有限差分法基本原理

1、有限差分法基本原理 流體的控制方程流體的控制方程000zpzwwywvxwutwypzvwyvvxvutvxpzuwyuvxuutu流體的控制方程流體的控制方程VVV322322322zwzywzvyzuxwxwpDtDwzvywzyvyxvyuxypDtDvzuxwzxvyuyxuxxpDtDu數(shù)值離散概述數(shù)值離散概述 有限差分法求解流動(dòng)控制方程的基本過程是：首先將求解區(qū)域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)代替連續(xù)的求解域，將待求解的流動(dòng)變量（如密度、速度等）存儲(chǔ)在各網(wǎng)格點(diǎn)上，并將偏微分方程中的微分項(xiàng)用相應(yīng)的差商代替，從而將偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式的差分方程，得到含有離散點(diǎn)上的有限個(gè)未知變量的差

2、分方程組。求出該差分方程組的解，也就得到了網(wǎng)格點(diǎn)上流動(dòng)變量的數(shù)值解。離散網(wǎng)格點(diǎn)離散網(wǎng)格點(diǎn)差分和逼近誤差差分和逼近誤差 差分概念： 設(shè)有 的解析函數(shù) ，函數(shù) 對(duì) 的導(dǎo)數(shù)為：x)(xfy yxxxfxxfxydxdyxx)()(limlim00 、 分別是函數(shù)及自變量的微分， 是函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，又稱微商。上式中的 、 分別稱為函數(shù)及其自變量的差分， 為函數(shù)對(duì)自變量的差商。dxdydxdyxyxy 差分的三種形式（一階）：差分的三種形式（一階）： 向前差分)()(xfxxfy 向后差分)()(xxfxfy 中心差分)()(xxfxxfy 與其對(duì)應(yīng)的差商的三種形式（一階）： 向前差商xxfxxfx

3、y)()( 向后差商xxxfxfxy)()( 中心差商xxxfxxfxy2)()(差分和逼近誤差差分和逼近誤差 由導(dǎo)數(shù)（微商）和差商的定義可知，當(dāng)自變量的差分（增量）趨近于零時(shí)，就可以由差商得到導(dǎo)數(shù)。因此在數(shù)值計(jì)算中常用差商近似代替導(dǎo)數(shù)。差分和逼近誤差差分和逼近誤差差分和逼近誤差差分和逼近誤差 用泰勒級(jí)數(shù)展開可以推導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)的有限差分形式。差分和逼近誤差差分和逼近誤差差分和逼近誤差差分和逼近誤差 逼近誤差：差商與導(dǎo)數(shù)之間的誤差，表明差商逼近導(dǎo)數(shù)的程度。 由函數(shù)的 Taylor 級(jí)數(shù)展開，可以得到逼近誤差相對(duì)于自變量差分的量級(jí)，稱為用差商代替導(dǎo)數(shù)的精度。 差分和逼近誤差差分和逼近誤差差分和逼近誤差

4、差分和逼近誤差差分和逼近誤差差分和逼近誤差差分和逼近誤差差分和逼近誤差差分和逼近誤差差分和逼近誤差 二階中心差分： 二階中心差分：差分和逼近誤差差分和逼近誤差差分方程的建立過程差分方程的建立過程 差分相應(yīng)于微分，差商相應(yīng)于導(dǎo)數(shù)。只不過差分差分相應(yīng)于微分，差商相應(yīng)于導(dǎo)數(shù)。只不過差分和差商是用有限形式表示的，而微分和導(dǎo)數(shù)是以極限和差商是用有限形式表示的，而微分和導(dǎo)數(shù)是以極限形式表示的。如果將微分方程中的導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)的差商形式表示的。如果將微分方程中的導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)的差商近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。模型方程模型方程 為了抓住問題的實(shí)質(zhì)，同時(shí)又不使討論的問

5、題過于復(fù)雜，常用一些簡(jiǎn)單的方程來模擬流體力學(xué)方程進(jìn)行討論分析，以闡明關(guān)于一些離散方法的概念。這些方程就叫做模型方程。常用的模型方程： 對(duì)流方程：0 xt 對(duì)流擴(kuò)散方程：22xxt 熱傳導(dǎo)方程：22xt Poisson方程：fyx2222 Laplace方程：02222yx差分方程的建立過程差分方程的建立過程 以對(duì)流方程說明差分方程的建立過程。以對(duì)流方程說明差分方程的建立過程。)()0 ,(0 xxxt 1.劃分網(wǎng)格 選定步長(zhǎng) 和 ，然后在坐標(biāo)平面用平行于坐標(biāo)軸的兩族直線劃分網(wǎng)格：xt., 2, 1, 0., 2, 1, 0,0ntntixixxni 2.針對(duì)某一點(diǎn)，用差商近似代替導(dǎo)數(shù) 對(duì)流方程

6、在 點(diǎn)為),(nitx0ninixt差分方程的建立過程差分方程的建立過程ttxxix1ix1ixnt1nt1nto 時(shí)間導(dǎo)數(shù)用一階向前差商近似代替：ttninini1 空間導(dǎo)數(shù)用一階中心差商近似代替：xxninini21102111xtnininini則對(duì)流方程在 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的差分方程為),(nitx 差分方程和其定解條件一起，稱為相應(yīng)微分方程問題的差分格式。上述初值問題的差分格式可改寫為：)()(20111iininininixxt 觀察上述差分格式可看出：若知道第 層的 ，可由一個(gè)差分式子直接算出第 層的 ，故稱這類格式為顯示格式。n1n 顯式有限差分模板： 時(shí)間推進(jìn)： 例 考慮長(zhǎng)度為1的均勻

7、直桿，其表面是絕熱的，而且桿截面足夠細(xì)，可 以把斷面上的所有點(diǎn)的溫度看成是相同的。 軸取為沿 桿軸方向， 對(duì)應(yīng)桿的端點(diǎn)，則桿內(nèi)溫度分布 隨時(shí)間變化由下面的擴(kuò)散方程來描述：x1, 0 xx),(txT22xTtT100), 1 (100),0(0)0 ,(tTtTxT 時(shí)間導(dǎo)數(shù)用一階向前差商近似代替：tTTtTninini1 空間導(dǎo)數(shù)用二階中心差商近似代替：211222xTTTxTnininini)2(1121nininininiTTTxtTT 取 ，則最終的差分方程：5 .0, 1 .0,102tx)(21111nininiTTT 顯式有限差分模板：xtT0.00.10.20.30.40.50

8、.60.70.80.91.00.00.51.01.52.02.53.0100100000000000100100100100100100100100100100100100505062.562.568.868.80252537.537.545.30012.512.521.921.90006.256.2514.100006.256.250006.256.2514.10012.512.521.921.90252537.537.545.3505062.562.568.868.8 如仍取 而為縮短計(jì)算時(shí)間，時(shí)間步長(zhǎng) 取 ，則最終的差分方程：, 1 .0,102xninininiTTTT1110 .1t

9、xtT0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.00.51.01.510010000000000010010010010010010010002000100-10000100000000000001000100-1001000200差分法的基本理論差分法的基本理論 上例中，令 表示差分方程的精確解利用Taylor級(jí)數(shù)將上式中鄰近節(jié)點(diǎn)的解在(i，n)點(diǎn)展開，整理并略去上標(biāo)后可得上式就是與差分方程等價(jià)的微分方程式。一般地說，任何一個(gè)微分方程的差分方程,其差商都可以用Taylor 級(jí)數(shù)表示，這樣都可以得到一個(gè)與差分方程對(duì)應(yīng)的新的微分方程，該微分方程稱為差分方程的修正方程式

10、。1.相容性)2(1121nininininiTTTxtTT),(122424422222xtOxTxtTtEExTtTniniTT),(niT),(122224422222xtOxTxtTtEExTtTniniTT 上式中的 就是差分方程與微分方程的差別，稱之為截?cái)嗾`截?cái)嗾`差差。顯然 與 、 成正比，一般情況下，當(dāng)步長(zhǎng)趨向零時(shí),有限差分方程的截?cái)嗾`差是趨向于零的，則稱有限差分方程與相應(yīng)的偏微分方程是相容相容的。 一個(gè)可用的偏微分方程的差分表達(dá)式必須是相容的。否則在 、 趨近零時(shí)，差分方程不能趨于原微分方程，差分方程的解就不能代表微分方程的解，差分求解就失去了意義!TETEtxtx 2.收斂性

11、 收斂性研究的是差分方程的解與微分方程的解之間的差別問題。如果在求解區(qū)域中的任一離散點(diǎn) 上，當(dāng)網(wǎng)格步長(zhǎng) 、 趨于零時(shí)，有限差分方程的解趨近于所近似的微分方程解，則稱有限差分方程的解是收斂的。 一般情況下，證明收斂性是非常難的，暫不予以證明。),(txtxtitxTniT0,0lim),( 3.穩(wěn)定性 穩(wěn)定性討論的是差分解的誤差在計(jì)算過程中的發(fā)展問題。在數(shù)值解中，引進(jìn)誤差是不可避免的，電子計(jì)算機(jī)也有舍入誤差，因此實(shí)際算得的有限差分方程的解是近似解。這種誤差是要向其他方向傳播的，如果計(jì)算中引入的誤差在以后逐層計(jì)算過程中影響逐漸消失或者保持有界，則稱差分方程是穩(wěn)定的。否則就是不穩(wěn)定的。21121),

12、2(xtSTTTxtTTnininininininininiSTTSSTT111)21 (ninininiSTTSSTT*1*11*)21( 上式中 為差分方程的精確解,如果令 為差分方程的近似數(shù)值解，之間的誤差為 。同樣，近似數(shù)值解也滿足同樣的方程：niTniT*ninininiSSS111)21(分析例題Von Neumann穩(wěn)定性分析方法簡(jiǎn)介穩(wěn)定性分析方法簡(jiǎn)介 上式稱為誤差傳播方程。 4.Lax等價(jià)定理 對(duì)于一個(gè)適定的線性初值問題，如果有限差分近似是相容的，則穩(wěn)定性是收斂性的充分和必要條件。這是有限差分方法最基本的定律。 適用條件： 1）偏微分方程的解存在、唯一且連續(xù)地依賴于初值； 2）該定理只適用于線性問題，對(duì)非線性此定理至今未得到證明。 重要的實(shí)際意義：一般情況下，證明有限差分方程的解收斂于它所近似的偏微分方程的解比較困難。而證明有限差分方程的穩(wěn)定性和相容性相對(duì)來說比較容易。根據(jù)該定理只要證明有限差分方程是相容的、穩(wěn)定的，就保證了收斂性。幾種差分格式介紹幾種差分格式介紹FTCS格式（時(shí)間向前差分、空間中心差分） )()0 ,(0 xuxuxuatu)(020111iininininixuuxuutuu)()(20111iininininixuuuuxtauu幾種差分格式介紹幾種差分格式介紹FTFS格式（時(shí)間向前差分、空間向前差分） )(0011iininininixu