第三章傅里葉變換8-11

1、1第三章傅里葉變換3.1 引言引言3.11抽樣定理抽樣定理3.10抽樣信號的傅里葉變換抽樣信號的傅里葉變換3.9 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換3.8 卷積定理卷積定理3.7 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)3.6 沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換3.5 典型非周期信號的傅里葉變換典型非周期信號的傅里葉變換3.4 傅里葉變換傅里葉變換3.3 典型周期信號的傅里葉級數(shù)典型周期信號的傅里葉級數(shù)3.2 周期信號的傅立葉級數(shù)分析周期信號的傅立葉級數(shù)分析總結(jié)總結(jié)作業(yè)作業(yè)23.8 卷積定理卷積定理 若若 則則)()(11FtfFT)()(22FtfFT)()(

2、)(*)(2121FFtftfFT時域卷積定理時域卷積定理3例：求三角脈沖的頻譜例：求三角脈沖的頻譜三角脈沖可看成兩個同樣矩形脈沖的卷積三角脈沖可看成兩個同樣矩形脈沖的卷積)(tG)(tG)(*)(tGtG卷卷)(G)(G乘乘42)(2SaEF4卷積卷積乘積乘積FTFT5頻域卷積定理頻域卷積定理 若若 則則)()(11FtfFT)()(22FtfFT)(*)(21)()(2121FFtftfFT6例：求余弦脈沖的頻譜例：求余弦脈沖的頻譜tcos122)(tGE22E)(tf22相相乘乘FTFT)(G22)(F卷卷積積costFT)(7cos)(0ttfFT)()(2100FF)(tfFTcos

3、0tFT 卷積卷積0000121210083.9 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換1 1 正弦、余弦信號的傅里葉變換正弦、余弦信號的傅里葉變換周期信號周期信號傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)非周期信號非周期信號1T？傅里葉變換傅里葉變換1T)()(cos000tF)()(sin000 jtF9)(21cos000tjtjeet)()(21cos000tFT)(21sin000tjtjeejt)()(21sin000jtFT)(2 1 FT)(200tjeFT)()(21cos)(000FFttfFT)()(21sin)(000FFjttfFT102 一般周期信號的傅里葉變換一般周期信號的傅里葉變換

4、 令周期信號令周期信號f(t)的周期為的周期為T1,角頻率為角頻率為 。它的傅里葉級數(shù)為。它的傅里葉級數(shù)為1112( 2)fTtjnnneFtf1)(（*）2/2/1111)(1TTtjnndtetfTF其中其中：對式（對式（* *）兩邊取傅里葉變換）兩邊取傅里葉變換)()(1ntnjneFtfjFF FF F11 周期信號周期信號f(t)的傅里葉變換是由一系列沖激函的傅里葉變換是由一系列沖激函數(shù)所組成，這些沖激位于信號的諧頻數(shù)所組成，這些沖激位于信號的諧頻處處 ，每個沖激的強(qiáng)度等，每個沖激的強(qiáng)度等于于f(t)的傅里葉級數(shù)相應(yīng)系數(shù)的傅里葉級數(shù)相應(yīng)系數(shù)Fn的的 倍。倍。11(0,2,)2)()(

5、1ntnjneFtfjF FFF F1ntjnneF)(21nFnn即即：)(2)(1nFjFnn)(200tjeF12周期信號傅里葉系數(shù)與單脈沖傅里葉變換的關(guān)系周期信號傅里葉系數(shù)與單脈沖傅里葉變換的關(guān)系周期性脈沖序列周期性脈沖序列 的傅立葉級數(shù)的傅立葉級數(shù) 系數(shù)：系數(shù)：nF)(tf)(0F 從周期序列中截取一個周期，得到所謂單脈沖從周期序列中截取一個周期，得到所謂單脈沖信號，它的傅立葉變換信號，它的傅立葉變換 為：為： 2/2/1111)(1TTtjnndtetfTF2121)()(0TTdtetfFtj1)(101nnFTF因而：因而：13。之之間間的的關(guān)關(guān)系系傅傅里里葉葉復(fù)復(fù)系系數(shù)數(shù)與與

6、相相應(yīng)應(yīng)的的周周期期信信號號的的非非周周期期信信號號的的頻頻譜譜密密度度nFF)( 上述關(guān)系提供了一種求周期信號傅里葉級數(shù)上述關(guān)系提供了一種求周期信號傅里葉級數(shù)系數(shù)的方法。系數(shù)的方法。 101)(1nnFTF14例：求周期單位沖激序列的傅里葉級數(shù)與傅里葉變換。例：求周期單位沖激序列的傅里葉級數(shù)與傅里葉變換。nTnTtt)()(1ntjnntjnnTeTeFt1111)(111/2/21111( )Tjn tnTFt edtTT111( )2()()nnnFjFnn 01T12T1T12Tt)(tT) 1 (01nF1211211T0112112)(jF)(1111( ) 2()()nnnFjF

7、nn 15解：已知矩形脈沖解：已知矩形脈沖f0(t)的傅里葉變換的傅里葉變換F0(j)為：為：)2(Sa)(0 EjF)2(Sa)(111011nTEjFTFnn例：求周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)及傅里葉變換。例：求周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)及傅里葉變換。 已知周期矩形脈沖信號已知周期矩形脈沖信號f(t)的幅度為的幅度為E，脈寬為，脈寬為，周期為周期為T1, 角頻率為角頻率為1=2/T1。t)(tf2/2/1T1TE16nnnnnEnFjF)()2(Sa)(2)(1111nF1TE1122411224)(1E)(jF設(shè)設(shè)：411T)2( Sa)(111011nTEjFTFnnnFtjnnnt

8、jnnenSaTEeFtf11112)(173.10 抽樣信號的傅里葉變換抽樣信號的傅里葉變換 所謂所謂“抽樣抽樣”就是利用取樣脈沖序列就是利用取樣脈沖序列p(t)從連續(xù)信從連續(xù)信號號f(t)中中“抽樣抽樣”一系列的離散樣值，這種離散信一系列的離散樣值，這種離散信號通常稱為號通常稱為“抽樣信號抽樣信號”。1 信號的抽樣信號的抽樣18fs(t)取樣取樣連續(xù)信號連續(xù)信號f(t)量化、編碼量化、編碼數(shù)字信號數(shù)字信號抽樣脈沖抽樣脈沖p(t)抽樣過程方框圖抽樣過程方框圖抽樣信號抽樣信號)()()(tptftfst)(tpsT192 抽樣信號的傅里葉變換抽樣信號的傅里葉變換令連續(xù)信號令連續(xù)信號f(t)的傅

9、里葉變換為的傅里葉變換為()F j()P j抽樣脈沖抽樣脈沖p(t)的傅里葉變換為的傅里葉變換為()sFj抽樣后信號抽樣后信號fs(t)的傅里葉變換為的傅里葉變換為)22(sssTf)()()(tptftfsnsnnPjP)(2)(其中其中：221( )sssTjntTnsPp t edtT1()()()2sFjF jP j1() 2()2nsnF jPn nsnsnjFPjF)()(所以所以，t)(tpsTE20（1）矩形脈）矩形脈沖抽樣沖抽樣抽樣脈沖抽樣脈沖p(t)是矩形脈沖，令脈沖幅度為是矩形脈沖，令脈沖幅度為E，脈寬為，脈寬為，抽樣角頻率為，抽樣角頻率為s，這種抽樣也稱為，這種抽樣也稱

10、為“自然抽樣自然抽樣”。221( )sssTjntTnsPp t edtT221Sa()2sjntsssEedtTnET )()2(Sa)(snsssnjFnTEjF() ()snsnF jP F jnt)(tpsTE21tf(t)F(j)m-m,1相相乘乘tfs(t)Ts卷卷積積Fs(j)s-ssTE /2P(j)s-s(Es)Ep(t)tTs/2設(shè)：21sT22（2）沖激抽樣）沖激抽樣若抽樣脈沖若抽樣脈沖p(t)是沖激序列，此是沖激序列，此時稱為時稱為“沖激抽樣沖激抽樣”或或“理想抽樣理想抽樣”。1() ()ssnsF jF jnT 由于沖激序列的傅里葉系數(shù)由于沖激序列的傅里葉系數(shù)Pn為常

11、數(shù)，所以為常數(shù)，所以Fs(j)是以是以s為周期等幅地重復(fù)。為周期等幅地重復(fù)。nsTnTtttp)()()(sTTtjnsnTdtetTPsss1)(122nsnsnjFPjF)()(tp(t)Ts(1)23tf(t)F(j)m-m1tp(t)Ts(1)P(j)(s)s-stfs(t)Ts相相乘乘Fs(j)m-m1/Tss-s卷卷積積243.11 抽樣定理抽樣定理 用抽樣脈沖對連續(xù)信號進(jìn)行抽樣，抽樣周期取用抽樣脈沖對連續(xù)信號進(jìn)行抽樣，抽樣周期取多大合適呢？并且如何從抽樣信號中恢復(fù)原連續(xù)信多大合適呢？并且如何從抽樣信號中恢復(fù)原連續(xù)信號？號？ 從上圖可知：只有滿足從上圖可知：只有滿足 才不會產(chǎn)才不會

12、產(chǎn)生頻譜混疊，即生頻譜混疊，即 保留了原連續(xù)時間信號的全部保留了原連續(xù)時間信號的全部信息。這時只要將信息。這時只要將 通過通過“ 理想低通濾波器理想低通濾波器”，就可恢復(fù)原信號就可恢復(fù)原信號f(t) 。)(,2jFsms)(tfs)(tfsF(j)m-m1sFs(j)m-m1/Tss-sms25cc1)(jH)(0)(1)(ccjH其中：其中：mscm 常把最低允許的抽樣率常把最低允許的抽樣率稱為稱為奈奎斯特抽樣率奈奎斯特抽樣率，把最大允許的抽樣間隔把最大允許的抽樣間隔稱為奈奎斯特間隔。即稱為奈奎斯特間隔。即ms2min或：或：msff2min2211minmaxmmssTffT理想低通濾波器

13、的頻率特性為：理想低通濾波器的頻率特性為：Fs(j)m-m1/Tss-smsm-m1/Ts26正弦信號采樣的示例圖： 27時域抽樣定理時域抽樣定理： 一個頻譜受限的信號一個頻譜受限的信號 f(t)，如果頻譜只占，如果頻譜只占據(jù)據(jù)-mm的范圍，則信號的范圍，則信號 f(t)可以用等間隔的可以用等間隔的抽樣值來唯一地表示。而抽樣間隔必須不大抽樣值來唯一地表示。而抽樣間隔必須不大于于1/(2fm) (其中其中m=2fm），或者說，最低抽），或者說，最低抽樣頻率為樣頻率為2fm。28)f(T ms( t ) sT0頻譜圖頻譜圖tfttm ( t ) M ( f ) fm- fmMs( f ) 0fsf

14、sf )t (T msf2f 討論：討論：msff2msff2時域圖圖形說明時域圖圖形說明29解解:（ 1）)2(Sa)(ttf)2()2(2)(uujF1)(tf22t)(jF22/2奈奎斯特取樣率為：奈奎斯特取樣率為：s/rad4222minms例例：已知信號已知信號 用用 對其進(jìn)行取樣，對其進(jìn)行取樣，（1）確定奈奎斯特取樣率；）確定奈奎斯特取樣率； （2）若?。┤羧?求取樣信號求取樣信號 并畫出波形圖；并畫出波形圖；（3）求）求 并畫出頻譜圖；并畫出頻譜圖；（4）確定低通濾波器的截止頻率）確定低通濾波器的截止頻率),2(Sa)(ttfnsTnTtt)()(,6ms),()()(ttftf

15、Ts),()(tfjFsscF F30（2）若取若取 求取樣信號求取樣信號 并畫出波形并畫出波形圖；圖；s/rad126mss61222ssT) 1 ()(tfs22t6nsnsnTtnssTsnTtnnTttnTtnTfttftfs)()3(Sa)()2(Sa)()()()()(,6ms),()()(ttftfTs1)(tf22t31（3）求求 并畫出頻譜圖；并畫出頻譜圖； )12(6 )(1)(nnsssnjFnjFTjF)122()122(3nunun)(jFs12321014122),()(tfjFss32mscmcc1)(jH即即102c低通濾波器的截止頻率低通濾波器的截止頻率 應(yīng)滿

16、足下式：應(yīng)滿足下式：c（4）) 1 ()(tfs22t6)(jFs12321014122確定低通濾波器的截止頻率確定低通濾波器的截止頻率c33例：設(shè)例：設(shè) 為帶限信號，帶寬為帶限信號，帶寬 ，如圖所示，如圖所示，試分別求試分別求 的帶寬和奈奎斯特取樣率的帶寬和奈奎斯特取樣率 。)/(822sradms),2(21)()2() 1 (1FFtf解解：)/(3222),/(162sradsradmsm頻頻帶帶寬寬度度為為8mf t ( )ftft(),( )22smm)(F1m2)(1F21m20其頻譜如圖所示其頻譜如圖所示),2(2)()2()2(2FFtf),/(42sradm頻頻帶帶寬寬度度

17、為為2m)(F22m34續(xù)上例：若用取樣序列續(xù)上例：若用取樣序列mm)(F1162,88sssmTT解解：并畫出其頻譜圖。并畫出其頻譜圖。f t ( )(tfs)(sFTnttn( ) 8對信號對信號進(jìn)行取樣，得取樣信號進(jìn)行取樣，得取樣信號 ，試求，試求 的頻譜的頻譜 ， )(tfs8mm)(sFss2ss2頻譜見右圖圖。頻譜見右圖圖。)16(8)(1)(nnsssnFnFTF35例：求下列信號的奈奎斯特取樣率。例：求下列信號的奈奎斯特取樣率。)100()1(tSa)100()2(2tSa)50()100()3(10tSatSasradsradmsm/2002/1001002，故故，其其中中

18、(2) 時域中兩個信號相乘，所得信號的帶寬時域中兩個信號相乘，所得信號的帶寬為原來兩個信號的帶寬之和，所以為原來兩個信號的帶寬之和，所以sradsradmsm/4002/200222，)(22)(2gtSatgSa解：解：(1)36)50()100()3(10tSatSa解：解： 時域中兩個信號相加，所得信號的帶寬應(yīng)為原來時域中兩個信號相加，所得信號的帶寬應(yīng)為原來兩個信號中帶寬大的那個信號的帶寬，即兩個信號中帶寬大的那個信號的帶寬，即sradm/500)1050100max(3，另外，時域卷積對應(yīng)于頻域相乘，帶寬應(yīng)取另外，時域卷積對應(yīng)于頻域相乘，帶寬應(yīng)取小的。小的。sradms/100023337本章要求本章要求 1.了解正交函數(shù)、正交函數(shù)集、歸一化正交函了解正交函數(shù)、正交函數(shù)集、歸一化正交函數(shù)集、完備的正交函數(shù)集的概念；了解函數(shù)的正數(shù)集、完備的正交函數(shù)集的概念；了解函數(shù)的正交分解。交分解。2. 掌握周期信號的傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)形式和掌握周期信號的傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)形式和指數(shù)形式；理解周期信號頻譜的概念及特點(diǎn)，掌指數(shù)形式；理解周期信號頻譜的概念及特點(diǎn)，掌握函數(shù)對稱性與傅立葉級數(shù)系數(shù)的關(guān)系。握函數(shù)對稱性與傅立葉級數(shù)系數(shù)的關(guān)系。3. 了解典型周期信號頻譜的特點(diǎn)，理解矩形信號