=6對應(yīng)的2KHz和6KHz的分量，且幅度也是成2倍關(guān)系。但有問題：它們的幅值是8與4，對應(yīng)相位變成了-90和135；為何呢？這就是著名的DFT輔助效應(yīng)，前者稱為DFT的“計(jì)算增益”，增益值0.5N, （負(fù)頻率部分還有0.5N），顯然與數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)有關(guān)，數(shù)據(jù)越長，效應(yīng)越大。這也是IDFT公式中除以N的原因。后者叫DFT的“附加相位”，是個-90固定值。如6KHz分量的相位本來是-135，計(jì)算出來卻是135，這是因?yàn)?135-90=-225，但在習(xí)慣的180相位主值表示方式中，-225等價于135。至于出現(xiàn)的k=10和k=14的高頻分量，那是因?yàn)椴蓸訋淼溺R像諧波頻譜。幅度

9、圖中的細(xì)實(shí)線是從2KHz和6KHz復(fù)合正弦中截取一段2個周期長的信號的連續(xù)頻譜，DFT只看到了2個主瓣的最高點(diǎn)，擴(kuò)散的連續(xù)頻譜的其他內(nèi)容恰恰都躲過了DFT的觀察點(diǎn)，即分析頻率單元都落在頻譜的過零點(diǎn)上。DFT性質(zhì)：性質(zhì)： 假設(shè)有限長序列x1(n)和x2(n)，長度分別為N1和N2，取N=maxN1, N2 （補(bǔ)0），它們的N點(diǎn)DFT分別為： X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(n) (1) 線性線性 y(n)=ax1(n)+bx2(n) Y(k)=DFTax1(n)+bx2(n)=aX(k)+bX2(k) ，a，b為任意常數(shù)(2) 循環(huán)移位循環(huán)移位 有限長序列x(n)的循環(huán)移位

10、循環(huán)移位定義為： y(n)=x(n+m)NRN(n)含義：1) x(n+m)N 表示 x(n) 的周期延拓序列的移位： )()(mnxmnxN 2) x(n+m)NRN(n) 表示對移位的周期序列 x(n+m)N 取主值序列，所以y(n)仍然是一個長度為N的有限長序列。y（n）實(shí)際上可看作序列 x（n）排列在一個N等分圓周上，并向左旋轉(zhuǎn)向左旋轉(zhuǎn) m 位位。循環(huán)移位 線性移位和循環(huán)移位操作比較 利用周期序列的移位特性：)()(kXwmnxDFSmnxDFSmkNN( )()( )NNDFT y nDFT x nmRn)()()()()(kXwkRmnxDFSnRmnxDFTmkNNN序列循環(huán)移位

11、后的DFT為： 同樣，對于頻域有限長序列X(k)的循環(huán)移位，有如下反變換特性：2 ()( )( )( )jnrnrNNNNIDFT X krR kW x nex n（3）共軛對稱性）共軛對稱性 設(shè) x*（n）為 x（n）的共軛復(fù)數(shù)序列，則 DFTx*（n）=X*(N-k)證： *10*)()(NnnkNWnxnxDFT*10)(NnnkNWnxknNknNnjknNnNNjknNnNNnkNNWWeWeWWW22)()()()()()(*10)(*kRkNXkNXWnxnxDFTNNNnnkNN說明： 當(dāng)k=0時，應(yīng)為X*(N-0)=X*(0)，因?yàn)榘炊xX（k）只有N個值，即0kN-1，而X

12、N已超出主值區(qū)間，但一般已習(xí)慣于把X（k）認(rèn)為是分布在N等分的圓周上，它的末點(diǎn)就是它的起始點(diǎn)，即XN= X0，因此仍采用習(xí)慣表示式 DFTx*（n）=X*（N-k）以下在所有對稱特性討論中，XN均應(yīng)理解為XN=X0，同樣，x(N)=x(0)。 復(fù)序列的實(shí)部與虛部的DFT變換 以 Rex(n)和 Imx(n)表示序列x（n）的實(shí)部與虛部*1Re( ) ( ( )( )21( )()( )2eDFTx nDFTx nxnX kXNkXk*1 Im( ) ( ( )( )21( )()( )2oDFT jx nDFTx nxnX kXNkXk Xe（k）和X0（K）表示實(shí)部與虛部序列的DFT由 Xe

13、(k)可得：)()()(kXkXkXoe*)()(21)(kNNXkNXkNXe)()(21*kXkNX)()(*kNXkXee因此，Xe(k)具有共軛對稱性，稱為X(k)的共軛偶對稱分量。 顯然，用同樣的方法可得到 X0(k)= - X*0(N-k)即Xo(k)具有共軛反對稱特性，稱其為X(k)的共軛奇對稱分量。 對于純實(shí)數(shù)序列 x（n），即x（n）=Rex(n)，X（k）只有共軛偶對稱部分，即：X（k）=Xe（k），表明實(shí)數(shù)序列的DFT滿足共軛對稱性，利用這一特性，只要知道一半數(shù)目的X（k），就可得到另一半的 X（k），這一特點(diǎn)在DFT運(yùn)算中可以加以利用，以提高運(yùn)算效率。根據(jù)DFT的對偶特

14、性，分別以xe（n）及x0（n）表示序列x（n）的循環(huán)共軛偶部與循環(huán)共軛奇部：)()(21)()()(21)(*nNxnxnjxnNxnxnxoe同樣應(yīng)從循環(huán)意義上理解 x（N-0）=x（0）。可證明: DFTxe（n）=ReX（k） DFTx0（n）=jImX（k）(4)選頻特性選頻特性 對復(fù)指數(shù)函數(shù) 進(jìn)行采樣得復(fù)序列 x（n） 0nN-1其中r為整數(shù)。當(dāng)0=2/N時，x（n）=ej2nr/N，其離散傅里葉變換為( )ojrnx ne12/2/0()Njn rNjn kNnXkee2()2()/101jrkjrkNNkrekre( )ojrtxte可見，當(dāng)輸入頻率為r0時，變換X（K）的N個

15、值中只有 X（r）=N，其余皆為零，如果輸入信號為若干個不同頻率的信號的組合，經(jīng)離散傅里葉變換后，不同的k上，X（k）將有一一對應(yīng)的輸出，因此，離散傅里葉變換算法實(shí)質(zhì)上對頻率具有選擇性頻率具有選擇性。 當(dāng)0 2k/N 時? 下面分析 現(xiàn)在把【例3.2.1】中的2KHz頻率分量改成2.3KHz，且為了看得更清楚，去掉6KHz分量。即x(t)=1.sin(2.2300.t)信號，經(jīng)過T=1/16ms采樣，用N=16個數(shù)據(jù)計(jì)算出的頻譜幅度結(jié)果，如圖3.2.7。虛線是2.3KHz信號被截取后的連續(xù)頻譜圖。虛線是2.3KHz信號被截取后的連續(xù)頻譜圖 一個無限長時域信號被截?cái)嗪螅瑢⒃斐蓡我活l率信號的能量（

16、頻譜幅度平方），泄漏到附近所有頻率區(qū)域上。這稱為頻譜泄漏。 再看該X(k)所對應(yīng)的采樣數(shù)據(jù)x(n) ，已經(jīng)不是原序列了。如何才能避免泄漏呢？ 增大N，來滿足條件。 比如：N=160個的，那么做DFT時，其頻率分析點(diǎn)間隔是fs/N=16KHz/160=0.1KHz，第23點(diǎn)就恰好準(zhǔn)確地觀察到2.3KHz信號最高幅度。（5）DFT與與Z變換變換的關(guān)系的關(guān)系 有限長序列可以進(jìn)行z變換10)()()(NnnznxnxZzX)()()()(10kXnxDFTwnxzXNnnkNwzkNkNwzzXkX)()(kNjkNewz2 是z平面單位圓上N等分后的第k點(diǎn)。kN2圖 DFT與z變換NjkeXkX)(

17、 1）X(k)也就是z變換在單位圓上等間隔的采樣值。 2）X（k）也可看作是對序列付氏變換X（ej）的采樣，采樣間隔為： N=2/N。即結(jié)論： 采樣定律采樣定律告訴我們，一個頻帶有限的信號，可以對它進(jìn)行時域采樣而不丟失任何信息； DFT變換進(jìn)一步告訴我們，對于時間有限的信號（有限長序列），也可以對其進(jìn)行頻域采樣頻域采樣，而不丟失任何信息，這正反應(yīng)了傅立葉變換中時域、頻域的對稱關(guān)系。時域上的采樣，使我們能夠采用數(shù)字技術(shù)來處理這些時域上的信號（序列），DFT在頻域也離散化，因此使得在頻域采用數(shù)字技術(shù)處理成為可能。3.2.3頻率域采樣時域采樣間隔T，fs=1/T，為防止頻譜混疊發(fā)生，fs應(yīng)滿足時域采

18、樣定理。同樣，頻域里連續(xù)頻譜被采樣成等間隔離散頻率點(diǎn)，即彼此呈諧波關(guān)系，而使得時域?qū)?yīng)表現(xiàn)為周期化。設(shè)時域序列點(diǎn)數(shù)為M，頻率采樣間隔F=2/M，那么對應(yīng)時域周期化的周期大小為ts=1/F，為防止時域混疊發(fā)生，ts應(yīng)足夠大，大于信號長度。設(shè)時域序列點(diǎn)數(shù)為Ns=ts/T，則只要M大于等于Ns，那就不會發(fā)生時域序列的混疊。這就是頻率域采樣定理。【例3.2.2】頻率域取樣的例子 一個序列的連續(xù)頻譜在一周期里等間隔取樣了32個頻率數(shù)據(jù) 經(jīng)過IDFT逆變換后得到對應(yīng)的時域序列：x(n)=2，-1，-3，-5，-2，2.1204e-016，1，2，4，5，7，9，8，6，3，1，1，2，1.2204e-01

19、6，0，1.304e-016，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0。如圖3.2.13，注意x(0)=1，x(1)=-2，x(16)=1，x(17)=2，從x(18)起都為0，說明x(n)是有限長N=18點(diǎn)的時間序列。如果改為等間隔取樣16個頻率數(shù)據(jù)。對應(yīng)的IDFT后得到的時間序列x1(n)為16點(diǎn)，x1(n)=3，1，-3，-5，-2，2.1204e-016，1，2，4，5，7，9，8，6，3，1 對比發(fā)現(xiàn)：x1(0)=3，x1(1)=1，與x(n) 不相同，其他相同。因?yàn)樾蛄衳(n)實(shí)際長度18，只進(jìn)行16點(diǎn)的頻域采樣，將會發(fā)生時域周期化后的混疊。即x1(0)=3=x(0)+x(-2)

20、= x(0)+x(16)=2+1 ，x1(1)=1=x(1)+x(-1)= x(1)+x(17)=-1+2 。其他14個數(shù)據(jù)不受影響。如果是頻譜取18個樣點(diǎn)，那么將會剛好獲得x(n)，這是個頻率取樣密度的臨界值。變量周期分辨率2N2f、ssf、NfskN頻率采樣模擬域數(shù)字域利用循環(huán)卷積和共軛對稱特性，可證明DFT形式下的Parseval定律：1010*)()(1)()(NnNkkYkXNnynx101022| )(|1| )(|NnNkkXNnxDFT形式下的形式下的Parseval定理定理 當(dāng)y（n）= x（n）時，即為有限長序列的能量： 3.2.4循環(huán)卷積定理10)()()()()(NmN

21、NnRmnymxkFIDFTnf10)()()()()(NmNNnRmnxmykFIDFTnf若 F（k）=X（k）Y（k）證：這個卷積可看作是周期序列 卷積后再取其主值序列。將F（k）周期延拓，得：)()(nynx與)()()(kYkXkF1010)()()()()(NmNNNmmnymxmnymxnf)()()()()()(10nRmnymxnRnfnfNNmNN10)()()()(NmNNnRmnymxnf則根據(jù)DFS的周期卷積公式：因0mN-1時，x(m)N=x(m)，因此這一卷積過程與周期卷積比較，過程是一樣的，只是這里只取結(jié)果的主值序列，由于卷積過程只在主值區(qū)間0mN-1內(nèi)進(jìn)行，所

22、以 實(shí)際上就是 y（m）的循環(huán)移位，稱為“循環(huán)卷積循環(huán)卷積”，習(xí)慣上常用符號“”表示循環(huán)卷積，以區(qū)別于線性卷積。)()()()()()()()()()(1010nxnynRmnxmynRmnymxnynxNmNNNmNNNmny)(1）由有限長序列 x(n)、y(n) 構(gòu)造周期序列循環(huán)卷積過程:)()(nynx與2）計(jì)算周期卷積 10)()()(Nmmnymxnf3）卷積結(jié)果取主值)()()(nRnfnfN10( )( )1( ) ()( )NNNlF kDFT f nX l Y k lR kN10)()()(1NlNNkRlkXlYN同樣，若 f(n)=x(n)y(n)，則【例3.2.3】有

23、兩個長度都為6點(diǎn)的序列x(n)和y(n)，其頻譜分別記X(k)和Y(k)。驗(yàn)證DFT循環(huán)卷積性質(zhì)。x(n)=-2，5，-1，3，4，7和y(n)=1，2，7，3，4，6。解：（1）把y(n)周期化；（2）對y(0)=1處左右翻轉(zhuǎn)；（3）計(jì)算周期卷積（4）取主值序列：f(n)= 75 ，68，50，82，52，41。 Matlab程序如下： x=-2，5，-1，3，4，7; y=1，2，7，3，4，6; N=6； %序列循環(huán)卷積長度N m=0:1:N-1; y=y(mod(-m, N)+1); %對每個序號m求模6的值。即左右翻轉(zhuǎn)y序列。 A=zeros(N, N); %構(gòu)造一個66的全0方陣。

24、 for n=1:1:N A(n, : )=cirshftt(y, n-1, N); %對某個n，y序列循環(huán)移n-1位后，對應(yīng)放在A的第n行。 end f=x*A; %進(jìn)行乘加運(yùn)算，得到結(jié)果，f=75 ，68，50，82，52，41。 figure(1); stem(f); %繪制序列桿圖。 %N點(diǎn)循環(huán)移位函數(shù)cirshftt function w=cirshftt(s,m,N) %s是序列，N是其長度，m是移位點(diǎn)數(shù)。 n=0:1:N-1; %得到序號0，1，2，3，4，5，.，N1 q=mod(n-m,N); %根據(jù)位移量m值 w=s(q+1); %將循環(huán)移m位后的序列放函數(shù)出口w中。 %方

25、法2: 計(jì)算x(n)和y(n)的DFT頻譜序列X(k)和Y(k)。 X=fft(x);% Y=fft(y); % F=X.*Y; % 頻域相乘 f1=ifft(F); %查看Workspace 有 f1=75 ，68，50，82，52，41，它確實(shí)和前面計(jì)算的一樣！ figure(2); stem(f1);有限長序列的線性卷積與循環(huán)卷積有限長序列的線性卷積與循環(huán)卷積 實(shí)際問題是求解線性卷積實(shí)際問題是求解線性卷積，如信號 x（n）通過系統(tǒng) h（n），其輸出就是線性卷積 y（n）=x（n）*h（n）。循環(huán)卷積比起線性卷積，在運(yùn)算速度上有很大的優(yōu)循環(huán)卷積比起線性卷積，在運(yùn)算速度上有很大的優(yōu)越性越性，

26、它可以采用快速傅里葉變換（FFT）技術(shù)，問題提出問題提出: 能不能利用計(jì)算循環(huán)卷積的方法計(jì)算線性卷積? 對于上述 x（n）與h（n）的線性卷積，如果 x（n）、h（n）為有限長序列，則實(shí)質(zhì)上是研究在什么在什么條件下條件下能用循環(huán)卷積代替而不產(chǎn)生失真。 有限長序列的線性卷積：假定 x（n）為有限長序列，長度為N， y（n）為有限長序列，長度為M，它們的線性卷積mmnymxnynxnf)()()(*)()(因 x（m）的非零區(qū)間： 0mN-1， y(n-m)的非零區(qū)間： 0n-mM-1， 這兩個不等式相加，得： 0nN+M-2， 在這區(qū)間以外不是x（m）=0，就是y（n-m）=0，因而f（n）=0

27、。因此，f（n）是一個長度為）是一個長度為N+M-1的的有限長序列有限長序列。循環(huán)卷積：循環(huán)卷積： 重新構(gòu)造兩個有限長序列 x（n）、y（n），長度均為 L maxN,M (通過補(bǔ)充的零值)。為了分析 x（n）與y（n）的循環(huán)卷積，先將x（n），y（n）的周期延拓，得：rqrLnynyqLnxnx)()()()(1100( )() ()() ()LLLmmfnx m y nmx m y nm% rrLmLmrrLnfmrLnymxmrLnymx)()()()()(1010結(jié)論：x（n）、y（n）周期延拓后的周期卷積，是x（n）、y（n）線性卷積的周期延拓，周期為L。它們的周期卷積序列為： 循環(huán)

28、卷積正是周期卷積取主值序列：( )( )( )( )( )CLLfnx ny nfn Rn)()(nRrLnfLr所以使循環(huán)卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混淆的循環(huán)卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混淆的必要條件是： LN+M-1 【例3.2.4】上例數(shù)據(jù)，將y(n)看成是某離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，x(n)是其輸入，那么系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)就是二者的線性卷積。調(diào)用函數(shù)conv（x,y），計(jì)算兩個序列線性卷積， 即可得到6+6-1=11個點(diǎn)的輸出響應(yīng)數(shù)據(jù)。f(n)=-2，1，-5，30，10，41，77，67，55，52，42在x(n)后面添加5個0，使得序列成為11個點(diǎn)，即x(n)=-2，5，-1，3，4，7，0

29、，0，0，0，0；n=010。然后DFT求出X(k)，k=010。同樣，y(n)后面添5個0，再經(jīng)過DFT得到Y(jié)(k)；最后求IDFTX(k)Y(k)而得到輸出響應(yīng)f(n)= x(n)*y(n)。這結(jié)果與直接卷積conv（x,y）一樣。從而實(shí)現(xiàn)了用DFT求取系統(tǒng)響應(yīng)的目的。 課外練習(xí): 設(shè)有兩個序列，x（n）為N=4矩形序列，y（n）為M=6矩形序列，計(jì)算其線性卷積和8點(diǎn)循環(huán)卷積，并比較結(jié)果是否相同？為什么？3.2 利用利用DFT做連續(xù)信號的頻譜分析做連續(xù)信號的頻譜分析 采樣采樣截短截短DFT)(ajXa()x t( )xn)(jeX( )( ) ( )NNx n xnR n)(jNeX)(k

30、XNNkjNeX/2)( （1）混迭 對連續(xù)信號x(t)進(jìn)行數(shù)字處理前，要進(jìn)行采樣nanTttxtx)()()( 采樣序列的頻譜是連續(xù)信號頻譜的周期延拓，周期為fs，如采樣率過低，不滿足采樣定理，fs2fh，則導(dǎo)致頻譜混迭，使一個周期內(nèi)的譜對原信號譜產(chǎn)生失真，無法恢復(fù)原信號，進(jìn)一步的數(shù)字處理失去依據(jù)。 （2） 泄漏信號截短造成的頻譜擴(kuò)散現(xiàn)象 處理實(shí)際信號序列 x（n）時，一般總要將它截?cái)酁橐挥邢揲L序列，設(shè)長為N點(diǎn)，相當(dāng)于乘以一個矩形窗 w(n)=RN(n)。 矩形窗函數(shù)，其頻譜有主瓣，也有許多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，當(dāng)窗口趨于無窮大時，就是一個沖擊函數(shù)。 我們知道，時域的乘積對應(yīng)頻域的卷積，所以，加窗后的頻譜實(shí)際是原信號頻譜與矩形窗函原信號頻譜與矩形窗函數(shù)頻譜的卷積數(shù)頻譜的卷積，卷積的結(jié)果使頻譜延伸到了主瓣以外，且一直延伸到無窮。當(dāng)窗口無窮大時，與沖擊函數(shù)的卷積才是其