材料力學(xué)第五章彎曲應(yīng)力

1、1第五章第五章彎彎 曲曲 應(yīng)應(yīng) 力力（1）2主要內(nèi)容主要內(nèi)容:1 靜矩和形心靜矩和形心2 慣性矩慣性矩3 慣性矩平行移軸公式慣性矩平行移軸公式3A. 1 靜矩和形心靜矩和形心1 靜矩靜矩靜矩：靜矩：平面圖形的平面圖形的面積面積對坐標(biāo)軸的對坐標(biāo)軸的一次矩一次矩。定義為：定義為：AzAyS,dAyAzSd靜矩的靜矩的量綱量綱為長度為長度的三次方。的三次方。2 形心形心42 形心形心理論力學(xué)中得到的均理論力學(xué)中得到的均質(zhì)薄板的重心質(zhì)薄板的重心(形心形心)坐標(biāo)公式為：坐標(biāo)公式為：AAyyAdAAzzAd用靜矩表示：用靜矩表示：,ASyzASzy5用靜矩表示：用靜矩表示：,ASyzASzyl 靜矩也可表

2、示為：靜矩也可表示為：, yASzzASyl 組合物體的靜矩組合物體的靜矩,1niiizyASniiiyzAS1l 組合物體的形心組合物體的形心6l 組合物體的形心組合物體的形心,11niiniiiAyAyniiniiiAzAz117A. 2 慣性矩慣性矩1 慣性矩慣性矩慣性矩：慣性矩：平面圖形的平面圖形的面積面積對坐標(biāo)軸的對坐標(biāo)軸的二次矩二次矩。定義為：定義為：AyAzI,d2l 比較比較AzAyId2理力中的理力中的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量MymzJd28慣性矩慣性矩定義為定義為：AyAzI,d2慣性慣性矩恒矩恒大于零大于零；慣性慣性矩的矩的量綱量綱為長為長度的四次方。度的四次方。AzAyId22

3、 慣性半徑慣性半徑工程上常將慣性矩寫成如下的形式工程上常將慣性矩寫成如下的形式:,2yyiAI2zziAI92 慣性半徑慣性半徑工程上常將慣性矩工程上常將慣性矩寫成如下的形式寫成如下的形式:,2yyiAI iy, iz 分別為圖形對分別為圖形對y軸和對軸和對z軸的慣性半徑。軸的慣性半徑。慣性半徑慣性半徑的的量綱量綱為長度的一次方。為長度的一次方。2zziAI或?qū)憺榛驅(qū)憺?,AIiyyAIizz103 極慣性矩極慣性矩即：對兩根互相垂直的軸的慣性矩之和，等于即：對兩根互相垂直的軸的慣性矩之和，等于對該兩軸交點的極慣性矩對該兩軸交點的極慣性矩。即為對與平面圖形即為對與平面圖形垂直的軸的慣性矩垂直的

4、軸的慣性矩.APAId24 IP與與 Iy, Iz的關(guān)系的關(guān)系A(chǔ)PAId2AAzyd)(22AAy d2AAz d2yzII 115 組合圖形的慣性矩組合圖形的慣性矩,1niyiyIInizizII16 幾種常見圖形的慣性矩幾種常見圖形的慣性矩3121bhIyu 矩形矩形3121hbIz?yIJ 問題問題12zyII u 圓形圓形644DzyPIII324Du 圓環(huán)圓環(huán)看成是組合圖形看成是組合圖形zyII 644D644d)(6444dD PI324D324d)(3244dD 13A. 4 慣性矩平行移軸公式慣性矩平行移軸公式與理論力學(xué)中轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理類似，有與理論力學(xué)中轉(zhuǎn)動慣量的平行軸

5、定理類似，有:AaIICyy2AbIICzz2AabIICCzyyzu 可以看出可以看出:在相互平行的坐標(biāo)軸在相互平行的坐標(biāo)軸的慣性矩中，對形心的慣性矩中，對形心軸的慣性矩最小。軸的慣性矩最小。u 用用慣性積慣性積移軸公式時，注意移軸公式時，注意 a, b的正負(fù)號。的正負(fù)號。14本章內(nèi)容本章內(nèi)容:1 引言引言2 對稱彎曲正應(yīng)力對稱彎曲正應(yīng)力3 對稱彎曲切應(yīng)力對稱彎曲切應(yīng)力4 梁的強(qiáng)度條件與合理設(shè)計梁的強(qiáng)度條件與合理設(shè)計5 彎拉彎拉(壓壓)組合組合155. 1 引言引言l 橫力彎曲橫力彎曲梁的橫截面上同時有彎梁的橫截面上同時有彎矩和剪力的彎曲。矩和剪力的彎曲。l 純彎曲純彎曲梁的橫截面上只有彎矩

6、梁的橫截面上只有彎矩時的彎曲。時的彎曲。橫截面上只有正應(yīng)橫截面上只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力。力而無切應(yīng)力。橫截面上既有正應(yīng)橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。力又有切應(yīng)力。16l 組合變形組合變形彎曲、扭轉(zhuǎn)與軸向拉壓，是桿件變形的三種彎曲、扭轉(zhuǎn)與軸向拉壓，是桿件變形的三種基本形式，許多桿件的變形或?qū)儆谧冃蔚幕拘问?，許多桿件的變形或?qū)儆谧冃蔚幕拘问?，或?qū)儆趦煞N或三種基本變形形式的本形式，或?qū)儆趦煞N或三種基本變形形式的組合。組合。l 對稱彎曲對稱彎曲梁的變形對稱于縱向?qū)ΨQ面的彎曲變形形式。梁的變形對稱于縱向?qū)ΨQ面的彎曲變形形式。17 基本假設(shè)基本假設(shè)1: 平面假設(shè)平面假設(shè)變形前為平面的橫截變形前為平面的

7、橫截面變形后仍為平面，面變形后仍為平面，且仍垂直于梁的軸線。且仍垂直于梁的軸線。 基本假設(shè)基本假設(shè)2: 縱向纖維無擠壓假設(shè)縱向纖維無擠壓假設(shè)縱向纖維間無正應(yīng)力?？v向纖維間無正應(yīng)力。5. 2 對稱彎曲正應(yīng)力對稱彎曲正應(yīng)力l 基本假設(shè)基本假設(shè)18l 中性層中性層與與中性軸中性軸191 幾何方面幾何方面取坐標(biāo)系如圖，取坐標(biāo)系如圖，z軸為軸為中性軸中性軸； y軸為對稱軸。軸為對稱軸。u 縱向線縱向線bb變形后變形后的長度為的長度為:d)(ybbu 縱向線縱向線bb變形前的長度變形前的長度為求出距中性層為求出距中性層 y處的處的應(yīng)變應(yīng)變，取長取長dx的梁段研究的梁段研究:中性層長度不變中性層長度不變,

8、所以有所以有:l 彎曲正應(yīng)力一般公式彎曲正應(yīng)力一般公式20u 縱向線縱向線bb變形后變形后的長度為的長度為:d)(ybbu bb變形前的長度變形前的長度bbOOOOdu 縱向線縱向線bb的應(yīng)變?yōu)榈膽?yīng)變?yōu)閐dd)(yy即：即：純彎曲時橫截面上各點的縱向線應(yīng)變沿截純彎曲時橫截面上各點的縱向線應(yīng)變沿截面高度呈線性分布。面高度呈線性分布。中性層長度不變中性層長度不變, 所以所以212 物理方面物理方面因為縱向纖維只受拉或壓，當(dāng)應(yīng)力小于比例極因為縱向纖維只受拉或壓，當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時，由胡克定律有限時，由胡克定律有:EyE即：即：純彎曲時橫截面上任一點的正純彎曲時橫截面上任一點的正應(yīng)力與它到中性軸的距

9、離應(yīng)力與它到中性軸的距離y成正比。成正比。也即，正應(yīng)力沿截面高度呈線性分布。也即，正應(yīng)力沿截面高度呈線性分布。3 靜力學(xué)方面靜力學(xué)方面22NMz3 靜力學(xué)方面靜力學(xué)方面MyANAd0XAzMAydAyMAzd對橫截面上的內(nèi)力系，有對橫截面上的內(nèi)力系，有:由梁段的平衡有由梁段的平衡有:0N0ym0yM0zmMMz23ANAdAzMAydAyMAzd由梁段的平衡有由梁段的平衡有:, 0N, 0yMMMz對橫截面上的內(nèi)力系，有對橫截面上的內(nèi)力系，有:所以所以ANAd00dAyEA0dAyEA0dAyA0Cy z 軸通過形心。軸通過形心。即：即：中性軸通過形心中性軸通過形心。24,dAzMAyAyMA

10、zd, 0yMMMz由由ANAd00dAzyEA0dAyzA即：即：中性軸通過形心中性軸通過形心。由由AzMAyd0因為因為y軸是對稱軸，上式自然滿足。軸是對稱軸，上式自然滿足。0yzI25,dAzMAyAyMAzd, 0yMMMz由由 梁的梁的抗彎剛度抗彎剛度MMzAyAdAyyEMAdAyEAd2zIEzEIM1將上式代入將上式代入yEzIMy26u 由于推導(dǎo)過程并未用到由于推導(dǎo)過程并未用到矩形矩形截面條件，因而截面條件，因而公式適用于任何橫截面具有縱向?qū)ΨQ面，且公式適用于任何橫截面具有縱向?qū)ΨQ面，且載荷作用在對稱面內(nèi)的情況。載荷作用在對稱面內(nèi)的情況。u 公式是對等直梁得到的。對緩慢變化的

11、變截公式是對等直梁得到的。對緩慢變化的變截面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。u 公式是從公式是從純彎曲純彎曲梁推得，是否適用于一般情梁推得，是否適用于一般情形（橫力彎曲）？形（橫力彎曲）？純彎曲時正應(yīng)力公式純彎曲時正應(yīng)力公式zIMyl 公式的適用性公式的適用性27橫力彎曲時的正應(yīng)力橫力彎曲時的正應(yīng)力橫力彎曲時，橫截面上有剪應(yīng)力橫力彎曲時，橫截面上有剪應(yīng)力平面假設(shè)平面假設(shè)不再成立不再成立此外此外, 橫力彎曲時橫力彎曲時縱向纖維無擠壓假設(shè)縱向纖維無擠壓假設(shè)也不成立也不成立.由由彈性力學(xué)彈性力學(xué)的理論，有的理論，有結(jié)論結(jié)論：當(dāng)梁的長度當(dāng)梁的長度l與橫截面的高度與橫截面的

12、高度h的比值的比值:hl5則用則用純彎曲純彎曲的正應(yīng)力公式計算的正應(yīng)力公式計算橫力彎曲橫力彎曲時的正應(yīng)時的正應(yīng)力有足夠的精度。力有足夠的精度。 l / h 5 的梁稱為的梁稱為細(xì)長梁細(xì)長梁。28l 最大正應(yīng)力最大正應(yīng)力橫力彎曲時，彎矩是變化的。橫力彎曲時，彎矩是變化的。zIyMmaxmaxmax引入符號：引入符號：maxzzIWy則有：則有：WMmaxmax 抗彎截面系數(shù)抗彎截面系數(shù)l 比較比較 拉壓拉壓:ANmaxmaxmaxmaxpTW扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn):29l 兩種常用截面的抗彎截面系數(shù)兩種常用截面的抗彎截面系數(shù)u 矩形截面矩形截面,123bhIz26zbhW 2maxhyu 圓形截面圓形截面,6

13、44dIz332zdW2maxdy30l 彎曲強(qiáng)度條件彎曲強(qiáng)度條件注意注意：當(dāng)截面變化時，還需綜合考慮：當(dāng)截面變化時，還需綜合考慮W的值。的值。maxmaxzMW31例例 1 ( 書例書例5.1) 已知已知：板長：板長3a =150mm，材料，材料的許用應(yīng)力的許用應(yīng)力 =140MPa。解解：求求：最大允許：最大允許壓緊力壓緊力P。壓板可簡化為壓板可簡化為如圖的外伸梁。如圖的外伸梁。由微分關(guān)系，由微分關(guān)系，AC段、段、BC段的彎矩圖為斜直線。段的彎矩圖為斜直線。(1) 求彎矩圖求彎矩圖32BMMmax且且B截面最薄弱。截面最薄弱。由微分關(guān)系，由微分關(guān)系，AC段、段、BC段的彎矩段的彎矩圖為斜直線

14、。圖為斜直線。(1) 求彎矩圖求彎矩圖作出彎矩圖。作出彎矩圖。(2) 確定危險截面確定危險截面PaB為危險截面。為危險截面。(3) 計算計算B截面截面W33BMMmax(3) 計算計算B截面截面WPaB為危險截面。為危險截面?？闯山M合物體看成組合物體21zzzIII1202. 003. 031202. 0014. 0348m1007. 1maxyIWz281011007. 136m1007. 134BMMmax(3) 計算計算B截面截面WPaB為危險截面。為危險截面。36m1007. 1W(4) 由強(qiáng)度條件計算由強(qiáng)度條件計算PWMmaxmaxmaxWMWPa aWP26810510140100

15、7. 1kN335例例 2 ( 書例書例5.2) 已知已知： =100 MPa，P = 25.3 kN。解解：求求：校核：校核心心軸軸的強(qiáng)度。的強(qiáng)度。 計算簡計算簡圖如圖。圖如圖。(1) 求彎矩圖求彎矩圖支反力支反力kN,6 .23ARkN27BR36(1)求彎矩圖求彎矩圖(2) 確定危確定危險截面險截面u I截面截面u II截面截面u III截面截面支反力支反力kN6 .23ARkN27BR(3) 強(qiáng)度校強(qiáng)度校核核u I截面截面maxMMImkN72. 437(3) 強(qiáng)度校強(qiáng)度校核核u I截面截面maxMMImkN72. 43231dWI32)1095(3336m101 .84IIIWMMPa1 .56u II截面截面mkN42