lesson7(微分方程模型)

1、連續(xù)型模型一、微分方程模型建模步驟二、微分方程模型三、案例分析一、微分方程模型建模步驟（1）建模步驟（2）關于建模步驟的一個例子（3）建立微分方程的其他方法1、建模步驟(1)1、翻譯或轉化： 在實際問題中許多表示導數的常用詞，如“速率”、增長”(在生物學以及人口問題研究中)，“衰變”(在放射性問題中)，以及“邊際的”(在經濟學中)等 2、建立瞬時表達式： 根據自變量有微小改變t時，因變量的增量W，建立起在時段t上的增量表達式，令t 0，即得到 的表達式dtdw建模步驟(2)3、配備物理單位： 在建模中應注意每一頃采用同樣的物理單位 4、確定條件： 這些條件是關于系統(tǒng)在某一特定時刻或邊界上的信息

2、，它們獨立于微分方程而成立，用以確定有關的常數。為了完整充分地給出問題的數學陳述，應將這些給定的條件和微分方程一起列出。2、關于建模步驟的一個例子例1：某人的食量是10467焦天，其中5038焦 天，用于基本的新陳代謝(即自動消耗)。在 健身訓練中，他所消耗的熱量大約是69焦 公斤.天乘以他的體重 (公斤)假設以脂肪形 式貯藏的熱量100%地有效，而1公斤脂肪臺 熱量41868焦。試研究此人的體重隨時間變 化的規(guī)律3、例子分析1、翻譯或轉化：2、配備物理單位：3、建立表達式：4、確定條件：1、“每天”：體重的變化輸入一輸出 其中輸入指扣除了基本新陳代謝之后的凈重量 吸收；輸出是進行健身訓練時的

3、消耗(WPE)2、上述陳述更好的表示結構式： 體重的變化天=凈吸收量天一WPE天其中： 凈吸收量天10467 5038 5429（焦天) 凈輸出量天69(焦公斤天)W(公斤 69W(焦天)3、體重的變化天 (公斤天)twdtdwt03、例子分析1、翻譯或轉化：2、配備物理單位：3、建立表達式：4、確定條件： 有些量是用能量(焦)的形式給出的，而另外一些量是用重量的形式(公斤)給出，考慮單位的匹配，利用單位匹配3、例子分析1、翻譯或轉化：2、配備物理單位：3、建立表達式：4、確定條件：建立表達式4、建立微分方程的其他方法1、按變化規(guī)律直接列方程，如： 利用人們熟悉的力學、數學、物理、化學等學科中

4、的規(guī)律，如牛頓第二定律，放射性物質的放射規(guī)律等。對某些實際問題直接列出微分方程2、模擬近似法，如： 在生物、經濟等學科中，許多現象所滿足的規(guī)律并不很清楚，而且現象也相當復雜，因而需根據實際資料或大量的實驗數據，提出各種假設，在一定的假設下，給出實際現象所滿足的規(guī)律，然后利用適當的數學方法得出微分方程。5、一個考古問題（1）問題分析與模型的建立1、2、（2）解（3）一個事實6、堂上問答（1）問題分析（2）模型建立1、要注意體積：2、模型：3、解：4、流完的時間：連續(xù)型模型一、微分方程模型建模步驟二、微分方程模型三、案例分析微分方程模型一、幾何問題二、化學問題一、幾何問題1、速降線問題2、追線問題

5、1、速降線問題 歷史背景問題： 確定一個連接二定點A、B的曲線，使質點在這曲線上用最短的時間由A滑至B點(介質的摩擦力和阻力忽略不計)。速降線問題實驗速降線是否連接A和B的直線段？X牛頓的實驗（1630年） 在鉛垂平面內，取同樣的兩個球，其中一個沿圓弧從A滑到B，另一個沿直線從A滑到B。發(fā)現沿圓弧的球先到B。伽利賂也曾研究過這個問題，他認為速陣線是圓弧線。坐標系的建立xyO模型的建立以s表示曲線從A點算起到P(x，y)的弧長幾個表達式：（1）速度與路程的關系：（2）弧微分公式：（3）下降的時間：gydtdsv2dxyds2/)(1gydxygydsvdsdt2)(122/模型：模型求解泛函的極

6、值問題(1)函數f滿足：(3) 函數化簡：(4) 方程的解：2、追線問題 我緝私艦雷達發(fā)現，距c海里處有一艘走私船正以勻速度a沿直線行駛，緝私艦立即以最大的速度b追趕，若用雷達進行跟蹤，保持船的瞬時速度方向始終指向走私船，試求緝私艦追逐路線和追上的時間。圖示(c,0)xD(x,y)R=(0,at)y 敵艇幾何關系atydxdyxxatytgdxdy即如何消去時間t?1、求導：2、速度與路程的關系：3、分解 得： （這里有負號是因為s隨x的減小而增大）4、將第2、3步代入第1步，可得模型dtdsb dxdt追線模型：模型的解：解的進一步討論另一種方法：作業(yè)： 用數值模擬法，用matlab編程，討

7、論出現的各種情況，并作出追線曲線。另外，假設敵艇也裝有雷達系統(tǒng)，可隨時改變逃跑方向，問敵艇有逃脫的方案嗎？二、化學問題溶液混合問題： 設有一容器裝有某種濃度的溶液，以流量v1注入濃度為c1的同樣溶液，假定溶液立即被攪勻，并以v2的流量流出這種混合后的溶液，試建立容器中濃度與時間關系的數學模型。模型的建立參數設定：設容器中溶液溶質的質量為x(t)，原 來的初始質量為x0，t0時溶液的體 積為v0。在t的時間間隔內，容器內溶質的改變量： 其中c1：輸入溶液濃度， c2：t時刻溶液濃度模型：適用范圍：氣體、液體、固體1、油畫真假辨別歷史背景： 二戰(zhàn)后，荷蘭保安機關開始嫂捕納粹分子的合作者，于1945

8、年5月29月以通敵罪逮捕了一名三流畫家H.A.Va-nmeegren，此人曾將17世紀荷蘭著名畫家Jan.Vermeer創(chuàng)作的一批名貴油畫盜賣給德國。 但H.A.Vanmeegren被捕后宣稱自己從未出賣過荷蘭利益，所有油畫均是自己偽造的，這件事在當時轟動了全世界，為了證明自己是一個高明的偽造者，他開始在牢房里作畫，當面快要完成時，他又得悉通敵罪可能會改為偽造罪，為了逃避判決，他末將此畫畫完并拒絕將畫老化，以免留下罪證。放射物質衰變原理： 記N(t)為t時刻存在的原于數，則dN/dt為單位時間內蛻變的原子數，因此有：其中是衰變系數半衰期T：為給定數量的放射性原于蛻變一半 所需的時間。如何通過來

9、計算T？半衰期T的計算：假設N(t0)N0，于是得初值問題：解：)(00)(tteNtN兩邊取對數后：2lnln)(00NNtt放射性測定年齡法：如碳14，其T5568年； 鈾一238，其T45億年。衰變史：油畫小知識：所有油畫都含少量放射性元素鉛 210以及更少量的鐳226。鉛礦石金屬鉛鉛白鉛-210半衰期：22年鐳-226半衰期：1600年化煉鉛-206衰變衰變模型建立： 記y(t)為t時刻每克鉛白所含Pb210的數量，y0為制造時刻t0每克鉛白所含鉛一210的數量，r為鐳在每克鉛白中鐳-226在每分鐘的蛻變量，是鉛-210的衰變常數，則油畫中鉛-210含量應滿足：解：問題：y0既不能直接

10、測量，計算也有困難因為鐳-226衰變?yōu)殂U一210鑒別油畫的方法： 要區(qū)別17世紀的油畫和現代膺品，可根據下述簡單事實：如果顏料的年頭比起鉛的半哀期22年長得多，那么顏料中鉛-210的放射作用量就幾乎接近于顏料中鐳的放射作用量，即兩者每克鉛白中每分鐘蛻變的原子數應非常接近。另一方面，如果油畫是現代作品(大約20年左右)，那么鉛-210的放射作用量就要比鐳的放射作用量大得多。 因此，一般只要測得每克鉛白中鉛-210及鐳的衰變率就能判定。是否現代膺品的判別模型變形： 取t-t0=300年，可算出鉛白中鉛-210的蛻變率y0會大得出奇，然后能分析發(fā)現原礦中含鈾量是否合理。 由于礦石中含鈾量達23%已極

11、罕見，而由鉛-210單位時間蛻變的原子數來計算礦石中含鈾量的方法也不難，只要鉛白中鉛-210每分鐘蛻變超過3萬個原子，就知礦石中含鈾超過4%，就判定出必為膺品。鑒定結果：油畫名稱鉛-210蛻變原子數（y）鐳226蛻變原于數（r）y0結果在埃牟斯的門徒8.50.898050膺品濯 足12.60.26157130膺品看樂譜的女人10.30.3127340膺品演奏曼陀琳的女人8.20.17102250膺品 花邊織工1.51.41270真品笑 女5.26.0-10180真品取t-t0=300，鉛-210的 =ln2/22 后兩幅畫不可能是偽制品，因為鉛-210和鐳-226非常接近于放射性平衡，這種平衡

12、在19世紀或20世紀油畫的任何樣品中都觀察不到。思考題1 1950年在巴比倫發(fā)掘出一根刻有Hammurabi(漢摸拉比)王朝字樣的木炭，經測定C14衰減數為4.09個每克每分鐘，新砍伐燒成的木炭中C14衰減數為6.68個每克每分鐘，已知C14的半衰期為5568年，請推出該王朝約存在的年限。連續(xù)型模型一、微分方程模型建模步驟二、微分方程模型三、案例分析案例1 一場降雪開始于午前的某個時刻，并持續(xù)到下午，雪量穩(wěn)定。某人從正午開始清掃某條街的人行道，他的鏟雪速度（以ft3/h度量）和清掃面的寬度均不變。到下午2點他掃了兩個街區(qū)，到下午4點他掃了一個街區(qū)。請問：雪是從什么時候開始下的？（可假設他沒有回

13、頭清掃落在已掃過的路面上的雪）11示示 意意 圖圖下雪速度：a(單位)3/小時.面積 鏟雪速度：b(單位)3/小時S(t)： 正午后t小時的鏟雪位移下雪時間：午前x0已知量：S(0)=0，S(2)=2，S(4)=3 模 型t到t+t時刻：（1）鏟雪容量：b* t（2）忽略t下雪量，雪量減少容量：SxtaStSxtatS)(*)(3)(*)(300（3）微分表達式：Sxtatb*)(*0（4）模型：0 xtKdtdscxtktS)ln()(0求解3)4ln()4(2)2ln()2(0ln)0(000cxkScxkScxkS解：150 x案例2 房屋管理部門想在房頂的邊緣安裝一個檐槽，其目的是為了

14、雨天出入方便。簡單說來，從屋脊到屋檐的房頂可以看成是一個12米長，6米寬的矩形平面，房頂與水平方向的傾斜角度要視具體的房屋而定，一般說來，這個角度通常在200500之間。 現在有一個公司想承接這項業(yè)務，他們允諾：提供一種新型的可持久的檐槽，它包括一個橫截面為半圓形(半徑為75厘米)的水槽和一個豎直的排水管(直徑為10厘米)，并且不管天氣情況如何，這種檐槽都能排掉房頂的雨水 但是房管部門還在猶豫，考慮公司的承諾能否實現，于是想請你用數學的方法給一個詳細的分析，論證它這個方案的可行性思考題2 設某城市共有n+1人，其中一人出于某種目的編造了一個謠言。該城市具有初中以上文化程度的人占總人數的一半，這些人只有1/4相信這一謠言，而其他人約有1/3會相信。又設凡相信此謠言的人每人在單位時間內傳播的平均人數正比于當時尚未聽說此謠言的人數，而不相信此謠言的人不傳播謠言。試建立一個反映謠傳情況的微分方程模型。思考題3 汽車停車距離可分為兩段：一段為發(fā)現情況到開始制動這段時間里駛過的距離DT，這段時間為反應時間；另一段則為制動時間駛過的距離DR，現考核某司機，考核結果如下： 行駛速度 DT DR 36公里/小時 3米 45米 50公里/小時 5米 125米 70公里/