多元函數(shù)概念

1、第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念一、平面點集的基本概念一、平面點集的基本概念平面點集平面點集),( | ),(具有某種性質具有某種性質yxyxE 1| ),(1 yxyxE1| ),(2 yxyxE,| ),(Ryxyx 2R RR1 1、平面上點的鄰域、平面上點的鄰域),(0PU 2020)()(| ),(yyxxyx點點P P0 0 的的 鄰域鄰域 |0PPP點點P P0 0 的去心的去心 鄰域鄰域),(U00P |0|0PPP說明：說明：若不需要強調鄰域半徑若不需要強調鄰域半徑 , ,也可寫成也可寫成0P 0P )(0PU在討論實際問題中也常使用方鄰域在討論實際問題中也

2、常使用方鄰域, ,平面上的方鄰域為平面上的方鄰域為 ),() ,U(0yxP。因為方鄰域與圓因為方鄰域與圓鄰域可以互相包含鄰域可以互相包含. .,0 xx0 yy0P2 2、平面上點與集合的關系、平面上點與集合的關系P為為E的的內點內點：集合集合E點點P 若存在若存在P 的某鄰域的某鄰域 U(P) E . .P為為E的的外點外點： 若存在若存在P 的某鄰域的某鄰域 U(P) E = . .P為為E的的邊界點邊界點：若點若點P 的任一鄰域的任一鄰域U(P) 既含既含E中的內點也含中的內點也含 E的外點的外點.EE的邊界點全體稱為的邊界點全體稱為E的的邊界邊界.E 記為記為3. 聚點聚點若對任意給

3、定的若對任意給定的 , ,點點P P 的去心的去心) ,(PU鄰域鄰域內總有內總有E E 中的點中的點 , , 則則稱稱P P是是E E 的的聚點聚點. .聚點可以屬于聚點可以屬于E E , , 也可以不屬于也可以不屬于E E D4.4.重要點集重要點集 若點集若點集E的點都是的點都是內點內點，則稱，則稱 E 為為開集開集； 若點集若點集 E E , , 則稱則稱E為為閉集閉集； 若集若集 D 中任意兩點都可用一完全屬于中任意兩點都可用一完全屬于D的折線相連的折線相連 , , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域閉區(qū)域. .則稱則稱 D 是是連通的連通的 ; 連通的開集稱

4、為連通的開集稱為開區(qū)域開區(qū)域 , ,簡稱簡稱區(qū)域區(qū)域; ;5.n5.n維空間維空間 3R,| ),(Rzyxzyx nR,| ),(121Rxxxxxnn |PP|0202020)()()(zzyyxx | PQ2211)()(nnyxyx ),(21nxxxP ),(21nyyyQ 可以類似定義鄰域等概念可以類似定義鄰域等概念二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念1.定義定義 一元一元函數(shù)函數(shù).),(Dxxfy 二元二元函數(shù)函數(shù).),(),(Dyxyxfz x映射映射R:DfRz),(yx映射映射R:DfRy),(zyxRu映射映射R:Df三元三元函數(shù)函數(shù).),(),(Dzyxzyxfu R

5、D2R D3R D2.2.二元二元函數(shù)的幾何圖形函數(shù)的幾何圖形),(yxfz D),(yx),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ),(zyx空間曲面空間曲面 :曲面曲面 在在xoy投影投影 ),(yxfz 221yxz 1| ),(22 yxyxD例例1 求函數(shù)定義域求函數(shù)定義域 （自然定義域）（自然定義域） ;1)1(22yxz ;)3arcsin()2(222yxyxz 2RD 圖形為旋轉拋物面圖形為旋轉拋物面 , 42| ),(222yxyxyxD 例例2 已知已知 33),(yxxyyxf 求求 ),(yxf解解 vxyuyx ,)(2233xyyxyxyx )3)(2xyyxy

6、x )3(2vuu uvu33 ),(yxfxyx33 ),(vuf,R),(2 DPPf,),(00時時當當PUP , - )( APf有有20200)()(yyxxPP 二元函數(shù)的極限可寫作：二元函數(shù)的極限可寫作：Ayxf ),(lim0 APfPP )(lim0P0 是是D 的聚點，的聚點，記作記作則稱則稱A為函數(shù)為函數(shù)，時的極限當0)(PPPfAyxfyyxx ),(lim00三、二元函數(shù)的極限三、二元函數(shù)的極限定義定義 二元函數(shù)二元函數(shù) 0, 0, 二元函數(shù)極限與一元函數(shù)二元函數(shù)極限與一元函數(shù)相似相似之處之處: 1、 ，時時0PP .)(APf2、 有類似的性質與運算法則有類似的性質

7、與運算法則. 二元函數(shù)極限與一元函數(shù)二元函數(shù)極限與一元函數(shù)不同不同之處之處: Axfxx )(lim0Axfxfxxxx )(lim)(lim00平面上點平面上點 ，0PP 有無窮多方向有無窮多方向, 且采取的路徑也是任意的且采取的路徑也是任意的.既可取直線也可取曲線既可取直線也可取曲線. 無論從何種方向沿何種路徑，無論從何種方向沿何種路徑，只要只要P 與與 無限接近無限接近 , 0P都必須有都必須有 充分小充分小.|)(|APf P(x , y) 沿直線沿直線 y = x 趨于趨于(0, 0)時時 , ,22),(yxyxyxf2220limxxxx 在點在點 (0, 0) 的極限的極限.

8、.),(yxf故則可以斷定函數(shù)極限則可以斷定函數(shù)極限有有在在(0,0)(0,0)點極限不存在點極限不存在 . .不存在不存在 . .例例3. 討論函數(shù)討論函數(shù) 若當點若當點),(yxP趨于不同值或有的極限不存在，趨于不同值或有的極限不存在，以不同方式趨于以不同方式趨于),(000yxP時，函數(shù)時，函數(shù)),(lim0yxfxyx 21 P(x , y) 沿直線沿直線 y = 0趨于趨于(0, 0)時時 , , 有有),(lim00yxfyx 00lim20 xxx0 解解練習練習 222200lim)1(yxyxyx 證明下面極限不存在證明下面極限不存在. 24200lim)2(yxyxyx k

9、xy 2kxy yxyxyx 00lim)3(0, 0 yx四四、 二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性 若二元函數(shù)若二元函數(shù))(Pf滿足滿足)()(lim00PfPfPP 0)(PPf在點在點 如果函數(shù)在區(qū)域如果函數(shù)在區(qū)域D上上每一點處每一點處都連續(xù)都連續(xù), , 則稱函數(shù)則稱函數(shù)在在D上連續(xù)上連續(xù). .否則稱為否則稱為不連續(xù)不連續(xù), ,0P此時此時稱為稱為間斷點間斷點 . .則稱函數(shù)則稱函數(shù)連續(xù)連續(xù), , 定義定義例如例如, 函數(shù)函數(shù) 0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點在點(0 , 0) 極限不存在極限不存在, , 又如又如, , 函數(shù)函數(shù)11),(22yxyxf上間斷上間斷

10、. .122 yx 故故 ( 0, 0 )為其間斷點為其間斷點. .在圓周在圓周例例4. 求極限求極限 xyxxy)1(lim)2(3 3e yxyyxsinlim)1(02xxyxyyx sinlim02xxyxyyxyx0202limsinlim 221 22200lim)3(yxyxyx 0 xyxxyyx.lim2200 有界有界 無窮小無窮小 2122 yxxyyyxyxxy )1(lim34422lim)4(yxyxyx 44220yxyx 22222yxyx )11(2122yx 0)11(21lim22 yxyx0lim4422 yxyxyx夾夾逼定理逼定理 二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積及商（分母不為零）二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積及商（分母不為零）為為二元連續(xù)函數(shù)二元連續(xù)函數(shù).