角的平分線的性質

1、12.3 角的平分線的性質角的平分線的性質-2- 如圖，是一個平分角的儀器，其中如圖，是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC。將點。將點A放在角的頂點，放在角的頂點，AB和和AD沿沿著角的兩邊放下，沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線畫一條射線AE，AE就是角平分線。你能說明它的道理嗎？就是角平分線。你能說明它的道理嗎？探究ADCBE-3- 根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個角的平分線？（不用角平分儀或個角的平分線？（不用角平分儀或量角器）量角器）OABCENOMCENM探究-4-分別以，為分別以，為圓心大于圓心大于 的長為的長為半徑作弧兩弧在半徑作弧兩弧在A

2、OBAOB的的內部交于內部交于21作法：作法：以為圓心，適當以為圓心，適當長為半徑作弧，交于，長為半徑作弧，交于，交交于于作射線作射線OC則射線即為所求則射線即為所求 -5-如圖：將如圖：將AOBAOB對折，再折出一個直角三角形對折，再折出一個直角三角形( (使第使第一條折痕為斜邊一條折痕為斜邊) )，然后展開，觀察兩次折疊形成，然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結論？的三條折痕，你能得出什么結論？ AOBAOBCDEP探究探究可以看出，第一條折痕OC是AOB _第二次形成了_條折痕，分別為_,它們是角平分線上的一點到AOB兩邊的_這兩個距離_平分線2PD、PE距離相等-6-角

3、的平分線上的點到角的兩角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等邊的距離相等你能用三角形全等證明這個性質嗎？-7-1、明確命題中的已知和求證；、明確命題中的已知和求證；2、根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學符號、根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學符號 表示已知和求證；表示已知和求證；3、經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，、經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑， 寫出證明過程。寫出證明過程。角的平分線上的點角的平分線上的點到角的兩到角的兩邊的距離相等邊的距離相等-8-AOBCDEP已知：OC是AOB 的平分線，P在OC上，PDOA于D， PEOB于E，求證：PD=PE-9-OABED思考：思考：如圖所示如圖所示O

4、C是是AOB 的平分線的平分線,P 是是OC上任意上任意一點一點,問問PE=PD?為什么為什么?CPPD,PE沒有垂直沒有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角平它們不是角平分線上任一點到這個角兩邊的距離分線上任一點到這個角兩邊的距離,所所以以不一定相等不一定相等-10-例：如圖，例：如圖，ABCABC的角平分線的角平分線BMBM，CNCN相交于點相交于點P P。求證：點求證：點P P到三邊到三邊ABAB，BCBC，CACA的距離相等。的距離相等。BACPMN例題展示：例題展示：-11-.證明：證明：過點過點P P作作PDPD，PEPE，PFPF分別垂直于分別垂直于ABAB，BCBC，CACA，垂足為，垂

5、足為D D、E E、F F，BACPDEFMNBMBM是是ABCABC的角平分線，點的角平分線，點P P在在BMBM上，上，PDABPDAB， PEBCPEBC，PD=PE.同理同理 PE=PF.PE=PF.PD=PE=PFPD=PE=PF，即點即點P P到三邊到三邊ABAB，BCBC，CACA的距離相等的距離相等-12-問題問題 問題：問題：如圖所示，要在如圖所示，要在S區(qū)建一個集貿市場，使它到區(qū)建一個集貿市場，使它到公路、鐵路距離相等，公路、鐵路距離相等， 離公路與鐵路交叉處離公路與鐵路交叉處500m，這個集貿市場應建于何處（在圖上標出它的位置，比這個集貿市場應建于何處（在圖上標出它的位置

6、，比例尺為例尺為1:20 000）？）？ -13-前面我們學過角平分線上的點到角的兩邊的距前面我們學過角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，那么倒過來考慮：離相等，那么倒過來考慮：到角的兩邊的距離到角的兩邊的距離相等的點是否在角的平分線上呢？相等的點是否在角的平分線上呢？ 猜想猜想-14-抽象問題抽象問題P已知：如圖,PDOA，PEOB，點D、E為垂足，PDPE求證：點P在AOB的平分線上到角的兩邊的距離相等的點是否到角的兩邊的距離相等的點是否在角的平分線上呢？在角的平分線上呢？ -15-證明證明證明證明: 連接連接OC PDOA，PEOB， PDOPEO90.在在RtPDO和和RtPEO中，中

7、， POPO， PD=PE， RtPDO RtPEO（HL） PODPOE.點P在AOB的平分線上.PC-16-結論結論P角的內部到角的兩邊的角的內部到角的兩邊的距離距離相等的點相等的點在角的平分線上在角的平分線上。用數(shù)學語言表示為：-17-問題解決問題解決如圖，要在S區(qū)建一個貿易市場，使它到鐵路和公路距離相等， 離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿市場應建在何處？（比例尺為120000）解：（1）作夾角的角平分線OC，（2）截OD=2.5cm , D即為所求。CD-18-典型例題典型例題例:如圖，ABC的角平分線BM，CN相交于點P求證：點P在BAC的平分線上。 證明：過點P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足為D，E，F(xiàn)BM是ABC的角平分線，點P在BM上，PDPE同理PEPFPDP