已經(jīng)知道任意一個(gè)行列式都可以化成上(下)三角形行列式,而三角形

1、已經(jīng)知道已經(jīng)知道:任意一個(gè)行列式都可以化成任意一個(gè)行列式都可以化成上上(下下)三角形行列式三角形行列式,而三角形行列式等而三角形行列式等于主對(duì)角線元素乘積于主對(duì)角線元素乘積;nkkknnnnnnnnaaaaaaaaaD111122211211000000例例1 1、化成三角形行列式后求值、化成三角形行列式后求值312107825513713913152矩陣定義矩陣定義 由由mn個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)), 2 , 1;, 2 , 1(njmiaij排成m行、n列的矩陣陣列：mnmmnnaaaaaaaaa212222111211稱為 m 行 n 列矩陣，簡記為mn矩陣，A=nmija)(ija稱為 A 的第 i

2、 行第 j 列元素。如果矩陣如果矩陣A的行數(shù)和列數(shù)相等的行數(shù)和列數(shù)相等(m=n)稱稱A為方陣為方陣;對(duì)方陣對(duì)方陣A,其元素構(gòu)成的行列式其元素構(gòu)成的行列式稱為矩陣稱為矩陣A的行列式的行列式,記成記成|A|.稱為矩陣稱為矩陣A的行列式的行列式.數(shù)域數(shù)域P上矩陣的初等行變換上矩陣的初等行變換1.互換矩陣中兩行的位置互換矩陣中兩行的位置;2.用用P中一個(gè)不等于零的數(shù)乘矩陣的一行中一個(gè)不等于零的數(shù)乘矩陣的一行;3.把矩陣某一行的把矩陣某一行的c倍加到矩陣的另一行倍加到矩陣的另一行任何一個(gè)矩陣都通過矩陣的行變化化任何一個(gè)矩陣都通過矩陣的行變化化成行階梯形矩陣成行階梯形矩陣, ,行最簡形矩陣行最簡形矩陣.

3、. 行階梯形矩陣、行最簡形矩陣行階梯形矩陣、行最簡形矩陣 10008170017251307139110170081700172513071391781302634260172513071391107825513315271391131224232413122432232rrrrrrrrrrrrrrrrA類似地還有矩陣的初等列變換：類似地還有矩陣的初等列變換：1.互換矩陣中兩列的位置互換矩陣中兩列的位置;2.用用P中一個(gè)不等于零的數(shù)乘矩陣的一列中一個(gè)不等于零的數(shù)乘矩陣的一列;3.把矩陣某一列的把矩陣某一列的c倍加到矩陣的另一倍加到矩陣的另一 列列矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣矩陣的初等

4、行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。的初等變換。計(jì)算計(jì)算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 解解列都加到第一列，得列都加到第一列，得將第將第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin32121212111 提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的將將第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，將將第第倍倍加加到到第第列列的的將將第第)(1,3)(12)(11aaan . )()

5、(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23122121111010010001)(本題利用行列式的性質(zhì)，采本題利用行列式的性質(zhì)，采用用“化零化零”的方法，逐步將所給行列的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式化零時(shí)一般盡式化為三角形行列式化零時(shí)一般盡量選含有的行（列）及含零較多的量選含有的行（列）及含零較多的行（列）；若沒有，則可適當(dāng)選取行（列）；若沒有，則可適當(dāng)選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)化為某行（列）中的某數(shù)化為1 1；若所給行；若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則應(yīng)充列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則應(yīng)充

6、分利用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，分利用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到化為三角形行列式之目的以達(dá)到化為三角形行列式之目的計(jì)算計(jì)算.21xaaaaxaaaaxaDnn 解解拆成兩個(gè)行列式之和拆成兩個(gè)行列式之和列把列把依第依第DnnaaaaaxaaaaaxaaaaaxaDnn121 .000121xaaaxaaaaxaaaaxann .1121DxaxxxDnnnn 從而從而得得列展開列展開第第右端的第二個(gè)行列式按右端的第二個(gè)行列式按列列加到第加到第倍分別倍分別列的列的將第將第右端的第一個(gè)行列式右端的第一個(gè)行列式,1, 2 , 1)1(, nnn ,0000000001121DxaaxaxaxDn

7、nnn 由此遞推，得由此遞推，得.,2122121212211DxxxaxxxaxxxDDxaxxxDnnnnnnnnnnn 于是于是如此繼續(xù)下去，可得如此繼續(xù)下去，可得DxxxxxaxxxaxxxaxxxDnnnnnnn23142122121 )(21213142122121xxxaxaxxxxxaxxxaxxxaxxxnnnnnn ).(323112121xxxxxxxxxaxxxnnnn 時(shí)，還可改寫成時(shí)，還可改寫成當(dāng)當(dāng)021 xxxn).111(12121xxxaxxxDnnn 評(píng)注評(píng)注.1 1 .1,1 1的的遞遞推推關(guān)關(guān)系系列列式式更更低低階階行行列列式式之之間間階階行行，建建立立比比階階更更低低階階的的行行列列式式表表示示比比用用同同樣樣形形式式的的階階行行列列式式時(shí)時(shí)，還還可可以以把把給給定定的的有有之之間間的的遞遞推推關(guān)關(guān)系系階階行行列列式式與與建建立立了了階階行行列列式式表表示示出出來來用用同同樣樣形形式式的的行行列列式式階階質(zhì)質(zhì)把把所所給給的的本本題題是是利利用用行行列列式式的的性性 nnDnDnDnDnnnnn計(jì)算行列式的方法比較靈活，計(jì)算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計(jì)算方法；同一行列式可以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)用在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察應(yīng)