熱學(xué)習(xí)題思考題解題指導(dǎo)第12節(jié)

1、第二章分子動(dòng)理論的平衡態(tài)理論§ 2.1 本概念和基本要求(一)了解分子動(dòng)理論的主要特點(diǎn)。(二)掌握概率的基本性質(zhì)和求平均值和基本方法。知道什么是概率分布函數(shù)。(三)麥克斯韋速率分布(1)初步了解驗(yàn)證麥克斯韋速率分布的分子射線束實(shí)驗(yàn)。(2)掌握麥克斯韋速率分布函數(shù)，知道它的物理意義，知道它的分布曲線是如何的，知道它的分布曲線是如何分別隨了溫度或者氣體分子質(zhì)量而改變的。(3)熟練掌握平均速率、方均根速率、最概然速率這3個(gè)公式。(四)麥克斯韋速度分布(1)理解速度空間概念。派(2)知道麥克斯韋速度分布是任一分子處在速度空間中任一體積為dvxdvydvz的小立方體中的概率。(3)掌握麥克斯韋

2、速度分布。派(4)知道如何利用麥克斯韋速度分布導(dǎo)出麥克斯韋速率分布。*(5)了解相對(duì)于最概然速率的麥克斯韋速度分布和速率分布。(五)了解氣體分子碰壁數(shù)及其應(yīng)用。(六)外力場(chǎng)中自由粒子的分布玻耳茲曼分布(1)掌握等溫大氣壓強(qiáng)公式。(2)了解旋轉(zhuǎn)體中懸浮粒子徑向分布及其應(yīng)用。X(3)了解玻耳茲曼分布。(七)能量均分定理(1)理解自由度與自由度數(shù)。(2)掌握能量均分定理，知道對(duì)于常見的雙原子分子一般都有3個(gè)平動(dòng)自由度、2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。派(3)知道能量均分定理的局限性。§2.2解題指導(dǎo)和習(xí)題解答2.2.1在圖中列出某量x的值的四種不同的概率分布函數(shù)的圖線。試對(duì)1。則R解:(a)按照歸一化條件

3、，概率分布曲線下面的面積為于每一種圖線求出常數(shù)A的值，使在此值下該函數(shù)成為歸一化函數(shù)。然后計(jì)算x和x2的平均值，在圖(a)情形下還應(yīng)該求出|x|平均值。a(所以概率分布函數(shù)為：a)A1,A1/2af(x)1/2aa；x-aaxf(x)dxx2f(x)dxxf(x)dxa12a12aaxdxx2dxxf(x)dxa/2(b)歸一化條件:(2a概率分布函數(shù)為：0)A1/2af(x)1/2a0x2ax0;x2a2axf(x)dx012axdx2a012a2a022a2x0xf(x)dx(c)歸一化條件為(1/2)a(a)A1概率分布函數(shù)為：12a2a0x2dxA1/a2f(x)(xa)/aax02(

4、xa)/a0xa-axaxf(x)dx0Ta2,2xaxf(x)dxa/6一,、.,2,22.2.2量x的概率分布函數(shù)具有形式f(x)Aexp(ax)4冗x,式中A和a是常數(shù)，試寫出x的值出現(xiàn)在7.9999到8.0001范圍內(nèi)的概率P的近似表示式。R解1：歸一化，f(x)dx1在上述積分中考慮到f(x)是偶函數(shù)，所以有f(x)dx2°f(x)dx8冗AAa3/2/413/2_A(a/冗3/2可以知道處于7.99998.0001范圍內(nèi)概率為PAe64a4冗64x0.5(a/乳平4冗64exp(64a)0.00022.3.1求0°C,0.101MPa下1.0cm3的氮?dú)庵兴俾试?/p>

5、-1.一.-1500ms到501ms之間的分子數(shù)。R分析1:這是一個(gè)在麥克斯韋速率分布中求某一速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)的問題，應(yīng)該用相對(duì)于最概然速率的麥克斯韋速率分布，即使用誤差函數(shù)來求解。但是注意到,500ms-1至ij501ms-1之間僅僅差1ms-1,它要比500ms-1小得多。可以認(rèn)為在500ms-1至U501ms-1范圍內(nèi)麥克斯韋速率分布是不變的。它的概率等于在橫坐標(biāo)為500ms-1到501ms-1之間的麥克斯韋速率分布曲線線段下面的面積(這個(gè)梯形可以看作矩形)。R解1:設(shè)00C,0.101MPa下，1.0cm3中的理想氣體分子數(shù)為253N,利用洛施密特常量n02.710m可以得到N1.01

6、062.710252.71019利用麥克斯韋速率分布可以得到速率在vvdv之間的分子數(shù)為一3/22_2Nf(v)dv4制(m/2ukT)exp(mv/2kT)vdv(1)11現(xiàn)在其中的v500ms,dv1ms,氮?dú)鉁囟萒273K,而氮分子質(zhì)量m281.671027kg。將它們代入(1)式即得到在500ms-1到501ms-1之間的分子數(shù)為N4.961016。2.3.2求速率在區(qū)間vp1.01Vp內(nèi)的氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的比pp率。R分析1：利用Vdj2kT/m的公式，并且令uv/v0,則可以pp把麥克斯韋速率分布表示為dNu/N(4/a)exp(u2)u2du由于vp和0.01vp的差異比vp

7、小得多，和上題的分析類似，可以認(rèn)為(1)式中的du=0.01,u=1。鰭1:0.83%。2.3.3請(qǐng)說明麥克斯韋分布中，在方均根速率附近某一小的速率區(qū)間dv內(nèi)的分子數(shù)隨氣體溫度的升高而減少。R解1:麥克斯韋速率分布為：,一._3/2,2,一._、2.f(v)dv4(m/2kkT)exp(mv/2kT)vdv方均根速率為vrsm.3kT/m在方均根速率附近某一小的速率區(qū)間dv內(nèi)的分子數(shù)為：Nf(vrms)dv4ttN(m/2冗kT)3/2e河m(3kT/m)/2kT(3kT/m)dv它和、：m/kT成正比，所以它隨氣體溫度的升高而減少。2.3.4根據(jù)麥克斯韋速率分布律，求速率倒數(shù)的平均值(1/V

8、)。0Po:按照利用概率分布函數(shù)求平均值的公式(1/v)°(1/v)f(v)dv3/224冗(m/2：tkT)eD(mv/2kT)vdv(4/冗)(1/v)2.3.5(1)某氣體在平衡溫度T2時(shí)的最概然速率與它在平衡溫度T1時(shí)的方均根速率相等，求(T1/T2)o(2)已知這種氣體的壓強(qiáng)為p；密度為，試導(dǎo)出其方均根速率的表達(dá)式。1/2R答：(1)3/2;(2)(3p/)。2. 3.6試將麥克斯韋速率分布化為按平動(dòng)動(dòng)能的分布，并求出最概然動(dòng)能。它是否等于mv：/2?為什么？pR分析1：對(duì)于理想氣體來說，麥克斯韋速率分布和按照平動(dòng)動(dòng)能的分布是完全等價(jià)的。也就是說，F(xiàn)()df(v)dv,所以

9、只要將f(v)dv中的v以平動(dòng)動(dòng)能來表示，就得到按平動(dòng)動(dòng)能的分布。R解1:麥克斯韋速率分布為3/22mmv2.f(v)dv4eexpvdv2ukT2kT因?yàn)閙v2/2,dmvdv。將它們代入上式，可以得到：2_3/21/2F()d(kT)exp()d冗kT要求出最概然動(dòng)能只要對(duì)上式兩邊取導(dǎo)數(shù)，并且命令它等于零dF()/d23/21/p、1/2.p1、(kT)exp()pexp()()0R2nkTkTkT得到最概然動(dòng)能pkT/2但是由最概然速率所表示的動(dòng)能2_mvp/2m(2kT/m)(1/2)kT這說明最概然動(dòng)能與mvj/2不相等。前面講到麥克斯韋速率分布和按平動(dòng)動(dòng)能的分布是完全等價(jià)的，為什么

10、最概然動(dòng)能和由最概然速率所表示的動(dòng)能不相等？實(shí)際上，其差異不是來自物理上，而是來自數(shù)學(xué)上。既然F()df(v)dv而ddv,則函數(shù)形式f()f(v)。它們的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)形式也不相等所以pmvj/2。pp2.3,7已知溫度為T的混合理想氣體由分子質(zhì)量為m1的1摩爾分子及由分子質(zhì)量為m2的2摩爾分子所組成。試求：(1)它們的速率分布；(2)平均速率。R分析1:速率分布是指其速率在vvdv范圍內(nèi)的所有分子和總分子數(shù)之比。我們以前討論的是純氣體，其速率分布是和這種氣體的分子質(zhì)量有關(guān)的。現(xiàn)在是混合理想氣體，其速率分布不僅和這幾種氣體分子的質(zhì)量有關(guān)，并且和每種氣體的物質(zhì)的量(即mol數(shù))所占百分比有關(guān)。R解

11、1：(1)設(shè)組成混合理想氣體的兩種氣體的分子數(shù)分別為N1,N2。(或者說它們的物質(zhì)的量分別為1,2)。對(duì)于分子質(zhì)量為m1的1摩爾分子，它們的速率在vvdv的總分子數(shù)為dN1(v),這些分子在整個(gè)氣體分子中所占有的概率為：f1(v)dvdN1(v)/(NiN2)f1(v)dv1/(12H4冗(m1/2冗kT)3/2exp(m1V2/2kT)v2dv同理對(duì)于分子質(zhì)量為m2的2摩爾分子，它們的速率在vvdv的總分子數(shù)為dNz(v),這些分子在整個(gè)氣體分子中所占有的概率為：f2(v)dv2/(12)4冗(m2/2冗kT)3/2e)p(m2V2/2kT)v2dv所有其速率在vv+dv的兩種不同質(zhì)量的分子

12、占有的概率為一3/222f(v)dv1/(12H4u(m1/2ukT)exp(m1V/2kT)vdv3/22_22/(12H4冗(m2/2：tkT)exp(m2v/2kT)vdv這就是混合理想氣體的速率分布。(2)顯然，其平均速率v0f1(v)vdv0f2(v)vdvi/(i2)、8kT/m2/(12)8kT/22.3.8證明在麥克斯韋速率分布中，速率在最概然速率到與最概然速率相差某一小量的速率之間的分子數(shù)與JT成反比。處于平均速率附近某一速率小區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)也與JT成反比。R解1：最概然速率vpJ2kT/m,又其速率在vvdv范圍內(nèi)的分子數(shù)為dNvvdvNf(v)dv4tN(m/2kkT)3

13、/2exp(mv2/2kT)v2dv速率在最概然速率到與最概然速率相差某一小量的速率之間的分子數(shù)為dNj7Pdv4N(m/2兀kT)3/2exp(2kT/2kT)(2kT/m)dv(4N/e)(m/27ikT)1/2dv所以速率在最概然速率到與最概然速率相差某一小量的速率之間的分子數(shù)與Jt成反比。處于平均速率附近某速率小區(qū)間的分子數(shù)dNvvdv4制(m/2ukT)3/2exp(m/2kT)(8kT/m)(8kT/m)dv（8N/兀）exp（4/昉.2m/兀kTdv它也與JT成反比。2.4.1因?yàn)楣腆w的原子和氣體分子之間有作用力，所以在真空系統(tǒng)中的固體表面上會(huì)形成厚度為一個(gè)分子直徑的那樣一個(gè)單分

14、子層，設(shè)這層分子仍可十分自由地在固體表面上滑動(dòng)，這些分子十分近似地形成2維理想氣體。如果這些分子是單原子分子，吸附層的溫度為T，試給出表示分子處于速率為v到v+dv范圍內(nèi)的概率f(v)dv表達(dá)式。R解1:我們知道,通常的麥克斯韋速度分布是3維的f(vx)dvxf(vy)dvyf(vz)dvz(1)其中速度在x,y,z的3個(gè)分量上的分布函數(shù)都具有如下形式：_1/22_f(vi)dvi(m/2ukT)exp(my/2kT)dvj(ix,y,z)(2)顯然，只能在XY平面上運(yùn)動(dòng)的2維理想氣體的麥克斯韋速度分布應(yīng)該是1/2,2.f(vx)dvxf(vy)dvy(m/2ukT)exp(mvx/2kT)d

15、vx1/2,2,(m/2kkT)exp(mvy/2kT)dvy(3)這就是2維理想氣體的麥克斯韋速度分布公式。(3)式也可以寫為f(vx)f(vy)dvxdvyf(vx,vy)dvxdvy(4)其中dvxdvy實(shí)際上就是在2維速度空間中位置在vxvxdvx,Vyvydvy范圍內(nèi)的正方形這一微分元的面積，而f(vx,vy)dvxdvyf(vx)dvxf(vy)dvy是氣體分子的代表點(diǎn)在這一微分元上的分布概率。設(shè)在2維速度空間中位置在VxVxdvx,vyvydvy范圍內(nèi)的這一微分元上的分子代表點(diǎn)數(shù)為dNvv。顯然它被除以微分元的面積dvxdvy,就是在2維速度空x,y間中的分子代表點(diǎn)的數(shù)密度D(v

16、x,vy),所以D(vx,vy)dNvx,vy/dvxdvyNf(vx,vy)N(m/2ttkT)1/2expm(vjvy)/2kT(5)下面我們從速度分布導(dǎo)出速率分布。我們知道2維理想氣體的麥克斯韋速率分布表示了分子處在2維速度空間中，半徑為vvdv的圓環(huán)內(nèi)的概率dNv/N。dNv是在半徑為vvdv的圓環(huán)內(nèi)的分子代表點(diǎn)數(shù)。它等于圓環(huán)面積乘上分子代表點(diǎn)的數(shù)密度D(vx,vy)o利用(5)式可以得到dNvD(vx,vy)2Ttvdv2.N(m/2kkT)exp(mv/2kT)2wdv-2_N(m/kT)exp(mv/2kT)vdv所以分子處于速率為v到v+dv范圍內(nèi)的概率f(v)dv的表達(dá)式為d

17、N、，一2_f(v)dv(m/kT)exp(mv/2kT)vdv(7)N它就是2維理想氣體的麥克斯韋速率分布。2.4.2分子質(zhì)量為m的氣體在溫度T下處于平衡。若以vx,vy,vz及v分別表示分子速度的x、y、z三個(gè)分量及其速率，試求下述平均值：，八一22，八2，一、一一2(1) Vx；(2)Vx；(3)VxV；(4)vxvy；(5)(Vxbvy)。R分析1:在求上述統(tǒng)計(jì)平均值時(shí)要用到概率的基本性質(zhì)，即互相排斥事件概率相加法則和相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的事件概率相乘法則。另外，因?yàn)辂溈怂鬼f速度分布函數(shù)是個(gè)偶函數(shù)，所以在積分時(shí)要區(qū)分被積函數(shù)是偶函數(shù)還是奇函數(shù)。對(duì)于偶函數(shù)，因?yàn)榉e分范圍是對(duì)稱區(qū)間，所以應(yīng)該分區(qū)間

18、積分。R解:(1)麥克斯韋的速度的x、y、z三個(gè)分量分布可以表示為._1/22_f(Vi)(m/2ukT)exp(mvi/2kT)(ix,y,z)vxVxf(Vx)dVx_1/22_(m/2ukT)exp(mvx/2kT)VxdVx0_1/22_(m/2ukT)exp(mvx/2kT)VxdVx-1/22一o(m/2ukT)ex)(mvx/2kT)VxdVx022Vxvxf(vx)dvx2o(m/2兀kT)1/2e)p(mv2/2kT)v2dvxkT/m(3)由于vx和v4.4設(shè)氣體分子白勺總數(shù)為N，試證明速度的x分量大于某一給相互獨(dú)立，利用概率相乘法則，并且考慮到vx的平均值等于零，則有2v

19、xvvxv0(4)同樣vx,vy相互獨(dú)立，和“(3)”類似2-vxvyvxvyO(5)利用概率相加法則2/1_2222i_22(vxbvy)vx2bvxvybvyvx2bvx%bvy-2_2kT/m0bkT/m(kT/m)(1b)2.4.3證明：相對(duì)于vp的麥克斯韋速率分布函數(shù)(2.35)式。dNu/Nf(v)dv4/4eexp(u2)u2duR解:最概然速率為(2kT/m)1/2,則,.,一._3/2_2_2.f(v)dv4u(m/2ukT)ex)(mv/2kT)vdv可以變換為f(v)dv4八eexp(v2/v2)(v2/v2)d(v/vp)令v/vpu,上式可以化為定值vx的分子數(shù)為N(

20、vx)(N/2)1erf(ux)其中uxvx/vpdNu/Nf(v)dv4/.uexp(u2)u2duR解:已經(jīng)知道速度的x分量分布為f(vx)dvx(m/2kkT)1/2exo(mv£/2kT)dvx速度的x分量在(0vx)范圍內(nèi)的分子數(shù)為VxN(0vx)0Nf(vx)dvx命令v/vpu,N(0vx)N/8°xexp(x2)dx(N/2)erf(x)以得到速度的x分量在0之間的分子數(shù)為N/2,所以N(vx)N/2N(0vx)(N/2)1erf(Ux)2.4.5求麥克斯韋速度分布中速度分量vx大于2Vp的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。R提示1：利用2.4.4題證明的結(jié)果，現(xiàn)在e

21、rf(ux)erf(2)0.9953。R答1：0.00235。2.4.6若氣體分子的總數(shù)為N,求速率大于某一給定值v的分子數(shù)。設(shè)(1)vvp；(2)v2vp。R提示1:利用相對(duì)于vp的麥克斯韋速率分布，在0v范圍內(nèi)的分子數(shù)為N(0v)Nerf(u)(2/%,'/)uexp(u2)速率大于v的分子數(shù)為：NN(0v)。R答1：(1)0.573N;(2)0.046N。.2.5.1一容積為1升的容器，盛有溫度為300K,壓強(qiáng)為30104Pa的僦氣，僦的摩爾質(zhì)量為0.040kg。若器壁上有一面積為1.0X10-3cm2的小孔，僦氣將通過小孔從容器內(nèi)逸出，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間容器里的原子數(shù)減少為原有原子數(shù)

22、的1/e?R分析1:這是一個(gè)瀉流問題，可以應(yīng)用氣體分子碰壁數(shù)來解。應(yīng)該注意，容器內(nèi)的分子數(shù)(或者說容器內(nèi)的分子數(shù)密度)是隨時(shí)間而減少的，所以是個(gè)變量?；蛘哒f相等時(shí)間內(nèi)流出去的分子數(shù)是不相等的，應(yīng)該建立微分方程。考慮在t到t出時(shí)間內(nèi)，容器內(nèi)的分子數(shù)由于瀉流從N變化為NdN,其中dN就是在dt時(shí)間內(nèi)瀉流流出去的分子數(shù)，列出dN和dt之間的關(guān)系，這就是解本題所需要的微分方程。經(jīng)過分離變量積分，就可以得到所需要的結(jié)果。0Po:在dt時(shí)間內(nèi)在面積為A的小孔中流出的分子數(shù)為-dNnvAdt/4,所以在上0至ijt之間式中加一負(fù)號(hào)?，F(xiàn)在在上式兩邊都除以容器體積V,并且在其中n為氣體分子數(shù)密度?？紤]到氣體的流

23、出使得分子數(shù)減少進(jìn)行積分n2(vA/4V)dtni(1/n)dn(vA/4V)tln(n2/n1)現(xiàn)在要求容器中的原子數(shù)最后減少到n2n1/e,1/e,即ln(n2/n1)tJV_也卜MmAVA8RT100s1：2冗M(jìn)mRT即：經(jīng)過100s容器內(nèi)原子數(shù)減為原來的1/e。.2.5.2一容器被一隔板分成兩部分，其中氣體的壓強(qiáng)分別為Pi,p2。兩部分氣體的溫度均為T,摩爾質(zhì)量均為Mm。試證明：如果隔板上有面積為A的小孔，則每秒通過小孔的氣體質(zhì)量為dmdtMmm(PiP2)AV2tRTR分析1:容器被隔板分成兩部分以后，隔板左右兩邊的氣體都可以通過小孔從一邊流向另一邊，和上一題一樣利用氣體分子碰壁數(shù)來

24、解。R解1:利用平均速率公式可以把氣體分子碰壁數(shù)公式變換為p/v12冗mkT現(xiàn)在分別用下標(biāo)1,2分別表示隔板左、右氣體的各個(gè)物理量。在時(shí)間內(nèi)通過單位面積小孔，隔板左邊凈增加的分子數(shù)為dtp1p2(1/，2兀mkT)在dt內(nèi)通過小孔的氣體質(zhì)量為dmdt丫2冗kTPiP2AMmPiP2A2.5.3處于低溫下的真空容器器壁可吸附氣體分子，這叫做“低溫泵”，它是提高真空度的一種簡(jiǎn)便方法?？紤]一半徑為0.1m的球形容器，器壁上有一面積為1cm2的區(qū)域被冷卻到液氮溫度(77K)，其余部分及整個(gè)容器均彳持300Ko初始時(shí)刻容器中的水蒸氣壓強(qiáng)為1.33Pa,設(shè)每個(gè)水分子碰到這一小區(qū)域上均能被吸附或被凝結(jié)在上面

25、，試問要使容器的壓強(qiáng)減小為1.33104Pa,需多少時(shí)間？0P0：設(shè)t時(shí)刻分子數(shù)密度為n(t),則dt時(shí)間內(nèi)碰在A面積上的分子數(shù)為dn(t)翳小出利用p=nkT公式，它可以化為dp(t)dn(t)P(t)dt經(jīng)過積分，可以得到，v,、P(t)P0e)P(At)4VvAdt4VP0exP(ARTV12冗M(jìn)t)P(t)/ARTexP(,t)P0Vv2ttM4_1.3310Pa1.33Pa4Vln1027tMA.RT2.60s2.5.4有人曾用瀉流法測(cè)量石墨的蒸汽壓。他們測(cè)得在2603K的溫度下有0.648103kg的碳在3.5h內(nèi)通過3.25mm2的小孔。假定碳的蒸汽分子是單原子的，試估計(jì)石墨在2

26、603K時(shí)的蒸汽壓強(qiáng)。R分析1:即使在2603K的溫度下，碳的蒸汽壓強(qiáng)并不大，可以認(rèn)為它是理想氣體。pnkT和氣體分子碰壁數(shù)公式都適用。另外，因?yàn)樵跍囟纫欢ǖ那闆r下，飽和蒸汽壓強(qiáng)是不變的，所以可以利用透過小孔瀉流的分子數(shù)來確定石墨的蒸汽壓強(qiáng)。R答:5.3102Pa。2. 5.5若使氫分子和氧分子的Vrms等于它們?cè)诘厍虮砻嫔系奶右菟俾?，各需多高的溫度？若使氫分子和氧分子的vrms等于月球表面上的逃逸速率，各需多高的溫度？已經(jīng)知道月球的半徑為地球半徑的0.27倍，月球的重力加速度為地球的0.165倍。R分析1:在離地球中心距離為R的高層大氣中，必有某些氣體分子的速率大于從該處脫離地球引力而逃逸的

27、最小速率Vmin（它稱為逃逸速率），這些分子向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，只要不和其它分子碰撞，就可以逃逸出大氣層。其逃逸速率滿足2GMEm/Rmvmin,E/2在忽略重力加速度隨高度的變化的情況下，可以用地球表面的數(shù)據(jù)替代，則Vmin,E2GMe/Re2REgE（1）其中g(shù)E是地球重力加速度，Me是地球質(zhì)量，Re是地球半徑。同樣，在月球表面上也有逃逸速率Vmin,M。和（1）式類似，有如下表達(dá)式Vmin,Mv:2GMm/Rm、甌藐（2）其中下標(biāo)M表示月球的各物理量。R答:氫分子和氧分子的vrms分別等于地球表面上的逃逸速率時(shí)的氫氣和氧氣的溫度分別為Th,e1.0104K,TO,E1.6105K.氫分子和氧分子

28、的Vrms分別等于它們?cè)谠虑虮砻嫔系奶右菟俾蕰r(shí)的氫氣和氧氣溫度分別為Th,m4.6102K,To,m7.4103K2、2.5.6氣體的溫度T273K,壓強(qiáng)p1.0110Pa,密度331.24103kgm3。試求：（1）氣體的摩爾質(zhì)量，并確定它是什么氣體；(2)氣體分子的方均根速率。R提示1:把理想氣體方程變換為求密度的公式，從而確定氣體的摩爾質(zhì)量。R答1：(1)28103kg,N2或者CO;；(2)4,94102ms-1。2.5.7當(dāng)液體與其飽和蒸汽共存時(shí)，氣化率與凝結(jié)率相等。設(shè)所有碰到液面上的蒸汽分子都能凝結(jié)為液體，并假定當(dāng)把液面上的蒸汽迅速抽去時(shí)，液體的氣化率與存在飽和蒸汽時(shí)的氣化率相同。

29、已知水銀在00c時(shí)的飽和蒸汽壓為0.0246Nm-2,氣化熱為336kJkg-1,問每秒通過每平方厘米液面有多少克水銀向真空中氣化。R答1:6.7109kg。2.5.8一帶有小孔(小孔面積為A)的固定隔板把容器分為體積均為V的兩部分。開始時(shí)，左方裝有溫度為T0、壓強(qiáng)為p0的單原子分子理想氣體，右方為真空。由于孔很小，因而雖然板兩邊分子數(shù)隨時(shí)間變化，但仍可假定任一時(shí)刻近似是平衡態(tài)。又整個(gè)容器被溫度為T0的熱源包圍。試求：(1)在t到t+dt時(shí)間內(nèi)從左方穿過小孔到達(dá)右方的分子；(2)左方壓強(qiáng)的具體表達(dá)式(它是時(shí)間的函數(shù))；(3)最后達(dá)到平衡時(shí)氣體與熱源一共交換了多少熱量？解:(1)左方和右方容器都

30、有分子穿過小孔到達(dá)對(duì)方容器。設(shè)t時(shí)刻左方和右方容器中的分子數(shù)密度分別為n1(t),n2(t)。由于左方、右方容器體積相等，并且開始時(shí)刻右方容器壓強(qiáng)為零，所以n1(t)也n0(其中n°p°/kT)(1)按照氣體分子碰壁數(shù)公式，在t到t+dt時(shí)間內(nèi)，從左方穿過小孔到達(dá)右方的分子數(shù)為dN1nvAdt/4n?vAdt/4(2)(2)利用(1)、(2)兩式可以得到dn1(A/4V)v(2n1n0)dt分離變量積分，并且利用pnkT公式。得到左方壓強(qiáng)的具體表達(dá)式為p1(t)(p0/2)1exp：vAt/2V(3)由于左、右方容器溫度始終為T0,系統(tǒng)和外面的溫度始終相等,所以最后達(dá)到平衡

31、的過程中氣體與熱源沒有熱量交換。2.5.9容器中某一器壁面是由有很多能穿透分子的小孔的膜構(gòu)成。容器內(nèi)的氣體可穿過小孔逸出到容器外面的、始終維持高真空的大容器中。若容器內(nèi)充滿溫度為室溫、壓強(qiáng)為p0的氨氣，則一小時(shí)后容器內(nèi)壓強(qiáng)將降為p/2。已知容器內(nèi)裝的是壓強(qiáng)為po的氨氣與窟氣所組成的混合理想氣體，且氨氣與窟氣的百分比相等，試問經(jīng)一小時(shí)后氨氣、窗氣的分子數(shù)密度之比He/ONe是多少？試以氨氣與速氣的摩爾質(zhì)量之比MHe/MNe表示之。試問為什么要先用純氨氣測(cè)一下容器中壓強(qiáng)降低一半所需的時(shí)間？R分析1：由于平均速率和分子質(zhì)量的平方根成反比，所以混合理想氣體穿過小孔瀉流到容器外面的真空中時(shí)，質(zhì)量小的分子

32、穿過小孔的概率大，利用這一性質(zhì)可以用來分離氨、窟氣體。R解1:設(shè)原純氨氣的分子數(shù)密度為n,則氨、就混合前后其各自分子數(shù)密分別為n/2,n1和n/2,n2。對(duì)純氨氣利用氣體分子碰壁數(shù)公式，可以有nto(nvHe/4)AdtVdn°(vHe/4V)Adt；(1/n)dnAvHeto/4VIn2(1)其中to1小時(shí)。實(shí)際上，利用(1)式就可以確定A/V(應(yīng)該注意到膜中所有小孔的總面積A是不能直接測(cè)定出的)。下面分別求出氨氣、窗氣的數(shù)密度隨時(shí)間的變化關(guān)系。對(duì)于混合理想氣體中的氮?dú)庥衝一exp2AVHet4V(2)tVHeAdtn11dnAVHet1nd,nIn04Vn/2n4Vn/22nl利

33、用(1)式，并且令t0=1小時(shí)，則可以知道,經(jīng)一小時(shí)后氨氣分子數(shù)密度(n/2)expln2n/4(3)同理，對(duì)于窟氣有:n2n2exPAVNet4V(4)經(jīng)一小時(shí)后就氣的分子數(shù)密度為由此可求得0HenNen2nn2n2exPVNen/4(n/2)2ln2VNe/VHeNe_n2京2(142VNe(5)(1MHe/MNe)先用純氨氣測(cè)出氨氣在容器中壓強(qiáng)降為一半的時(shí)間，目的是通過比較可以消去A/V這一無法確定的系數(shù)。2.5.10試證分子束中的氣體分子的平均速率及方均根速率分別為4kTR分析1：由于分子束是借助容器中氣體透過小孔瀉流出來的分子去穿過準(zhǔn)直狹縫而制得。瀉流分子與容器內(nèi)氣體分子的不同在于，

34、前者是動(dòng)態(tài)的，它的平均速度(注意是平均速度而不是平均速率)不為零，因而有宏觀遷移；而后者是靜態(tài)的，其平均速度為零。反映在速率分布上，后者是麥克斯韋速率分布，其概率分布函數(shù)正比于V2exp(mV2/2kT)；而前者是動(dòng)態(tài)的，速率大的分子逸出小孔的概率大些，所以概率分布函數(shù)正比于V3exp(mV2/2kT)請(qǐng)注意：這里是V3,而不是V2。所以分子束的速率分布函數(shù)可以寫為F(V)dVAv3exp(mV2/2kT)dV其中A為歸一化系數(shù).通過歸一化可以求得Am2/2(kT)2這說明分子束的速率分布為F(v)dvm2/2(kT)2v3exp(mv2/2kT)dvR解1:利用分子束的速率分布可求得分子束的

35、平均速率及速率的平方平均值分別為：.22.3,2,v束0m/2(kT)vvexp(mv/2kT)dvv19小丁/8m22_2232_v束om2/2(kT)2v2v3exp(mv2/2kT)dv4kT/m方均根速率為：v2v14kT/m2.5.11從一容器壁的狹縫射出一分子束，(1)試求該分子束中分子的最概然速率vp和最概然能量po(2)求得的vp和p與容器內(nèi)的2.Vp和p是否相同，為什么？(3)p是否等于(mvp/2),為什么？R解1：(1)由上題的分子束的速率分布函數(shù)_2_232_F(v)dvm/2(kT)vexp(mv/2kT)dv可以得到分子束中分子的最概然速率vp:pd_2_2_32_

36、m2/2(kT)2v3exp(mv2/2kT)vv0dvpvp.3kT/mp把分子束的速率分布函數(shù)化為分子束按照能量分布的函數(shù)：_2_24F()d1/2(kT)exo(/kT)d(mv/4)_2_21/2(kT)exp(/kT)d2/2(kT)exp()dkTdF()d2/2(kT)2exp(/kT)0得到最概然能量pkT(2)我們看到，求得的分子束的vp1和p1與容器內(nèi)氣體分子的vp2和p2不同。容器內(nèi)氣體是處于靜態(tài)的，而分子束中的氣體分子是處于動(dòng)態(tài)的，所以容器內(nèi)氣體速率分布不同于分子束中分子的速率分布。(3)我們也看到vp13kT/m.2kT/mvp2,pikTkT/2p2,也是因?yàn)榉肿邮?/p>

37、中的氣體分子是處于動(dòng)態(tài)的，而容器內(nèi)氣體是處于靜態(tài)的。2.5.12暴露在分子質(zhì)量為m、分子數(shù)密度為n、溫度為T的理想氣體中干凈的固體表面以某一速率吸收氣體分子(其單位為分子數(shù)/秒。米2)。若固體對(duì)撞擊到表面上的，其速度法向分量小于vr的分子的吸收概率為零，而對(duì)大于Vr的分子的吸收概率為1,試求吸收速率的表達(dá)式。0Po:若以固體表面的法向定為X方向，按照題義，所有速度分量Vy,Vz為任意，而法向分量Vx大于Vr的分子撞擊到表面上都能夠被吸收，但是其速度法向分量小于Vr的分子的吸收概率為零。我們從氣體分子碰壁數(shù)公式的推導(dǎo)過程中就可以知道其總的吸收概率為：VrF(Vx)dVxvnf(Vx)VxdVxr

38、1/2Vrm2ukTexp2mvxvxdvx2kT1m22TtkT2kTmexp2mv而VrkTexp(mv.2kT，2.6.1試證若認(rèn)為地球的大氣是等溫的，則把所有大氣分子壓縮為一層環(huán)繞地球表面的、壓強(qiáng)為一個(gè)大氣壓的均勻氣體球殼，這層球殼厚度就是大氣標(biāo)高。R分析1:在離地高為zzdz的范圍內(nèi)的球殼體積為，一、2.dV(z)4XREz)dz(1)說明：這是因?yàn)榈厍虼髿鈽?biāo)高只有8km,它比地球半徑Re要小得多，所以那一層球殼相對(duì)于地球來講相當(dāng)于一層“紙”。而“紙”的體積就等于球面面積再乘以“紙”的高度。當(dāng)然，我們也可以如下更清楚地求出：4_3_3_dV(z)”zdzRe)(zRe)4_2_23(

39、zRe)dz3(zRe)dzdz3忽略dz的二次方和三次方項(xiàng)，同樣有_2dV(z)4KzRe)dzR解1:若設(shè)在海平面處的氣體分子數(shù)密度為n(0),在球殼體積dV(z)范圍內(nèi)的分子數(shù)_2dN(z)dV(z)n(z)4XzRe)dzn(0)exp(Mmgz/RT)Nn(0)°4/22zRERE2)exp(Mmgz/RT)dz令RT/MmgH稱為大氣標(biāo)高，設(shè)在海平面處的氣體分子數(shù)密度為n(0),所有大氣的總分子數(shù)為N,則：N4如(0)°z2exp(z/H)dz2RE°ze>p(z/H)dz2,Re0exp()dzHn(0)4冗旦Re2mg12kT2kT2,_2(

40、)2mgRemgRE(2)現(xiàn)在來估計(jì)kT/mgR的數(shù)量級(jí)。設(shè)地球大氣為平均溫度T=273K的等溫大氣，而且Re6.4106km,m291.671027kgkTmgR231.3810273291.6710279.86.41060.00124(3)利用(3)式可以看到，(2)式的方括號(hào)中的第二項(xiàng)比第一項(xiàng)小3個(gè)數(shù)量級(jí)，第三項(xiàng)又比第二項(xiàng)小3個(gè)數(shù)量級(jí)。我們完全可以忽略其中的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)。顯然，用近似方法進(jìn)行計(jì)算要簡(jiǎn)便得多。這時(shí)2kT2Nn(0)47tRf(一)n(0)4uRfHmg其中H為大氣標(biāo)高。由此看來，把地球的所有大氣分子壓縮為一層環(huán)繞地球表面的、壓強(qiáng)為一個(gè)大氣壓的均勻氣體球殼，這層球殼厚度就是

41、大氣標(biāo)高。92.6.2試估計(jì)質(zhì)量為10kg的砂粒能像地球大氣一樣分布的等溫大氣溫度的數(shù)量級(jí)。R分析1：(1)我們知道，布朗粒子和分子之間沒有本質(zhì)區(qū)別，僅不過布朗粒子的質(zhì)量比一般的分子大幾個(gè)數(shù)量級(jí)。從能量均分定理可以知道，2222.mvx/2mvv/2mvx/2kT/2mv/6人y人若布朗粒子和分子分別處于相同溫度的系統(tǒng)中，則布朗粒子的均方速率要比分子的均方速率小好幾個(gè)數(shù)量級(jí)。同樣，砂粒和布朗粒子之間也沒有本質(zhì)區(qū)別，也僅不過砂粒的質(zhì)量比一般的布朗粒子大十幾個(gè)數(shù)量級(jí)，相應(yīng)地其均方速率要小十幾個(gè)數(shù)量級(jí)。當(dāng)砂粒的均方速率小到如此情況，它在1秒內(nèi)的均方位移也要比砂粒本身的大小還要小數(shù)個(gè)數(shù)量級(jí)時(shí)，其宏觀位

42、移根本測(cè)量不出，則砂粒的布朗運(yùn)動(dòng)(或者說無規(guī)運(yùn)動(dòng))可以不必考慮?？梢怨烙?jì)到，當(dāng)溫度上升的足夠高時(shí)，砂粒也會(huì)像分子那樣作熱運(yùn)動(dòng)的。(2)布朗粒子或者砂粒在地球重力作用下能夠像地球大氣一樣分布的條件是它們的大氣標(biāo)高kT/mg應(yīng)該都相同。R答:1018K。2.6.3若認(rèn)為大氣是溫度為273K的等溫大氣，試估計(jì)地球大氣的總分子數(shù)及總質(zhì)量。0Po:解法一：由2.6.1題的解中已經(jīng)得到所有大氣的總分子數(shù)N的表達(dá)式kT22kTkT21Nn(0)4lRe12()mgmgRemgRe由于上式的方括號(hào)中第二項(xiàng)比第一項(xiàng)小3個(gè)數(shù)量級(jí)，第三項(xiàng)又比第二項(xiàng)小3個(gè)數(shù)量級(jí)，完全可以忽略其中的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)。利用2。6。1題得到

43、的地球大氣標(biāo)高公式3HkT/mg0.00124Re7.9103m以及標(biāo)準(zhǔn)狀況下的理想氣體分子數(shù)密度n(0)2.71025m-3,就可以近似求得地球大氣的總分子數(shù)及總質(zhì)量分別為_2_44Nn(0)4uRE(kT/mg)1.110MNmNMm/NA5.31018kg解法二：由于大氣分子數(shù)密度是按指數(shù)曲線衰減的，地球大氣標(biāo)高H=Mmg/RT=8km,說明從海平面到高度h=H處大氣分子數(shù)密度已減少為n(0)/e。我們知道，若把整個(gè)大氣分子壓縮為一層覆蓋在地球表面的、其密度與海平面處大氣密度相等的均勻大氣層，則其厚度也是H。故大氣總分子數(shù)244N4uReHn(0)1.110其中n(0)為標(biāo)準(zhǔn)狀況下理想氣

44、體分子數(shù)密度。解法三：我們知道，地球表面的大氣壓強(qiáng)是因?yàn)榈厍驅(qū)Φ孛嬉陨纤械拇髿夥肿拥闹亓ψ饔枚a(chǎn)生的。海平面上的大氣壓強(qiáng)是標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)p0,地球的表面積是4TtR2,所以地球大氣分子的總質(zhì)量為Mp0/4uRfg5.31018kg2.6.4試估計(jì)大氣中水汽的總質(zhì)量的數(shù)量級(jí)?？烧J(rèn)為大氣中水汽全部集中于緊靠地面的對(duì)流層中，對(duì)流層平均厚度為10km,對(duì)流層中水汽平均分壓為665PaR解力：設(shè)地球大氣平均溫度為273K,利用p=nkT公式可以得到大氣中水汽分子總質(zhì)量的數(shù)量級(jí)為M4uRfh(p/kT)m2.71016kg2.6.5已知超速離心機(jī)以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，膠體密度為，溶劑密度0,測(cè)得與離心機(jī)的軸相距為

45、2及1處質(zhì)點(diǎn)濃度之比為。試問膠體分子的摩爾質(zhì)量Mm是多少？R分析：在膠體溶液中，質(zhì)量為m、體積為V的膠體分子受到重力和浮力的共同作用.*fmg0Vgmgm的膠體分.*其中mm(10/)稱為有效質(zhì)量。也就是說，在重力場(chǎng)中的膠體溶液中，質(zhì)量為一»一.一一*子相當(dāng)于在真仝王景中的質(zhì)重為m的氣體分子。按照定軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的粒子空間分布公式可以知道，在作定軸旋轉(zhuǎn)溶劑中懸浮的膠體微粒的分布有如下關(guān)系：m(1n(r)n(0)exp22o/)r2kT及r=0處粒子的數(shù)密度。設(shè)其中n(r)和n(0)分別為r=rn(2)/n(ri),則m(10/)巡2kT膠體分子的摩爾質(zhì)量Mm2RTln2722(10/)(

46、r2ri)2.6.6拉薩海拔約為3600m,設(shè)大氣溫度300K處處相等。（1）當(dāng)海平面上氣壓為1.01105Pa時(shí)，拉薩的氣壓是多少？（2）某人在海平面上每分鐘呼吸17次，他在拉薩應(yīng)呼吸多少次才能吸人相同質(zhì)量的空氣。R答：（1）0.67105Pa；25.6次。2.6.7若把太陽大氣層看作溫度為T日5500K的等溫大氣，其重力加速度g日2.7106.9已知溫度為T的理想氣體在重力場(chǎng)中處于平衡狀態(tài)時(shí)的分布ms2可視為常量，太陽粒子平均摩爾質(zhì)量3.Mm日1.510kg,試問太陽大氣標(biāo)圖是多少？R答:1.13105m。2.6.8在等溫大氣模式中，設(shè)氣溫為5°C,同時(shí)測(cè)得海平面的大氣壓和山頂?shù)?/p>

47、氣壓分別為1.00105Pa和0.78105Pa,試問山頂海拔為多少？R答:2.010函數(shù)為m。3/2Am2ukTexp2mvmgzdddvxdvydvzdxdydz其中z為由地面算起的高度。(1)試求出系數(shù)Ao(2)試寫出一個(gè)分子其x、y坐標(biāo)可任意取，其z軸坐標(biāo)處于zzdz,而其速度矢量處于vxvxdvx，vy-vydvy,vzvzdvz間的概率。(3)寫出一個(gè)分子其x、v、z坐標(biāo)及vy,vz均可任意取值，但vx處于vxvxdvx間的概率。(4)一個(gè)分子的vx，vy,vz及x、y坐標(biāo)均可任意取，其高度處于zzdz的概率是多少？m2ukT3/2exp2mv2kTmgzdvxdvydvzdxdy

48、dzR分析1:顯然m2#T3/2exp2mvmgzdvxdvydvzAexpdxdydz上式中等式后面的前一因子是麥克斯韋速度分布，它是歸一化的。而后一因子是沿z方向的重力場(chǎng)分布。它也應(yīng)該滿足是歸一化條件Aexpmgzdxdydz1kT在這一積分中，考慮到把整個(gè)大氣分子壓縮為其密度與海平面的密度相同的均勻大氣層時(shí)，其大氣層厚度為大氣標(biāo)高Ho對(duì)于地球大氣它大約是8km。顯然H大大小于地球半徑Ro=6400km。我們看到，這一均勻大氣層好像是覆蓋在球面上的一張“紙”。把這張“紙”展開可以近似看為面積為地球表面積4tRe的一個(gè)平面。所以在上述積分中，z是從0積分到無窮大，而x,y應(yīng)該積分遍及整個(gè)地球表面。R解：(1)考慮如下積分mgz,kT一expdzH(1)0kTmg所以Aexomzdxdydz4%曜H1RT124uReHmg-7_24uREkT(2)求出A以后，題目中所給分布公式可以寫為Mmg4uRERT322mmvexp2ukT2kTmgzdvxdvydvzdxdydz(3)kT要求出一個(gè)分子其x、y坐標(biāo)可任意取，其z軸坐標(biāo)處于zzdz,而其速度矢量處于vxvxdvx,vyvydvy.VzVzdWz間的概率，mgmkT2ukT322mvexo2k