新北師大版九年級下冊第三章3垂徑定理

1、3垂徑定理1.1.垂徑定理垂徑定理垂直于弦的直徑平分垂直于弦的直徑平分_,_,并且平分并且平分_._.2.2.垂徑定理的推論垂徑定理的推論平分弦平分弦( (不是直徑不是直徑) )的的_垂直于弦垂直于弦, ,并且平分并且平分_._.這條弦這條弦弦所對的弧弦所對的弧直徑直徑弦所對的弧弦所對的弧【思維診斷【思維診斷】( (打打“”或或“”)”) 1.1.垂直于弦的直線平分這條弦垂直于弦的直線平分這條弦, ,并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧.( ).( )2.2.平分弦的直徑垂直于弦平分弦的直徑垂直于弦, ,并且平分弦所對的弧并且平分弦所對的弧.( ).( )3.3.圓的兩條弦所夾的弧相等

2、圓的兩條弦所夾的弧相等, ,則這兩條弦平行則這兩條弦平行.( ).( )4.4.弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧.( ).( )知識點一知識點一 垂徑定理垂徑定理【示范題【示范題1 1】如圖，如圖，OO的半徑為的半徑為2 2，弦，弦 點點C C在弦在弦ABAB上，上，AC= ABAC= AB，則，則OCOC的長為的長為( )( )AB2 3，142 37A. 2B. 3C.D.32【思路點撥【思路點撥】作作ODABODAB于點于點DD構造兩個直角三角形，應用勾構造兩個直角三角形，應用勾股定理和垂徑定理股定理和垂徑定理求出求出OCOC的長度的長度. .【自

3、主解答【自主解答】選選D.D.如圖，作如圖，作ODABODAB于點于點D D，則則由勾股定理，得由勾股定理，得OCOC2 2=CD=CD2 2+OD+OD2 2=CD=CD2 2+OB+OB2 2BDBD2 21113BDAB3.ACABCDAB.2442又，222377()23OC.242，【想一想【想一想】為什么在垂徑定理的逆定理中為什么在垂徑定理的逆定理中, ,平分的弦不是直徑平分的弦不是直徑? ?提示提示: :因為圓的任意兩條直徑必互相平分因為圓的任意兩條直徑必互相平分, ,但不一定垂直但不一定垂直, ,所以所以被平分的弦必須不是直徑被平分的弦必須不是直徑, ,否則逆定理不成立否則逆定

4、理不成立. .【方法一點通【方法一點通】1.1.兩條輔助線兩條輔助線: :一是過圓心作弦的垂線一是過圓心作弦的垂線, ,二是連接圓心和弦的一二是連接圓心和弦的一端端( (即半徑即半徑),),這樣把半徑、圓心到弦的距離、弦的一半構建在這樣把半徑、圓心到弦的距離、弦的一半構建在一個直角三角形中一個直角三角形中, ,運用勾股定理求解運用勾股定理求解. .2.2.方程的思想方程的思想: :在直接運用垂徑定理求線段的長度時在直接運用垂徑定理求線段的長度時, ,常常將未常常將未知的一條線段設為知的一條線段設為x,x,利用勾股定理構造關于利用勾股定理構造關于x x的方程解決問題的方程解決問題. .這是一種用

5、代數(shù)方法解決幾何問題的解題思路這是一種用代數(shù)方法解決幾何問題的解題思路. .知識點二知識點二 垂徑定理的應用垂徑定理的應用【示范題【示范題2 2】(2014(2014南寧中考南寧中考) )在直徑為在直徑為200cm200cm的圓柱形油槽內的圓柱形油槽內裝入一些油以后裝入一些油以后, ,截面如圖所示截面如圖所示, ,若油面的寬若油面的寬AB=160cm,AB=160cm,則油的則油的最大深度為最大深度為( () )A.40 cmA.40 cmB.60 cmB.60 cmC.80 cmC.80 cmD.100 cmD.100 cm【思路點撥【思路點撥】連接連接OA,OA,作作OEAB,OEAB,交

6、交ABAB于點于點M,M,利用勾股定理可求利用勾股定理可求得得OM,OM,進而可求得油的最大深度進而可求得油的最大深度. .【自主解答【自主解答】選選A.A.連接連接OA,OA,過點過點O O作作OEAB,OEAB,交交ABAB于點于點M,M,直徑為直徑為200cm,200cm,AB=160cm,AB=160cm,OA=OE=100cm,OA=OE=100cm,AM=80cm,AM=80cm,OM= =60(cm),OM= =60(cm),ME=OE-OM=100-60=40(cm).ME=OE-OM=100-60=40(cm).2222OAAM10080【想一想【想一想】圓的兩條不平行弦的垂直平分線的交點一定是圓心嗎圓的兩條不平行弦的垂直平分線的交點一定是圓心嗎? ?提示提示: :是是, ,弦的垂直平分線一定過圓心弦的垂直平分線一定過圓心. .【方法一點通【方法一點通】垂徑定理基本圖形的四變量、兩關系垂徑定理基本圖形的四變量、兩關系1.1.四變量四變量: :如圖如圖, ,弦長弦長a,a,圓心到弦的距離圓心到弦的距離d,d,半半徑徑r,r,弧的中點到弦的距離弧的中點到弦的距離( (弓形高弓形