《相似三角形》經(jīng)典練習(xí)題(共42頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上相似三角形經(jīng)典練習(xí)題（附答案）1如圖，在ABC中，DEBC，EFAB，求證：ADEEFC2如圖，梯形ABCD中，ABCD，點F在BC上，連DF與AB的延長線交于點G（1）求證：CDFBGF；（2）當(dāng)點F是BC的中點時，過F作EFCD交AD于點E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的長3如圖，點D，E在BC上，且FDAB，F(xiàn)EAC求證：ABCFDE4如圖，已知E是矩形ABCD的邊CD上一點，BFAE于F，試說明：ABFEAD5已知：如圖所示，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，且點B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的

2、中點（1）求證：BE=CD；AMN是等腰三角形；（2）在圖的基礎(chǔ)上，將ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)180，其他條件不變，得到圖所示的圖形請直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立；（3）在（2）的條件下，請你在圖中延長ED交線段BC于點P求證：PBDAMN6如圖，E是ABCD的邊BA延長線上一點，連接EC，交AD于點F在不添加輔助線的情況下，請你寫出圖中所有的相似三角形，并任選一對相似三角形給予證明7如圖，在43的正方形方格中，ABC和DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上（1）填空：ABC=_，BC=_；（2）判斷ABC與DEC是否相似，并證明你的結(jié)論8如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3

3、cm，BC=6cm某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，問：（1）經(jīng)過多少時間，AMN的面積等于矩形ABCD面積的？（2）是否存在時刻t，使以A，M，N為頂點的三角形與ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由9如圖，在梯形ABCD中，若ABDC，AD=BC，對角線BD、AC把梯形分成了四個小三角形（1）列出從這四個小三角形中任選兩個三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）請你任選一組相似三角形，并給出證明10如圖ABC中，

4、D為AC上一點，CD=2DA，BAC=45，BDC=60，CEBD于E，連接AE（1）寫出圖中所有相等的線段，并加以證明；（2）圖中有無相似三角形？若有，請寫出一對；若沒有，請說明理由；（3）求BEC與BEA的面積之比11如圖，在ABC中，AB=AC=a，M為底邊BC上的任意一點，過點M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q（1）求四邊形AQMP的周長；（2）寫出圖中的兩對相似三角形（不需證明）；（3）M位于BC的什么位置時，四邊形AQMP為菱形并證明你的結(jié)論12已知：P是正方形ABCD的邊BC上的點，且BP=3PC，M是CD的中點，試說明：ADMMCP13如圖，已知梯形ABCD中，A

5、DBC，AD=2，AB=BC=8，CD=10（1）求梯形ABCD的面積S；（2）動點P從點B出發(fā)，以1cm/s的速度，沿BADC方向，向點C運動；動點Q從點C出發(fā)，以1cm/s的速度，沿CDA方向，向點A運動，過點Q作QEBC于點E若P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)目的地時整個運動隨之結(jié)束，設(shè)運動時間為t秒問：當(dāng)點P在BA上運動時，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長平分？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、A、D為頂點的三角形與CQE相似？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由；在運動過程中，是否存在這樣的t

6、，使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由14已知矩形ABCD，長BC=12cm，寬AB=8cm，P、Q分別是AB、BC上運動的兩點若P自點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運動，同時，Q自點B出發(fā)以2cm/s的速度沿BC方向運動，問經(jīng)過幾秒，以P、B、Q為頂點的三角形與BDC相似？15如圖，在ABC中，AB=10cm，BC=20cm，點P從點A開始沿AB邊向B點以2cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以4cm/s的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘，PBQ與ABC相似16如圖，AC

7、B=ADC=90，AC=，AD=2問當(dāng)AB的長為多少時，這兩個直角三角形相似17已知，如圖，在邊長為a的正方形ABCD中，M是AD的中點，能否在邊AB上找一點N（不含A、B），使得CDM與MAN相似？若能，請給出證明，若不能，請說明理由18如圖在ABC中，C=90，BC=8cm，AC=6cm，點Q從B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度移動，點P從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動若Q、P分別同時從B、C出發(fā)，試探究經(jīng)過多少秒后，以點C、P、Q為頂點的三角形與CBA相似？19如圖所示，梯形ABCD中，ADBC，A=90，AB=7，AD=2，BC=3，試在腰AB上確定點P的位置，使得以P，A

8、，D為頂點的三角形與以P，B，C為頂點的三角形相似20ABC和DEF是兩個等腰直角三角形，A=D=90，DEF的頂點E位于邊BC的中點上（1）如圖1，設(shè)DE與AB交于點M，EF與AC交于點N，求證：BEMCNE；（2）如圖2，將DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長線交于點M，EF與AC交于點N，于是，除（1）中的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形并證明你的結(jié)論21如圖，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，點P沿AB邊從點A開始向B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動如果P、Q同時出發(fā)，用t（秒）表示移動的時間，那么當(dāng)t為何值時，以點

9、Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似22如圖，路燈（P點）距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部（O點）20米的A點，沿OA所在的直線行走14米到B點時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？23陽光明媚的一天，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們?nèi)y量一棵樹的高度（這棵樹底部可以到達(dá)，頂部不易到達(dá)），他們帶了以下測量工具：皮尺，標(biāo)桿，一副三角尺，小平面鏡請你在他們提供的測量工具中選出所需工具，設(shè)計一種測量方案（1）所需的測量工具是：_；（2）請在下圖中畫出測量示意圖；（3）設(shè)樹高AB的長度為x，請用所測數(shù)據(jù)（用小寫字母表示）求出x24問題背景在某次活動課中，甲、乙、丙三個學(xué)習(xí)小組于同一時刻

10、在陽光下對校園中一些物體進行了測量下面是他們通過測量得到的一些信息：甲組：如圖1，測得一根直立于平地，長為80cm的竹竿的影長為60cm乙組：如圖2，測得學(xué)校旗桿的影長為900cm丙組：如圖3，測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計）的高度為200cm，影長為156cm任務(wù)要求：（1）請根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計算出學(xué)校旗桿的高度；（2）如圖3，設(shè)太陽光線NH與O相切于點M請根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑（友情提示：如圖3，景燈的影長等于線段NG的影長；需要時可采用等式1562+2082=2602）25陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下2.7m寬的亮區(qū)（如圖所示

11、），已知亮區(qū)到窗口下的墻腳距離EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高BC26如圖，李華晚上在路燈下散步已知李華的身高AB=h，燈柱的高OP=OP=l，兩燈柱之間的距離OO=m（1）若李華距燈柱OP的水平距離OA=a，求他影子AC的長；（2）若李華在兩路燈之間行走，則他前后的兩個影子的長度之和（DA+AC）是否是定值請說明理由；（3）若李華在點A朝著影子（如圖箭頭）的方向以v1勻速行走，試求他影子的頂端在地面上移動的速度v227如圖，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1，S2，S3表示，則不難證明S1=S2+S3（1）如圖，分別以直角三角形ABC三

12、邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之間有什么關(guān)系；（不必證明）（2）如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S1、S2、S3表示，請你確定S1，S2，S3之間的關(guān)系并加以證明；（3）若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別用S1，S2，S3表示，為使S1，S2，S3之間仍具有與（2）相同的關(guān)系，所作三角形應(yīng)滿足什么條件證明你的結(jié)論；（4）類比（1），（2），（3）的結(jié)論，請你總結(jié)出一個更具一般意義的結(jié)論28已知：如圖，ABCADE，AB=15，AC=9，BD=5求AE29已知：如圖RtABCRtBD

13、C，若AB=3，AC=4（1）求BD、CD的長；（2）過B作BEDC于E，求BE的長30（1）已知，且3x+4z2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：兩相似三角形對應(yīng)高的比為3：10，且這兩個三角形的周長差為560cm，求它們的周長參考答案與試題解析1如圖，在ABC中，DEBC，EFAB，求證：ADEEFC考點：相似三角形的判定；平行線的性質(zhì)。專題：證明題。分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)可知AED=C，A=FEC，根據(jù)相似三角形的判定定理可知ADEEFC解答：證明：DEBC，DEFC，AED=C又EFAB，EFAD，A=FECADEEFC點評：本題考查的是平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定定理2如圖，

14、梯形ABCD中，ABCD，點F在BC上，連DF與AB的延長線交于點G（1）求證：CDFBGF；（2）當(dāng)點F是BC的中點時，過F作EFCD交AD于點E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的長考點：相似三角形的判定；三角形中位線定理；梯形。專題：幾何綜合題。分析：（1）利用平行線的性質(zhì)可證明CDFBGF（2）根據(jù)點F是BC的中點這一已知條件，可得CDFBGF，則CD=BG，只要求出BG的長即可解題解答：（1）證明：梯形ABCD，ABCD，CDF=FGB，DCF=GBF，（2分）CDFBGF（3分）（2）解：由（1）CDFBGF，又F是BC的中點，BF=FC，CDFBGF，DF=GF，CD=BG，

15、（6分）ABDCEF，F(xiàn)為BC中點，E為AD中點，EF是DAG的中位線，2EF=AG=AB+BGBG=2EFAB=246=2，CD=BG=2cm（8分）點評：本題主要考查了相似三角形的判定定理及性質(zhì)，全等三角形的判定及線段的等量代換，比較復(fù)雜3如圖，點D，E在BC上，且FDAB，F(xiàn)EAC求證：ABCFDE考點：相似三角形的判定。專題：證明題。分析：由FDAB，F(xiàn)EAC，可知B=FDE，C=FED，根據(jù)三角形相似的判定定理可知：ABCFDE解答：證明：FDAB，F(xiàn)EAC，B=FDE，C=FED，ABCFDE點評：本題很簡單，考查的是相似三角形的判定定理：（1）如果兩個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么

16、這兩個三角形相似；（2）如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似；（3）如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似4如圖，已知E是矩形ABCD的邊CD上一點，BFAE于F，試說明：ABFEAD考點：相似三角形的判定；矩形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可解解答：證明：矩形ABCD中，ABCD，D=90，（2分）BAF=AED（4分）BFAE，AFB=90AFB=D（5分）ABFEAD（6分）點評：考查相似三角形的判定定理，關(guān)鍵是找準(zhǔn)對應(yīng)的角5已知：如圖所示，在ABC和ADE中，AB=

17、AC，AD=AE，BAC=DAE，且點B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點（1）求證：BE=CD；AMN是等腰三角形；（2）在圖的基礎(chǔ)上，將ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)180，其他條件不變，得到圖所示的圖形請直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立；（3）在（2）的條件下，請你在圖中延長ED交線段BC于點P求證：PBDAMN考點：相似三角形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。專題：幾何綜合題。分析：（1）因為BAC=DAE，所以BAE=CAD，又因為AB=AC，AD=AE，利用SAS可證出BAECAD，可知BE、CD是對應(yīng)邊，根據(jù)全等三角形對應(yīng)

18、邊上的中線相等，可證AMN是等腰三角形（2）利用（1）中的證明方法仍然可以得出（1）中的結(jié)論，思路不變（3）先證出ABMACN（SAS），可得出CAN=BAM，所以BAC=MAN（等角加等角和相等），又BAC=DAE，所以MAN=DAE=BAC，所以AMN，ADE和ABC都是頂角相等的等腰三角形，所以PBD=AMN，所以PBDAMN（兩個角對應(yīng)相等，兩三角形相似）解答：（1）證明：BAC=DAE，BAE=CAD，AB=AC，AD=AE，ABEACD，BE=CD由ABEACD，得ABE=ACD，BE=CD，M、N分別是BE，CD的中點，BM=CN又AB=AC，ABMACNAM=AN，即AMN為等

19、腰三角形（2）解：（1）中的兩個結(jié)論仍然成立（3）證明：在圖中正確畫出線段PD，由（1）同理可證ABMACN，CAN=BAMBAC=MAN又BAC=DAE，MAN=DAE=BACAMN，ADE和ABC都是頂角相等的等腰三角形PBD和AMN都為頂角相等的等腰三角形，PBD=AMN，PDB=ANM，PBDAMN點評：本題利用了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及等腰三角形一個頂角相等，則底角相等的性質(zhì)，還有相似三角形的判定（兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）6如圖，E是ABCD的邊BA延長線上一點，連接EC，交AD于點F在不添加輔助線的情況下，請你寫出圖中所有的相似三角形，并任選一對相似三角形給予證明考點：

20、相似三角形的判定；平行四邊形的性質(zhì)。專題：開放型。分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)和兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似這一判定定理可證明圖中相似三角形有：AEFBEC；AEFDCF；BECDCF解答：解：相似三角形有AEFBEC；AEFDCF；BECDCF（3分）如：AEFBEC在ABCD中，ADBC，1=B，2=3（6分）AEFBEC（7分）點評：考查了平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定定理7如圖，在43的正方形方格中，ABC和DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上（1）填空：ABC=135，BC=；（2）判斷ABC與DEC是否相似，并證明你的結(jié)論考點：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)。專題：證明題；網(wǎng)格型。

21、分析：（1）觀察可得：BF=FC=2，故FBC=45；則ABC=135，BC=2；（2）觀察可得：BC、EC的長為2、，可得，再根據(jù)其夾角相等；故ABCDEC解答：解：（1）ABC=135，BC=；（2）相似；BC=，EC=；，；又ABC=CED=135，ABCDEC點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率8如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻

22、速運動，問：（1）經(jīng)過多少時間，AMN的面積等于矩形ABCD面積的？（2）是否存在時刻t，使以A，M，N為頂點的三角形與ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由考點：相似三角形的判定；一元二次方程的應(yīng)用；分式方程的應(yīng)用；正方形的性質(zhì)。專題：動點型。分析：（1）關(guān)于動點問題，可設(shè)時間為x，根據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可，如本題中利用，AMN的面積等于矩形ABCD面積的作為相等關(guān)系；（2）先假設(shè)相似，利用相似中的比例線段列出方程，有解的且符合題意的t值即可說明存在，反之則不存在解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒后，AMN的面積等于矩形ABCD面積的，則有：（62

23、x）x=36，即x23x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）經(jīng)檢驗，可知x1=1，x2=2符合題意，所以經(jīng)過1秒或2秒后，AMN的面積等于矩形ABCD面積的（4分）（2）假設(shè)經(jīng)過t秒時，以A，M，N為頂點的三角形與ACD相似，由矩形ABCD，可得CDA=MAN=90，因此有或（5分）即，或（6分）解，得t=；解，得t=（7分）經(jīng)檢驗，t=或t=都符合題意，所以動點M，N同時出發(fā)后，經(jīng)過秒或秒時，以A，M，N為頂點的三角形與ACD相似（8分）點評：主要考查了相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)和一元二次方程的運用以及解分式方程要掌握正方形和相似三角形的性質(zhì)，才會靈活的運用注意：一般

24、關(guān)于動點問題，可設(shè)時間為x，根據(jù)速度表示出所涉及的線段的長度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可9如圖，在梯形ABCD中，若ABDC，AD=BC，對角線BD、AC把梯形分成了四個小三角形（1）列出從這四個小三角形中任選兩個三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）請你任選一組相似三角形，并給出證明考點：相似三角形的判定；概率公式。專題：開放型。分析：（1）采用列舉法，列舉出所有可能出現(xiàn)的情況，再找出相似三角形即可求得；與，與相似；（2）利用相似三角形的判定定理即可證得解答：解：（1）任選兩個三角形的所有可能情況如下六種情況：，（2分）其

25、中有兩組（，）是相似的選取到的二個三角形是相似三角形的概率是P=（4分）證明：（2）選擇、證明在AOB與COD中，ABCD，CDB=DBA，DCA=CAB，AOBCOD（8分）選擇、證明四邊形ABCD是等腰梯形，DAB=CBA，在DAB與CBA中有AD=BC，DAB=CAB，AB=AB，DABCBA，（6分）ADO=BCO又DOA=COB，DOACOB（8分）點評：此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=，即相似三角形的證明還考查了相似三角形的判定10附加題：如圖ABC中，D為AC上一點，CD=2DA，BAC=45

26、，BDC=60，CEBD于E，連接AE（1）寫出圖中所有相等的線段，并加以證明；（2）圖中有無相似三角形？若有，請寫出一對；若沒有，請說明理由；（3）求BEC與BEA的面積之比考點：相似三角形的判定；三角形的面積；含30度角的直角三角形。專題：綜合題。分析：（1）根據(jù)直角三角形中30度角所對的直角邊是斜邊的一半，可知CD=2ED，則可寫出相等的線段；（2）兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似則可判斷ADEAEC；（3）要求BEC與BEA的面積之比，從圖中可看出兩三角形有一公共邊可作為底邊，若求得高之比可知面積之比，由此需作BEA的邊BE邊上的高即可求解解答：解：（1）AD=DE，AE=CECEBD，B

27、DC=60，在RtCED中，ECD=30CD=2EDCD=2DA，AD=DE，DAE=DEA=30=ECDAE=CE（2）圖中有三角形相似，ADEAEC；CAE=CAE，ADE=AEC，ADEAEC；（3）作AFBD的延長線于F，設(shè)AD=DE=x，在RtCED中，可得CE=，故AE=ECD=30在RtAEF中，AE=，AED=DAE=30，sinAEF=，AF=AEsinAEF=點評：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及三角形面積的求法等，范圍較廣11如圖，在ABC中，AB=AC=a，M為底邊BC上的任意一點，過點M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q（1）求四邊形AQ

28、MP的周長；（2）寫出圖中的兩對相似三角形（不需證明）；（3）M位于BC的什么位置時，四邊形AQMP為菱形并證明你的結(jié)論考點：相似三角形的判定；菱形的判定。專題：綜合題。分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到對應(yīng)角相等對應(yīng)邊相等，從而不難求得其周長；（2）因為B=C=PMC=QMB，所以PMCQMBABC；（3）根據(jù)中位線的性質(zhì)及菱形的判定不難求得四邊形AQMP為菱形解答：解：（1）ABMP，QMAC，四邊形APMQ是平行四邊形，B=PMC，C=QMBAB=AC，B=C，PMC=QMBBQ=QM，PM=PC四邊形AQMP的周長=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a（

29、2）PMAB，PCMACB，QMAC，BMQBCA；（3）當(dāng)點M中BC的中點時，四邊形APMQ是菱形，點M是BC的中點，ABMP，QMAC，QM，PM是三角形ABC的中位線AB=AC，QM=PM=AB=AC又由（1）知四邊形APMQ是平行四邊形，平行四邊形APMQ是菱形點評：此題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，菱形的判定等知識點的綜合運用12已知：P是正方形ABCD的邊BC上的點，且BP=3PC，M是CD的中點，試說明：ADMMCP考點：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：欲證ADMMCP，通過觀察發(fā)現(xiàn)兩個三角形已經(jīng)具備一組角對應(yīng)相等，即D=C，此時，再求夾此對

30、應(yīng)角的兩邊對應(yīng)成比例即可解答：證明：正方形ABCD，M為CD中點，CM=MD=ADBP=3PC，PC=BC=AD=CMPCM=ADM=90，MCPADM點評：本題考查相似三角形的判定識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計算對應(yīng)角的度數(shù)、對應(yīng)邊的比本題中把若干線段的長度用同一線段來表示是求線段是否成比例時常用的方法13如圖，已知梯形ABCD中，ADBC，AD=2，AB=BC=8，CD=10（1）求梯形ABCD的面積S；（2）動點P從點B出發(fā)，以1cm/s的速度，沿BADC方向，向點C運動；動點Q從點C出發(fā)，以1cm/s

31、的速度，沿CDA方向，向點A運動，過點Q作QEBC于點E若P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)目的地時整個運動隨之結(jié)束，設(shè)運動時間為t秒問：當(dāng)點P在BA上運動時，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長平分？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、A、D為頂點的三角形與CQE相似？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由；在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由考點：相似三角形的判定；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的判定

32、；勾股定理；直角梯形。專題：動點型；開放型。分析：（1）求面積要先求梯形的高，可根據(jù)兩底的差和CD的長，在直角三角形中用勾股定理進行求解，得出高后即可求出梯形的面積（2）PQ平分梯形的周長，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP，已知了AD，BC的長，可以用t來表示出AP，BP，CQ，QD的長，那么可根據(jù)上面的等量關(guān)系求出t的值本題要分三種情況進行討論：一，當(dāng)P在AB上時，即0t8，如果兩三角形相似，那么C=ADP，或C=APD，那么在ADP中根據(jù)C的正切值，求出t的值二，當(dāng)P在AD上時，即8t10，由于P，A，D在一條直線上，因此構(gòu)不成三角形三，當(dāng)P在CD上時，即10t12，由于ADC是個鈍

33、角，因此ADP是個鈍角三角形因此不可能和直角CQE相似綜合三種情況即可得出符合條件的t的值（3）和（2）相同也要分三種情況進行討論：一，當(dāng)P在AB上時，即0t8，等腰PDQ以DQ為腰，因此DQ=DP或DQ=PQ，可以通過構(gòu)建直角三角形來表示出DP，PQ的長，然后根據(jù)得出的等量關(guān)系來求t的值二，當(dāng)P在AD上時，即8t10，由于BA+AD=CD=10，因此DP=DQ=10t，因此DP，DQ恒相等三，當(dāng)P在CD上時，即10t12，情況同二綜合三種情況可得出等腰三角形以DQ為腰時，t的取值解答：解：（1）過D作DHAB交BC于H點，ADBH，DHAB，四邊形ABHD是平行四邊形DH=AB=8；BH=A

34、D=2CH=82=6CD=10，DH2+CH2=CD2DHC=90B=DHC=90梯形ABCD是直角梯形SABCD=（AD+BC）AB=（2+8）8=40（2）BP=CQ=t，AP=8t，DQ=10t，AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，8t+2+10t=t+8+tt=38當(dāng)t=3秒時，PQ將梯形ABCD周長平分第一種情況：0t8若PADQEC則ADP=CtanADP=tanC=，t=。若PADCEQ則APD=C，tanAPD=tanC=，=，t=第二種情況：8t10，P、A、D三點不能組成三角形；第三種情況：10t12ADP為鈍角三角形與RtCQE不相似；t=或t=時，PAD與CQE相似第一

35、種情況：當(dāng)0t8時過Q點作QEBC，QHAB，垂足為E、HAP=8t，AD=2，PD=CE=t，QE=t，QH=BE=8t，BH=QE=tPH=tt=tPQ=，DQ=10t：DQ=DP，10t=，解得t=8秒：DQ=PQ，10t=，化簡得：3t252t+180=0解得：t=，t=8（不合題意舍去）t=第二種情況：8t10時DP=DQ=10t當(dāng)8t10時，以DQ為腰的等腰DPQ恒成立第三種情況：10t12時DP=DQ=t10當(dāng)10t12時，以DQ為腰的等腰DPQ恒成立綜上所述，t=或8t10或10t12時，以DQ為腰的等腰DPQ成立點評：本題主要考查了梯形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點

36、，要注意（2）中要根據(jù)P，Q的不同位置，進行分類討論，不要漏解14已知矩形ABCD，長BC=12cm，寬AB=8cm，P、Q分別是AB、BC上運動的兩點若P自點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運動，同時，Q自點B出發(fā)以2cm/s的速度沿BC方向運動，問經(jīng)過幾秒，以P、B、Q為頂點的三角形與BDC相似？考點：相似三角形的判定；矩形的性質(zhì)。專題：幾何動點問題；分類討論。分析：要使以P、B、Q為頂點的三角形與BDC相似，則要分兩兩種情況進行分析分別是PBQBDC或QBPBDC，從而解得所需的時間解答：解：設(shè)經(jīng)x秒后，PBQBCD，由于PBQ=BCD=90，（1）當(dāng)1=2時，有：，即；（2）當(dāng)1=

37、3時，有：，即，經(jīng)過秒或2秒，PBQBCD點評：此題考查了相似三角形的判定及矩形的性質(zhì)等知識點的綜合運用15如圖，在ABC中，AB=10cm，BC=20cm，點P從點A開始沿AB邊向B點以2cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以4cm/s的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘，PBQ與ABC相似考點：相似三角形的判定；一元一次方程的應(yīng)用。專題：動點型。分析：設(shè)經(jīng)過t秒后，PBQ與ABC相似，根據(jù)路程公式可得AP=2t，BQ=4t，BP=102t，然后利用相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊的比相等列出方程求解即可解答：解：設(shè)經(jīng)過秒后t秒后，PBQ與ABC相似，則有AP=2t，B

38、Q=4t，BP=102t，當(dāng)PBQABC時，有BP：AB=BQ：BC，即（102t）：10=4t：20，解得t=2.5（s）（6分）當(dāng)QBPABC時，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=（102t）：20，解得t=1所以，經(jīng)過2.5s或1s時，PBQ與ABC相似（10分）解法二：設(shè)ts后，PBQ與ABC相似，則有，AP=2t，BQ=4t，BP=102t分兩種情況：（1）當(dāng)BP與AB對應(yīng)時，有=，即=，解得t=2.5s（2）當(dāng)BP與BC對應(yīng)時，有=，即=，解得t=1s所以經(jīng)過1s或2.5s時，以P、B、Q三點為頂點的三角形與ABC相似點評：本題綜合了路程問題和三角形的問題，所以學(xué)生平時學(xué)過的

39、知識要會融合起來16如圖，ACB=ADC=90，AC=，AD=2問當(dāng)AB的長為多少時，這兩個直角三角形相似考點：相似三角形的判定。專題：分類討論。分析：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似在RtABC和RtACD，直角邊的對應(yīng)需分情況討論解答：解：AC=，AD=2，CD=要使這兩個直角三角形相似，有兩種情況：（1）當(dāng)RtABCRtACD時，有=，AB=3；（2）當(dāng)RtACBRtCDA時，有=，AB=3故當(dāng)AB的長為3或3時，這兩個直角三角形相似點評：本題考查相似三角形的判定識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找

40、出兩三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計算對應(yīng)角的度數(shù)、對應(yīng)邊的比17已知，如圖，在邊長為a的正方形ABCD中，M是AD的中點，能否在邊AB上找一點N（不含A、B），使得CDM與MAN相似？若能，請給出證明，若不能，請說明理由考點：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)。專題：探究型；分類討論。分析：兩個三角形都是直角三角形，還只需滿足一對角對應(yīng)相等或夾直角的兩邊對應(yīng)成比例即可說明兩個三角形相似若DM與AM對應(yīng)，則CDM與MAN全等，N與B重合，不合題意；若DM與AN對應(yīng)，則CD：AM=DM：AN，得AN=a，從而確定N的位置解答：證明：分兩種情況討論：若CDMMAN，則=邊

41、長為a，M是AD的中點，AN=a若CDMNAM，則邊長為a，M是AD的中點，AN=a，即N點與B重合，不合題意所以，能在邊AB上找一點N（不含A、B），使得CDM與MAN相似當(dāng)AN=a時，N點的位置滿足條件點評：此題考查相似三角形的判定因不明確對應(yīng)關(guān)系，所以需分類討論18如圖在ABC中，C=90，BC=8cm，AC=6cm，點Q從B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度移動，點P從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動若Q、P分別同時從B、C出發(fā)，試探究經(jīng)過多少秒后，以點C、P、Q為頂點的三角形與CBA相似？考點：相似三角形的判定。專題：綜合題；動點型。分析：此題要根據(jù)相似三角形的性質(zhì)設(shè)出未知數(shù)

42、，即經(jīng)過x秒后，兩三角形相似，然后根據(jù)速度公式求出他們移動的長度，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出分式方程求解解答：解：設(shè)經(jīng)過x秒后，兩三角形相似，則CQ=（82x）cm，CP=xcm，（1分）C=C=90，當(dāng)或時，兩三角形相似（3分）（1）當(dāng)時，x=；（4分）（2）當(dāng)時，x=（5分）所以，經(jīng)過秒或秒后，兩三角形相似（6分）點評：本題綜合考查了路程問題，相似三角形的性質(zhì)及一元一次方程的解法19如圖所示，梯形ABCD中，ADBC，A=90，AB=7，AD=2，BC=3，試在腰AB上確定點P的位置，使得以P，A，D為頂點的三角形與以P，B，C為頂點的三角形相似考點：相似三角形的判定；梯形。專題：分類討論

43、。分析：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題時要認(rèn)真審題，選擇適宜的判定方法解題時要注意一題多解的情況，要注意別漏解解答：解：（1）若點A，P，D分別與點B，C，P對應(yīng)，即APDBCP，=，=，AP27AP+6=0，AP=1或AP=6，檢測：當(dāng)AP=1時，由BC=3，AD=2，BP=6，=，又A=B=90，APDBCP當(dāng)AP=6時，由BC=3，AD=2，BP=1，又A=B=90，APDBCP（2）若點A，P，D分別與點B，P，C對應(yīng)，即APDBPC=，=，AP=檢驗：當(dāng)AP=時，由BP=，AD=2，BC=3，=，又A=B=90，APDBPC因此，點P的位置有三處，即在線段AB距離點A的1、6

44、處點評：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)；判定為：有兩個對應(yīng)角相等的三角形相似；有兩個對應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；三組對應(yīng)邊的比相等，則兩個三角形相似；性質(zhì)為相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等20ABC和DEF是兩個等腰直角三角形，A=D=90，DEF的頂點E位于邊BC的中點上（1）如圖1，設(shè)DE與AB交于點M，EF與AC交于點N，求證：BEMCNE；（2）如圖2，將DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長線交于點M，EF與AC交于點N，于是，除（1）中的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形并證明你的結(jié)論考點：相似三角形的判定；等腰直角三角形。專題：證明題；開放型。

45、分析：因為此題是特殊的三角形，所以首先要分析等腰直角三角形的性質(zhì)：可得銳角為45，根據(jù)角之間的關(guān)系，利用如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似可判定三角形相似；再根據(jù)性質(zhì)得到比例線段，有夾角相等證得ECNMEN解答：證明：（1）ABC是等腰直角三角形，MBE=45，BME+MEB=135又DEF是等腰直角三角形，DEF=45NEC+MEB=135BEM=NEC，（4分）而MBE=ECN=45，BEMCNE（6分）（2）與（1）同理BEMCNE，（8分）又BE=EC，（10分）則ECN與MEN中有，又ECN=MEN=45，ECNMEN（12分）點評：此題考查了相似三角形的判定和

46、性質(zhì)：如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似21如圖，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，點P沿AB邊從點A開始向B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動如果P、Q同時出發(fā)，用t（秒）表示移動的時間，那么當(dāng)t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似考點：相似三角形的判定；矩形的性質(zhì)。專題：幾何動點問題；分類討論。分析：若以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似，有四種情況：APQBAC，此時得A

47、Q：BC=AP：AB；APQBCA，此時得AQ：AB=AP：BC；AQPBAC，此時得AQ：BA=AP：BC；AQPBCA，此時得AQ：BC=AP：BA可根據(jù)上述四種情況所得到的不同的對應(yīng)成比例線段求出t的值解答：解：以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似，所以ABCPAQ或ABCQAP，當(dāng)ABCPAQ時，所以，解得：t=6；當(dāng)ABCQAP時，所以，解得：t=；當(dāng)AQPBAC時，=，即=，所以t=；當(dāng)AQPBCA時，=，即=，所以t=30（舍去）故當(dāng)t=6或t=時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似點評：此題主要考查了矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)；當(dāng)相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)線段不

48、明確時，應(yīng)考慮到所有可能的情況，分類討論，以免漏解22如圖，路燈（P點）距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部（O點）20米的A點，沿OA所在的直線行走14米到B點時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？考點：相似三角形的應(yīng)用。專題：應(yīng)用題。分析：如圖，由于ACBDOP，故有MACMOP，NBDNOP即可由相似三角形的性質(zhì)求解解答：解：MAC=MOP=90，AMC=OMP，MACMOP，即，解得，MA=5米；同理，由NBDNOP，可求得NB=1.5米，小明的身影變短了51.5=3.5米點評：解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解答

49、問題23陽光明媚的一天，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們?nèi)y量一棵樹的高度（這棵樹底部可以到達(dá)，頂部不易到達(dá)），他們帶了以下測量工具：皮尺，標(biāo)桿，一副三角尺，小平面鏡請你在他們提供的測量工具中選出所需工具，設(shè)計一種測量方案（1）所需的測量工具是：；（2）請在下圖中畫出測量示意圖；（3）設(shè)樹高AB的長度為x，請用所測數(shù)據(jù)（用小寫字母表示）求出x考點：相似三角形的應(yīng)用。專題：方案型；開放型。分析：樹比較高不易直接到達(dá)，因而可以利用三角形相似解決，利用樹在陽光下出現(xiàn)的影子來解決解答：解：（1）皮尺，標(biāo)桿；（2）測量示意圖如圖所示；（3）如圖，測得標(biāo)桿DE=a，樹和標(biāo)桿的影長分別為AC=b，EF=c，DEFBAC

50、，（7分）點評：本題運用相似三角形的知識測量高度及考查學(xué)生的實踐操作能力，應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力本題答案有多種，測量方案也有多種，如（1）皮尺、標(biāo)桿、平面鏡；（2）皮尺、三角尺、標(biāo)桿24問題背景在某次活動課中，甲、乙、丙三個學(xué)習(xí)小組于同一時刻在陽光下對校園中一些物體進行了測量下面是他們通過測量得到的一些信息：甲組：如圖1，測得一根直立于平地，長為80cm的竹竿的影長為60cm乙組：如圖2，測得學(xué)校旗桿的影長為900cm丙組：如圖3，測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計）的高度為200cm，影長為156cm任務(wù)要求：（1）請根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計算出學(xué)校旗桿的高度；（

51、2）如圖3，設(shè)太陽光線NH與O相切于點M請根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑（友情提示：如圖3，景燈的影長等于線段NG的影長；需要時可采用等式1562+2082=2602）考點：相似三角形的應(yīng)用。專題：閱讀型；轉(zhuǎn)化思想。分析：此題屬于實際應(yīng)用問題，解題時首先要理解題意，然后將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進行解答；此題需要轉(zhuǎn)化為相似三角形的問題解答，利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊成比例解答解答：解：（1）由題意可知：BAC=EDF=90，BCA=EFDABCDEF，即，（2分）DE=1200（cm）所以，學(xué)校旗桿的高度是12m（3分）（2）解法一：與類似得：，即，GN=208（4分）在RtNGH中，根據(jù)勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，NH=260（5分）設(shè)O的半徑為rcm，連接OM，NH切O于M，O