第一章 隨機事件與概率2壓

1、第第1 1章章 隨機事件及其概率隨機事件及其概率第第1.11.1節(jié)節(jié) 隨機事件隨機事件第第1.21.2節(jié)節(jié) 概率概率第第1.31.3節(jié)節(jié) 條件概率與獨立性條件概率與獨立性第第1.41.4節(jié)節(jié) 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式返回為什么要學習概率論與數(shù)理統(tǒng)計為什么要學習概率論與數(shù)理統(tǒng)計? 概率論與數(shù)理統(tǒng)計有廣泛應用概率論與數(shù)理統(tǒng)計有廣泛應用(1).(1).金融、信貸、醫(yī)療保險等行業(yè)策略制定；金融、信貸、醫(yī)療保險等行業(yè)策略制定；(2).(2).流水線上產(chǎn)品質(zhì)量檢驗與質(zhì)量控制；流水線上產(chǎn)品質(zhì)量檢驗與質(zhì)量控制；(3).(3).服務性行業(yè)中服務設(shè)施及服務員配置；服務性行業(yè)中服務設(shè)施及服務員配

2、置；(4).(4).生物醫(yī)學中病理試驗與藥理試驗；生物醫(yī)學中病理試驗與藥理試驗；(5).(5).食品保質(zhì)期、彈藥貯存分析，電器與電食品保質(zhì)期、彈藥貯存分析，電器與電 子產(chǎn)品壽命分析；子產(chǎn)品壽命分析；(6). 物礦探測、環(huán)保監(jiān)物礦探測、環(huán)保監(jiān) 測、考古研究、機械測、考古研究、機械 仿生等仿生等確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象。在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象。拋一石塊拋一石塊,觀察結(jié)局觀察結(jié)局;導體通電導體通電,考察溫度考察溫度;異性電菏放置一起異性電菏放置一起,觀察其關(guān)系觀察其關(guān)系;引言引言 從投硬幣、擲骰子和摸撲克等簡單的機從投硬幣、擲骰子和摸撲克等簡單的機會游戲，到復雜的社會現(xiàn)象

3、；從嬰兒的誕生，會游戲，到復雜的社會現(xiàn)象；從嬰兒的誕生，到世間萬物的繁衍生息；從流星殞落，到大到世間萬物的繁衍生息；從流星殞落，到大自然的千變?nèi)f化自然的千變?nèi)f化，我們無時無刻不面對具，我們無時無刻不面對具有不確定性現(xiàn)象有不確定性現(xiàn)象(即隨機現(xiàn)象即隨機現(xiàn)象)。隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計的研究對象的研究對象 隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象 在條件相同的一系列重復觀察中，會時而出現(xiàn)時而不在條件相同的一系列重復觀察中，會時而出現(xiàn)時而不出現(xiàn)，呈現(xiàn)出不確定性，并且在每次觀察之前不能準出現(xiàn)，呈現(xiàn)出不確定性，并且在每次觀察之前不能準確預料其是否出現(xiàn)，這類現(xiàn)象稱之為隨機現(xiàn)象。確預料其是否出現(xiàn)，這類現(xiàn)象稱之為隨機現(xiàn)象。

4、隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性 在相同條件下多次重復某一實驗或觀察時，其各種在相同條件下多次重復某一實驗或觀察時，其各種結(jié)果會表現(xiàn)出一定的量的規(guī)律性，這種規(guī)律性稱之為結(jié)果會表現(xiàn)出一定的量的規(guī)律性，這種規(guī)律性稱之為統(tǒng)計規(guī)律性。統(tǒng)計規(guī)律性。 概率統(tǒng)計的研究對象概率統(tǒng)計的研究對象 概率統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門科學。概率統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門科學。隨機現(xiàn)象的普遍存在性決定了它的廣泛應用性。隨機現(xiàn)象的普遍存在性決定了它的廣泛應用性。A. 在一個標準大氣壓下，水在在一個標準大氣壓下，水在100時沸騰；時沸騰；B. 明天的最高溫度明天的最高溫度; C. 擲一顆骰子，觀察其向上

5、點數(shù)；擲一顆骰子，觀察其向上點數(shù)；D. 上拋的物體一定下落；上拋的物體一定下落；E. 新生嬰兒體重。新生嬰兒體重。 下列現(xiàn)象哪些是隨機現(xiàn)象？下列現(xiàn)象哪些是隨機現(xiàn)象？一、一、 隨機試驗、樣本空間、事件隨機試驗、樣本空間、事件 1. 隨機試驗隨機試驗 把對某種隨機現(xiàn)象的一次把對某種隨機現(xiàn)象的一次觀察、觀測或測量等稱為一個試驗。如果觀察、觀測或測量等稱為一個試驗。如果這個試驗在相同的條件下可以重復進行（這個試驗在相同的條件下可以重復進行（重復性重復性）；每次試驗具有多種可能性，但）；每次試驗具有多種可能性，但在試驗之前可以明確試驗的所有可能結(jié)果在試驗之前可以明確試驗的所有可能結(jié)果（明確性明確性）；每

6、次試驗的結(jié)果事前不可預）；每次試驗的結(jié)果事前不可預知（知（隨機性隨機性）；則稱此試驗為隨機試驗，）；則稱此試驗為隨機試驗，也簡稱為試驗，記為也簡稱為試驗，記為E E。注：以后所提到的試驗均指隨機試驗。注：以后所提到的試驗均指隨機試驗。1.1 隨機事件隨機事件2. 樣本空間樣本空間隨機試驗中的每一個可能的結(jié)果稱為隨機試驗中的每一個可能的結(jié)果稱為樣本點樣本點，通常，通常用用表示。表示。 樣本點的特點是每次試驗必出現(xiàn)一個且只能出現(xiàn)一樣本點的特點是每次試驗必出現(xiàn)一個且只能出現(xiàn)一個，任何兩個樣本點都不可能同時出現(xiàn)。個，任何兩個樣本點都不可能同時出現(xiàn)。 通通常常把把一一個個隨隨機機試試驗驗的的所所有有樣樣

7、本本點點組組成成的的集集合合稱稱為為樣樣本本空空間間，通通常常用用表表示示。 隨機試驗舉例：隨機試驗舉例： E E1 1: 擲一顆骰子，觀察所擲的點數(shù)是幾；擲一顆骰子，觀察所擲的點數(shù)是幾； E E2 2: 觀察某城市某個月內(nèi)交通事故發(fā)生的次數(shù)；觀察某城市某個月內(nèi)交通事故發(fā)生的次數(shù)； E E3 3: 對某只燈泡做試驗對某只燈泡做試驗, ,觀察其使用壽命；觀察其使用壽命； E E4 4: 對某只燈泡做試驗對某只燈泡做試驗, ,觀察其使用壽命是否小觀察其使用壽命是否小 于于200200小時。小時。 若以若以i表示試驗表示試驗Ei的樣本空間的樣本空間, i=1,2,3,4, 則則 E1: 擲一顆骰子，

8、觀察所擲的點數(shù)是幾，擲一顆骰子，觀察所擲的點數(shù)是幾， 1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6；uE E2 2: 觀察某城市某個月內(nèi)交通事故發(fā)生次數(shù)，觀察某城市某個月內(nèi)交通事故發(fā)生次數(shù)， 2 2=0,1,2,=0,1,2,；uE E3 3: 對某只燈泡實驗，觀察其使用壽命，對某只燈泡實驗，觀察其使用壽命， 3 3=t,t0=t,t0；uE E4 4: 對某只燈泡做實驗對某只燈泡做實驗, ,觀察其使用壽命是否觀察其使用壽命是否 小于小于200200小時，小時， 4 4=壽命小于壽命小于200200小時，壽命不小于小時，壽命不小于200200小時小時 。通過上面的例子我們可以看到，隨機試驗的樣本空

9、通過上面的例子我們可以看到，隨機試驗的樣本空間中可能有有限個樣間中可能有有限個樣本點， 可能有可列無窮多個樣本點， 可能有可列無窮多個樣本點，本點，也可能有不可列無窮多個樣本點。只有有限個樣本點的也可能有不可列無窮多個樣本點。只有有限個樣本點的樣本空間稱為有限樣本空間。包含無窮多個樣本點的樣樣本空間稱為有限樣本空間。包含無窮多個樣本點的樣本空間稱為無限樣本空間。本空間稱為無限樣本空間。 3. 3. 隨機隨機事件事件 試驗的每一種可能的結(jié)果稱為試驗的每一種可能的結(jié)果稱為事件事件在一次試在一次試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件稱為驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件稱為隨機事隨機事件件，簡稱，簡稱事件事件

10、用大寫字母，用大寫字母，表示（表示（舉例舉例）在一次試驗中，它所有可能出現(xiàn)的基本結(jié)果在一次試驗中，它所有可能出現(xiàn)的基本結(jié)果（不能再分解的事件），稱為（不能再分解的事件），稱為基本事件基本事件每次試驗中一定出現(xiàn)的事件稱為每次試驗中一定出現(xiàn)的事件稱為必然事件必然事件（ ）每次試驗中一定不出現(xiàn)的事件稱為每次試驗中一定不出現(xiàn)的事件稱為不可不可能事件能事件（ ）下面用集合來研究試驗及其事件下面用集合來研究試驗及其事件4、事件的集合表示、事件的集合表示對于基本事件來說，可以用以樣本空間中樣本點為對于基本事件來說，可以用以樣本空間中樣本點為元素的單點集來表示。元素的單點集來表示。 根據(jù)樣本空間的定義，樣本空

11、間是隨機試驗的所有根據(jù)樣本空間的定義，樣本空間是隨機試驗的所有可能結(jié)果（樣本點）構(gòu)成的集合，每一個樣本點即為該可能結(jié)果（樣本點）構(gòu)成的集合，每一個樣本點即為該集合中集合中的一個元素。一個隨機事件的一個元素。一個隨機事件可以看成是樣本空間可以看成是樣本空間的一個子集合。的一個子集合。 對于復合事件來說，可以用以樣本空間中若干個樣對于復合事件來說，可以用以樣本空間中若干個樣本點為元素的集合來表示。本點為元素的集合來表示。 當且僅當隨機事件當且僅當隨機事件 A 中某一個樣中某一個樣本點出現(xiàn)時，稱事本點出現(xiàn)時，稱事件件 A 發(fā)生。發(fā)生。 注意：注意： (1).(1).由于樣本空間由于樣本空間包含了所有

12、的樣本點包含了所有的樣本點, ,且是且是 自身的一個子集。故自身的一個子集。故, ,在每次試驗中在每次試驗中總總 是發(fā)生。因此是發(fā)生。因此, , 稱稱必然事件必然事件。 (2).(2).空集空集 不包含任何樣本點，但它也是樣本空不包含任何樣本點，但它也是樣本空 間間的一個子集的一個子集, ,由于它在每次試驗中肯定由于它在每次試驗中肯定 不發(fā)生，所以稱不發(fā)生，所以稱 為為不可能事件不可能事件。 寫寫出試驗出試驗E E1 1的樣本空間的樣本空間 1 1=1,2,3,4,5,6=1,2,3,4,5,6的下述子集合表示什么的下述子集合表示什么事件？指出哪些是基本事件。事件？指出哪些是基本事件。 A A

13、1 1=1,A=1,A2 2=2,A=2,A6 6=6=6 分別表示擲分別表示擲的結(jié)果為的結(jié)果為“一點一點”至至“六點六點”, ,都是基本事件；都是基本事件； B=2,4,6B=2,4,6 表示擲的結(jié)果為表示擲的結(jié)果為“偶數(shù)偶數(shù)點點”，非基本事件；，非基本事件； C=1,3,5,C=1,3,5, 表示表示“擲的結(jié)果為奇數(shù)擲的結(jié)果為奇數(shù)點點”，非基本事件；，非基本事件； D=4,5,6D=4,5,6 表示表示“擲的結(jié)果為四點或擲的結(jié)果為四點或四點以上四點以上”，非基本事件。，非基本事件。例例 1 1： 二、事件的關(guān)系與運算二、事件的關(guān)系與運算 事件之間的關(guān)系與運算完全和集合之間的事件之間的關(guān)系與

14、運算完全和集合之間的關(guān)系與運算一致，只是術(shù)語不同而已。關(guān)系與運算一致，只是術(shù)語不同而已。 比如：概率論中的必然事件（樣本空間）比如：概率論中的必然事件（樣本空間）在集合論中是全集，概率論中的不可能事在集合論中是全集，概率論中的不可能事件在集合論中是空集，概率論中的事件在件在集合論中是空集，概率論中的事件在集合論中是子集，概率論中的逆事件、和集合論中是子集，概率論中的逆事件、和事件、積事件、差事件在集合論中分別是事件、積事件、差事件在集合論中分別是余集、并集、交集、差集，等。余集、并集、交集、差集，等。I. I. 集合與事件集合與事件 集合集合A A包含于集包含于集合合B B：若對若對 A, A

15、, 總有總有B B，則稱則稱集合集合A A包含包含于集合于集合B B，記成，記成A B。事件事件A A包含于事件包含于事件B:B:若事件若事件A A發(fā)生必發(fā)生必有事件有事件B B發(fā)生，則發(fā)生，則稱事件稱事件A A包含于事包含于事件件B,B,記成記成A B。集合集合A與與B的并或和的并或和：若若 C, 當且僅當當且僅當 A A或或B,B,則稱集合則稱集合C C為集合為集合A A與與B B的并或和的并或和, ,記成記成AB 或或 A+B。事件事件A與與B的并的并或和或和：若事件若事件C發(fā)生，當且發(fā)生，當且僅當事件僅當事件A A或或B B發(fā)生，則稱事發(fā)生，則稱事件件C C為事件為事件A A與與B的并

16、或和，的并或和，記成記成AB 或或 A+B。若若A A B,B,且且B B A A，則稱事件，則稱事件A A與與B B相等相等，記成，記成A=BA=B。無窮多個事件無窮多個事件A A1 1,A,A2 2, ,的和的和n n個事件個事件A A1 1,A,A2 2, ,A,An n的和的和C C發(fā)生就是發(fā)生就是A A1 1,A,A2 2, ,，A An n中中至少一個事件發(fā)生。至少一個事件發(fā)生。C C發(fā)生就是發(fā)生就是A A1 1,A,A2 2中至中至少一個發(fā)生。少一個發(fā)生。niiAC1 1iiAC集合集合A與集合與集合B的交或積的交或積：若若 C，當且僅，當且僅當當 A且且B, 則稱集合則稱集合C

17、為集為集合合A與與B的的交或交或積積, 記成記成A AB B或或ABAB。事件事件A與與B的積或交的積或交：若事件若事件C C發(fā)生，當且僅發(fā)生，當且僅當事件當事件A A與與B B同時發(fā)生，同時發(fā)生，則稱事件則稱事件C C為事件為事件A與與B的積或交的積或交, 記成記成 A AB B或或ABAB。特別地特別地, ,當AB=AB=時時, ,稱稱A A與與B B為互斥事件為互斥事件( (或互不相容事件或互不相容事件),),簡稱簡稱A A與與B B互斥。也互斥。也就是說事件就是說事件A A與與B B不不能同時發(fā)生。能同時發(fā)生。例例 1(1(續(xù)續(xù)) ) A A1 1=1, A=1, A2 2=2,=2,

18、于是于是A A1 1A A2 2=。故。故A A1 1與與B B2 2互斥；互斥； B=2,4,6,C=1,3,5,B=2,4,6,C=1,3,5,于是于是BC=,BC=,故故B B與與C C也互斥。也互斥。類似地，稱類似地，稱n n個事件個事件A A1 1,A,A2 2, ,A,An n是是兩兩兩兩互不相容的互不相容的，如果它們中任何兩個事，如果它們中任何兩個事件都互不相容件都互不相容稱可列個事件稱可列個事件A A1 1,A,A2 2, , 是是兩兩互不相容兩兩互不相容的的，如果它們中任何兩個事件都互不相容，如果它們中任何兩個事件都互不相容nA無窮多個事件無窮多個事件A A1 1,A,A2

19、2, ,的積的積n n個事件個事件A A1 1,A,A2 2, ,A,An n的積的積C C發(fā)生就是發(fā)生就是A A1 1,A,A2 2, ,，A An n都發(fā)生。都發(fā)生。C C發(fā)生就是發(fā)生就是A A1 1,A,A2 2, ,，都發(fā)生。都發(fā)生。. .niiAC1 1iiAC集合集合A與集合與集合B的差的差：若若 C當且僅當當且僅當 A且且 B ，則稱集合C為集合A與與B B的差，記成的差，記成 A A- B B。事件事件A與與B的差的差：若事件若事件C C發(fā)生當且發(fā)生當且僅當僅當事件事件A A發(fā)生發(fā)生且且事件事件B B不發(fā)生不發(fā)生, ,則則稱事件稱事件C C為事件為事件A A與與B B的差的差,

20、 ,記成記成A A-B B。 特別地特別地，稱稱-A-A為為A A的對立事件的對立事件( (或或A A的的逆事件、補事件逆事件、補事件) )等等, ,記成記成A A 。例例1(1(續(xù)續(xù)) ) A A1 1=1, =1, B=2,4,6,B=2,4,6,于是于是A A就是就是A A不發(fā)生。不發(fā)生。5,3,16,5,4,3,21 BAABABAABAABABABAABBAB 完備事件組完備事件組，如果，如果n n個事件個事件A A1 1,A,A2 2, ,A,An n是兩兩互不相容的，并且它們的和是是兩兩互不相容的，并且它們的和是必然事件，則稱必然事件，則稱n個事件構(gòu)成一個完個事件構(gòu)成一個完備事件

21、組備事件組1212122niinnAAAAAAAAA 當當時時，與與就就是是對對立立事事件件。類類似似地地，稱稱可可列列個個事事件件，構(gòu)構(gòu)成成一一個個完完備備事事件件組組。如如果果，并并且且，兩兩兩兩互互不不相相容容。u交換律交換律: : A AB=BA AB=BAB=BA AB=BAu結(jié)合律結(jié)合律: A(BC)=: A(BC)=(A(AB)CB)C A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)Cu分配律分配律: A(BC)=: A(BC)=A ABAC BAC A(BC)= A(BC)=(A(AB)(AC)B)(AC)u對偶律對偶律: :II. II. 事件的運算法則事件的運算法則 ( (與

22、集合運算法則相同與集合運算法則相同) )BAABBABA 不是不是A,BA,B中至少中至少有一個發(fā)生有一個發(fā)生A,BA,B都不發(fā)生都不發(fā)生對于多個隨機事件對于多個隨機事件, ,上述運算規(guī)則也成立上述運算規(guī)則也成立A(AA(A1 1AA2 2AAn n) ) =(AA =(AA1 1)(AA)(AA2 2)(AA)(AAn n) )nnnnAAAAAAAAAAAA21212121 例例 2 某人向一靶子射擊某人向一靶子射擊 3 次， 用次， 用iA表示事件 “第表示事件 “第i次次射擊擊中靶子” ，射擊擊中靶子” ，1,2,3i 。 1、用語言描述下列事件、用語言描述下列事件 123AAA，12

23、AA，123123A A AA A A。 2、用、用123,A A A，通過運算關(guān)系表示出下列事件：，通過運算關(guān)系表示出下列事件： B=“三次射擊恰好有一次擊中靶子” ；“三次射擊恰好有一次擊中靶子” ； C=“三次射擊“三次射擊中中至少有一次至少有一次擊中擊中中靶子中靶子” ；” ； D=“三次射擊至少有兩次沒有擊中靶子” ?！叭紊鋼糁辽儆袃纱螞]有擊中靶子” 。 解解 1、123AAA表示的事件是“三次射擊中至少表示的事件是“三次射擊中至少有一次沒有擊中靶子” ；有一次沒有擊中靶子” ；12AA表示的事件是“前兩次表示的事件是“前兩次沒有擊中靶子” ；沒有擊中靶子” ；123123A A

24、AA A A表示的事件是“恰好表示的事件是“恰好連續(xù)兩次擊中靶子” 。連續(xù)兩次擊中靶子” 。 2、 123123123BA A AA A AA A A； 123CAAA； 121323DA AA AA A。 小結(jié)小結(jié) 本節(jié)首先介紹了隨機試驗、樣本本節(jié)首先介紹了隨機試驗、樣本空間的基本概念，然后給出了隨機事空間的基本概念，然后給出了隨機事件的各種運算及運算法則。件的各種運算及運算法則。l頻率頻率一、頻率與頻率穩(wěn)定性一、頻率與頻率穩(wěn)定性 則稱則稱m m為事件為事件A A在在n n次試驗中次試驗中發(fā)生的頻數(shù)或頻次發(fā)生的頻數(shù)或頻次, ,稱稱m m與與n n的比值的比值m/nm/n為事件為事件A A在在

25、n n次試驗中發(fā)生的頻率次試驗中發(fā)生的頻率, ,記記為為f fn n(A(A) )。 設(shè)設(shè)A是一個事件在相同的條件下進是一個事件在相同的條件下進行行n次試驗次試驗,在這在這n次試驗中次試驗中,事件事件A發(fā)生發(fā)生了了m次。次。第第1.2節(jié)概率節(jié)概率 當試驗次數(shù)充分大時，事件的頻率當試驗次數(shù)充分大時，事件的頻率總在一個定值附近擺動，而且，試驗次總在一個定值附近擺動，而且，試驗次數(shù)越多，數(shù)越多，一般說來一般說來擺動的幅度越小擺動的幅度越小 。這。這一性質(zhì)稱頻率的穩(wěn)定性。一性質(zhì)稱頻率的穩(wěn)定性。 頻率在一定程度上反映了事件在一次頻率在一定程度上反映了事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小。僅管每進行一試驗中發(fā)

26、生的可能性大小。僅管每進行一連串（連串（n次）試驗，所得到的頻率可能各次）試驗，所得到的頻率可能各不相同，但只要不相同，但只要 n足夠當大，頻率就會非足夠當大，頻率就會非常接近一個固定值常接近一個固定值概率。概率。 因此，概率是可以通過頻率來因此，概率是可以通過頻率來“度量度量”的。頻率是概率的近似。的。頻率是概率的近似。1 0 fn( A) 1；2 fn()=1, fn()=0；3. 若事件A1,A2,Ak兩兩互斥, 則:l性質(zhì)性質(zhì)二、二、 事件概率的定義事件概率的定義。 kiinkiinAfAf11)(1、概率的統(tǒng)計定義：在不變的條件下，重復進行n次試驗，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)p

27、附近擺動。且一般來說，n越大，擺動幅度越小，則稱p為事件A的概率，記為P（A）。 注意：概率的統(tǒng)計定義僅僅指出了事件的概率是客注意：概率的統(tǒng)計定義僅僅指出了事件的概率是客觀存在的，但并不能用這個定義計算概率。有時，觀存在的，但并不能用這個定義計算概率。有時，人們是采取一次大量試驗的頻率或一系列頻率的平人們是采取一次大量試驗的頻率或一系列頻率的平均值作為概率的近似值，但有時也不可能對每一個均值作為概率的近似值，但有時也不可能對每一個事件做大量的試驗。事件做大量的試驗。 EEAAP AP AP AP A2 2、概概率率的的公公理理化化定定義義：設(shè)設(shè)試試驗驗 的的樣樣本本空空間間 ，對對于于試試驗驗

28、 的的每每一一個個事事件件 ，即即對對于于樣樣本本空空間間 的的每每一一個個子子集集，都都賦賦予予一一個個實實數(shù)數(shù)，如如果果滿滿足足下下面面三三條條公公理理： 對對于于任任何何事事件件，都都有有； 對對于于必必然然事事件件 ，； 對對于于任任意意可可列列個個兩兩兩兩互互不不相相容容的的事事件件， ， ，有有 則則稱稱是是事事件件的的概概率率。二、概率的要點性質(zhì)二、概率的要點性質(zhì) (1)P()=0，P()=1，逆不一定成立. (2)若AB=,則P(A+B)=P(A)+P(B),可推廣 到有限個互斥 事件的情形.即:若A1,A2,An兩兩互斥,則 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P

29、(An) (3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P( )=1-P(A). (4) 若A是B的子事件,則P(B-A)=P(B)-P(A)；P(A)P(B); (5)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB) -P(AC) - P(BC) +P(ABC) 可推廣到有 限個事件的情形(多退少補原則)。A（ 6 ） （ 廣 義 加（ 廣 義 加 法 公 式 ）法 公 式 ） 對 任 意對 任 意n個 事 件個 事 件12,nA AA，有，有 111( )()()nniiijiiij nPAP AP A A 1121()( 1)()ni

30、jknij k nP A A AP A AA （7） （次可加性）對任意（次可加性）對任意n個事件個事件12,nA AA，有有 11( )()nniiiiPAP A ， 證證 （1） 令令(1,2,)iAi，則，則1iiA，且，且(, ,1,2,)ijA Aij i j。由公理。由公理 3 知知 111()( )()()iiiiiPPAP AP ， 由公理由公理 2 知知()0P ，故必有，故必有()0P 。 （2） 令令 (1,2,)iAinn，由由公公理理 3 及及性性質(zhì)質(zhì) 1 即即可可導導出出。 (4),BA由有B=(B-A)+A,且B-A與A互不相容，由概率的可加性，有P(B)=P(B

31、-A)+P(A),即P(B-A)=P(B)-P(A)。得：得：P(B)=P(A+B)- -P(A)=0.8- -0.6=0.2，例題例題 1.AB=，P(A)=0.6，P(A+B)=0.8，求，求 B的逆的逆事件的概率。事件的概率。解：由解：由P(A+B)=P(A)+P(B)思考：在以上條件下，思考：在以上條件下，P(A- -B)=？ 0 6 .P ABP AABP AP ABP A所以，所以，P( )=1-0.2=0.8B2.設(shè)事件設(shè)事件A發(fā)生的概率是發(fā)生的概率是0.6，A與與B都發(fā)生的概率是都發(fā)生的概率是0.1，A 與與B 都都 不發(fā)生不發(fā)生 的概率為的概率為 0.15 ,求求 A發(fā)生發(fā)生

32、B不發(fā)生的概不發(fā)生的概率；率；B 發(fā)生發(fā)生A不發(fā)生的概率及不發(fā)生的概率及P(A+B).解：解：由已知得，由已知得，P(A)=0.6，P(AB)=0.1，P( )=0.15，AB 則則 P（A- -B）=P（A- -AB）=P（A）- -P（AB）=0.5 P（B- -A）=P(B)- -P(AB)P（A+B）=1- -P（ ）=1- -P（ ）=0.85ABAB又因為又因為P（A+B）=P（A）+P（B）- -P（AB），所以，），所以，P（B）=P（A+B）- -P（A）+P（AB）=0.85-0.6+0.1=0.35從而，從而，P（B- -A）=0.35- -0.1=0.25。 3 已知已

33、知1( )( )( ),4P AP BP C1()0, ()()16P ABP ACP BC，求，求, ,A B C至少有至少有一個發(fā)生的概率。一個發(fā)生的概率。 解解 因因ABCAB，故，故0()()0P ABCP AB，從而，從而()0P ABC ，于是，于是，, ,A B C至少有一個發(fā)生的概率為至少有一個發(fā)生的概率為 ()( )( )( )()()()()111115.44416168P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC課堂練習課堂練習 (901) P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6， 求求P(A-B). (915) P(A)=0.7，P(

34、A-B)=0.3，求，求P( ) (921) P(A) =P(B) = P(C) =1/4， P(AB)=0， P(AC)=P(BC)=1/6，求，求A、B、C都不出現(xiàn)的概率。都不出現(xiàn)的概率。 (941) A、B都出現(xiàn)的概率與都出現(xiàn)的概率與 A、B 都不出現(xiàn)的概率相等，都不出現(xiàn)的概率相等，P(A)=p，求，求P(B).解：解：(1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1(3)P( )=P( )=1-P(A+B+C)=7/12CBACBA(4)P(AB)=P( )=P( )=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB),所以所以,P(B)=1-P(A)=1-pBABA

35、所以所以, P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3AB(2)P( )=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7+0.3=0.6AB預備知識預備知識一一. .排列與組合排列與組合1.非重復的選排列非重復的選排列: :從從 n個不同元素中個不同元素中,每次取出每次取出k個不同個不同的元素的元素,按一定的順序排成一列稱為選排列按一定的順序排成一列稱為選排列,選排列的種選排列的種數(shù)記作數(shù)記作)1kn()2n)(1n(nPkn2.組合組合:從從n個不同的元素中個不同的元素中,每次取出每次取出k(kn)個不同個不同的元素的元素,與元素的順序無關(guān)組成一組叫作組合與元素的順序無關(guān)組成一組叫作

36、組合,其組合其組合數(shù)用數(shù)用 表示表示,其中其中knC!kPCknkn可重復的排列：可重復的排列：從從 n個不同元素中個不同元素中,有放回地取有放回地取k個個進行排列，共有進行排列，共有 種排列。種排列。kn二、古典概型二、古典概型1.古典概型古典概型 設(shè)設(shè)為試驗為試驗E的樣本空間，若的樣本空間，若 （有限性有限性）只含只含有限個樣本點，有限個樣本點， （等概性等概性）每個基本事件出現(xiàn)的可）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等，則稱能性相等，則稱E為為古典概型古典概型（或等可能概型）。（或等可能概型）。2.古典概率的定義古典概率的定義 設(shè)設(shè)E為古典概型，為古典概型，為為E的樣本空間，的樣本空間，A為任意

37、為任意一個事件，定義事件一個事件，定義事件A的概率的概率 P(A)=P(A)=有利于有利于A A的基本事件數(shù)的基本事件數(shù)/ /實驗的基本事件實驗的基本事件總數(shù)總數(shù)( ( 或或 =card(A)/card(S)=card(A)/card(S)）注意注意：古典概型的判斷方法，古典概率的計算步驟：弄清試驗與樣本點數(shù)清樣本空間與隨機事件 中的樣本點數(shù) 列出比式進行計算。 122EEAA12例：作試驗 ，將一枚硬幣拋3次，觀察正反面出現(xiàn)的情況， 1 寫出 的樣本空間； 設(shè)事件 為“恰有一次出現(xiàn)正面”，求P A ；設(shè)為至少有一次出現(xiàn)正面，求P A 。HHHHHTTHHHTTTHTTTHTTT （ ， ，

38、），（ ， ， ），（H H，T T，H H）解解：（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ）（ ， ， ），（ ， ， ）12P AP A3737（ ）= = ；（ ）。8888例例:兩封信隨機地向標號為兩封信隨機地向標號為, , , 的四個郵筒的四個郵筒投寄投寄,求求:(1)第二個郵筒恰好被投入一封信的概率第二個郵筒恰好被投入一封信的概率;(2)前兩個郵筒各有一封信的概率前兩個郵筒各有一封信的概率;(3)兩封信在不同郵筒的概率兩封信在不同郵筒的概率(4)兩封信在同一郵筒的概率兩封信在同一郵筒的概率.1122342224444C CA122C解：； ； ；48 83653658 8例例、

39、一一個個小小組組有有8 8個個學學生生，問問這這8 8個個學學生生的的生生日日各各不不相相同同的的概概率率是是多多少少？A A解解：365365例（產(chǎn)例（產(chǎn) 品品 的的 隨機隨機 抽抽 樣樣 問問 題題） 例例1 箱箱 中中 有有 6 個個 燈泡，其燈泡，其 中中 2 個個 次次 品品4 個個 正正 品，品，有有 放放 回地回地 從從 中中 任任 取取 兩兩 次，次， 每每 次次 取取 一個，試求下一個，試求下 列列 事事 件件 的的 概率：概率：（1） 取取 到到 的的 兩兩 個個 都都 是是 次次 品，品， （2）取到的兩個中）取到的兩個中正、次品各一個正、次品各一個, （3）取到的兩個中

40、至少有一個正品）取到的兩個中至少有一個正品.解：設(shè)解：設(shè)A = 取取 到到 的的 兩兩 個個 都都 是是 次次 品品，B=取到的取到的兩個中正、次品各一個兩個中正、次品各一個, C=取到的兩個中至少有一取到的兩個中至少有一個正品個正品.（1）基本事件總數(shù)為）基本事件總數(shù)為62，有利于事件，有利于事件A的基本事件數(shù)為的基本事件數(shù)為22，所以所以P（A）=4/36=1/9（2）有利于事件）有利于事件B的基本事件數(shù)為的基本事件數(shù)為42+24=16，所以所以P（B）=16/36=4/9（3）有利于事件）有利于事件C的基本事件數(shù)為的基本事件數(shù)為62-22=32，解解:(1)排列排列;(2)組合組合.例例

41、 把把 10 本書任意地放在書架上， 求其中指定的三本書任意地放在書架上， 求其中指定的三本書放在一起的概率。本書放在一起的概率。 解解 將將10本書放到書架上相當于將本書放到書架上相當于將10個元素作一次個元素作一次排列，其所有可能的放法相當于排列，其所有可能的放法相當于 10 個元素的全排列數(shù)個元素的全排列數(shù)10！ ，！ ， 用用A表示事件 “指定的三本書放在一起” ， 則事件表示事件 “指定的三本書放在一起” ， 則事件A包含的樣本點數(shù)為包含的樣本點數(shù)為 8！ 3！ ，所以！ ，所以 8! 3!1( )10!15P A。 注意注意若改為無放回地抽取兩次呢若改為無放回地抽取兩次呢? 若改為

42、一次抽若改為一次抽取兩個呢？取兩個呢？P（C）=32/36=8/9例例:從一副從一副52張的撲克牌中任取張的撲克牌中任取5張張,求在其中至少求在其中至少有一張有一張A字牌的概率字牌的概率. 54855211ACCP BP CC 解：無 字牌為 ，則B=C三、幾何概型三、幾何概型 古典概型是關(guān)于有限等可能結(jié)果的隨機試古典概型是關(guān)于有限等可能結(jié)果的隨機試驗的概率模型，對于隨機試驗的所有可能結(jié)果驗的概率模型，對于隨機試驗的所有可能結(jié)果有無窮多個的情形，概率的古典定義就不適用有無窮多個的情形，概率的古典定義就不適用了。因此，有必要把概率的定義推廣到試驗有了。因此，有必要把概率的定義推廣到試驗有無限多結(jié)

43、果而又有某種等可能性的場合，這類無限多結(jié)果而又有某種等可能性的場合，這類問題一般可以通過幾何方法來求解。問題一般可以通過幾何方法來求解。 試試驗驗的的可可能能結(jié)結(jié)果果是是某某區(qū)區(qū)域域中中的的一一個個點點。這這個個區(qū)區(qū)域域可可以以是是一一維維的的，也也可可能能是是二二維維的的，還還可可以以是是三三維維的的，甚甚至至可可以以是是n n維維的的，這這時時可可能能結(jié)結(jié)果果全全體體是是無無限限的的。這這里里的的“等等可可能能”的的含含義義是是指指：落落在在某某區(qū)區(qū)域域g g的的概概率率與與區(qū)區(qū)域域g g的的度度量量（長長度度，面面積積，體體積積等等）成成正正比比并并且且與與其其位位置置及及1 1、幾幾何

44、何概概型型形形狀狀無無關(guān)關(guān)。 設(shè)設(shè)A A是是區(qū)區(qū)域域中中的的任任意意區(qū)區(qū)域域，若若以以A A記記“在在區(qū)區(qū)域域中中隨隨機機地地取取一一點點，而而該該點點落落在在區(qū)區(qū)域域A A中中”這這一一事事件件，則則其其概概率率定定義義為為A A的的度度量量P P（A A）= =。由由此此式式所所定定2 2、幾幾何何概概率率義義的的概概率率稱稱為為的的幾幾何何概概率率。的的度度量量計計算算例如，向一個面積為例如，向一個面積為( )S 的區(qū)域的區(qū)域中等可能地任中等可能地任意投點。這里“等可能”的含義是指：被投的點落在區(qū)意投點。這里“等可能”的含義是指：被投的點落在區(qū)域域的任何部分內(nèi)的概率只與這部分的面積成比例

45、而的任何部分內(nèi)的概率只與這部分的面積成比例而與其位置和形狀無關(guān)。設(shè)與其位置和形狀無關(guān)。設(shè)A是區(qū)域是區(qū)域中的一任意區(qū)域，中的一任意區(qū)域，其面積記為其面積記為( )S A，將“點落入?yún)^(qū)域，將“點落入?yún)^(qū)域A”這一事件仍記”這一事件仍記為為A，于是，事件，于是，事件A的概率可定義為：的概率可定義為： ( )( )( )S AP AS。 例例(會面問題會面問題) 甲乙兩人相約在甲乙兩人相約在 7 點到點到 8 點之間在某點之間在某地會面，先到者等候另一人地會面，先到者等候另一人 20 分鐘，過時就離開。假定分鐘，過時就離開。假定他們在他們在 7 點到點到 8 點之間的任一時刻到達指定地點是等可點之間的任

46、一時刻到達指定地點是等可能的，求這兩人能會面的概率。能的，求這兩人能會面的概率。 解解 記記 7 點為計算時刻的點為計算時刻的 0 時， 以分鐘為單位，時， 以分鐘為單位，, x y分別表示甲、 乙到達指定地點的時刻， 以分別表示甲、 乙到達指定地點的時刻， 以A表示事件 “兩表示事件 “兩人能會面” ，則樣本空間可表示為人能會面” ，則樣本空間可表示為 ( , ) 060,060 x yxy ， 事事件件A可可表表示示為為 ( , ) | 20,( , )Ax yxyx y， 這是一個幾何概率問題（如圖這是一個幾何概率問題（如圖 1-2 所示） ，所求概率為所示） ，所求概率為 222( )

47、60405( )( )609S AP AS。 第第1.3節(jié)節(jié) 條件概率與獨立性條件概率與獨立性一、條件概率一、條件概率1、定義、定義 對于兩個事件A、B，若P（A）0，在事在事件件A已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，稱為發(fā)生的概率，稱為事件A出現(xiàn)的條件下，事件B出現(xiàn)的條件概率。記作P（B|A）。相應地P（B）稱為無條件概率。當A= 時，條件概率時，條件概率P（B| ）就是無條件概率）就是無條件概率P（B）定義定義 1.2 對于兩個事件A、B，若P（A）0，則稱P（B|A）=P（AB）/P（A）為事件A出現(xiàn)的條件下，事件B出現(xiàn)的條件概率。例例 市場上供應的燈泡中，甲廠產(chǎn)品

48、占市場上供應的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠占，乙廠占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠的合格率是，乙廠的合格率是80%。若用事件。若用事件A，B分別表示甲，乙兩廠的產(chǎn)品，分別表示甲，乙兩廠的產(chǎn)品，C表示產(chǎn)品為合格品，試寫出有關(guān)事件的概率。表示產(chǎn)品為合格品，試寫出有關(guān)事件的概率。 解：解： P（A）=70%，P（B）= 30%P（C|A）= 95%， P（C|B）= 80%注意注意:(1)區(qū)別P（B|A）與P（AB）. (2)條件概率P（B|A）滿足概率的三條公理. (3) P(B| )=P(B); P(B|B)=1; (4) 若 B1,B2互不相容,則有: P(B1+

49、B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A) (自證) (5) P( |A)=1-P(B|A)B()( )()(|)( )( )()11(|)( )P ABP AP ABP B AP AP AP ABP B AP A 例例1.2.1 在在10個產(chǎn)品中有個產(chǎn)品中有7個正品，個正品，3個次品，按個次品，按不放回抽樣，每次一個，抽取兩次，求不放回抽樣，每次一個，抽取兩次，求 兩次都取到次品的概率；兩次都取到次品的概率； 第二次才取到次第二次才取到次品的概率；品的概率； 已知第一次取到次品，第二次又已知第一次取到次品，第二次又取到次品的概率。取到次品的概率。若改為有放回抽樣呢？若改為有放回抽樣呢？ （2

50、）P（ ）=(73)/(10 9)=7/30BA （3）P（B|A）=2/9=P（AB）/P（A)= (1/15)/(3/10)解：設(shè)解：設(shè)A=第一次取到次品第一次取到次品，B=第二次取到次品第二次取到次品， （1）P（AB）=(32)/(109) =1/15例例1.2.2（964）已知 0P（B）1，且 P(A1+A2)|B=P(A1|B)+P(A2|B) 記C=-B ,則下列選項成立的是（ ） P(A1+A2)|C=P(A1|C)+P(A2|C) P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B) P(A1+A2)=P(A1|B)+P(A2|B) P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2

51、)P(B|A2)例例1.2.3（965）設(shè)事件A是B的子事件 1P(B)0， 則下列選項必然成立的是（ ） P(A)P(A|B) P(A)P(A|B)）（2)1(6 . 0例例1.2.4 P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P( |A)=0.4,則P(B)=( ).B()( )()0.4( )( )P ABP AP ABP AP A( )()0.4( )0.24P AP ABP A()( )( )()( )()( )()0.840.240.6P ABP AP BP ABP BP ABP AP AB2、乘法公式、乘法公式對于兩個事件A與B， 若P(A)0, 則有 P(AB)=P(A)P(B

52、|A), 若P(B)0, 則有 P(AB)=P(B)P(A|B), 若P(A)0,P(B)0, 則有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) 推廣情形推廣情形對 于 n 個 事 件 A1 ,A2,An ,若 P ( A1A2An-1 ) 0，則 有 P ( A1A2An) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1) 特別特別：對事件對事件A，B，C，若，若P（AB）0，則有，則有 P（ABC）=P（A）P（B|A）P（C|AB）注意：乘法法則一般用于計算幾個事件同時發(fā)生的概率注意：乘法法則一般用于計算幾個事件同時發(fā)生的概率B=B1+B2，P（B

53、1）=0.2，P（A| ）=0.3，P（B2| ）=0.4，所以，所以，P（A）=P（ A）=P（ ）P（A| ）=0.80.3=0.24，1BAB11B1B1B例例1.2.5 假設(shè)在空戰(zhàn)中，若甲機先向乙機開火，擊落乙機的概率是假設(shè)在空戰(zhàn)中，若甲機先向乙機開火，擊落乙機的概率是0.2；若乙機未被擊落，進行還擊；若乙機未被擊落，進行還擊,擊落甲機的概率為擊落甲機的概率為0.3；若甲機；若甲機亦未被擊落，再次進攻，擊落乙機的概率是亦未被擊落，再次進攻，擊落乙機的概率是0.4，分別計算這幾個，分別計算這幾個回合中甲、乙被擊落的概率?；睾现屑住⒁冶粨袈涞母怕?。解：設(shè)解：設(shè)A=甲機被擊落甲機被擊落，B=

54、乙機被擊落乙機被擊落，B1=乙第一次被擊落乙第一次被擊落， B2=乙機第二次被擊落乙機第二次被擊落，由題意得：，由題意得：B1.B2互斥，互斥， P（B2）=P（ B2）= P（ ）P（ | ）P（B2| ）AB1AB11BA1B=0.80.70.4=0.224P（B）=P（B1）+P（B2）=0.2+0.224=0.424書上書上P21例例5例例 10 個零件中有個零件中有 3 個次品，個次品，7 個合格品。每次從個合格品。每次從中任取一個零件，取出的零件不再放回，求中任取一個零件，取出的零件不再放回，求（1）前前兩次兩次都都取得取得次品次品的的概率概率。 （2）三次都三次都取到合格品的概率

55、。取到合格品的概率。 解解 用用iA表示事件“第表示事件“第i次取到次品” ，次取到次品” ，1,2,3i ， 易知易知12132(), (),109P AP A A， 所所以以（1）12121321() ()10915P A AP A P A A（）。 （2） 1231213127 6 5()10 9 87657() () ()109824P A A AP A P A A P A A A 。 二、事件的獨立性二、事件的獨立性定義定義 若事件A與B滿足 P(AB)=P(A)P(B), 則稱A與B相互獨立，簡稱A與B獨立。推論推論1 A、B為兩個事件，若P(A)0, 則 A與B獨立等價于P(B|

56、A)=P(B).證明：證明：A.B獨立獨立P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) P(B|A)=P(B)證明證明: 不妨設(shè)A.B獨立,則)B(P)A(P)B(P1)(A(P)B(P)A(P)A(P)AB(P)A(P)BA(P)BA(P其他類似可證 推論推論2 在 A 與 B， 與 B，A 與 ， 與 這四對 事件中，若有一對獨立，則另外三對也相互獨立。BAAB說明：說明： 推論推論3提供了一種判斷兩事件獨立性提供了一種判斷兩事件獨立性的直觀方法，的直觀方法， 即對于兩事件，即對于兩事件， 若其中任何若其中任何一個事件出現(xiàn)的概率不受另一個事件出現(xiàn)與一個事件出現(xiàn)的概率不受另一個事件出現(xiàn)

57、與否的影響，則可判斷這兩事件是獨立的。否的影響，則可判斷這兩事件是獨立的。推論推論3 設(shè)0P(A)1,0P(B)1 則下面四個等式 等價， P(B|A)=P(B)， P(B| )=P(B) P(A|B)=P(A)， P(A| )=P(A)BA 定義1.4 兩個事件A和B，如果其中一個事件發(fā)生的概率不受另外一個事件發(fā)生與否的影響，則稱A和B是相互獨立的。例、甲、乙兩人各投籃一次，設(shè)甲投中的概率為例、甲、乙兩人各投籃一次，設(shè)甲投中的概率為0.7，乙，乙投中的概率為投中的概率為0.8，求甲乙二人至少有一人投中的概率。，求甲乙二人至少有一人投中的概率。解：記解：記A=“甲投中甲投中”，B=“乙投中乙投

58、中”，顯然，顯然A與與B相互獨立。相互獨立。則則 P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）= P（A）+P（B）- P（A） P（B）=0.7+0.8-0.70.8=0.941P ABP AB解解法法二二：（）（）=1-P(AB)=1-P(AB)=1-P(A)P(B)=0.94.=1-P(A)P(B)=0.94.定義定義 1.6 設(shè)設(shè)12,nA AA是是(2)n n 個事件，如果個事件，如果這這n個事件中任意兩個事件均相互獨立，則稱個事件中任意兩個事件均相互獨立，則稱n個事件個事件12,nA AA兩兩獨立。兩兩獨立。 定義定義 1.7 設(shè)設(shè)12,nA AA是是(2)n n 個事件，如果個事

59、件，如果對其中任何對其中任何(2)kkn個事件個事件 12,kiiiAAA12(1)kiiin，都有，都有 1212()() ()()kkiiiiiiP A AAP A P AP A， 則稱則稱12,nA AA相互獨立。相互獨立。 特別特別，事件事件, ,A B C相互獨立，則必須以下相互獨立，則必須以下 4 個式子個式子同時成立同時成立 （1）()( ) ( )P ABP A P B； （2）()( ) ( )P ACP A P C； （3）()( ) ( )P BCP B P C； （4）()( ) ( ) ( )P ABCP A P B P C。 注意注意： （1）由定義由定義 1.7

60、還可以看出，若還可以看出，若12,nA AA相互獨立，則相互獨立，則12,nA AA兩兩獨立，反之不然。并且，兩兩獨立，反之不然。并且，若若12,nA AA相互獨立，那么其中任意相互獨立，那么其中任意(2)mmn個事件也相互獨立。個事件也相互獨立。 （2）在實際問題中，判斷一些事件的相互獨立性，在實際問題中，判斷一些事件的相互獨立性，往往不是用定義往往不是用定義 1.7 進行計算，而是根據(jù)問題的實際意進行計算，而是根據(jù)問題的實際意義進行分析確定。義進行分析確定。 推廣推廣1 1（n n個事件的相互獨立性）個事件的相互獨立性）: :設(shè)有設(shè)有n n個事件個事件A A1 1,A,A2 2, ,A,A