聯(lián)合態(tài)密度和臨界點(diǎn)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上3.3 聯(lián)合態(tài)密度和臨界點(diǎn)上面我們從微觀躍遷過程出發(fā)給出了理想晶體由直接躍遷（或豎直躍遷）決定的吸收光譜的一般表達(dá)式。材料吸收光譜的具體形式顯然依賴于材料具體的能帶結(jié)構(gòu)。但是，不同材料的光譜存在一個共有的特點(diǎn)：實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)晶體吸收光譜中常會出現(xiàn)一些明顯的結(jié)構(gòu)，或拐點(diǎn)，（如圖3.3-1給出的例子）這些結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的物理原因和拐點(diǎn)附近吸收光譜的行為？ 圖3.3-1 帶間直接躍遷決定的吸收光譜示意圖3.3.1 聯(lián)合態(tài)密度和臨界點(diǎn)（joint or combined density of states and critical point）考查計算或的公式：積分的被積函數(shù)中的矩陣元

2、除了在一些特殊的值（由于對稱性）變?yōu)榱?，一般來說是的平滑函數(shù)。即 或中一些拐點(diǎn)，不會是由于矩陣元對的依賴關(guān)系。在這些拐點(diǎn)附近（很小 ），這矩陣元可近似地看作常數(shù)，移出積分號。這一近似的含義是，在這小的能量范圍里，滿足能量守恒的每個躍遷元過程都有相同的幾率，因而總的躍遷速率與可能的躍遷數(shù)目成比例。式中的積分變?yōu)椋海?（3.3-1） - 給定光場下，波矢和自旋相同，能量間隔為，分屬兩個帶的狀態(tài)對（在這里，一個在價帶，一個在導(dǎo)帶）的數(shù)密度，稱之為 聯(lián)合態(tài)密度。下面的討論將顯示晶體吸收光譜中出現(xiàn)的拐點(diǎn)正是與這聯(lián)合態(tài)密度相聯(lián)系的。為明顯看出這一點(diǎn)，我們把空間的積分作一改寫?？臻g的體積元可表示為， （3.

3、3-2）其中 為 曲面上的面元矢量，為面元大小，為波矢增量，它在面元法線方向的投影為。利用 ，也即 。 就可表示成： （3.3-3）上式中，對 積分后變?yōu)?（3.3-4） (對比態(tài)密度：空間中，等能面與之間的狀態(tài)數(shù)/dE，它等于這兩個空間等能面所夾的殼層體積與之積/dE：)由的這一表達(dá)式可見，積分被積函數(shù)可能在某些特定的值，被積函數(shù)發(fā)散，出現(xiàn)奇點(diǎn)。稱之為 臨界點(diǎn)（critical point）。該點(diǎn)對應(yīng)的帶間能量差 稱為 臨界點(diǎn)能量。在這一能量值，聯(lián)合態(tài)密度呈現(xiàn)一個拐點(diǎn)。 由對稱性 可能有多個同類臨界點(diǎn)下面限于討論單個臨界點(diǎn)的情形由于臨界能附近的異常變化是由空間臨界點(diǎn)附近的一個小范圍內(nèi)狀態(tài)對數(shù)

4、目隨E的變化決定的，這范圍以外的區(qū)域?qū)Ψe分的貢獻(xiàn)是常數(shù)，我們可以限于討論臨界點(diǎn)附近區(qū)域的貢獻(xiàn)。將在臨界點(diǎn)附近展開，取到二次項（由臨界點(diǎn)條 件，一次項顯然為零）： （3.3-5）其中為臨界點(diǎn)處的值（臨界點(diǎn)能量），都是沿主軸相對臨界點(diǎn)的值，展開式系數(shù)的大小由的倒數(shù)表示，系數(shù)的符號則由來表示，即它們可能的取值為。按的正或負(fù)，臨界點(diǎn)可分為四類：極小值點(diǎn)：對于它， 在此奇點(diǎn)取極小值；鞍點(diǎn)（saddle point）：對于它，兩個取正，一個取負(fù)；鞍點(diǎn)（saddle point）：對于它，一個取正，兩個取負(fù)；極大值點(diǎn)：，在奇點(diǎn)取極大值。 聯(lián)合態(tài)密度 在這幾種 臨界點(diǎn)相應(yīng)的臨界點(diǎn)能量附近的行為 ? 討論中會利

5、用函數(shù)的性質(zhì)：， （3.3-6）其中是方程在區(qū)間中的第個根。以下為方便起見，引進(jìn)新坐標(biāo) ，其中。于是： 進(jìn)而，（3.3-1）式 改寫為 （3.3-7） 先討論點(diǎn)，對這一情形，采用球坐標(biāo)較方便，這時： （3.3-8）上式中的積分可利用前面提到的函數(shù)的性質(zhì)(3.3-6)來計算。方程 僅當(dāng)時，有一正實(shí)數(shù)根，而且，由此我們得到： （3.3-9）而在時，方程無根，這時。對鞍點(diǎn)，用柱坐標(biāo)較方便。在平面的極坐標(biāo)為。 （3.3-10）先對積分，得 （3.3-11）當(dāng)時，方程有兩個根，代入上式，得： （3.3-12）上面公式中的常數(shù) 。（3.3-12）式中的積分有兩種情形。一種是，則恒有。考察：在臨界能附近（很

6、小），隨的變化。這時：可以考察一個適當(dāng)半徑的區(qū)域內(nèi)的積分，只要在這區(qū)域內(nèi)，所作的展開（3.3-5）成立，而且。 因?yàn)樵谡麄€積分區(qū)間（布里淵區(qū)）中，半徑R的柱體以外的區(qū)域里的積分，貢獻(xiàn)一個常數(shù)項。于是（3.3-12）變?yōu)椋?（3.3-13）其中，常數(shù)B與能帶的具體結(jié)構(gòu)有關(guān)，表示與相比為無窮小量。的情形，要，就需 ，因而有： （3.3-14）這里也同樣的選用了半徑R足夠大的柱體區(qū)域?yàn)榉e分區(qū)間。對鞍點(diǎn)和極大點(diǎn)情形，聯(lián)合態(tài)密度行為的討論非常類似鞍點(diǎn)和極小點(diǎn)的情形，此處不再贅述。四種臨界點(diǎn)附近，聯(lián)合態(tài)密度的行為都列在圖表3.3-1中。上面的討論關(guān)注的是臨界點(diǎn)附近小范圍里光吸收的急劇變化規(guī)律（拐點(diǎn)），因而

7、吸收光譜表達(dá)式（3.2-12）中變化相對緩慢的躍遷矩陣元可以看作常數(shù)提到積分號外。要得到完整的吸收光譜就需要考慮躍遷矩陣元的大小隨光子能量（或電子能之差）的變化。顯然，這一矩陣元依賴于具體的能帶結(jié)構(gòu)。人們已經(jīng)對某些具體材料計算了它們的能帶結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的吸收光譜，得到與實(shí)驗(yàn)相符的結(jié)果。（見圖3.3-1）表3.1-1 三維體系聯(lián)合態(tài)密度在臨界點(diǎn)附近的行為 （其中, B是一個與能帶結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)）臨界點(diǎn)聯(lián)合態(tài)密度圖示M0點(diǎn)(極點(diǎn))M1點(diǎn)(鞍點(diǎn))M2點(diǎn)(鞍點(diǎn))M3點(diǎn)(極點(diǎn))3.3.2 直接帶材料的光學(xué)吸收邊和帶隙 絕緣晶體由于禁帶的存在，當(dāng)光子能量小于帶隙時，不能被它吸收。當(dāng)光子能量大于或等于帶隙時，吸

8、收過程就變得十分明顯。對直接帶材料尤其如此，在這一能量附近吸收系數(shù)變化劇烈，可從往長波方向很快降到幾個。這種帶間躍遷的吸收強(qiáng)度徒然變化的區(qū)域稱為吸收邊，它涉及的能量范圍只有十分之幾電子伏。® 測量和研究帶隙的基礎(chǔ)。我們知道，直接帶材料的價帶極大（頂）與導(dǎo)帶極?。ǖ祝┰诳臻g的同一位置，這正是前面討論的臨界點(diǎn)。為簡單起見，設(shè)價帶和導(dǎo)帶極值附近都是各向同性的，拋物線型結(jié)構(gòu)，即那里載子有效質(zhì)量為一標(biāo)量。它們分別用和表示。于是，豎直躍遷的能量與波矢的關(guān)系為： （3.3-15）其中由關(guān)系式定義的為約化有效質(zhì)量，它相當(dāng)于上一小節(jié)3.3.1中的 。這時聯(lián)合態(tài)密度為 （3.3-16）為計算吸收系數(shù)或，還要計算矩陣元（3.3-17） 光的波矢 ，相應(yīng)的波矢差不多相同，但屬于不同的能帶，幾乎正交，因而上式中第二項的值很小。因而當(dāng)不為零，也即為允許