lesson7(微分方程模型)

1、連續(xù)型模型一、微分方程模型建模步驟二、微分方程模型三、案例分析一、微分方程模型建模步驟（1）建模步驟（2）關(guān)于建模步驟的一個例子（3）建立微分方程的其他方法1、建模步驟(1)1、翻譯或轉(zhuǎn)化： 在實際問題中許多表示導(dǎo)數(shù)的常用詞，如“速率”、增長”(在生物學(xué)以及人口問題研究中)，“衰變”(在放射性問題中)，以及“邊際的”(在經(jīng)濟學(xué)中)等 2、建立瞬時表達式： 根據(jù)自變量有微小改變t時，因變量的增量W，建立起在時段t上的增量表達式，令t 0，即得到 的表達式dtdw建模步驟(2)3、配備物理單位： 在建模中應(yīng)注意每一頃采用同樣的物理單位 4、確定條件： 這些條件是關(guān)于系統(tǒng)在某一特定時刻或邊界上的信息

2、，它們獨立于微分方程而成立，用以確定有關(guān)的常數(shù)。為了完整充分地給出問題的數(shù)學(xué)陳述，應(yīng)將這些給定的條件和微分方程一起列出。2、關(guān)于建模步驟的一個例子例1：某人的食量是10467焦天，其中5038焦 天，用于基本的新陳代謝(即自動消耗)。在 健身訓(xùn)練中，他所消耗的熱量大約是69焦 公斤.天乘以他的體重 (公斤)假設(shè)以脂肪形 式貯藏的熱量100%地有效，而1公斤脂肪臺 熱量41868焦。試研究此人的體重隨時間變 化的規(guī)律3、例子分析1、翻譯或轉(zhuǎn)化：2、配備物理單位：3、建立表達式：4、確定條件：1、“每天”：體重的變化輸入一輸出 其中輸入指扣除了基本新陳代謝之后的凈重量 吸收；輸出是進行健身訓(xùn)練時的

3、消耗(WPE)2、上述陳述更好的表示結(jié)構(gòu)式： 體重的變化天=凈吸收量天一WPE天其中： 凈吸收量天10467 5038 5429（焦天) 凈輸出量天69(焦公斤天)W(公斤 69W(焦天)3、體重的變化天 (公斤天)twdtdwt03、例子分析1、翻譯或轉(zhuǎn)化：2、配備物理單位：3、建立表達式：4、確定條件： 有些量是用能量(焦)的形式給出的，而另外一些量是用重量的形式(公斤)給出，考慮單位的匹配，利用單位匹配3、例子分析1、翻譯或轉(zhuǎn)化：2、配備物理單位：3、建立表達式：4、確定條件：建立表達式4、建立微分方程的其他方法1、按變化規(guī)律直接列方程，如： 利用人們熟悉的力學(xué)、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中

4、的規(guī)律，如牛頓第二定律，放射性物質(zhì)的放射規(guī)律等。對某些實際問題直接列出微分方程2、模擬近似法，如： 在生物、經(jīng)濟等學(xué)科中，許多現(xiàn)象所滿足的規(guī)律并不很清楚，而且現(xiàn)象也相當(dāng)復(fù)雜，因而需根據(jù)實際資料或大量的實驗數(shù)據(jù)，提出各種假設(shè)，在一定的假設(shè)下，給出實際現(xiàn)象所滿足的規(guī)律，然后利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法得出微分方程。5、一個考古問題（1）問題分析與模型的建立1、2、（2）解（3）一個事實6、堂上問答（1）問題分析（2）模型建立1、要注意體積：2、模型：3、解：4、流完的時間：連續(xù)型模型一、微分方程模型建模步驟二、微分方程模型三、案例分析微分方程模型一、幾何問題二、化學(xué)問題一、幾何問題1、速降線問題2、追線問題

5、1、速降線問題 歷史背景問題： 確定一個連接二定點A、B的曲線，使質(zhì)點在這曲線上用最短的時間由A滑至B點(介質(zhì)的摩擦力和阻力忽略不計)。速降線問題實驗速降線是否連接A和B的直線段？X牛頓的實驗（1630年） 在鉛垂平面內(nèi)，取同樣的兩個球，其中一個沿圓弧從A滑到B，另一個沿直線從A滑到B。發(fā)現(xiàn)沿圓弧的球先到B。伽利賂也曾研究過這個問題，他認(rèn)為速陣線是圓弧線。坐標(biāo)系的建立xyO模型的建立以s表示曲線從A點算起到P(x，y)的弧長幾個表達式：（1）速度與路程的關(guān)系：（2）弧微分公式：（3）下降的時間：gydtdsv2dxyds2/)(1gydxygydsvdsdt2)(122/模型：模型求解泛函的極

6、值問題(1)函數(shù)f滿足：(3) 函數(shù)化簡：(4) 方程的解：2、追線問題 我緝私艦雷達發(fā)現(xiàn)，距c海里處有一艘走私船正以勻速度a沿直線行駛，緝私艦立即以最大的速度b追趕，若用雷達進行跟蹤，保持船的瞬時速度方向始終指向走私船，試求緝私艦追逐路線和追上的時間。圖示(c,0)xD(x,y)R=(0,at)y 敵艇幾何關(guān)系atydxdyxxatytgdxdy即如何消去時間t?1、求導(dǎo)：2、速度與路程的關(guān)系：3、分解 得： （這里有負(fù)號是因為s隨x的減小而增大）4、將第2、3步代入第1步，可得模型dtdsb dxdt追線模型：模型的解：解的進一步討論另一種方法：作業(yè)： 用數(shù)值模擬法，用matlab編程，討

7、論出現(xiàn)的各種情況，并作出追線曲線。另外，假設(shè)敵艇也裝有雷達系統(tǒng)，可隨時改變逃跑方向，問敵艇有逃脫的方案嗎？二、化學(xué)問題溶液混合問題： 設(shè)有一容器裝有某種濃度的溶液，以流量v1注入濃度為c1的同樣溶液，假定溶液立即被攪勻，并以v2的流量流出這種混合后的溶液，試建立容器中濃度與時間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。模型的建立參數(shù)設(shè)定：設(shè)容器中溶液溶質(zhì)的質(zhì)量為x(t)，原 來的初始質(zhì)量為x0，t0時溶液的體 積為v0。在t的時間間隔內(nèi)，容器內(nèi)溶質(zhì)的改變量： 其中c1：輸入溶液濃度， c2：t時刻溶液濃度模型：適用范圍：氣體、液體、固體1、油畫真假辨別歷史背景： 二戰(zhàn)后，荷蘭保安機關(guān)開始嫂捕納粹分子的合作者，于1945

8、年5月29月以通敵罪逮捕了一名三流畫家H.A.Va-nmeegren，此人曾將17世紀(jì)荷蘭著名畫家Jan.Vermeer創(chuàng)作的一批名貴油畫盜賣給德國。 但H.A.Vanmeegren被捕后宣稱自己從未出賣過荷蘭利益，所有油畫均是自己偽造的，這件事在當(dāng)時轟動了全世界，為了證明自己是一個高明的偽造者，他開始在牢房里作畫，當(dāng)面快要完成時，他又得悉通敵罪可能會改為偽造罪，為了逃避判決，他末將此畫畫完并拒絕將畫老化，以免留下罪證。放射物質(zhì)衰變原理： 記N(t)為t時刻存在的原于數(shù)，則dN/dt為單位時間內(nèi)蛻變的原子數(shù)，因此有：其中是衰變系數(shù)半衰期T：為給定數(shù)量的放射性原于蛻變一半 所需的時間。如何通過來

9、計算T？半衰期T的計算：假設(shè)N(t0)N0，于是得初值問題：解：)(00)(tteNtN兩邊取對數(shù)后：2lnln)(00NNtt放射性測定年齡法：如碳14，其T5568年； 鈾一238，其T45億年。衰變史：油畫小知識：所有油畫都含少量放射性元素鉛 210以及更少量的鐳226。鉛礦石金屬鉛鉛白鉛-210半衰期：22年鐳-226半衰期：1600年化煉鉛-206衰變衰變模型建立： 記y(t)為t時刻每克鉛白所含Pb210的數(shù)量，y0為制造時刻t0每克鉛白所含鉛一210的數(shù)量，r為鐳在每克鉛白中鐳-226在每分鐘的蛻變量，是鉛-210的衰變常數(shù)，則油畫中鉛-210含量應(yīng)滿足：解：問題：y0既不能直接

10、測量，計算也有困難因為鐳-226衰變?yōu)殂U一210鑒別油畫的方法： 要區(qū)別17世紀(jì)的油畫和現(xiàn)代膺品，可根據(jù)下述簡單事實：如果顏料的年頭比起鉛的半哀期22年長得多，那么顏料中鉛-210的放射作用量就幾乎接近于顏料中鐳的放射作用量，即兩者每克鉛白中每分鐘蛻變的原子數(shù)應(yīng)非常接近。另一方面，如果油畫是現(xiàn)代作品(大約20年左右)，那么鉛-210的放射作用量就要比鐳的放射作用量大得多。 因此，一般只要測得每克鉛白中鉛-210及鐳的衰變率就能判定。是否現(xiàn)代膺品的判別模型變形： 取t-t0=300年，可算出鉛白中鉛-210的蛻變率y0會大得出奇，然后能分析發(fā)現(xiàn)原礦中含鈾量是否合理。 由于礦石中含鈾量達23%已極

11、罕見，而由鉛-210單位時間蛻變的原子數(shù)來計算礦石中含鈾量的方法也不難，只要鉛白中鉛-210每分鐘蛻變超過3萬個原子，就知礦石中含鈾超過4%，就判定出必為膺品。鑒定結(jié)果：油畫名稱鉛-210蛻變原子數(shù)（y）鐳226蛻變原于數(shù)（r）y0結(jié)果在埃牟斯的門徒8.50.898050膺品濯 足12.60.26157130膺品看樂譜的女人10.30.3127340膺品演奏曼陀琳的女人8.20.17102250膺品 花邊織工1.51.41270真品笑 女5.26.0-10180真品取t-t0=300，鉛-210的 =ln2/22 后兩幅畫不可能是偽制品，因為鉛-210和鐳-226非常接近于放射性平衡，這種平衡

12、在19世紀(jì)或20世紀(jì)油畫的任何樣品中都觀察不到。思考題1 1950年在巴比倫發(fā)掘出一根刻有Hammurabi(漢摸拉比)王朝字樣的木炭，經(jīng)測定C14衰減數(shù)為4.09個每克每分鐘，新砍伐燒成的木炭中C14衰減數(shù)為6.68個每克每分鐘，已知C14的半衰期為5568年，請推出該王朝約存在的年限。連續(xù)型模型一、微分方程模型建模步驟二、微分方程模型三、案例分析案例1 一場降雪開始于午前的某個時刻，并持續(xù)到下午，雪量穩(wěn)定。某人從正午開始清掃某條街的人行道，他的鏟雪速度（以ft3/h度量）和清掃面的寬度均不變。到下午2點他掃了兩個街區(qū)，到下午4點他掃了一個街區(qū)。請問：雪是從什么時候開始下的？（可假設(shè)他沒有回

13、頭清掃落在已掃過的路面上的雪）11示示 意意 圖圖下雪速度：a(單位)3/小時.面積 鏟雪速度：b(單位)3/小時S(t)： 正午后t小時的鏟雪位移下雪時間：午前x0已知量：S(0)=0，S(2)=2，S(4)=3 模 型t到t+t時刻：（1）鏟雪容量：b* t（2）忽略t下雪量，雪量減少容量：SxtaStSxtatS)(*)(3)(*)(300（3）微分表達式：Sxtatb*)(*0（4）模型：0 xtKdtdscxtktS)ln()(0求解3)4ln()4(2)2ln()2(0ln)0(000cxkScxkScxkS解：150 x案例2 房屋管理部門想在房頂?shù)倪吘壈惭b一個檐槽，其目的是為了

14、雨天出入方便。簡單說來，從屋脊到屋檐的房頂可以看成是一個12米長，6米寬的矩形平面，房頂與水平方向的傾斜角度要視具體的房屋而定，一般說來，這個角度通常在200500之間。 現(xiàn)在有一個公司想承接這項業(yè)務(wù)，他們允諾：提供一種新型的可持久的檐槽，它包括一個橫截面為半圓形(半徑為75厘米)的水槽和一個豎直的排水管(直徑為10厘米)，并且不管天氣情況如何，這種檐槽都能排掉房頂?shù)挠晁?但是房管部門還在猶豫，考慮公司的承諾能否實現(xiàn)，于是想請你用數(shù)學(xué)的方法給一個詳細(xì)的分析，論證它這個方案的可行性思考題2 設(shè)某城市共有n+1人，其中一人出于某種目的編造了一個謠言。該城市具有初中以上文化程度的人占總?cè)藬?shù)的一半，這些人只有1/4相信這一謠言，而其他人約有1/3會相信。又設(shè)凡相信此謠言的人每人在單位時間內(nèi)傳播的平均人數(shù)正比于當(dāng)時尚未聽說此謠言的人數(shù)，而不相信此謠言的人不傳播謠言。試建立一個反映謠傳情況的微分方程模型。思考題3 汽車停車距離可分為兩段：一段為發(fā)現(xiàn)情況到開始制動這段時間里駛過的距離DT，這段時間為反應(yīng)時間；另一段則為制動時間駛過的距離DR，現(xiàn)考核某司機，考核結(jié)果如下： 行駛速度 DT DR 36公里/小時 3米 45米 50公里/小時 5米 125米 70公里/