求曲線的方程

1、1曲線與方程及曲線與方程及求方程的曲線求方程的曲線2曲線與方程的關(guān)系曲線與方程的關(guān)系 一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,yf(x,y)=0)=0的實(shí)數(shù)解建的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：立了如下關(guān)系：1)1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；2)2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。 那么這個(gè)方程叫做那么這個(gè)方程叫做曲線的方程曲線的方程；這條曲線叫做；這條曲線叫做方程的曲線方程的曲線。新課新課3（1）“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程曲線上

2、的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程 的解的解” ，闡明曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)，也就是說闡明曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)，也就是說曲線上所有的點(diǎn)都符合這個(gè)條件而毫無例外曲線上所有的點(diǎn)都符合這個(gè)條件而毫無例外（2）“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”闡明符合條件的所有點(diǎn)都在曲線上而毫無遺漏闡明符合條件的所有點(diǎn)都在曲線上而毫無遺漏由曲線與方程的定義可知，由曲線與方程的定義可知，如果曲線如果曲線C的的方程是方程是 f(x，y)=0，那么點(diǎn)，那么點(diǎn)P0(x0 ，y0)在在曲線曲線C 上的上的 充要條件是充要條件是 f(x0，y0)=0 .純粹性純粹性完備性完備性說明說明4例

3、例1 判斷下列結(jié)論的正誤并說明理由判斷下列結(jié)論的正誤并說明理由 （1）過點(diǎn)）過點(diǎn)A（3，0）且垂直于）且垂直于x軸的直線為軸的直線為x=3 （2）到）到x軸距離為軸距離為2的點(diǎn)的軌跡方程為的點(diǎn)的軌跡方程為y=2 （3）到兩坐標(biāo)軸距離乘積等于）到兩坐標(biāo)軸距離乘積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為的點(diǎn)的軌跡方程為xy=1對(duì)對(duì)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)認(rèn)識(shí)概念認(rèn)識(shí)概念變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：寫出下列半圓的方程寫出下列半圓的方程yyy-5y5555555-5-5-5-500 xxxx5條件甲：條件甲：“曲線曲線C C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(xf(x，y)=0 y)=0 的解的解”，條件乙：條件乙：“曲線曲線C C是

4、方程是方程f (xf (x，y)=0 y)=0 的曲線的曲線”，則甲是乙的，則甲是乙的( )( )(A)(A)充分非必要條件充分非必要條件 (B)(B)必要條件必要條件(C)(C)充要條件充要條件 (D)(D)非充分也非非充分也非必要條件必要條件B若命題若命題“曲線曲線C C上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程f(xf(x，y)=0 y)=0 ”是正確的，是正確的，則下列命題中正確的是則下列命題中正確的是( )( )(A)(A)方程方程f(xf(x，y)=0 y)=0 所表示的曲線是所表示的曲線是C C (B)(B)坐標(biāo)滿足坐標(biāo)滿足 f(xf(x，y)=0 y)=0 的點(diǎn)都在曲線的點(diǎn)都在曲

5、線C C上上( C )( C ) 方 程方 程 f ( xf ( x ， y ) = 0y ) = 0 的 曲 線 是 曲 線的 曲 線 是 曲 線 C C 的 一 部 分 或 是 曲 線的 一 部 分 或 是 曲 線C C (D)(D)曲線曲線C C是方程是方程f(xf(x，y)=0y)=0的曲線的一部分或是全部的曲線的一部分或是全部D61解析幾何與坐標(biāo)法：解析幾何與坐標(biāo)法：我們把借助于坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法叫做我們把借助于坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法叫做坐標(biāo)坐標(biāo)法法. 在數(shù)學(xué)中，用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識(shí)形成了一在數(shù)學(xué)中，用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識(shí)形成了一門叫門叫解析幾何解析幾何的學(xué)科的學(xué)科

6、.因此，解析幾何是用代數(shù)方法研因此，解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.2平面解析幾何研究的主要問題：平面解析幾何研究的主要問題：（1）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程； （2）通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)）通過方程，研究平面曲線的性質(zhì).說明：本節(jié)主要討論求解曲線方程的一般步驟說明：本節(jié)主要討論求解曲線方程的一般步驟.78我們的目標(biāo)就是要找我們的目標(biāo)就是要找x與與y的關(guān)系式的關(guān)系式先找曲線上的點(diǎn)滿足的幾何條件先找曲線上的點(diǎn)滿足的幾何條件1 1 1 1方法小結(jié)方法小結(jié)9直接法（軌跡法）直接法（軌跡法）求曲線（圖形）的

7、方程，一求曲線（圖形）的方程，一般有下面幾個(gè)步驟：般有下面幾個(gè)步驟：說明：說明：一般情況下，化簡(jiǎn)前后方程的解集是相一般情況下，化簡(jiǎn)前后方程的解集是相同的，步驟（同的，步驟（5）可以省略不寫，）可以省略不寫，如有特殊情況，如有特殊情況，可適當(dāng)予以說明可適當(dāng)予以說明.另外，根據(jù)情況，也可以省略另外，根據(jù)情況，也可以省略步驟（步驟（2），直接列出曲線方程），直接列出曲線方程.(1)用有序?qū)崝?shù)用有序?qū)崝?shù)對(duì)（對(duì)（x,y）表示曲線上任意一點(diǎn)）表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；(2)寫出適合條件寫出適合條件p的點(diǎn)的點(diǎn)M集合集合P=M|p(M)(3)用坐標(biāo)表示條件用坐標(biāo)表示條件p(M),列出方程列出方程f(

8、x,y)=0;(4)化方程化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式；為最簡(jiǎn)形式；(5)證明證明 說明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)說明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上都在曲線上.（查漏除雜查漏除雜）注：求哪個(gè)點(diǎn)的軌跡，就設(shè)哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（注：求哪個(gè)點(diǎn)的軌跡，就設(shè)哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y)10.B例例2、動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)M與距離為與距離為2a的兩個(gè)定點(diǎn)的兩個(gè)定點(diǎn)A，B的連線的連線的斜率之積等于的斜率之積等于-1/2，求動(dòng)點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。的軌跡方程。.AM解解:如圖如圖,以直線以直線AB為為x軸軸,線段線段AB的垂直平分線的垂直平分線為為y軸軸,建立平面直角坐標(biāo)系，則建立平面直角坐標(biāo)系，則A(-a,0

9、),B(a,0)。 設(shè)設(shè)M(x,y)是軌跡上的任意一點(diǎn)，則是軌跡上的任意一點(diǎn)，則) 1 (a a) )( (x xa a2 2y yx x: :化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)，得得. .2 21 1a ax xy ya ax xy y, ,2 21 1k kk ka a) )( (x x, ,a ax xy yk k, ,a ax xy yk k2 22 22 2M MB BM MA AM MB BM MA A由上可知，動(dòng)點(diǎn)由上可知，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程的軌跡上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程（1）；容易證明，以方程（）；容易證明，以方程（1）的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在軌）的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在軌跡上。所以，方程（跡

10、上。所以，方程（1）就是動(dòng)點(diǎn)）就是動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。的軌跡方程。11（2）要仔細(xì)分析曲線上動(dòng)點(diǎn)所滿足的）要仔細(xì)分析曲線上動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件，挖掘等量關(guān)系，尋找動(dòng)點(diǎn)坐幾何條件，挖掘等量關(guān)系，尋找動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)所適合的方程。標(biāo)所適合的方程。（3）根據(jù)具體條件，有時(shí)要注明變量）根據(jù)具體條件，有時(shí)要注明變量X 與與 Y 的變化范圍。的變化范圍。小結(jié)小結(jié)：求曲線的方程要注意以下幾點(diǎn)：求曲線的方程要注意以下幾點(diǎn)：（1）當(dāng)題中沒給定坐標(biāo)系時(shí)，我們就要）當(dāng)題中沒給定坐標(biāo)系時(shí)，我們就要適當(dāng)?shù)剡m當(dāng)?shù)亟⒔⒆鴺?biāo)系坐標(biāo)系，例如題目中有兩垂直例如題目中有兩垂直直線，就可以選其做坐標(biāo)軸。直線，就可以選其做坐標(biāo)軸。12132

11、225xy22(3)48xy定義法定義法直接直接法法14思考思考:(37P練習(xí)第練習(xí)第 3 題題) 如圖如圖,已知點(diǎn)已知點(diǎn) C 的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(2 , 2) , 過點(diǎn)過點(diǎn) C 直線直線 CA與與 x 軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn) A,過點(diǎn)過點(diǎn) C 且與直線且與直線 CA 垂直的直線垂直的直線 CB與與 y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn) B,設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) M 是線段是線段 AB 的中點(diǎn)的中點(diǎn),求點(diǎn)求點(diǎn) M的的軌跡方程軌跡方程. xy0CBAM( , )x y15直接法（軌跡法）直接法（軌跡法）求曲線（圖形）的方程，一求曲線（圖形）的方程，一般有下面幾個(gè)步驟：般有下面幾個(gè)步驟：說明：說明：一般情況下，化簡(jiǎn)前后方程的解集是相一

12、般情況下，化簡(jiǎn)前后方程的解集是相同的，步驟（同的，步驟（5）可以省略不寫，）可以省略不寫，如有特殊情況，如有特殊情況，可適當(dāng)予以說明可適當(dāng)予以說明.另外，根據(jù)情況，也可以省略另外，根據(jù)情況，也可以省略步驟（步驟（2），直接列出曲線方程），直接列出曲線方程.(1)用有序?qū)崝?shù)用有序?qū)崝?shù)對(duì)（對(duì)（x,y）表示曲線上任意一點(diǎn)）表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；(2)寫出適合條件寫出適合條件p的點(diǎn)的點(diǎn)M集合集合P=M|p(M)(3)用坐標(biāo)表示條件用坐標(biāo)表示條件p(M),列出方程列出方程f(x,y)=0;(4)化方程化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式；為最簡(jiǎn)形式；(5)說明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)說明以

13、化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上都在曲線上.（查漏除雜查漏除雜）注：求哪個(gè)點(diǎn)的軌跡，就設(shè)哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（注：求哪個(gè)點(diǎn)的軌跡，就設(shè)哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y)16（2）要仔細(xì)分析曲線上動(dòng)點(diǎn)所滿足的）要仔細(xì)分析曲線上動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件，挖掘等量關(guān)系，尋找動(dòng)點(diǎn)坐幾何條件，挖掘等量關(guān)系，尋找動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)所適合的方程。標(biāo)所適合的方程。（3）根據(jù)具體條件，有時(shí)要注明變量）根據(jù)具體條件，有時(shí)要注明變量X 與與 Y 的變化范圍。的變化范圍。小結(jié)小結(jié)：求曲線的方程要注意以下幾點(diǎn)：求曲線的方程要注意以下幾點(diǎn)：（1）當(dāng)題中沒給定坐標(biāo)系時(shí)，我們就要）當(dāng)題中沒給定坐標(biāo)系時(shí)，我們就要適當(dāng)?shù)剡m當(dāng)?shù)亟⒔⒆鴺?biāo)系坐標(biāo)系，例如題

14、目中有兩垂直例如題目中有兩垂直直線，就可以選其做坐標(biāo)軸。直線，就可以選其做坐標(biāo)軸。17適用范圍適用范圍:任何情況任何情況求軌跡方程的方法求軌跡方程的方法:(1)直接法（軌跡法）直接法（軌跡法）;(2)定義法定義法;適用范圍適用范圍: :所給的幾何條件中恰好已知曲線所給的幾何條件中恰好已知曲線的定義，且可以直接用這些曲線的定義寫出這的定義，且可以直接用這些曲線的定義寫出這些曲線的方程。些曲線的方程。如如: :求到點(diǎn)求到點(diǎn)(1,1)(1,1)的距離等于到直線的距離等于到直線x+yx+y=1=1的距離的距離的點(diǎn)的軌跡方程的點(diǎn)的軌跡方程. .我們雖然知道它的軌跡是拋物線我們雖然知道它的軌跡是拋物線, ,但是不知道它但是不知道它的方程的形式的方程的形式, ,仍然只能用仍然只能用直譯法直譯法求求. .181. 1.已知定點(diǎn)已知定點(diǎn)A(6,0),A(6,0),曲線曲線C:xC:x2 2+y+y2 2=4=4上的動(dòng)點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn)B,B,點(diǎn)點(diǎn)MM滿足滿足 , ,求點(diǎn)求點(diǎn)MM的軌跡方程的軌跡方程. .例例3xyA(6,0)A(6,0)OOB BMM12AMMB 特征特征: :所求所求( (從從) )動(dòng)點(diǎn)隨已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)隨已知曲線上的( (主主) )