理論力學(xué)——第八章 剛體平面運(yùn)動(dòng)

1、第八章第八章剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng) 8-1 8-1 剛體平面運(yùn)動(dòng)的概述和運(yùn)動(dòng)分解剛體平面運(yùn)動(dòng)的概述和運(yùn)動(dòng)分解剛體平面運(yùn)動(dòng)：行星齒輪剛體平面運(yùn)動(dòng)：行星齒輪1.1.平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)剛體平面運(yùn)動(dòng)：車(chē)輪運(yùn)動(dòng)情況剛體平面運(yùn)動(dòng)：車(chē)輪運(yùn)動(dòng)情況 平面圖形的運(yùn)動(dòng)平面圖形的運(yùn)動(dòng) 在運(yùn)動(dòng)中，剛體上的任意一點(diǎn)與某一固定平面始終保持相在運(yùn)動(dòng)中，剛體上的任意一點(diǎn)與某一固定平面始終保持相等的距離，這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為等的距離，這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)。平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化2.2.運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 123OOxftyftft基點(diǎn)基點(diǎn)O轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角3.3.運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析=+平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng) = = 隨隨 的平移的

2、平移+ +繞繞 點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng) O x y OO x y 平移坐標(biāo)系平移坐標(biāo)系 平面運(yùn)動(dòng)可取任意基點(diǎn)而分解為平移和轉(zhuǎn)動(dòng)，其中平移的平面運(yùn)動(dòng)可取任意基點(diǎn)而分解為平移和轉(zhuǎn)動(dòng)，其中平移的速度和加速度與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，而平面圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和加速度與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，而平面圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。速度和角加速度與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。一般剛體平面運(yùn)動(dòng)的分解8-2 8-2 求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的基點(diǎn)法求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的基點(diǎn)法1.1.基點(diǎn)法基點(diǎn)法動(dòng)點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)：M絕對(duì)運(yùn)動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng) ：待求：待求牽連運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng) ：平移：平移erMOvvvvO M動(dòng)系：動(dòng)系： ( (平移坐標(biāo)系平移坐

3、標(biāo)系) )O x y 相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng) ：繞：繞 點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng) O任意任意A，B兩點(diǎn)兩點(diǎn)BABAvvv 平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和。度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和。其中其中BAv ABvBA大小大小方向垂直于方向垂直于 ，指向同，指向同AB已知：橢圓規(guī)尺的已知：橢圓規(guī)尺的A端以速度端以速度vA沿沿x 軸的負(fù)向運(yùn)動(dòng)，軸的負(fù)向運(yùn)動(dòng)，如圖所示，如圖所示，AB=l。求：求：B端的速度以及尺端的速度以及尺AB的角速度。的角速度。例例8-18-11.1. AB作平面運(yùn)動(dòng)作平面運(yùn)動(dòng) 基點(diǎn)：基點(diǎn)： AsinABAv

4、vsinlvlvABAAB2?BABAAvvvv.大小 ？方向cotABvv 解：解：已知：如圖所示平面機(jī)構(gòu)中，已知：如圖所示平面機(jī)構(gòu)中，AB=BD= DE= l=300mm。在圖示位置時(shí)，在圖示位置時(shí)，BDAE，桿桿AB的角速度為的角速度為=5rad/s。求：此瞬時(shí)桿求：此瞬時(shí)桿DE的角速度和桿的角速度和桿BD中點(diǎn)中點(diǎn)C的速度。的速度。例例8-28-21.1.BD作平面運(yùn)動(dòng)作平面運(yùn)動(dòng) 基點(diǎn)：基點(diǎn)：BlvvvBDBD5rad sDBDEvvDEl5rad sDBBBDvvBDl2?DBDBvvvl.大小 ？方向32?CBCBBDvvvll.大小 ？方向221.299m sCBCBvvvBD方向

5、沿桿向右解：解：已知：曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖所示，已知：曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖所示，OA =r, AB= 。如曲如曲柄柄OA以勻角速度以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)。r3求：當(dāng)求：當(dāng) 時(shí)點(diǎn)時(shí)點(diǎn) 的速度。的速度。90,60,0B例例8-38-31.1. AB作平面運(yùn)動(dòng)作平面運(yùn)動(dòng) 基點(diǎn)：基點(diǎn)：A900,BAABvrvv0Bv06033230cosrvvAB2?BABAvvvr.大小 ？方向解：解：已知：如圖所示的行星輪系中，大齒輪已知：如圖所示的行星輪系中，大齒輪固定，半固定，半徑為徑為r1 ，行星齒輪，行星齒輪沿輪沿輪只滾而不滑動(dòng)，半徑為只滾而不滑動(dòng)，半徑為r2。系桿系桿OA角速度為角速度為。O求：輪求：輪的角速度的

6、角速度及其上及其上B，C 兩點(diǎn)的速度。兩點(diǎn)的速度。例例8-48-4 1. 1.輪輪作平面運(yùn)動(dòng)作平面運(yùn)動(dòng) 基點(diǎn)基點(diǎn)：A12DAAOvvrr1221DAAOvvrDArr20DADAvvv.122BABAOvvvrrr大小方向？.21222rrvvvOBAAB212rrvvvOCAAC4CACAvvv.解解: :2.2.速度投影定理速度投影定理 同一平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)連線(xiàn)上同一平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)連線(xiàn)上的投影相等。的投影相等。沿沿AB連線(xiàn)方向上投影連線(xiàn)方向上投影BAABABvvBABAvvv由由如圖所示的平面機(jī)構(gòu)中，曲柄如圖所示的平面機(jī)構(gòu)中，曲柄OA長(zhǎng)長(zhǎng)100mm，以角速

7、以角速度度=2rad/s轉(zhuǎn)動(dòng)。連桿轉(zhuǎn)動(dòng)。連桿AB帶動(dòng)搖桿帶動(dòng)搖桿CD，并拖動(dòng)輪，并拖動(dòng)輪E沿水平面純滾動(dòng)。已知：沿水平面純滾動(dòng)。已知：CD=3CB，圖示位置時(shí)圖示位置時(shí)A，B，E三三點(diǎn)恰在一水平線(xiàn)上，且點(diǎn)恰在一水平線(xiàn)上，且CDED。求：此瞬時(shí)點(diǎn)求：此瞬時(shí)點(diǎn)E的速度。的速度。例例8-58-5 1. 1. AB作平面運(yùn)動(dòng)作平面運(yùn)動(dòng)BA ABABvv（ ）OAvB30cossm2309. 030cosOAvB2.2.CD作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)軸：作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)軸：C30.6928m sBDBvvCDvCB3.3.DE作平面運(yùn)動(dòng)作平面運(yùn)動(dòng)cos300.8m scos30ED DEDEEDDEvvvvvv（

8、 ）解：解： 8-3 8-3 求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的瞬心法求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的瞬心法 一般情況下一般情況下, ,在每一瞬時(shí)在每一瞬時(shí), ,平面圖形上都唯一地存在一平面圖形上都唯一地存在一個(gè)速度為零的點(diǎn)，稱(chēng)為瞬時(shí)速度中心，簡(jiǎn)稱(chēng)速度瞬心。個(gè)速度為零的點(diǎn)，稱(chēng)為瞬時(shí)速度中心，簡(jiǎn)稱(chēng)速度瞬心。1.1.定理定理基點(diǎn)基點(diǎn)：AMAMAvvvMAvvAM0ACvvAC 平面圖形內(nèi)任意點(diǎn)的速度等于該點(diǎn)隨圖形繞瞬時(shí)速平面圖形內(nèi)任意點(diǎn)的速度等于該點(diǎn)隨圖形繞瞬時(shí)速度中心轉(zhuǎn)動(dòng)的速度。度中心轉(zhuǎn)動(dòng)的速度?；c(diǎn)基點(diǎn)：CMMCvvCM 2.2.平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度分布平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度分布3.3.速度瞬心的確定方法速度瞬心的確定方法/

9、,ABAABvvvABvACBCv且已知已知 的方向，的方向，且且 不平行于不平行于 。BAvv,AvBv00BAABBAABBAMvvvvvvv瞬時(shí)平移瞬時(shí)平移( (瞬心在無(wú)窮遠(yuǎn)處瞬心在無(wú)窮遠(yuǎn)處) )/,ABvvAB且不垂直于且不垂直于 純滾動(dòng)純滾動(dòng)( (只滾不滑只滾不滑) )約束約束運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程sin1 cosxrttyrt1 cossinxyvrtvrt2|0kvC 瞬心已知：橢圓規(guī)尺的已知：橢圓規(guī)尺的A端以速度端以速度vA沿沿x 軸的負(fù)向運(yùn)動(dòng)，軸的負(fù)向運(yùn)動(dòng)，如圖所示，如圖所示，AB=l。求：用瞬心法求求：用瞬心法求B端的端的速度以及尺速度以及尺AB的角速的角速度度。例例8-68-6

10、AB作平面運(yùn)動(dòng)，速度瞬心為點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)，速度瞬心為點(diǎn)C。sinlvACvAAABcotAABBvBCv解：解：已知：礦石軋碎機(jī)的活動(dòng)夾板長(zhǎng)已知：礦石軋碎機(jī)的活動(dòng)夾板長(zhǎng)600mm ，由曲柄由曲柄OE借連桿組帶動(dòng)，使它繞借連桿組帶動(dòng)，使它繞A軸擺動(dòng)，如圖所示。曲柄軸擺動(dòng)，如圖所示。曲柄OE長(zhǎng)長(zhǎng)100 mm，角速度為角速度為10rad/s。連桿組由桿連桿組由桿BG，GD和和GE組成組成，桿桿BG和和GD各長(zhǎng)各長(zhǎng)500mm。求：當(dāng)機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)，夾板求：當(dāng)機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)，夾板AB的角速度。的角速度。例例9-79-7 1.桿桿GE作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心為作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心為 C1 。srad2968. 01

11、1ECOEECvEGEsm066. 11GCvGEGmm359115sin01OGGC800mm500mmsin15929.4mmOG 113369mmECOCOE2.桿桿BG作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心為作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心為C。GBGvGCcos60BBGGGBCvBCvGCvsrad888. 060cosABvABvGBAB解解: : 8-4 8-4 用基點(diǎn)法求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度用基點(diǎn)法求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度 平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與該點(diǎn)隨平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度的矢量和。圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度的矢量和

12、?；c(diǎn)基點(diǎn) ：A平移坐標(biāo)系：平移坐標(biāo)系：Ax ytBAa ABatBA大小大小方向垂直于方向垂直于 ，指向同，指向同AB大小大小方向由方向由 指向指向nBAan2BAaABBAnrtreaaaaBntBABAABaaaa已知：已知：如圖所示，在外嚙合行星齒輪機(jī)構(gòu)中，系桿以如圖所示，在外嚙合行星齒輪機(jī)構(gòu)中，系桿以勻角速度勻角速度1繞繞O1轉(zhuǎn)動(dòng)。大齒輪固定，行星輪半徑為轉(zhuǎn)動(dòng)。大齒輪固定，行星輪半徑為r，在大輪上只滾不滑。設(shè)在大輪上只滾不滑。設(shè)A和和B是行星輪緣是行星輪緣 上的兩點(diǎn)，上的兩點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)A在在O1O的延長(zhǎng)線(xiàn)上，而點(diǎn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上，而點(diǎn)B在垂直于在垂直于O1O的半徑上。的半徑上。求：點(diǎn)求：點(diǎn)A和

13、和B的的加速度。加速度。AB例例8-88-8 1. 1.輪輪作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心為作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心為 C。12Ovlrr2d0dt2.2.選基點(diǎn)為選基點(diǎn)為tn2212?0?AOAOAOaaaalr大小方向n2221121(1)AOAOaaallrllr解解: :tn22123.?0?BOBOBOaaaalr大小方向22n2211BOBOaaallrnarctanarctanOBOaral已知：如圖所示，在橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中，曲柄已知：如圖所示，在橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中，曲柄OD以勻角速以勻角速度度繞繞O 軸轉(zhuǎn)動(dòng)。軸轉(zhuǎn)動(dòng)。ODADBDl。求：當(dāng)求：當(dāng)時(shí)，尺時(shí)，尺AB的角加速度和點(diǎn)的角加速度和點(diǎn)A的加速度。的加速度。

14、 60例例8-98-91. AB作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心為作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心為 C。llCDvDAB22.DDal選 為基點(diǎn)tn22?ADADADaaaall大小 ？方向分別沿軸和軸投影ncoscos 2ADADaaasincossin0ntADADDaaat2t00ADAADABaalaAD 解得解：解：求：車(chē)輪上速度瞬心的加速度。求：車(chē)輪上速度瞬心的加速度。已知：車(chē)輪沿直線(xiàn)滾動(dòng)。已知車(chē)輪半徑為已知：車(chē)輪沿直線(xiàn)滾動(dòng)。已知車(chē)輪半徑為R，中心中心O的速度為的速度為，加速度為加速度為，車(chē)輪與地面接觸無(wú)相車(chē)輪與地面接觸無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。對(duì)滑動(dòng)。OvOa例例8-108-101. 1. 車(chē)輪作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心為車(chē)輪作平面

15、運(yùn)動(dòng)，瞬心為 C。2OvR.dd1ddOOvatRtR3.3.選選為基點(diǎn)為基點(diǎn)tn2COCOCOOaaaaaRR大小 ？方向 ？n2CCOaaR解：解：8-5 8-5 運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用舉例運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用舉例1.1.運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用 ： 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。2.2.已知運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)已知運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu) 未知運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)未知運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu) 連接點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析3.3.連接點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析連接點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析接觸滑動(dòng)接觸滑動(dòng)合成運(yùn)動(dòng)合成運(yùn)動(dòng)鉸鏈連接鉸鏈連接平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)求：該瞬時(shí)桿求：該瞬時(shí)桿OA的角速度的角速度與角加速度。與角加速度。已知：已知：圖示平面機(jī)構(gòu)，滑塊圖示平面機(jī)構(gòu)，滑塊B可沿桿可沿桿OA滑動(dòng)。桿

16、滑動(dòng)。桿BE與與BD分別與滑塊分別與滑塊B鉸接，鉸接，BD桿可沿水平軌道運(yùn)動(dòng)?；瑝K桿可沿水平軌道運(yùn)動(dòng)?；瑝KE以勻速以勻速v沿鉛直導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)，桿沿鉛直導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)，桿BE長(zhǎng)為長(zhǎng)為。圖示。圖示瞬時(shí)桿瞬時(shí)桿OA鉛直，且與桿鉛直，且與桿BE夾角為夾角為l 245例例9-119-111.桿桿BE作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在O點(diǎn)點(diǎn)。lvOEvBEvOBvBEB取取E為基點(diǎn)為基點(diǎn)tn2?0?BEBEBEEaaaaBE大小方向沿沿BE方向投影方向投影2nn22cos452cos45BBEBEBvaalaval 解：解：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng) ：直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)：直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)(BD)相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng) ：直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)：直線(xiàn)運(yùn)

17、動(dòng)(OA)牽連運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng) ：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(軸軸O)2.動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn) ：滑塊：滑塊B 動(dòng)系動(dòng)系 ：OA桿桿aer?vvvv大 小方 向沿沿BD方向投影方向投影l(fā)vOBvvvvvOAerae0tnaeerC222?0OAaaaaavll大小方向沿沿BD方向投影方向投影22te2ate22lvOBalvaaOA求：此瞬時(shí)桿求：此瞬時(shí)桿AB的角速度及角加速度。的角速度及角加速度。已知：已知：在圖所示平面機(jī)構(gòu)中，桿在圖所示平面機(jī)構(gòu)中，桿AC在導(dǎo)軌中以勻速在導(dǎo)軌中以勻速v平移，通過(guò)鉸鏈平移，通過(guò)鉸鏈A帶動(dòng)桿帶動(dòng)桿AB沿導(dǎo)套沿導(dǎo)套O運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)套運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)套O與桿與桿AC距離為距離為l。圖示瞬時(shí)桿圖示瞬時(shí)桿A

18、B與桿與桿AC夾角為夾角為。60例例9-129-121. 1. 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn) ： 鉸鏈鉸鏈A 動(dòng)系動(dòng)系 ： 套筒套筒O aer2?vvvv.大小方向260cos2360sinaraevvvvvvlvAOvAB43etnaeer2er0? 2CABaaaaaAOv大小方向tea沿 方向投影22te833lvAOaABlvaaaa4302CteCte解：解：另解：另解： 1.1.取坐標(biāo)系取坐標(biāo)系Oxy2. A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程cotlxA3.3.速度、加速度速度、加速度vlxA2sin2sinlv2sinsin2sin222lvlv 03604ABvl當(dāng)時(shí)有223 38ABvl求：此瞬時(shí)求：此瞬時(shí)AB桿的桿的角速度及角加速度。角速度及角加速度。已知已知：如圖所示平面機(jī)構(gòu)，如圖所示平面機(jī)構(gòu)，AB長(zhǎng)為長(zhǎng)為l，滑塊滑塊A可沿?fù)u桿可沿?fù)u桿OC的長(zhǎng)槽滑動(dòng)。搖桿的長(zhǎng)槽滑動(dòng)。搖桿OC以勻角速度以勻角速度繞軸繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，滑轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊塊B以勻速沿水平導(dǎo)軌滑動(dòng)。圖示瞬時(shí)以勻速沿水平導(dǎo)軌滑動(dòng)。圖示瞬時(shí)OC鉛直，鉛直，AB與水平線(xiàn)與水平線(xiàn)OB夾角為夾角為。lv 30例例9-139-13 2.2.動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn) ：滑塊：滑塊 A，動(dòng)系動(dòng)系 ：OC 桿桿1.1.桿桿AB作平面運(yùn)動(dòng)，基點(diǎn)為作平面運(yùn)動(dòng)，基點(diǎn)為B。ABABvvv?AerBABvvvvvOAl大小方向Bv沿方向投影esin302BABlvvve2ABB