剛體轉(zhuǎn)動及角動量守恒

1、剛體轉(zhuǎn)動及角動量守恒剛體運動的分類 剛體：形狀固定的質(zhì)點系（含無數(shù)質(zhì)點、不形變、理想固體。）平 動 剛體任意兩點的連線保持方向不變。各點的 相同，可當(dāng)作質(zhì)點處理。定軸轉(zhuǎn)動 剛體每點繞同一軸線作圓周運動，且轉(zhuǎn)軸空間位置及方向不變。平面運動 剛體質(zhì)心限制在一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)軸可平動，但始終垂直于該平面且通過質(zhì)心定點運動 剛體上各質(zhì)點都以某一定點為球心的各個球面上運動。一般運動 復(fù)雜的運動與平動的混合。定軸轉(zhuǎn)動參量剛體轉(zhuǎn)軸1. 角位置轉(zhuǎn)動平面（包含p并與轉(zhuǎn)軸垂直）(t)(t+t)參考方向剛體中任一點剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動方程2. 角位移3. 角速度常量靜止勻角速變角速4. 角加速度變角加速常量 勻角加速勻角速

2、用矢量表示 或 時，它們與 剛體的轉(zhuǎn)動方向采用右螺旋定則 轉(zhuǎn)動方程求導(dǎo)例題單位：rad-1rad s-2rad srad 50p 51p 52p 53p1rad stsrad100p150pst 50p p 2rad stsp-1rad s-2rad s勻 變 角 速 定 軸 轉(zhuǎn) 動積分求轉(zhuǎn)動方程任意時刻的恒量且 t = 0 時 得得或勻變角速定軸轉(zhuǎn)動的角位移方程勻變角速定軸轉(zhuǎn)動的運動方程線量與角量的關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動剛體在某時刻t 的瞬時角速度為 ，瞬時角加速度為 ，剛體中一質(zhì)點P至轉(zhuǎn)軸的距離為r質(zhì)點P 的大小 瞬時線速度瞬時切向加速度瞬時法向加速度這是定軸轉(zhuǎn)動中線量線量與角量角量的基本關(guān)系公式對

3、比質(zhì)點直線運動或剛體平動剛 體 的 定 軸 轉(zhuǎn) 動速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度位移位移角位移角位移勻速直線運動勻速直線運動勻角速定軸轉(zhuǎn)動勻角速定軸轉(zhuǎn)動勻變速直線運動勻變速直線運動勻變角速定軸轉(zhuǎn)動勻變角速定軸轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動定律引言質(zhì) 點的運動定律或剛體平動F = m a慣性質(zhì)量慣性質(zhì)量合合 外外 力力合加速度合加速度若剛體作定軸轉(zhuǎn)動，服從怎樣的運動定律？若剛體作定軸轉(zhuǎn)動，服從怎樣的運動定律？主要概念使剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效果的合外力矩剛體的轉(zhuǎn)動定律剛體的轉(zhuǎn)動慣量合外力矩 外力在轉(zhuǎn)動平面上對轉(zhuǎn)軸的力矩使剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動M = r F111力矩切向1Ft tFrM叉乘右螺旋1M2MM = r

4、F222M = r F sin j j222大小2r2=2Ft td2=2F1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ft tr11Ft tr1=1Ft tM = r F sin j j111大小1d1=1Fj j1d1r1F1P1OF2r22Ft tP2j j2d2切向方向轉(zhuǎn)動定律某質(zhì)元fi受內(nèi)力受外力FiFi+ f =aii其法向n 分量均通過轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動力矩。t t其切向投影式為ij jFisin+if sinq qit t=ai=rib bt tnFiOrifiij jq qi瞬時角速度角加速度瞬時等式兩邊乘以 ri 并對所有質(zhì)元及其所受力矩求和=內(nèi)力矩成對抵消= 0+

5、riifsinq qiiFij jsinri合外力矩 Mb bri得Mb bri=轉(zhuǎn)動慣量某質(zhì)元fi受內(nèi)力受外力FiFi+ f =aii其法向n 分量均通過轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動力矩。t t其切向投影式為ij jFisin+if sinq qit t=ai=rib bt tnFiOrifiij jq qi瞬時角速度角加速度瞬時等式兩邊乘以 ri 并對所有質(zhì)元及其所受力矩求和=內(nèi)力矩成對抵消= 0+riifsinq qiiFij jsinri合外力矩 Mb bri得Mb bri=Mb bri=與剛體性質(zhì)及質(zhì)量分布有關(guān)的物理量，用 表示稱為 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量I剛體的轉(zhuǎn)動定律即剛體所獲得的角加速度 的大小

6、與剛體受到的 合外力矩 的大小成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量 成反比。轉(zhuǎn)動慣量的計算Mb b=I將剛體轉(zhuǎn)動定律與質(zhì)點運動定律F=am對比轉(zhuǎn)動慣量 是剛體轉(zhuǎn)動慣性的量度II 與剛體的質(zhì)量、形狀、大小及質(zhì)量對轉(zhuǎn)軸的分布情況有關(guān)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體用積分求I 為體積元 處的密度II的單位為分立質(zhì)點的算例可視為分立質(zhì)點結(jié)構(gòu)的剛體轉(zhuǎn)軸 若連接兩小球（視為質(zhì)點）的輕細硬桿的質(zhì)量可以忽略，則轉(zhuǎn)軸0.75直棒算例質(zhì)量連續(xù)分布的剛體勻直細桿對中垂軸的勻直細桿對端垂軸的質(zhì)心新軸質(zhì)心軸平行移軸定理平行移軸定理對對新新軸軸的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量新軸新軸對心軸的平移量對心軸的平移量例如：例如：

7、時時代入可得代入可得端圓盤算例勻質(zhì)薄圓盤對心垂軸的 取半徑為 微寬為 的窄環(huán)帶的質(zhì)量為質(zhì)元球體算例勻質(zhì)實心球?qū)π妮S的可看成是許多半徑不同的共軸薄圓盤的轉(zhuǎn)動慣量 的迭加距 為 、半徑為 、微厚為的薄圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為其中常用結(jié)果LRmm勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)細直棒勻質(zhì)細直棒轉(zhuǎn)軸通過中心垂直盤面22I =m R123I =m L1轉(zhuǎn)軸通過端點與棒垂直其它典型勻質(zhì)矩形薄板轉(zhuǎn)軸通過中心垂直板面I = (a + b ) 22m12勻質(zhì)細圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過中心垂直環(huán)面I = m R 2勻質(zhì)細圓環(huán)轉(zhuǎn)軸沿著環(huán)的直徑2I =2m R勻質(zhì)厚圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸I = (R1 + R2 ) 22m2勻質(zhì)圓柱體轉(zhuǎn)軸通過中心垂直

8、于幾何軸mI = R + 22m124L勻質(zhì)薄球殼轉(zhuǎn)軸通過球心2I =2m R3轉(zhuǎn)動定律例題一合外力矩 應(yīng)由各分力矩進行合成 。 合外力矩 與合角加速度 方向一致。在定軸轉(zhuǎn)動中，可先設(shè)一個正軸向（或繞向），若分力矩與此向相同則為正，反之為復(fù)。與時刻對應(yīng)，何時何時則何時 ，則何時恒定恒定。 勻直細桿一端為軸水平靜止釋放轉(zhuǎn)動定律例題二T1T2a（以后各例同）Rm1m2m輪軸無摩擦輕繩不伸長輪繩不打滑T2T1G1G2T2T1a ab b T1 m1 g = m1am2 g T2 = m2a( T2 T1 ) R = Ib b a = Rb bI = m R 22轉(zhuǎn)動平動線-角聯(lián)立解得a=m1m1+

9、m2+ gm2m21gT1 = m1 ( g + a )T2 = m2 ( g a )m1 gm2 g如果考慮有轉(zhuǎn)動摩擦力矩 Mr ,則 轉(zhuǎn)動式為( T2 T1 ) R Mr= Ib b再聯(lián)立求解。轉(zhuǎn)動定律例題三Rm1m細繩纏繞輪緣Rm（A）（B）恒力F滑輪角加速度 b b細繩線加速度 a（A）（B）轉(zhuǎn)動定律例題四Rm1m2mm= 5kgm2= 1kg m1= 3kgR = 0.1mT2T1T1T2G1G2b baa對對m1m2m分別應(yīng)用分別應(yīng)用和和質(zhì)點運動和剛體轉(zhuǎn)動定律質(zhì)點運動和剛體轉(zhuǎn)動定律m1 g T1 = m1aT2 m2 g = m2a( T1 T2 ) R = Ib b及 a = R

10、b bI = mR221得b b =(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)常量(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)故由(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)2 (rad)gt物體從靜止開始運動時，滑輪的 轉(zhuǎn)動方程轉(zhuǎn)動定律例題五q qq q 從等傾角 處靜止釋放兩勻直細桿地面兩者瞬時角加速度之比兩者瞬時角加速度之比213q q1q q1321根據(jù)短桿的角加速度大短桿的角加速度大且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無關(guān)且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無關(guān)轉(zhuǎn)動動能剛體中任一質(zhì)元 的速率該質(zhì)元的動能對所有質(zhì)元的動能求和轉(zhuǎn)動慣量 II得得力矩的功力力 的元功的元功力對轉(zhuǎn)動剛體所作的功用力矩的功來計算力對轉(zhuǎn)動剛體所作

11、的功用力矩的功來計算若在某變力矩 的作用下，剛體由 轉(zhuǎn)到 ，作的總功為作的總功為力矩的瞬時功率力矩的瞬時功率力矩的功算例撥動圓盤轉(zhuǎn)一周，摩擦阻力矩的功的大小總摩擦力矩 是各微環(huán)帶摩擦元力矩 的積分環(huán)帶面積環(huán)帶質(zhì)量環(huán)帶受摩擦力環(huán)帶受摩擦力矩圓盤受總摩擦力矩 轉(zhuǎn)一周摩擦力矩的總功得粗 糙 水 平 面轉(zhuǎn)軸平放一圓盤剛體的動能定理回憶質(zhì)點的動能定理剛體轉(zhuǎn)動的動能定理由由 力矩的元功力矩的元功轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律則則合外力矩的功合外力矩的功轉(zhuǎn)動動能的增量轉(zhuǎn)動動能的增量稱為動能定理例題一勻質(zhì)圓盤盤緣另固連一質(zhì)點水平靜止釋放通過盤心垂直盤面的水平軸圓盤下擺 時質(zhì)點 的角速度、切向、法向加速度的大小對系統(tǒng)外力矩的

12、功系統(tǒng)轉(zhuǎn)動動能增量其中得由轉(zhuǎn)動定律得則動能定理例題二外力矩作的總功從水平擺至垂直由得代入得本題利用的關(guān)系還可算出此時桿上各點的線速度水平位置靜止釋放擺至垂直位置時桿的勻直細桿一端為軸動能定理例題三段，外力矩作正功段，外力矩作負(fù)功合外力矩的功從水平擺至垂直由得轉(zhuǎn)軸對質(zhì)心軸的位移 代入得擺至垂直位置時桿的水平位置靜止釋放含平動的轉(zhuǎn)動問題機械外力非保守內(nèi)力矩力力矩動勢動勢平動轉(zhuǎn)動平動轉(zhuǎn)動系統(tǒng)（輪、繩、重物、地球）左例忽略摩擦外力力矩非保守內(nèi)力矩力平動轉(zhuǎn)動勢平動轉(zhuǎn)動勢可求或此外勢質(zhì)點的角動量質(zhì)點的動量質(zhì)點對參考點O 的角動量大小位矢慣性系中某給定參考點取小于的轉(zhuǎn)向方向垂直于所決定的平面， 指向右螺旋

13、叉乘的旋進方向。角動量 又稱 動量矩引例角動量大小質(zhì)點 對參考點 的地球上的單擺大小會變變太陽系中的行星大小未必會變?？渴裁磁袛啵孔冏冏冑|(zhì)點的角動量定理導(dǎo)致角動量 隨時間變化的根本原因是什么？思路： 分析與什么有關(guān)？由則兩平行矢量的叉乘積為零得角動量的時間變化率質(zhì)點 對參考點 的位置矢量所受的合外力等于叉乘續(xù)4是力矩的矢量表達：而即力矩大小方向垂直于所決定的平面，由右螺旋法則定指向。得質(zhì)點 對給定參考點 的角動量的時間變化率所受的合外力矩稱為質(zhì)點的 角動量定理 的微分形式 如果各分力與O點共面，力矩只含正、反兩種方向?？稍O(shè)順時針為正向，用代數(shù)法求合力矩。例題大小 若忽略其它天體的作用力，太陽系

14、中某一行星所受的合外力總是指向太陽。若以太陽為參考點，則合外力矩大小角動量的大小不隨時間變化張力 通過 點 力矩為零重力 的力矩大小為等于合外力矩 除了在通過平衡位置（ ）的一瞬間，角動量的時間變化率為零外，其它位置均不為零。定理的積分形式由質(zhì)點的角動量定理也可用積分形式表達稱為 沖量矩角動量的增量這就是質(zhì)點的 角動量定理 的積分形式例如， 單擺的角動量大小為 L = = mv r, v為變量。 在 t = 0 時從水平位置靜止釋放，初角動量大小為 L0= m v0 r = =0； 時刻 t 下擺至鉛垂位置， 角動量大小為 L = = m v r 。則此過程單擺所受的沖量矩大小等于 L-L0=

15、 m v r = = m r 2gr 。質(zhì)點的角動量守恒定律根據(jù)質(zhì)點的 角動量定理 若則即常矢量當(dāng)質(zhì)點 所受的合外力對某參考點 的力矩 為零時，質(zhì)點對該點的角動量的時間變化率 為零，即質(zhì)點對該點的角動量 守恒。稱為 若質(zhì)點所受的合外力的方向始終通過參考點，其角動量守恒。如行星繞太陽運動，以及微觀粒子中與此類似的運動模型，服從角動量守恒定律。質(zhì)點系的角動量慣性系中某給定參考點質(zhì)點系的角動量定理將對時間求導(dǎo) 內(nèi)力矩在求矢量和時成對相消內(nèi)內(nèi)外外某給定參考點內(nèi)外外內(nèi)外得外質(zhì)點系的角動量的時間變化率質(zhì)點受外力矩的矢量和稱為微分形式續(xù)12將對時間求導(dǎo) 內(nèi)力矩在求矢量和時成對相消內(nèi)內(nèi)外外某給定參考點內(nèi)外外內(nèi)

16、外得外質(zhì)點系的角動量的時間變化率質(zhì)點受外力矩的矢量和稱為微分形式外質(zhì)點系的角動量的時間變化率質(zhì)點受外力矩的矢量和的微分形式質(zhì)點系所受的質(zhì)點系的沖量矩角動量增量的積分形式 若各質(zhì)點的速度或所受外力與參考點共面，則其角動量或力矩只含正反兩種方向，可設(shè)順時針為正向，用代數(shù)和代替矢量和。質(zhì)點系的角動量守恒定律外由若則或恒矢量當(dāng)質(zhì)點系所受的合外力矩為零時，其角動量守恒。同高從靜態(tài)開始往上爬忽略輪、繩質(zhì)量及軸摩擦質(zhì)點系若系統(tǒng)受合外力矩為零，角動量守恒。系統(tǒng)的初態(tài)角動量系統(tǒng)的末態(tài)角動量得不論體力強弱，兩人等速上升。若系統(tǒng)受合外力矩不為零，角動量不守恒?？蓱?yīng)用質(zhì)點系角動量定理進行具體分析討論。剛體的角動量定軸

17、轉(zhuǎn)動剛體的角動量是無數(shù)質(zhì)點對公共轉(zhuǎn)軸的角動量的疊加 所有質(zhì)點都以其垂軸距離為半徑作圓周運動任一質(zhì)元（視為質(zhì)點）的質(zhì)量其角動量大小全部質(zhì)元的總角動量對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體剛體的角動量定理合外力矩合外力矩角動量的時間變化率角動量的時間變化率（微分形式）（積分形式）沖量矩沖量矩角動量的增量角動量的增量回憶質(zhì)點的角動量定理（微分形式）（積分形式）剛體系統(tǒng)的角動量定理若一個系統(tǒng)包含多個共軸剛體或平動物體系統(tǒng)的總合外力矩系統(tǒng)的總合外力矩 系統(tǒng)的總角動量的變化率系統(tǒng)的總角動量的變化率系統(tǒng)的總沖量矩系統(tǒng)的總沖量矩系統(tǒng)的總角動量增量系統(tǒng)的總角動量增量系統(tǒng)： 輕繩（忽略質(zhì)量）總合外力矩對O的角動量對O的角動量由得同

18、向而解得例如例如靜止釋放求角加速度主要公式歸納（微分形式）（積分形式）是矢量式與質(zhì)點平動對比剛體的角動量守恒定律由剛體所受合外力矩若則即 當(dāng)剛體所受的合外力矩 等于零時， 剛體的角動量 保持不變。角動量守恒的另一類現(xiàn)象角動量守恒的另一類現(xiàn)象變小則變大，乘積保持不變，變大則變小。收臂大小 用外力矩用外力矩啟動轉(zhuǎn)盤后啟動轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩撤除外力矩張臂大小花樣滑冰中常見的例子角動量守恒的另一類現(xiàn)象變小則變大，乘積保持不變，變大則變小。收臂大小 用外力矩用外力矩啟動轉(zhuǎn)盤后啟動轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩撤除外力矩張臂大小花 樣 滑 冰收臂大小張臂大小先使自己轉(zhuǎn)動起來收臂大小共軸系統(tǒng)的角動量守恒共軸系統(tǒng)若外則恒矢量輪、轉(zhuǎn)臺與人系統(tǒng)輪人臺初態(tài)全靜初人沿某一轉(zhuǎn)向撥動輪子輪末態(tài)人臺輪輪末人臺人臺初得人臺人臺輪輪導(dǎo)致人臺導(dǎo)致人臺反向轉(zhuǎn)動反向轉(zhuǎn)動守恒例題一A、B兩輪共軸A以w wA A作慣性轉(zhuǎn)動 以A、B為系統(tǒng)，忽略軸摩擦，脫離驅(qū)動力矩后，系統(tǒng)受合外力矩為零，角動量守恒。初態(tài)角動量末態(tài)角動量得兩輪嚙合后一起作慣性轉(zhuǎn)動的角速度w wABAB守恒例題二以彈、棒為系統(tǒng)擊入階段子彈擊入木棒瞬間，系統(tǒng)在鉛直位置，受