債券價(jià)格利率敏感性

1、固定收益證券李磊寧李磊寧中央財(cái)經(jīng)大學(xué)金融工程系中央財(cái)經(jīng)大學(xué)金融工程系第四講第四講: :債券價(jià)格的利率敏感性債券價(jià)格的利率敏感性 主講教師：李磊寧v 單位：中央財(cái)經(jīng)大學(xué)金融工程系v 主講課程：金融工程學(xué)/固定收益證券v 聯(lián)系方式： 電子郵件：內(nèi)容提要 久期久期1 凸性凸性2u久期的定義與計(jì)算u久期與票息率、到期收益率、剩余期限的關(guān)系u債券組合的久期 u凸性的定義與計(jì)算u凸性的性質(zhì) 久期與凸度的簡(jiǎn)單應(yīng)用久期與凸度的簡(jiǎn)單應(yīng)用 3v基點(diǎn)價(jià)值表示當(dāng)收益率變動(dòng)一個(gè)基點(diǎn)時(shí)，百萬面值(或百元面值)的債券價(jià)格的絕對(duì)變動(dòng)額.v基點(diǎn)價(jià)值計(jì)算的例子-1263100001263. 0/int1263. 0)/(8651

2、.106%4238. 79914.106%4138. 7212211ypPVBPpobasisoneyppyppypy 基點(diǎn)價(jià)值久期v久期的定義與計(jì)算(第一種含義) 久期(duration)是債券現(xiàn)金流發(fā)生的加權(quán)平均時(shí)間，權(quán)重是各次現(xiàn)金流的現(xiàn)值與債券市值的比重 （麥考利久期）公式：TtttBictD1)1 (久期v久期的計(jì)算(第一種含義) 票息率為5%、期滿日為3年的國(guó)債正在平價(jià)交易，其久期為 859. 2100%)51 (1053100%)51 ( 52100%)51 ( 51321DtTtticB11 tTttttTtitciictdidB111)1 (11)1 ()(DiBictiBdi

3、dBntt11)1 (1111didBBiD1didBBDm1久期久期v久期的定義(第二種含義) 久期是債券價(jià)格(針對(duì)利率的)變化率乘以1加上利率 修正久期是債券價(jià)格(針對(duì)利率的)的變化率didBBiD1didBBDm1久期v債券價(jià)格的變動(dòng)率 債券價(jià)格的變動(dòng)率是修正久期與利率變動(dòng)量的乘積 例如,某債券的修正久期是4，表明當(dāng)利率下降（上漲）1%時(shí)，債券價(jià)格將上漲（下降）4%。 diDBdBm%4%14BdB久期v久期與票息率的關(guān)系 如果其他變量保持不變，當(dāng)票息率（c/BT）增大時(shí)，則債券久期變??；反之，當(dāng)票息率變小時(shí)，久期增大。TTTTiiiBcBiB)1 (1)1 (11/)()1 ()1 (

4、1)/(1TTTTiiBciBBdidBBiD1iiBciBciTiDTTT 1)1)(/()1 ()/(11將該式考慮在內(nèi)久期兩邊取對(duì)數(shù)并對(duì)i求導(dǎo)024681012141618206.577.588.599.510c (%)d/md 圖 債 券 久 期 、 修 正 久 期 隨 息 票 率 變 動(dòng) 示 意 圖 久 期修 正 久 期久期“21國(guó)債（10）”的息票率從1%變動(dòng)到20%時(shí)，該債券的久期和修正久期如何變化 久期v久期與收益率的關(guān)系 久期對(duì)利率的一階導(dǎo)數(shù)小于零，意味著久期與利率的反向關(guān)系：當(dāng)其他條件不變時(shí)，利率上升，久期縮短；利率下降，久期變長(zhǎng) TttTttTttTttTttTttDtw

5、iDtDtwiwDtwDwtiDwtididD12112211211212121)()1 ()2()1 (2)1 ()1 ()()1 (iBicwttt久期TttDtwS12)(債券現(xiàn)金流發(fā)生時(shí)間的方差 現(xiàn)金流的權(quán)重01020304050607080901007.588.59i (0/oo)d/md圖 債 券 久 期 、 修 正 久 期 與 利 率 變 動(dòng) 關(guān) 系 示 意 圖 久 期修 正 久 期收益率從1%變動(dòng)到20%時(shí)， 21國(guó)債（10）”的久期和修正久期如何變化。 久期久期v久期與剩余到期時(shí)間的關(guān)系010203040506070809010005101520253035t (year)d

6、/md圖 債 券 久 期 、 修 正 久 期 與 距 離 到 期 日 時(shí) 間 關(guān) 系 示 意 圖 久 期修 正 久 期對(duì)于零息債券而言，久期就是其剩余期限，所以，零息債券的剩余期限嚴(yán)格與久期成正比；對(duì)于附息債券，隨著到期日的延長(zhǎng)，久期也增大，但有一個(gè)極限（1+1/i） 久期v債券組合的久期 債券組合的久期是構(gòu)成組合的各個(gè)債券久期的加權(quán)平均 權(quán)重是各個(gè)券種的市值占債券組合總市值的比重 注意：采用這種簡(jiǎn)單的方式計(jì)算組合的久期必須有嚴(yán)格的假定前提，那就是利率期限結(jié)構(gòu)是扁平的并且其形狀與位置都保持不變 1,)()(,11njjjjnjjjpXiPiBXDXD凸性v凸性的定義與計(jì)算 定義：凸性（conv

7、exity）即債券價(jià)格曲線的曲率，反映了該曲線的彎曲程度。價(jià)格曲線彎曲的程度越大，凸性就越大。 債券價(jià)格市場(chǎng)利率0圖4-1：債券價(jià)格曲線圖v例子-某債券票息率 7.25% ,當(dāng)前價(jià)格100.40695, 當(dāng)前 YTM is是7.216%. 試比較發(fā)生以下兩種情況時(shí),債券實(shí)際價(jià)格與由久期預(yù)計(jì)的價(jià)格變動(dòng)的差別:(1) 收益率增加 1 basis point(2) 收益率增加 200 basis points凸性 (1)收益率增加一個(gè)基點(diǎn)后的新價(jià)格是 100.28478.PVBP 是(100.40695-100.28478)*10000=1223,MD=12.12%1212. 010001. 012

8、.12yMDPP凸性凸性%24.2410020012.12yMDPP (2)收益率增加 200 基點(diǎn)后 所以由修正久期預(yù)測(cè)的新價(jià)格是 100.40695*(1-24.24%)=76.06831凸性凸性v我們用新的收益率(9.216%)算出的實(shí)際價(jià)格是 80.16387.所以,實(shí)際價(jià)格變化是 100.40695-80.16387=20.24308v 而由久期預(yù)測(cè)的變化是 100.40695*0.2424=24.33865v 差別由債券價(jià)格曲線的凸性造成,這個(gè)差別是 24.33865-20.24308=4.09557凸性凸性7.216%9.216%80.1638776.0683差異收益率價(jià)格100

9、.40695凸性凸性ttTticttiBdiBdBdidBdidBC)1 ()1 ()1 (1111222njjjpCXC1凸性的算式組合的凸性凸性凸性v考慮凸性以后債券價(jià)格波動(dòng)的估計(jì) 線性一次逼近 二次逼近i*i*+iB*B*+B321有效的債券價(jià)格市場(chǎng)收益率價(jià)格2)(21diCdiDBBm收益率債券價(jià)格債券A債券B凸性債券A相對(duì)于債券B的凸性大，所以A的價(jià)格往往高于B凸性v凸性的性質(zhì) 凸性的大小與利率、久期和債券現(xiàn)金流發(fā)生時(shí)間的方差三個(gè)因素有關(guān) ； 凸性與利率呈反向關(guān)系，與久期與債券現(xiàn)金流發(fā)生時(shí)間的方差呈正向關(guān)系 ；長(zhǎng)期債券的凸性大于短期債券的凸性，因?yàn)榍罢叩木闷诒容^長(zhǎng)；如果兩個(gè)債券組合有

10、相同的久期，則常常是由若干不同的債券組成的債券組合的凸性大于由單一債券構(gòu)成的債券組合的凸性，因?yàn)榍罢邆F(xiàn)金流發(fā)生時(shí)間的方差往往大于后者 )1 ()1 (2DDSiC久期與凸性的簡(jiǎn)單應(yīng)用v 解決資產(chǎn)與負(fù)債的期限匹配 v 某一金融機(jī)構(gòu)未來有一系列債務(wù)Lt，同時(shí)也有一系列的資產(chǎn)收入At，這些債務(wù)或者資產(chǎn)可以看作是一系列的零息債券。如果所有期限的利率水平為i，資產(chǎn)與債務(wù)的當(dāng)前價(jià)值A(chǔ)0和L0是相同的，把它們放在一起就是一個(gè)投資組合N，令N=A0-L0，TtttiLL10)1 (TtttiAA10)1 (0101)1 ()1 (LitLDAitADTtttLTtttA資產(chǎn)的久期債務(wù)的久期0)1)(ttt

11、iLAdiddidN無論利率如何變化，投資組合N將來的價(jià)值變化為零 0)()1 ()1)()1 (00111ADLDiiALtididNALTtttt只有DA=DL，即資產(chǎn)的久期與負(fù)債的久期相等，才能基本保證投資組合在利率變化時(shí)價(jià)值變化為零。如果再加上凸性相等，就能夠完全匹配資產(chǎn)與債務(wù)。 久期與凸性的簡(jiǎn)單應(yīng)用v構(gòu)建對(duì)沖債券投資組合 市值相同 組合久期和凸性相同 做空對(duì)沖債券投資組合即可完全規(guī)避利率風(fēng)險(xiǎn)v構(gòu)建凸性增強(qiáng)債券投資組合 市值相同 久期相同 用多種債券構(gòu)造凸性更高的債券投資組合組合市值10萬元。各債券的市值權(quán)重相同，即各占債券組合總市值的1/3 。2009年10月29日這一天組合的久期和

12、凸度分別為5.31和42.28。債券投資組合 （2009年10月29日）久期與凸性的簡(jiǎn)單應(yīng)用v構(gòu)建對(duì)沖債券投資組合用于對(duì)沖的債券組合 用于對(duì)沖的債券組合的屬性 215.41份“03國(guó)債(7)”、677.32份“06國(guó)債(3)”以及134.32份“03國(guó)債(3)”。 v構(gòu)建對(duì)沖債券投資組合 久期與凸性的簡(jiǎn)單應(yīng)用久期與凸性的簡(jiǎn)單應(yīng)用v構(gòu)建凸性增強(qiáng)債券投資組合 增強(qiáng)凸性的重要措施就是盡量用債券組合代替單一債券，因?yàn)閭M合的現(xiàn)金流發(fā)生時(shí)間的方差往往大于單個(gè)債券，在久期相同的情況下，現(xiàn)金流發(fā)生時(shí)間的方差大小對(duì)凸性有決定性的作用，方差越大，凸性越強(qiáng)。 久期與凸性的簡(jiǎn)單應(yīng)用v構(gòu)建凸性增強(qiáng)債券投資組合 x、

13、y、z是三個(gè)不同的債券，我們希望x、y構(gòu)成一個(gè)組合來代替z。設(shè)Nx、Ny、Nz分別代表這三種債券的數(shù)量，Bx、By、Bz分別代表這三種債券的價(jià)格，Dx、Dy、Dz分別代表這三種債券的久期，組合構(gòu)造的原則就是“市值相同、久期相同” zyzzyyxzzxxzzyyxxDDBNBNDBNBNBNBNBN)()()()(xyyxzzzyxyxyzzzxDDBDDBNNDDBDDBNN久期與凸性的簡(jiǎn)單應(yīng)用v構(gòu)建凸性增強(qiáng)債券投資組合 現(xiàn)有債券的基本情況：假設(shè)投資者只擁有“2006年記賬式(三期)國(guó)債”債券這一種債券，其價(jià)值為100000元。該債券簡(jiǎn)稱“06國(guó)債（3）”，該債券的發(fā)行日期為2006年3月27日，期限10年，半年付息一次