球的內(nèi)接與外接

1、球的內(nèi)接正（長(zhǎng)）方體的對(duì)角線等于球球的內(nèi)接正（長(zhǎng)）方體的對(duì)角線等于球直徑。直徑。一、直接法一、直接法ABCDD1C1A1OB1A1AC1CO對(duì)角面對(duì)角面223R 設(shè)棱長(zhǎng)為設(shè)棱長(zhǎng)為1 127變式變式1：一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為面上，若該正方體的表面積為24，則該球的，則該球的體積為體積為 .4 3例例1、若棱長(zhǎng)為若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為一球面上，則該球的表面積為 .變式變式2：一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為上，且一個(gè)頂

2、點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為1,2,3 ，則此球的表面積為，則此球的表面積為 .14變式變式3：已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為棱柱高為4，體積為，體積為16，則這個(gè)球的表面積，則這個(gè)球的表面積為（為（ ）A. B. C. D. 16202432C.ra一、直接法一、直接法內(nèi)切球的直徑等于正方體的棱長(zhǎng)。內(nèi)切球的直徑等于正方體的棱長(zhǎng)。一、直接法一、直接法內(nèi)切球的直徑等于正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)。內(nèi)切球的直徑等于正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)。球內(nèi)切于正球內(nèi)切于正方體的各條方體的各條棱棱甲圖乙圖丙圖例例1 甲球內(nèi)切于正方體的各面，乙球內(nèi)切于該正方體的各條棱，甲球內(nèi)切于正方體的各面，乙球內(nèi)

3、切于該正方體的各條棱， 丙球外接于該正方體，則三球表面面積之比為丙球外接于該正方體，則三球表面面積之比為( ) A. 1:2:3 B. C. D.1: 2: 31: 8: 27331: 4: 9球的外切正方球的外切正方體的棱長(zhǎng)等于體的棱長(zhǎng)等于球直徑。球直徑。214=SR 甲甲正方形的對(duì)角線正方形的對(duì)角線等于球的直徑。等于球的直徑。224=2SR 乙乙球的內(nèi)接正方體的對(duì)球的內(nèi)接正方體的對(duì)角線等于球直徑。角線等于球直徑。234=3SR 丙丙AACBPO O二、構(gòu)造法二、構(gòu)造法例例1、（2012遼寧遼寧16）已知正三棱錐）已知正三棱錐P-ABC，點(diǎn)，點(diǎn)P,A,B,C都在半徑為都在半徑為 的球面上，若

4、的球面上，若PA,PB,PC兩兩互相垂直，則球心到截面兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離的距離為為 。3331、構(gòu)造正方體、構(gòu)造正方體變式題變式題、已知球、已知球O的面上四點(diǎn)的面上四點(diǎn)A、B、C、D， 則球則球O的體積為的體積為 。3,BCABDABCABABCDA，平面29例例5、 求棱長(zhǎng)為求棱長(zhǎng)為 a 的正四面體的正四面體 P ABC 的外的外接球的表面積。接球的表面積。求正多面體外接球的半徑求正多面體外接球的半徑求正方體外接球的半徑求正方體外接球的半徑變式題：變式題：一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為 ，四，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積（個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此

5、球的表面積（ ）A. B. C. D. 2343 36A2、構(gòu)造長(zhǎng)方體、構(gòu)造長(zhǎng)方體已知點(diǎn)已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球面上，在同一個(gè)球面上， ，則，則B、C兩點(diǎn)間的球面距離是兩點(diǎn)間的球面距離是( ).BBCDA 平面BCDC6,AC=2 13,AD=8AB 34，變式、變式、(2013鄭州質(zhì)檢鄭州質(zhì)檢)在三棱錐在三棱錐 中，中， ,則該三棱則該三棱錐的內(nèi)接球的表面積為錐的內(nèi)接球的表面積為 。 ABCD6,5ABCDACBDADBC43三、確定球心位置法三、確定球心位置法 例、例、在矩形在矩形ABCDABCD中，中，AB=4AB=4，BC=3BC=3，ACAC沿將沿將矩形矩形ABCDABCD折成

6、一個(gè)直二面角折成一個(gè)直二面角B-AC-DB-AC-D，則，則四面體四面體ABCDABCD的外接球的體積為的外接球的體積為( () )12125. A9125.B6125.C3125.D C A O D B 圖4四、公式法四、公式法 例、一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直例、一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為，則這個(gè)且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為，則這個(gè)球的體積為球的體積為 。8934思考題：半徑為思考題：半徑為R的球的外切圓柱的球的外切圓柱(球與圓柱的側(cè)球與圓柱的側(cè)面、

7、兩底面都相切面、兩底面都相切)的表面積為的表面積為_，體積，體積_26 R32 R.86463434,463332,32311,33,3322212121111RVRRRAOORtAOSASOrABCrAORSOOABCDSSO球，解得中，由勾股定理得，在從而識(shí)得，中，用解直角三角形知?jiǎng)t在上，設(shè)外接球半徑為在的高，外接球的球心是正四面體解：設(shè)五、構(gòu)造直角三角形五、構(gòu)造直角三角形例例13、求棱長(zhǎng)為、求棱長(zhǎng)為1的正四面體外接球的體積。的正四面體外接球的體積。六、尋求軸截面圓半徑法六、尋求軸截面圓半徑法 例例1 1、正四棱錐、正四棱錐S-ABCDS-ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為

8、長(zhǎng)都為 ，點(diǎn)，點(diǎn)S,A,B,C,DS,A,B,C,D都在同一球面上，都在同一球面上，則此球的體積為則此球的體積為 . . C D A B S O 1 圖3解解 設(shè)正四棱錐的底面中心為設(shè)正四棱錐的底面中心為 ，外接球的球心為，外接球的球心為O O，如圖如圖3 3所示所示.由球的截面的性質(zhì)，由球的截面的性質(zhì)，可得可得又又 ，球心球心O O必在必在 所在的直線上所在的直線上. . 的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外接圓的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑的半徑就是外接球的半徑. .在在 中，由中，由 是外接圓的半徑，也是是外接圓的半徑，也是外接球的半徑外接球的半徑. .故

9、故1OABCDOO平面11SOASCASC12., 2,2222ACRtACASCACSCSAACSCSA為斜邊的是以得34球VABCDSO平面12幾何體的內(nèi)切球幾何體的內(nèi)切球例、正四面體的棱長(zhǎng)為例、正四面體的棱長(zhǎng)為a，則其內(nèi)，則其內(nèi)切球和外接球的半徑是多少？切球和外接球的半徑是多少？ 圖1解：如圖解：如圖1所示，設(shè)點(diǎn)所示，設(shè)點(diǎn)o是內(nèi)切球的球心，正四面體是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長(zhǎng)為棱長(zhǎng)為a由圖形的對(duì)稱性知，點(diǎn)由圖形的對(duì)稱性知，點(diǎn)o也是外接球的球也是外接球的球心設(shè)內(nèi)切球半徑為心設(shè)內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為，外接球半徑為R正四面體的表面積正四面體的表面積正四面體的體積正四面體的體積 在在 中，中，