角的平分線的性質(zhì)

1、12.3 角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)-2- 如圖，是一個(gè)平分角的儀器，其中如圖，是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC。將點(diǎn)。將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，放在角的頂點(diǎn)，AB和和AD沿沿著角的兩邊放下，沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線畫一條射線AE，AE就是角平分線。你能說明它的道理嗎？就是角平分線。你能說明它的道理嗎？探究ADCBE-3- 根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個(gè)角的平分線？（不用角平分儀或個(gè)角的平分線？（不用角平分儀或量角器）量角器）OABCENOMCENM探究-4-分別以，為分別以，為圓心大于圓心大于 的長為的長為半徑作弧兩弧在半徑作弧兩弧在A

2、OBAOB的的內(nèi)部交于內(nèi)部交于21作法：作法：以為圓心，適當(dāng)以為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交于，長為半徑作弧，交于，交交于于作射線作射線OC則射線即為所求則射線即為所求 -5-如圖：將如圖：將AOBAOB對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形( (使第使第一條折痕為斜邊一條折痕為斜邊) )，然后展開，觀察兩次折疊形成，然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？ AOBAOBCDEP探究探究可以看出，第一條折痕OC是AOB _第二次形成了_條折痕，分別為_,它們是角平分線上的一點(diǎn)到AOB兩邊的_這兩個(gè)距離_平分線2PD、PE距離相等-6-角

3、的平分線上的點(diǎn)到角的兩角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等邊的距離相等你能用三角形全等證明這個(gè)性質(zhì)嗎？-7-1、明確命題中的已知和求證；、明確命題中的已知和求證；2、根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)、根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào) 表示已知和求證；表示已知和求證；3、經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，、經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑， 寫出證明過程。寫出證明過程。角的平分線上的點(diǎn)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩到角的兩邊的距離相等邊的距離相等-8-AOBCDEP已知：OC是AOB 的平分線，P在OC上，PDOA于D， PEOB于E，求證：PD=PE-9-OABED思考：思考：如圖所示如圖所示O

4、C是是AOB 的平分線的平分線,P 是是OC上任意上任意一點(diǎn)一點(diǎn),問問PE=PD?為什么為什么?CPPD,PE沒有垂直沒有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角平它們不是角平分線上任一點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離分線上任一點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離,所所以以不一定相等不一定相等-10-例：如圖，例：如圖，ABCABC的角平分線的角平分線BMBM，CNCN相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)P P。求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P P到三邊到三邊ABAB，BCBC，CACA的距離相等。的距離相等。BACPMN例題展示：例題展示：-11-.證明：證明：過點(diǎn)過點(diǎn)P P作作PDPD，PEPE，PFPF分別垂直于分別垂直于ABAB，BCBC，CACA，垂足為，垂

5、足為D D、E E、F F，BACPDEFMNBMBM是是ABCABC的角平分線，點(diǎn)的角平分線，點(diǎn)P P在在BMBM上，上，PDABPDAB， PEBCPEBC，PD=PE.同理同理 PE=PF.PE=PF.PD=PE=PFPD=PE=PF，即點(diǎn)即點(diǎn)P P到三邊到三邊ABAB，BCBC，CACA的距離相等的距離相等-12-問題問題 問題：問題：如圖所示，要在如圖所示，要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場，使它到區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路距離相等，公路、鐵路距離相等， 離公路與鐵路交叉處離公路與鐵路交叉處500m，這個(gè)集貿(mào)市場應(yīng)建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比這個(gè)集貿(mào)市場應(yīng)建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置

6、，比例尺為例尺為1:20 000）？）？ -13-前面我們學(xué)過角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距前面我們學(xué)過角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么倒過來考慮：離相等，那么倒過來考慮：到角的兩邊的距離到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線上呢？相等的點(diǎn)是否在角的平分線上呢？ 猜想猜想-14-抽象問題抽象問題P已知：如圖,PDOA，PEOB，點(diǎn)D、E為垂足，PDPE求證：點(diǎn)P在AOB的平分線上到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線上呢？在角的平分線上呢？ -15-證明證明證明證明: 連接連接OC PDOA，PEOB， PDOPEO90.在在RtPDO和和RtPEO中，中

7、， POPO， PD=PE， RtPDO RtPEO（HL） PODPOE.點(diǎn)P在AOB的平分線上.PC-16-結(jié)論結(jié)論P(yáng)角的內(nèi)部到角的兩邊的角的內(nèi)部到角的兩邊的距離距離相等的點(diǎn)相等的點(diǎn)在角的平分線上在角的平分線上。用數(shù)學(xué)語言表示為：-17-問題解決問題解決如圖，要在S區(qū)建一個(gè)貿(mào)易市場，使它到鐵路和公路距離相等， 離公路與鐵路交叉處500米，這個(gè)集貿(mào)市場應(yīng)建在何處？（比例尺為120000）解：（1）作夾角的角平分線OC，（2）截OD=2.5cm , D即為所求。CD-18-典型例題典型例題例:如圖，ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P求證：點(diǎn)P在BAC的平分線上。 證明：過點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足為D，E，F(xiàn)BM是ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，PDPE同理PEPFPDP