高斯投影及高斯平面直角坐標(biāo)

1、會(huì)計(jì)學(xué)1高斯投影及高斯平面直角坐標(biāo)高斯投影及高斯平面直角坐標(biāo)第1頁/共81頁23.1.1 地圖投影的意義與實(shí)現(xiàn)地圖投影的意義與實(shí)現(xiàn)),(),(21LBFyLBFx由橢球面投影到平面,大地經(jīng)緯度B,L，與平面坐標(biāo)x,y的關(guān)系因橢球面是不可展曲面,要建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,必然會(huì)產(chǎn)生投影變形，控制投影變形有各種不同的方法，對(duì)應(yīng)于不同的投影。第2頁/共81頁3dSdsm 222dydxds長度比：長度比：投影平面上微分長度與橢球面上相應(yīng)微分長度之比。)(cos )cos(coscos22222222222222222dLdqBNdLBNdBMBNBdLNdBMdS投影平面上微分長度：橢球面上微分長度：第

2、3頁/共81頁4上式中BNMdBdqcos)sin1 ()sin1 (.2)24(lncos0BeBeeBtgdBBNMdBqBq為等量緯度，計(jì)算公式為 引入等量緯度后，使相同角度量的dq與dL所對(duì)應(yīng)的橢球面上的弧長相同。第4頁/共81頁上式中BNMdBdqcos)sin1 ()sin1 (.2)24(lncos0BeBeeBtgdBBNMdBqBq為等量緯度，計(jì)算公式為 引入等量緯度后，使相同角度量的dq與dL所對(duì)應(yīng)的橢球面上的弧長相同。第5頁/共81頁6上式中BNMdBdqcos)sin1 ()sin1 (.2)24(lncos0BeBeeBtgdBBNMdBqBq為等量緯度，計(jì)算公式為

3、引入等量緯度后，使相同角度量的dq與dL所對(duì)應(yīng)的橢球面上的弧長相同。第6頁/共81頁7dllydqqydydllxdqqxdx),(),(21lqfylqfx引入等量緯度后，投影公式為：求微分，得：其中：l = L - L0第7頁/共81頁82222)()()()()()(lylxGlyqylxqxFqyqxE2222GdlFdqdlEdqds其中：第8頁/共81頁9)(cos2222222222dldqBNGdlFdqdlEdqdSdsmdqdlMdBBdlNtgAcosBNAGAAFAEm22222cossinsincos2cos則，長度比公式為：將 代入上式，得：第9頁/共81頁10BN

4、GmBcosBNEmLcos當(dāng)A=0或180 ，得經(jīng)線方向長度比：當(dāng)A = 90或270 ，得緯線方向長度比：BNGBNEmcoscos 要使長度比與方向無關(guān)，只要：F = 0, E = G，則長度比可表示為：第10頁/共81頁11dSdSdsmvm1vm0，投影后長度變大，反之，投影后長度變短。第11頁/共81頁122222222)cos.( coscos2 )cos.(BdlNmdqdlBNmmBdqNmdsBLBLcoscos)cos( )cos(222222BNmmFBNmGBNmELBBL主方向：主方向：在橢球面上正交的兩個(gè)方向投影到平面上后仍然正交，則這兩個(gè)方向稱為主方向。性質(zhì)：性

5、質(zhì)：主方向投影后具有最大和最小尺度比。dSABdlN cosBdqN cosBBdlmN cosLBdqmN cosds對(duì)照第一基本形式，得：且：EGFcos第12頁/共81頁13代入長度比公式，得：02sin2coscos22sin)(sin2sincoscos02002222222AmAmmAmmdAdAmAmmAmmBLBLBLBL若使：220cos22LBLBmmmmAtg使長度比為極值的方向：22222222020sin4)(2112cosBLLBBLmmmmmmAtgA222222020sin4)(cos22cos12sinBLLBBLmmmmmmAA由三角公式得：第13頁/共81

6、頁14222222222222222222sin4)()(21sin4)()(21BLLBLBBLLBLBmmmmmmbmmmmmma002222202sincos2cos22AmmAmmmmmLBBLLB由此得，長度比極值為：2222222220sin4)()(21BLLBLBmmmmmmm將三角展開式代入得：因此，最大長度比a與最小長度比b可表示為：第14頁/共81頁15222222sin2)(sin2)(BBLLBBLLmmmmbammmmbasin2222BLLBmmabmmba不難得出下列關(guān)系：第15頁/共81頁162222222222222121sincosbayxybxayxyx

7、m1 1 , 2212212211byaxyxbyyaxxyxP,橢球面上111, yxP投影面上第16頁/共81頁17)sin()sin(coscos)sin(coscos)sin(11111111ababtgaabtgtgtgaabtgtgtgabaxbyxytg1113、方向變形與角度變形、方向變形與角度變形某方向（以主方向起始） 投影后為1，則有：由三角公式，得：顯然，當(dāng) +1 = 90或 270 時(shí)，方向變形最大第17頁/共81頁18abtgbatg1,若與1表示最大變形方向，則最大變形量可表示為：ababuarcsin1max顧及：11)90(tgabtgctgtgtg解得最大變形

8、方向?yàn)椋旱?8頁/共81頁19)sin(arcsin)sin(arcsin)()(1111abababab兩方向、所夾角的變形稱為角度變形，用表示。即：ababababababarcsin2arcsinarcsinmax 顯然，當(dāng) +1 = 90、 + 1 = 270 或 +1 = 270、 + 1 = 90 時(shí)，角度變形最大，最大角度變形可表示為：第19頁/共81頁20sin11/BLnmmnabnVababn 橢球面上單位圓面積為 ，投影后的面積為ab，則面積變形為：第20頁/共81頁21第21頁/共81頁22sin)(sincos)(cosZfyZfx(1). 方位投影方位投影 投影面與

9、橢球面相切，切點(diǎn)為投影中心，按一定條件將橢球面上的物投影到平面上。第22頁/共81頁23第23頁/共81頁24第24頁/共81頁25第25頁/共81頁26第26頁/共81頁2702222lyqylxqxlylxqyqxqxlyqylx3.2.1 正形投影的概念和投影方程正形投影的概念和投影方程 長度比與方位角無關(guān)的投影稱為正形投影，必須滿足條件E = G, F = 0，即：由第二式解得：1第27頁/共81頁2822222222 :qxlyqyqxqxlyqyqx即為lyqx考慮到導(dǎo)數(shù)的方向，開方根得：qylx再代入 式，得：123第28頁/共81頁29)(,)(WfZilqWiyxZilqfi

10、yx2 ， 式稱為Kauchi-Rimann方程，滿足該方程的復(fù)變函數(shù)為解析函數(shù)，可展開成冪級(jí)數(shù)，即有：3)()(ZFWiyxFilq其反函數(shù)也是復(fù)變函數(shù)，可以寫成：第29頁/共81頁30高斯高斯-克呂格投影的條件：克呂格投影的條件： 1. 是正形投影 2. 中央子午線不變形第30頁/共81頁31 為控制投影后的長度變形，采用分帶投影的方法。常用3度帶或6度帶分帶，城市或工程控制網(wǎng)坐標(biāo)可采用不按3度帶中央子午線的任意帶。第31頁/共81頁3233) 3(61360000LnnLLnnL或?yàn)榛驗(yàn)榈?2頁/共81頁33 中央子午線在平面上的投影是中央子午線在平面上的投影是 x 軸，赤道的投軸，赤道

11、的投影是影是 y 軸，其交點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)。軸，其交點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)。x 坐標(biāo)是點(diǎn)至赤道的垂直距離；y 坐標(biāo)是點(diǎn)至中央子午線的垂直距離，有正負(fù)。為了避免 y 坐標(biāo)出現(xiàn)負(fù)值，其名義坐標(biāo)加上 500 公里。 為了區(qū)分不同投影帶中的點(diǎn)，在點(diǎn)的為了區(qū)分不同投影帶中的點(diǎn)，在點(diǎn)的Y坐標(biāo)值上坐標(biāo)值上加帶號(hào)加帶號(hào)N 所以點(diǎn)的所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)的名義橫坐標(biāo)的名義值為值為 y = N 1000000+500000+y第33頁/共81頁34ByknkkkMdBXqfXxkildqqfdqfiyx001)(!)(.)()(3.2.1 高斯投影正算公式赤 道OXH0LLllqP,OXh0LLyxP,xyxy因正形投影的導(dǎo)數(shù)與方向無

12、關(guān)，將投影點(diǎn)坐標(biāo)在H點(diǎn)展開，得：第34頁/共81頁35)3302705861(cossin)5814185(cos)495(cossin)1(coscossin ,cos22242566222425554223442233322tttBBNdqXdtttBNdqXdtBBNdqXdtBNdqXdBBNdqdBdqdXdBddqXdBNdqdX!)(.1kildqXdXiyxknkkk其各階導(dǎo)數(shù)為：第35頁/共81頁36522242532236425442232)5814185(cos120)1 (cos6cos)5861(cossin720 495(cossin24cossin2ltttBNl

13、tBNBlNylttBBNltBBNBlBNXx） 將導(dǎo)數(shù)代入展開式，虛實(shí)分開后，得到高斯投影正算公式如下：第36頁/共81頁374222424222244244422222)5814185(cos1201 )1 (cos611cos)5861(cos7201 495(cos24121cosltttBltBBlNylttBltBBlNtXx）第37頁/共81頁38!)(1kiydXqdqilqkfnkkkfOfXf0LLyxP,xyxyl 在中央子午線投影成的x軸上取點(diǎn) Xf = x，該點(diǎn)稱為底點(diǎn)，用子午弧長反算公式求得底點(diǎn)的緯度 Bf 和相應(yīng)的等量緯度qf ，以底點(diǎn)為展開點(diǎn)進(jìn)行級(jí)數(shù)展開，得：

14、第38頁/共81頁39662224266552224255444224433223322221cos7204846120180617201cos12086242851201cos24465241 cos61261cos22121cos11 bBNttttdXqdbBNtttdXqdbBNttdXqdbBNtdXqdbBNtdXdqdqdBdXdqdBddXqdbBNdqdXdXdqffffffffffffffffffffffffffffffffffffff第39頁/共81頁4066442252224253223)8624285(cos1201 )21 (cos61cos1ybybybqqqyt

15、ttBNytBNyBNlffffffffffffff4第40頁/共81頁4133221qcqcqcBBBf將大地緯度展開成等量緯度的級(jí)數(shù)式244222233324222222212771351cos6161341cos21211coscoscos!1ffffffffffffffffffffkkktttBdqBdcBtdqBdcBBVMBNdqdBcdqBdkc其中：5第41頁/共81頁426323364242222)(2)(ybqqqybbybqqqff632342261422241221)2()(ybcbbcbcybcbcybcBBf4代入 式，得：5第42頁/共81頁43642542222

16、32)459061(720 )935(242yttNMtyttNMtyNMtBBffffffffffffffff第43頁/共81頁44442222224590613601 93512112ffffffffffffNyttNyttNyyMtBB4222422286242851201 )21 (611cos1fffffffffffNytttNytNyBl第44頁/共81頁450LLl第45頁/共81頁46第46頁/共81頁47dldydldxdydxtgdllydydllxdx ,3.4.1 平面子午線收斂角的計(jì)算公式平面子午線收斂角的計(jì)算公式oxydydx平行圈子午線沿平行圈緯度不變，求微分得：

17、第47頁/共81頁48422242422224424242225814185cos241 1cos211cos185cos1201 495cos611sincosltttBltBBNlylttBltBBlBNlx第48頁/共81頁49)242(cossin15231cossin3sintg424542223ttBBltBBlBl代入上式，得：)2(cossin15)231 (cossin3sin5131245422353tBBlBBlBltgtgtg將 展開成 tg 的級(jí)數(shù)，得：第49頁/共81頁50第50頁/共81頁51 , cos dyyldldyyqdqdldqBdlmNMdBmtgP

18、yox平行圈L =常數(shù)PL+dl = 常數(shù)BdlN cosMdBP P點(diǎn)沿與y軸平行方問微分變動(dòng)到P點(diǎn)，子午線收斂角可表示為：沿y坐標(biāo)的微分，得：第51頁/共81頁52442522235426342225634224285cos241)21 (cos21cos112018061cos120465cos642yttBNytBNBNylyttBNtytyBNtybybybyqfffffffffffffffffffffylyqtg代入子午線收斂角公式，得：由高斯投影反算公式求出偏導(dǎo)數(shù)，得：第52頁/共81頁535425342235355342335215)21 (3 5131152213yttNty

19、tNtyNttgtgtgyNtyNtyNttgffffffffffffffffff將 展開成 tg 的級(jí)數(shù)，得：第53頁/共81頁54BNlylxBNGm2222222coscos由高斯投影長度比的定義式，得：)2(cos3)1 (cos12442222tBlBlm)45(cos24)1 (cos21244222tBlBlm將前面的偏導(dǎo)數(shù)代入上式，得：開方后得出以大地坐標(biāo)表示的長度比公式：第54頁/共81頁55)1 (6cos223tNyNyBl444422442222cos)1 (3cosNyBltNyNyBl對(duì)上式求平方和四次方，得：第55頁/共81頁56)41 (24121244222N

20、yNym代入用大地坐標(biāo)表示的長度比公式，得：222221NVNRm44222421mmRyRym顧及：代入上式，得：可見，長度比是y坐標(biāo)的偶函數(shù)，且只與y坐標(biāo)有關(guān)。第56頁/共81頁57ssDdsvdDvdsvdsdDsD ,2121cos0202即：3.5.1 高斯投影的距離改化高斯投影的距離改化dsdDvdsdD1P2PxyOsvdsvss2 22max02 橢球面上的大地線投影到高斯平面上為曲線，與平面上兩點(diǎn)相連的直線相比， 其微分線段間的差異極小，可表示為：其中：第57頁/共81頁58smdSsDmdSdsdD0 此弧線與直線間的最大偏角即為方向投影改化，本為二次小項(xiàng),故此相對(duì)長度差異

21、僅為4次項(xiàng),相對(duì)于距離測(cè)量的最高精度亦可忽略,因此可認(rèn)為： )4(621mmmSDM用辛卜生公式數(shù)值積分得：2 2maxss第58頁/共81頁59442222424414222212242421)4(24142166mmmmmmmmmRyRyRySDyyyRyyyRSD44222421mmRyRym第59頁/共81頁6044222224242mmmmmRyRyRySSDS其中：111221 ,yyyyyym 在城市及工程應(yīng)用中測(cè)邊離中央子午線不會(huì)超過45公里，則距離改化公式可進(jìn)一步簡化為：222mmRySSDS第60頁/共81頁611、高斯投影曲線的形狀、高斯投影曲線的形狀 高斯投影曲線的形狀

22、向 x 軸彎曲，并向兩極收斂。Oyx第61頁/共81頁622112360360SR1P2PSR2P1PxyO1221保角投影前后角度相同，即：2 21122112第62頁/共81頁632122222xxRyRFmmmkimmikxxRy22 因方向值順時(shí)針方向增加，考慮其正負(fù)號(hào)后，方向改化公式可表示如下： 上式具有0.1 的計(jì)算精度，適用于三、四等控制網(wǎng)的方向改化計(jì)算。改化公式中的曲率半徑可足夠近似地取6370km第63頁/共81頁641212121211212xxyytgTATOyxA121P2P112T12第64頁/共81頁65312第65頁/共81頁66 墨卡托投影為等角割圓柱投影，圓柱

23、與橢球面相割于B0的兩條緯線，投影后不變形。特性：特性：等角航線在投影平面上為直線。因此，該投影便于在航海中應(yīng)用。第66頁/共81頁675522242332266222424442222cos58141851201cos161cos9996. 0cos33027058617201cos495241cos219996. 0BltttNlBtNlBNyBltttNtlBtNtlBNtXx 簡稱為UTM，與高斯投影相比，僅僅是中央子午線的尺度比為0.9996，其投影公式如下：第67頁/共81頁684223244222231cossin3sin45cos241cos219996. 0BBlBltBlBlm第68頁/共81頁699996. 0 ,9996. 0墨高墨高yyxx第69頁/共81頁70B L01.53600(-0.00040)0.00009 (-0.00031)0.00034 (-0.00006)500(-0.00040)0.00014 (-0.00026)0.00057(0.00017)400(-0.00040)0.00020 (-0.00020)0.00081(0.00041)300(-0.00040)0.00026 (-0.00014)0.00103(0.00063)200(-0.0