大學(xué)數(shù)學(xué)-課件-第八章λ- 矩陣第五節(jié)

1、在這一節(jié)與下一節(jié)中我們假定討論中的數(shù)域在這一節(jié)與下一節(jié)中我們假定討論中的數(shù)域P 是復(fù)數(shù)域是復(fù)數(shù)域.上面已經(jīng)看到，不變因子是矩陣的相似不變量上面已經(jīng)看到，不變因子是矩陣的相似不變量.為了得到若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，再引入為了得到若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，再引入 設(shè)設(shè) 12 級(jí)矩陣的不變因子是級(jí)矩陣的不變因子是( - 1 )2 ( + 1 )( 2 + 1 )2 . 1, 1, , 1 , ( - 1 )2 , ( - 1 )2 ( + 1 ) ,9 個(gè)個(gè)按定義，它的初等因子有按定義，它的初等因子有 7 個(gè)，即個(gè)，即( - 1 )2 , ( - 1 )2 , ( - 1 )2 , ( + 1 ) , ( + 1 ) ,

2、 ( - i )2 , ( + i )2 .其中其中 ( - 1 )2 出現(xiàn)三次，出現(xiàn)三次， + 1 出現(xiàn)二次出現(xiàn)二次.首先，假設(shè)首先，假設(shè) n 級(jí)矩陣級(jí)矩陣 A 的不變因子的不變因子d1( ) , d2( ) , , dn( )為已知為已知. 將將 di( ) (i =1, 2, , n) 分解成互不相同分解成互不相同的一次因式方冪的乘積：的一次因式方冪的乘積：,)()()()(,)()()()(,)()()()(21222211121121212211nrnnrrkrkknkrkkkrkkddd則其中對(duì)應(yīng)于則其中對(duì)應(yīng)于 kij 1 的那些方冪的那些方冪) 1()(ijkjkij就是就是 A

3、 的全部初等因子的全部初等因子. 我們注意到不變因子有我們注意到不變因子有一個(gè)除盡一個(gè)的性質(zhì)，即一個(gè)除盡一個(gè)的性質(zhì)，即 di( ) | di+1( ) (i =1, 2, , n - 1) ,從而從而. ), 2 , 1; 1, 2 , 1()( |)(, 1rjnijiijkjkj因此在因此在 d1( ) , d2( ) , , dn( ) 的分解式中，屬于同的分解式中，屬于同一個(gè)一次因式的方冪的指數(shù)有遞升的性質(zhì)，即一個(gè)一次因式的方冪的指數(shù)有遞升的性質(zhì)，即k1j k2j knj (j = 1, 2, , r) .這說(shuō)明，同一個(gè)一次因式的方冪作成的初等因子中這說(shuō)明，同一個(gè)一次因式的方冪作成的初

4、等因子中方次最高的必定出現(xiàn)在方次最高的必定出現(xiàn)在 dn( ) 的分解式中，方次次的分解式中，方次次高的必定出現(xiàn)在高的必定出現(xiàn)在 dn-1( ) 的分解式中的分解式中.如此順推下如此順推下去，可知屬于同一個(gè)一次因式的方冪的初等因子去，可知屬于同一個(gè)一次因式的方冪的初等因子在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是唯一確定的在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是唯一確定的.上面的分析給了我們一個(gè)如何從初等因子和矩上面的分析給了我們一個(gè)如何從初等因子和矩陣的級(jí)數(shù)唯一地作出不變因子的方法陣的級(jí)數(shù)唯一地作出不變因子的方法. 設(shè)一個(gè)設(shè)一個(gè) n 級(jí)級(jí)矩陣的全部初等因子為已知，在全部初等因子中將矩陣的全部初等因子為已知，在全

5、部初等因子中將同一個(gè)一次因式同一個(gè)一次因式 ( - j) (j = 1, 2, , r) 的方冪的的方冪的那些初等因子按降冪排列，而且當(dāng)這些初等因子的那些初等因子按降冪排列，而且當(dāng)這些初等因子的個(gè)數(shù)不足個(gè)數(shù)不足 n 時(shí)，就在后面補(bǔ)上適當(dāng)個(gè)數(shù)的時(shí)，就在后面補(bǔ)上適當(dāng)個(gè)數(shù)的 1，使得，使得湊成湊成 n 個(gè)個(gè).設(shè)所得排列為設(shè)所得排列為. ), 2 , 1()( ,)( ,)(1, 1rjjjnnjkjkjkj于是令于是令, ), 2 , 1()()()()(2121nidiriikrkki則則 d1( ) , d2( ) , , dn( ) 就是就是 A 的不變因子的不變因子.這也說(shuō)明了這樣一個(gè)事實(shí)：

6、如果兩個(gè)同級(jí)的數(shù)這也說(shuō)明了這樣一個(gè)事實(shí)：如果兩個(gè)同級(jí)的數(shù)字矩陣有相同的初等因子，則它們就有相同的不變字矩陣有相同的初等因子，則它們就有相同的不變因子，因而它們相似因子，因而它們相似.反之，如果兩個(gè)矩陣相似，反之，如果兩個(gè)矩陣相似，則它們有相同的不變因子，因而它們有相同的初則它們有相同的不變因子，因而它們有相同的初等因子等因子.綜上所述，即得：綜上所述，即得： 初等因子和不變因子都是矩陣的相似不變量初等因子和不變因子都是矩陣的相似不變量.但是初等因子的求法與不變因子的求法比較，反而但是初等因子的求法與不變因子的求法比較，反而方便一些方便一些.在介紹直接求初等因子的方法之前，先來(lái)說(shuō)明在介紹直接求初

7、等因子的方法之前，先來(lái)說(shuō)明關(guān)于多項(xiàng)式的最大公因式的一個(gè)性質(zhì)：關(guān)于多項(xiàng)式的最大公因式的一個(gè)性質(zhì)：事實(shí)上，令事實(shí)上，令( f1( )g1( ) , f2( )g2( ) = d( ) ,( f1( ) , f2( ) = d1( ) ,( g1( ) , g2( ) = d2( ) .顯然，顯然，d1( ) | d( ) , d2( ) | d( ) .由于由于 ( f1( ) , g1( ) = 1 , 故故 ( d1( ) , d2( ) ) = 1，因，因而而 d1( ) d2( ) | d( ) .另一方面，由于另一方面，由于d( ) | f1( ) g1( ) ,可令可令d( ) = f

8、 ( ) g ( ) ,其中其中 f ( ) | f1( ) , g( ) | g1( ) .由于由于( f1( ) , g2( ) = 1 ,故故 ( f ( ) , g2( ) = 1 . 由由 f ( ) | f2( ) g2( ) 又得又得 f ( ) | f2( )，因而，因而 f ( ) | d1( ) .同理同理 g( ) | d2( ) .所以所以d( ) | d1( ) d2( ) .于是于是d( ) = d1( ) d2( ) . ,)()(00)()()(,)()(00)()()(21122211gfgfBgfgfA 顯然，顯然， A( ) 和和 B( ) 有相同的二級(jí)行

9、有相同的二級(jí)行列式因子列式因子. 而而 A( ) 和和 B( ) 的一級(jí)行列式因子分別的一級(jí)行列式因子分別為為d( ) =( f1( )g1( ) , f2( )g2( )d ( ) =( f2( )g1( ) , f1( )g2( ) .由上面的討論知道，由上面的討論知道， d( ) 和和 d ( ) 是相等的，因是相等的，因而而 A( ) 和和 B( ) 也有相同的一級(jí)行列式因子也有相同的一級(jí)行列式因子.所以所以A( ) 和和 B( ) 等價(jià)等價(jià).下面的定理給了我們一個(gè)求初等因子的方法，下面的定理給了我們一個(gè)求初等因子的方法，它不必事先知道不變因子它不必事先知道不變因子. 設(shè)設(shè) E - A

10、 已用初等變換化為對(duì)角形已用初等變換化為對(duì)角形,)()()()(21nhhhD其中每個(gè)其中每個(gè) hi( ) 的最高項(xiàng)系數(shù)都為的最高項(xiàng)系數(shù)都為 1 . 將將 hi( ) 分分解成互不相同的一次因式方冪的乘積：解成互不相同的一次因式方冪的乘積：, ), 2 , 1()()()()(2121nihiriikrkki我們現(xiàn)在要證明的是，對(duì)于每個(gè)相同的一次我們現(xiàn)在要證明的是，對(duì)于每個(gè)相同的一次因式的方冪因式的方冪), 2 , 1()( ,)( ,)(21rjnjjjkjkjkj在在 D( ) 的主對(duì)角線上按遞升冪次排列后，得到的的主對(duì)角線上按遞升冪次排列后，得到的新對(duì)角矩陣新對(duì)角矩陣 D ( ) 與與

11、D( ) 等價(jià)等價(jià).此時(shí)此時(shí) D ( ) 就是就是 E - A 的標(biāo)準(zhǔn)形而且所有不為的標(biāo)準(zhǔn)形而且所有不為 1 的的ijkj)(就就是是 A 的全部初等因子的全部初等因子.為方便起見(jiàn)，先對(duì)為方便起見(jiàn)，先對(duì) - 1 的方冪進(jìn)行討論的方冪進(jìn)行討論.令令), 2 , 1()()()()(3232nigiriikrkki于是于是, 2 , 1, )()()(11nighikii而且每個(gè)而且每個(gè)1)(1ik都與都與 gj( ) (j = 1, 2, , n) 互互素素.如果有相鄰的一對(duì)指數(shù)如果有相鄰的一對(duì)指數(shù) ki1 ki+1,1 , 則在則在 D( )中將中將1)(1ik與與1 , 1)(1ik對(duì)調(diào)位置

12、，而對(duì)調(diào)位置，而其余因式保持不動(dòng)其余因式保持不動(dòng). 根據(jù)根據(jù))()(00)()(1111 , 11ikikggii與與)()(00)()(11111 , 1ikikggii等價(jià)等價(jià).從而從而 D( ) 與對(duì)角矩陣與對(duì)角矩陣)()()()()()()()()(111 , 1111111111nkikikkggggDnii等價(jià)等價(jià).然后對(duì)然后對(duì) D1( ) 作如上的討論作如上的討論.如此繼續(xù)進(jìn)行如此繼續(xù)進(jìn)行直到對(duì)角矩陣主對(duì)角線上元素所含直到對(duì)角矩陣主對(duì)角線上元素所含 - 1 的方冪是的方冪是按遞升冪次排列為止按遞升冪次排列為止.依次對(duì)依次對(duì) - 2 , , - r 作作同樣處理，最后便得到與同樣處理，最后便得到與 D( ) 等價(jià)的對(duì)角矩陣等價(jià)的對(duì)角矩陣D ( ) ，它的主對(duì)角線上所含每個(gè)相同的一次因式，它的主對(duì)角線上所含每個(gè)相同的一次因式的方冪，都是按遞升冪次排列的的方冪，都是按遞升冪次排列的. 求下列求下列 - 矩陣的初等因子矩陣的初等因子.10243153232132222222 已知已知 -