第十三章壓桿穩(wěn)定

1、作者:黃孟生13-1 壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念leFWFPFQabFAFBABC 某桿某桿,材料材料b=130MPa;截面截面A=230mm2, 長長l=300mm, 按強(qiáng)度條件，按強(qiáng)度條件，F(xiàn)b=130230=7.8kN.但但實(shí)際上只有幾牛頓的力桿就折斷了，為什么？實(shí)際上只有幾牛頓的力桿就折斷了，為什么？與截面形狀有關(guān)，與截面形狀有關(guān)，(如果如果Iy=Iz,且且I 越大，承載力就不同了）越大，承載力就不同了）zyFFhb與桿發(fā)生彎曲關(guān)與桿發(fā)生彎曲關(guān)與桿的長度有關(guān)與桿的長度有關(guān)FFF1實(shí)際壓桿與彎曲有關(guān)的實(shí)際壓桿與彎曲有關(guān)的因素還有因素還有： 荷載不可避免地有一定的偏心；荷載不可避免地

2、有一定的偏心； 桿軸線有一定初曲率；桿軸線有一定初曲率； 材料本身的不均勻性。材料本身的不均勻性。什么是壓桿的穩(wěn)定性呢？什么是壓桿的穩(wěn)定性呢？（1）當(dāng)）當(dāng)FFcr時(shí)，時(shí)，撤去橫向干擾力后，撤去橫向干擾力后，壓桿仍能恢復(fù)原有的壓桿仍能恢復(fù)原有的直線平衡狀態(tài)直線平衡狀態(tài)。FFcr(a)(b)FFcr干擾力干擾力FFcr(c)原有的直線平衡狀態(tài)原有的直線平衡狀態(tài)是是穩(wěn)定的。穩(wěn)定的。（2）當(dāng)）當(dāng)FFcr時(shí)，時(shí)，在干擾力除去后，桿在干擾力除去后，桿件不能恢復(fù)到原直線件不能恢復(fù)到原直線位置，在曲線狀態(tài)下位置，在曲線狀態(tài)下保持平衡。保持平衡。(c)FFcrF Fcr(a)(b)F Fcr干擾力干擾力原有的直

3、線平衡狀態(tài)原有的直線平衡狀態(tài)是是不穩(wěn)定的不穩(wěn)定的。這種喪失原有平衡形式的現(xiàn)象稱為這種喪失原有平衡形式的現(xiàn)象稱為喪失穩(wěn)定性，喪失穩(wěn)定性，簡稱簡稱失穩(wěn)失穩(wěn).Fcr壓桿保持穩(wěn)定平衡所能承受的極限壓力，壓桿保持穩(wěn)定平衡所能承受的極限壓力，即臨界壓力（臨界荷載）即臨界壓力（臨界荷載）。13-2 細(xì)長壓桿的臨界力細(xì)長壓桿的臨界力1.兩端鉸支的臨界壓力兩端鉸支的臨界壓力M（x）=Fcrw （a）E I w=M（x）（）（b）得得 E I w= Fcrw 令令 k2=Fcr / EI得得 w+ k2 w= 0 （c） w = Asinkx +Bcoskx （d）FcrxxyOlwFcrM(x)Fcr=Fw一一

4、Euler公式公式k2=Fcr / EIw = Asinkx +Bcoskx兩個(gè)邊界條件兩個(gè)邊界條件:（1）x = 0，w =0 得：得： B=0 : w = Asinkx （2）x = l， w=0 得：得：A sinkl=0012klnn， ， ，01 2crFnknEIl， ， ，01 2crFnknEIl， ，n = 1 時(shí)：時(shí)：w = w0sinx / lwx=l/2 = A = w0BFw0OFcrABw =A sinx / l B22crEIFl歐拉公式歐拉公式Fcrl/2xyOlw02、桿端約束對臨界壓力的影響、桿端約束對臨界壓力的影響w = w0sinx / l 正弦曲線正弦

5、曲線 x = 0，x=l : w =0 , M=0,w=0 x = l/2: w=w0=wmax ，且且w=0Fcrl/2xyOlw0=1=2=0.5=0.7Fcr 統(tǒng)一形式：統(tǒng)一形式：長度系數(shù)，長度系數(shù)， l相當(dāng)長度相當(dāng)長度FcrlFcrl2lFcrl/2l/4l/4Fcr0.7l0.3l22()crEIFl歐拉公式歐拉公式Fcrlxw0 xwo1)、一端固定，另一端自由、一端固定，另一端自由： 0crMxFww 0crEIwFww 20wkwk w 0sincoswAkxBkxw0,0;0,0:xwxw0, cos0,1,3,5.2nxl wwklkln000,1 cosABw wwkx

6、222crEIFl2)、兩端固定：、兩端固定： ecrM xMF w ecrEIwMF w 2ecrMwkwkFsincosecrMwAkxBkxF0,0,0;,0,0 xwwxl wwcos1 ,2,4.klklnnMexFcrlwlx0,1coseecrcrMMABwkxFF MeFcr220.5crEIFl3)、一端固定，另一端鉸支：、一端固定，另一端鉸支： 0crM xF wF lx0crEIwF wF lx 02crF lxwkwkF0sincoscrFlxwAkxBkxF000,0,0;,0;,crcrxwwxl wFF lABkFF 22tan,4.49,0.7crEIklklk

7、lFl01sincoscrFwkxlkxlxFkMeFcrF0F0lxwxFcr（1）Fcr與與EI成正比，與成正比，與l2 成反比，且與桿端約束有成反比，且與桿端約束有關(guān)。關(guān)。 Fcr越大，壓桿穩(wěn)定性越好，越不容易失穩(wěn)；越大，壓桿穩(wěn)定性越好，越不容易失穩(wěn)；（2）桿端約束情況對）桿端約束情況對Fcr的影響，是的影響，是通過長度系數(shù)通過長度系數(shù)來實(shí)現(xiàn)的。要根據(jù)實(shí)來實(shí)現(xiàn)的。要根據(jù)實(shí)際情況選擇適當(dāng)?shù)碾H情況選擇適當(dāng)?shù)?。（3）當(dāng)壓桿在兩個(gè)形心主慣性平面內(nèi)）當(dāng)壓桿在兩個(gè)形心主慣性平面內(nèi)的桿端約束情況相同時(shí)，則失穩(wěn)一定的桿端約束情況相同時(shí)，則失穩(wěn)一定發(fā)生在最小剛度平面，即發(fā)生在最小剛度平面，即I 最小的縱

8、最小的縱向平面。向平面。zyFFhb（4）若壓桿在兩個(gè)形心主慣性平面內(nèi)的桿端約束不相）若壓桿在兩個(gè)形心主慣性平面內(nèi)的桿端約束不相同時(shí)，該桿的臨界力應(yīng)按兩個(gè)方向的同時(shí)，該桿的臨界力應(yīng)按兩個(gè)方向的(I/ l)min值計(jì)算。值計(jì)算。（5）假設(shè)壓桿是均質(zhì)的直桿，且）假設(shè)壓桿是均質(zhì)的直桿，且只有在壓桿的微彎只有在壓桿的微彎曲狀態(tài)下仍然處于彈性狀態(tài)時(shí)才是成立的曲狀態(tài)下仍然處于彈性狀態(tài)時(shí)才是成立的; ;實(shí)際壓桿實(shí)際壓桿的臨界力均小于理論值。的臨界力均小于理論值。軸銷軸銷xzy問題的提出：問題的提出：能不能應(yīng)用歐拉公式計(jì)算每根壓桿的臨界力？能不能應(yīng)用歐拉公式計(jì)算每根壓桿的臨界力？每根壓桿是不是都會(huì)發(fā)生失穩(wěn)？每

9、根壓桿是不是都會(huì)發(fā)生失穩(wěn)？2l5l7l9l幾根材料和直徑相同，但是長度不同、約束不同的壓桿幾根材料和直徑相同，但是長度不同、約束不同的壓桿:13-3 歐拉公式的適用范圍與歐拉公式的適用范圍與壓桿的非彈性失穩(wěn)壓桿的非彈性失穩(wěn)一、壓桿的臨界應(yīng)力與柔度一、壓桿的臨界應(yīng)力與柔度AIlEAlEIAFcr2222）（）（ AIi2 22ilE = l / i 柔度，細(xì)長比柔度，細(xì)長比。越大，壓桿越細(xì)長，越大，壓桿越細(xì)長，cr 越小，越小， Fcr 越小，越不穩(wěn)定。越小，越不穩(wěn)定。cr22E即即22crEP 材料的比例極限材料的比例極限PP2E 細(xì)長桿（大柔度桿）細(xì)長桿（大柔度桿）二、歐拉公式的適用范圍二、

10、歐拉公式的適用范圍適用條件：適用條件：22crpE三、非彈性失穩(wěn)的臨界力三、非彈性失穩(wěn)的臨界力 當(dāng)當(dāng)P 時(shí)，時(shí)，壓桿為中、小柔度桿壓桿為中、小柔度桿。其失穩(wěn)時(shí)的臨。其失穩(wěn)時(shí)的臨界應(yīng)力界應(yīng)力cr P 。壓桿失穩(wěn)。壓桿失穩(wěn)非彈性失穩(wěn)非彈性失穩(wěn)。采用經(jīng)驗(yàn)公式：采用經(jīng)驗(yàn)公式：a、b為與材料有關(guān)的常數(shù)，單位：為與材料有關(guān)的常數(shù)，單位：MPa。適用范圍：適用范圍：P cr u或或 P u 當(dāng)當(dāng) u時(shí)，時(shí)，壓桿為小柔度桿或短粗桿壓桿為小柔度桿或短粗桿。短。短粗桿的破壞是粗桿的破壞是強(qiáng)度破壞強(qiáng)度破壞。直線公式直線公式,crcrcrabFA令令 cr = u得：得：bauu 顯然，顯然， u是中柔度桿與短粗桿的

11、分界值是中柔度桿與短粗桿的分界值。四、臨界應(yīng)力總圖四、臨界應(yīng)力總圖（3）0u，小柔度桿，小柔度桿， cr = u ；（2） u P，中柔度桿，中柔度桿， cr = a- b ；（1） P，大柔度桿，大柔度桿，uppscr=a-b= u22crE22crE例例1 一一TC13松木壓桿，兩端為球鉸。已知松木壓桿，兩端為球鉸。已知:p=9MPa, b=13MPa, E1104MPa。壓桿截面為如下兩種：壓桿截面為如下兩種：（1） h=120mm, b=90mm的矩形；的矩形；（2） h=b=104mm的正方形（同面積）的正方形（同面積）試比較二者的臨界力。試比較二者的臨界力。解：解：（1）矩形：）矩

12、形： 3min13109012li115 4 .ppE 2104 7 .p 該桿為細(xì)長桿該桿為細(xì)長桿。21031222211 10120 9010121 3crEIFl （）79 9kN.zy3mFcr（2）正方形）正方形 (b=h=104mm) 1 3100 n( (強(qiáng)度安全因素）強(qiáng)度安全因素）二、壓桿的穩(wěn)定計(jì)算二、壓桿的穩(wěn)定計(jì)算1、安全因數(shù)法（、安全因數(shù)法（nst) 穩(wěn)定較核穩(wěn)定較核； 截面設(shè)計(jì)截面設(shè)計(jì)； 求容許荷載。求容許荷載。或或crststFFFncrststFAn2、折減因數(shù)法、折減因數(shù)法 ststcrn st stcrstunn01 與材料有關(guān)，不同的材料與材料有關(guān)，不同的材料

13、不同不同折減因數(shù)折減因數(shù) FA 例例3 千斤頂，千斤頂，Q235鋼，鋼，l=800mm, d=40mm,E=210GPa, 穩(wěn)定安全因素穩(wěn)定安全因素nst=3.0。試求。試求F。NstFFF20.81600.044pli解：解：229422210 100.04 /64102kN(20.8)crEIFl34kNcrststFFFnFl例例4：廠房鋼柱長：廠房鋼柱長7m，由兩根，由兩根16b號號Q235槽鋼組成。截槽鋼組成。截面為面為b類。截面上有四個(gè)直徑為類。截面上有四個(gè)直徑為30mm的螺栓孔。的螺栓孔。=1.3，F(xiàn)=270kN，=170MPa。（1）求兩槽鋼間距）求兩槽鋼間距h；（2）校核鋼柱

14、的穩(wěn)定性和強(qiáng)度）校核鋼柱的穩(wěn)定性和強(qiáng)度。解解（1）求）求 h鋼柱各方向的約束均相同。鋼柱各方向的約束均相同。合理的設(shè)計(jì)應(yīng)使合理的設(shè)計(jì)應(yīng)使 Iy = Iz。查單根查單根16b號槽鋼，得：號槽鋼，得：A = 25.15cm2， Iz0 = 934.5cm4。Iy0 = 83.4cm4z0=1.75cm， = 10mm由平行移軸公式由平行移軸公式 Iy=2Iy0+A(z0+h/2)2=2Iz0h = 8.23cmz0d y0hzy(2) 校核鋼柱的穩(wěn)定性和強(qiáng)度校核鋼柱的穩(wěn)定性和強(qiáng)度.6 1cm149 2zIli.Ai，= F / Amin = 70.5 MPa 故滿足強(qiáng)度條件故滿足強(qiáng)度條件.=F/A

15、=53.7MPa查查13-1表表, =0.311, =52.9MPa, 雖大于雖大于 , 但不超過但不超過5%,故滿足穩(wěn)定性要求故滿足穩(wěn)定性要求.例例5。桁架上弦桿。桁架上弦桿AB為為Q235工字鋼，截面類型為工字鋼，截面類型為b類，類，=170MPa，F(xiàn)=250kN。試選擇工字鋼的型號。試選擇工字鋼的型號。L=4m。AB4m FA 229.41FAcm 2min30.62.01Acmicm，200li查型鋼表查型鋼表, ,選選18號工字鋼號工字鋼0.186，查表查表13-1,得得0.5與相差較大相差較大再試算再試算解：解：1、設(shè)0.50.1860.50.3432242.87FAcm 2min

16、46.62.27Acmicm，176.2查型鋼表查型鋼表, ,選選22b b工字鋼工字鋼0.234，查表查表13-1,得得0.343與與相差較大相差較大再試算再試算2、設(shè)設(shè)2min55.452.495Acmicm，160.345.146.92FMPaMPaA 0.3430.2340.2892250.89FAcm 查型鋼表查型鋼表, ,選選28a工字鋼工字鋼0.276，查表查表13-1,得得0.289與與相差不大相差不大3、設(shè)設(shè)故可選故可選28a工字鋼工字鋼, ,校核其穩(wěn)定性校核其穩(wěn)定性例例6： 圖示梁桿結(jié)構(gòu)，材料均為圖示梁桿結(jié)構(gòu)，材料均為Q235鋼。鋼。AB梁為梁為14號號工字鋼，工字鋼，BC

17、桿為桿為 d20mm的圓桿。已知：的圓桿。已知： F=25kN，l1=1.25m，l2=0.55m，E=206GPa， p=200MPa， s=235MPa，n=1.4，nst=1.8。求校核該結(jié)構(gòu)是否安全。求校核該結(jié)構(gòu)是否安全。300ABCDFl2l1l1dxNO.14zAB桿：桿：0cos3021.65kNNFF0max1sin3015.63kN mMFl33max2621.65 1015.63 10163MPa21.5 10102 10NzFMAW300ABCDFl2l1l1dxNO.14z235168MPa1.4snCD桿：桿：02sin3025kNNFF31 0.5511010020

18、 10/4pli229422206 100.002 /6452.8kN()0.55crEIFl25kN29.3kNcrNstFFn如果如果CD桿為矩形截面，應(yīng)如何計(jì)算？桿為矩形截面，應(yīng)如何計(jì)算？300ABCDFl2l1l1dxNO.14z例例7： 圖示梁桿結(jié)構(gòu)，材料均為圖示梁桿結(jié)構(gòu)，材料均為Q235鋼。鋼。AB梁為梁為16號工號工字鋼，字鋼，BC桿為桿為d60mm的圓桿。已知的圓桿。已知E=200GPa， p=200MPa， s=235MPa，n=2，nst=3，求，求F.ABCF1m1m1.2m解解：1. .求內(nèi)力：求內(nèi)力：BC 桿：桿：2、由梁的強(qiáng)度由梁的強(qiáng)度：F33kNABCF1m1m1

19、.2mAB梁：max42FlFM2NFF 6maxmax6/ 2235 10141 102SzMFWn 如果如果BC桿為桿為bh的矩形截面的矩形截面, F 如何計(jì)算？如何計(jì)算？3、由壓桿、由壓桿BC的穩(wěn)定條件：的穩(wěn)定條件：F=32.2kNF404kNABCF1m1m1.2m2NFF NcrststFAn 80 uPli214.4crabMPa例例8 圖示支架中的兩根桿均為相同材料的圓桿，圖示支架中的兩根桿均為相同材料的圓桿，AB直直徑徑16mm，CB直徑直徑32mm，CB長長1m。已知材料的。已知材料的E=2105MPa、p=200MPa、s=240Mpa；結(jié)構(gòu)的強(qiáng)；結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度安全因數(shù)度安全因

20、數(shù)n=2、穩(wěn)定安全因數(shù)、穩(wěn)定安全因數(shù)nst=3。試求結(jié)構(gòu)容許。試求結(jié)構(gòu)容許的的F值。值。FA B C 600FA B C 600FABFBC解解：求各桿的內(nèi)力：由AB桿強(qiáng)度F13.9kN由BC桿的穩(wěn)定條件：F17.3kN F=13.6kNFBC=-2F，F(xiàn)AB=3F sABFAn crBCststFFFn pli 22104()crEIFkNl一、選擇合理的截面形式一、選擇合理的截面形式1、當(dāng)、當(dāng)y、z方向約束相同方向約束相同,使使 Iy =Iz，得：，得：y = z 2、當(dāng)、當(dāng)Iy =Iz時(shí)，盡可能在面積一定的情況下，增大慣時(shí)，盡可能在面積一定的情況下，增大慣性矩性矩I 。3、當(dāng)、當(dāng)y、z方

21、向約束不同，方向約束不同，y = z使使 得：得： Iy Iz，4、使每個(gè)分支和整體具有相同的穩(wěn)定性。、使每個(gè)分支和整體具有相同的穩(wěn)定性。 分支分支 = 整體整體二、減少相當(dāng)長度和增強(qiáng)桿端約束二、減少相當(dāng)長度和增強(qiáng)桿端約束1、增強(qiáng)約束；、增強(qiáng)約束；2、設(shè)置中間支撐。、設(shè)置中間支撐。三、合理選用材料三、合理選用材料選用彈性模量較大的材料，可提高桿選用彈性模量較大的材料，可提高桿的穩(wěn)定性。的穩(wěn)定性。13-6 縱橫彎曲問題縱橫彎曲問題當(dāng)梁的彎曲剛度當(dāng)梁的彎曲剛度EI很大時(shí)，很大時(shí)， 壓彎組合壓彎組合當(dāng)梁的彎曲剛度當(dāng)梁的彎曲剛度EI很小時(shí)，必須考慮軸很小時(shí)，必須考慮軸向力在橫向變形上產(chǎn)生的附加彎矩向力

22、在橫向變形上產(chǎn)生的附加彎矩縱橫彎曲問題縱橫彎曲問題ABql/2Cl/2FFxwyxwmax 222qlqM xxxFw222qlqEIwxFwx 222()22kqlqwk wxxF0,0,0;xwxl w22(tan sincos1)()2qqwukxkxlxxFkF2/kFEIFql/2M(x)Fwxq令令/2ukl=22tan ,qqAu BFkFk=22sincos22qlqFwAkxBkxxxqFFk42max512.2(1.)38430qlwuEI22max5(1.)812qlMu2max222max(sec1)82(sec1)8qqlwuk EIk EIqluMumaxmaxzMFAWx=l/2:u=/2Secu級數(shù)展開級數(shù)展開當(dāng)當(dāng)/2ukl2