有限元第7章等參數(shù)單元

1、第七章第七章 等參數(shù)單元等參數(shù)單元三節(jié)點(diǎn)三角形單元具有如下特點(diǎn)：三節(jié)點(diǎn)三角形單元具有如下特點(diǎn)：1. 位移插值函數(shù)為線性函數(shù)，因此稱為三角形線性元。位移插值函數(shù)為線性函數(shù)，因此稱為三角形線性元。2. 線性單元的位移在單元內(nèi)呈線性變化，應(yīng)力、應(yīng)變在單元內(nèi)是一個常量。線性單元的位移在單元內(nèi)呈線性變化，應(yīng)力、應(yīng)變在單元內(nèi)是一個常量。3. 應(yīng)力和應(yīng)變在求解區(qū)域內(nèi)都不是連續(xù)的。應(yīng)力和應(yīng)變在求解區(qū)域內(nèi)都不是連續(xù)的。為提高計(jì)算精度，實(shí)際分析時(shí)可以采取的方法：為提高計(jì)算精度，實(shí)際分析時(shí)可以采取的方法：1. 單元分細(xì)；單元分細(xì)；2. 構(gòu)造高精度新單元。構(gòu)造高精度新單元。 將單元分細(xì)可提高計(jì)算精度，因?yàn)橛邢拊ǖ挠?jì)

2、算基礎(chǔ)就是當(dāng)單元無限將單元分細(xì)可提高計(jì)算精度，因?yàn)橛邢拊ǖ挠?jì)算基礎(chǔ)就是當(dāng)單元無限分細(xì)時(shí)計(jì)算結(jié)果將收斂于精確解。但是單元分細(xì)會增加單元數(shù)目和節(jié)點(diǎn)數(shù)目分細(xì)時(shí)計(jì)算結(jié)果將收斂于精確解。但是單元分細(xì)會增加單元數(shù)目和節(jié)點(diǎn)數(shù)目，從而增加所要求解的方程組，占用和耗費(fèi)大量的計(jì)算機(jī)資源。所以，用細(xì)，從而增加所要求解的方程組，占用和耗費(fèi)大量的計(jì)算機(jī)資源。所以，用細(xì)分單元的方法來提高精度有時(shí)是不經(jīng)濟(jì)的。分單元的方法來提高精度有時(shí)是不經(jīng)濟(jì)的。 構(gòu)造具有較高精度的單元也可以提高計(jì)算精度。單元節(jié)點(diǎn)數(shù)增多，則自構(gòu)造具有較高精度的單元也可以提高計(jì)算精度。單元節(jié)點(diǎn)數(shù)增多，則自由度數(shù)目增多，允許采用較高階次的位移插值函數(shù)，從而提

3、高計(jì)算精度。例由度數(shù)目增多，允許采用較高階次的位移插值函數(shù)，從而提高計(jì)算精度。例如如6節(jié)點(diǎn)三角形單元其位移插值函數(shù)為完全二次多項(xiàng)式。節(jié)點(diǎn)三角形單元其位移插值函數(shù)為完全二次多項(xiàng)式。22123456dxyxxyy 單元內(nèi)位移為二次函數(shù)變化，應(yīng)變和應(yīng)力呈線性變化。但這種單元的面單元內(nèi)位移為二次函數(shù)變化，應(yīng)變和應(yīng)力呈線性變化。但這種單元的面積小，節(jié)點(diǎn)多，也會使方程數(shù)目激增，占用計(jì)算機(jī)資源多。目前較少使用。積小，節(jié)點(diǎn)多，也會使方程數(shù)目激增，占用計(jì)算機(jī)資源多。目前較少使用。 雙線性插值函數(shù)的矩形單元，由于位移插值函數(shù)比三角形線性單元的位雙線性插值函數(shù)的矩形單元，由于位移插值函數(shù)比三角形線性單元的位移插值函

4、數(shù)多了一項(xiàng)，單元內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變不再是常量，精度也會高些。移插值函數(shù)多了一項(xiàng)，單元內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變不再是常量，精度也會高些。但是，一般矩形單元只適用矩形規(guī)則區(qū)域的求解，對于任意形狀的非規(guī)則但是，一般矩形單元只適用矩形規(guī)則區(qū)域的求解，對于任意形狀的非規(guī)則區(qū)域，單元分割時(shí)不方便，在邊界上的計(jì)算精度要降低。因此，在實(shí)際中區(qū)域，單元分割時(shí)不方便，在邊界上的計(jì)算精度要降低。因此，在實(shí)際中也很少使用。也很少使用。如果把矩形單元改成任意四變形單元，用于求解不規(guī)則區(qū)域時(shí)單元分割如果把矩形單元改成任意四變形單元，用于求解不規(guī)則區(qū)域時(shí)單元分割就要方便得多，而且至少有就要方便得多，而且至少有4個節(jié)點(diǎn)個節(jié)點(diǎn)8個自由度，其

5、位移插值函數(shù)的階次個自由度，其位移插值函數(shù)的階次也比線性三角形單元高。因此，任意四邊形單元是比較理想的單元形式也比線性三角形單元高。因此，任意四邊形單元是比較理想的單元形式。但是，如果仍采用雙線性的位移插值函數(shù)，任意四邊形單元不能滿足。但是，如果仍采用雙線性的位移插值函數(shù)，任意四邊形單元不能滿足相鄰單元間的位移協(xié)調(diào)，即相容性條件。相鄰單元間的位移協(xié)調(diào)，即相容性條件。 31x24y1234dxyxy,(0)ykxb k2dAxBxC第二節(jié)第二節(jié) 四節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元四節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元 我們知道，矩形單元是滿足解的收斂性條件的。如果通過一個坐標(biāo)我們知道，矩形單元是滿足解的收斂性條件的。如果通

6、過一個坐標(biāo)變換將任意四邊形單元變換成矩形單元，只要坐標(biāo)變換中任意四邊形單元變換將任意四邊形單元變換成矩形單元，只要坐標(biāo)變換中任意四邊形單元與矩形單元之間的點(diǎn)是一一對應(yīng)的與矩形單元之間的點(diǎn)是一一對應(yīng)的(坐標(biāo)變換的相容性坐標(biāo)變換的相容性)，而變換后的位移，而變換后的位移插值函數(shù)又是滿足解的收斂性條件的，這兩條合在一起就能保證任意四邊插值函數(shù)又是滿足解的收斂性條件的，這兩條合在一起就能保證任意四邊形在原坐標(biāo)系中滿足收斂性條件。形在原坐標(biāo)系中滿足收斂性條件。 132(1,1)( 1,1)4( 1, 1) (1, 1)( , )p yx1 11 1( , )p x y1234注意到這一坐標(biāo)變換不是針對整

7、個求解區(qū)域，而是針對每一個單元分別進(jìn)行的。注意到這一坐標(biāo)變換不是針對整個求解區(qū)域，而是針對每一個單元分別進(jìn)行的。 132(1,1)( 1,1)4( 1, 1) (1, 1)( , )p yx1 11 1( , )p x y1234xOy平面為整體坐標(biāo)系，它適用于所有單元，平面為整體坐標(biāo)系，它適用于所有單元， O 坐標(biāo)為局部坐標(biāo)系，它只適用于每個要變換的單元。坐標(biāo)為局部坐標(biāo)系，它只適用于每個要變換的單元。 在每個單元上考察整體坐標(biāo)在每個單元上考察整體坐標(biāo) ( , )x y到局部坐標(biāo)到局部坐標(biāo) ( , ) 之間是否滿足上述要求之間是否滿足上述要求的變換的變換(相容性相容性)。首先看一下局部坐標(biāo)系下

8、的位移插值函數(shù)、形狀函數(shù)和收斂性條件，再討首先看一下局部坐標(biāo)系下的位移插值函數(shù)、形狀函數(shù)和收斂性條件，再討論具體的坐標(biāo)變化。論具體的坐標(biāo)變化。1234u 5678v 111( , )(1)(1)4NN 221( , )(1)(1)4NN 331( , )(1)(1)4NN 441( , )(1)(1)4NN 1( , )(1)(1)4iiiN 11( ,)( 1, 1) 22(,)(1, 1) 33(,)(1,1) 44(,)( 1,1) 這樣可得到局部坐標(biāo)系下正方形單元的位移插值函數(shù)這樣可得到局部坐標(biāo)系下正方形單元的位移插值函數(shù)(7-1)可以表示為可以表示為41( , )iiiuNu 41(

9、 , )iiivNv 從矩形單元位移插值函數(shù)的討論中可以知道，局部坐標(biāo)系下的正方形單從矩形單元位移插值函數(shù)的討論中可以知道，局部坐標(biāo)系下的正方形單元必然滿足解的收斂性條件。下面就要看如何實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)變換來滿足變換元必然滿足解的收斂性條件。下面就要看如何實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)變換來滿足變換相容性的要求。相容性的要求。采用位移插值函數(shù)相同形式的坐標(biāo)變換式，能滿足坐標(biāo)變換相容性的采用位移插值函數(shù)相同形式的坐標(biāo)變換式，能滿足坐標(biāo)變換相容性的要求，即要求，即41( , )iiixNx 41( , )iiiyNy ( , ),1,2,3,4iNi 是與形狀函數(shù)完全一樣的雙線性函數(shù)是與形狀函數(shù)完全一樣的雙線性函數(shù) 在正方形每

10、一條邊上，在正方形每一條邊上， ( , )iN 是一個坐標(biāo)變量的線性函數(shù)，而線性變換是點(diǎn)點(diǎn)對應(yīng)的，那么四邊形是一個坐標(biāo)變量的線性函數(shù)，而線性變換是點(diǎn)點(diǎn)對應(yīng)的，那么四邊形四條邊上的變換是點(diǎn)點(diǎn)對應(yīng)的。四條邊上的變換是點(diǎn)點(diǎn)對應(yīng)的。 132(1,1)( 1,1)4( 1, 1) (1, 1)( , )p yx1 11 1( , )p x y1234位移插值函數(shù)公式和坐標(biāo)變換公式具有完全相同的形式，它們位移插值函數(shù)公式和坐標(biāo)變換公式具有完全相同的形式，它們用同樣數(shù)目的對應(yīng)節(jié)點(diǎn)值作為參數(shù)，并且具有完全相同的形狀用同樣數(shù)目的對應(yīng)節(jié)點(diǎn)值作為參數(shù)，并且具有完全相同的形狀函數(shù)作為這些節(jié)點(diǎn)值前面的系數(shù)，我們稱具有這

11、種特點(diǎn)的單元函數(shù)作為這些節(jié)點(diǎn)值前面的系數(shù)，我們稱具有這種特點(diǎn)的單元為等參數(shù)單元。為等參數(shù)單元。 若由節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)插值構(gòu)造單元幾何形狀所用的形函數(shù)比若由節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)插值構(gòu)造單元幾何形狀所用的形函數(shù)比由節(jié)點(diǎn)位移插值構(gòu)造單元位移場的形函數(shù)階次低，并且所由節(jié)點(diǎn)位移插值構(gòu)造單元位移場的形函數(shù)階次低，并且所用節(jié)點(diǎn)參數(shù)個數(shù)少，則稱為亞參元；用節(jié)點(diǎn)參數(shù)個數(shù)少，則稱為亞參元；反之，若階次高，節(jié)點(diǎn)個數(shù)多，則稱為超參元。反之，若階次高，節(jié)點(diǎn)個數(shù)多，則稱為超參元。亞參元和超參元雖然也有應(yīng)用，但是不如等參數(shù)元應(yīng)用普遍。亞參元和超參元雖然也有應(yīng)用，但是不如等參數(shù)元應(yīng)用普遍。子單元的位移場和母單元的位移場是一樣的，但是子單元的位移

12、子單元的位移場和母單元的位移場是一樣的，但是子單元的位移是以斜坐標(biāo)表達(dá)的。而母單元的位移場是以正則坐標(biāo)表示的。因是以斜坐標(biāo)表達(dá)的。而母單元的位移場是以正則坐標(biāo)表示的。因此，子單元和母單元的位移分布在節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)相同時(shí)也不同。此，子單元和母單元的位移分布在節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)相同時(shí)也不同。根據(jù)上述理論，可總結(jié)出參數(shù)元的基本思想：根據(jù)上述理論，可總結(jié)出參數(shù)元的基本思想：首先建立規(guī)整形狀單元首先建立規(guī)整形狀單元(母單元母單元)的形函數(shù)，然后利用它做兩件事的形函數(shù)，然后利用它做兩件事1. 根據(jù)坐標(biāo)影射用母單元形函數(shù)和實(shí)際單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)確定所劃分根據(jù)坐標(biāo)影射用母單元形函數(shù)和實(shí)際單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)確定所劃分單元的幾何形狀，這

13、個實(shí)際劃分單元稱為子單元。單元的幾何形狀，這個實(shí)際劃分單元稱為子單元。2. 利用母單元形函數(shù)和單元節(jié)點(diǎn)位移建立子單元的位移場。利用母單元形函數(shù)和單元節(jié)點(diǎn)位移建立子單元的位移場。母單元的正交坐標(biāo)軸母單元的正交坐標(biāo)軸 ( , ) 影射到子單元上，得到一個斜角坐標(biāo)軸，仍記為影射到子單元上，得到一個斜角坐標(biāo)軸，仍記為 ( , ) 現(xiàn)在子單元有兩種坐標(biāo)，一個是整體坐標(biāo)現(xiàn)在子單元有兩種坐標(biāo)，一個是整體坐標(biāo) ( , )x y令一個是固定于單元的局部坐標(biāo)令一個是固定于單元的局部坐標(biāo) ( , ) 當(dāng)母單元函數(shù)確定后，再由各種具體問題實(shí)際單元劃分所確定的子單當(dāng)母單元函數(shù)確定后，再由各種具體問題實(shí)際單元劃分所確定的

14、子單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，由坐標(biāo)變換，可影射得到所有實(shí)際單元。因此，關(guān)鍵是建元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，由坐標(biāo)變換，可影射得到所有實(shí)際單元。因此，關(guān)鍵是建立母單元的形狀函數(shù)。立母單元的形狀函數(shù)。第三節(jié)第三節(jié) 等參數(shù)單元平面問題的有限元格式等參數(shù)單元平面問題的有限元格式前三步的主要目的是求出以節(jié)點(diǎn)位移表示的單元位移插值函數(shù)，或求出前三步的主要目的是求出以節(jié)點(diǎn)位移表示的單元位移插值函數(shù)，或求出單元形狀函數(shù)，第四到六步主要目的是求出單元剛度矩陣單元形狀函數(shù)，第四到六步主要目的是求出單元剛度矩陣.對于等參數(shù)對于等參數(shù)單元，我們已經(jīng)得到了四節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元的形狀函數(shù)，下面討論單元，我們已經(jīng)得到了四節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元的形狀函

15、數(shù)，下面討論單元剛度矩陣的形成。單元剛度矩陣的形成。一、等參數(shù)單元剛度矩陣一、等參數(shù)單元剛度矩陣第四步第四步 單元應(yīng)變單元應(yīng)變-單元位移單元位移-節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系41414411( , ) ( , )( , )( , )( , )iiixyiiixyiiiiiiuNuxxvx yNvyyuvNuNvyxyx 31241234312412343312412412341234NNNNuuuuxxxxNNNNvvvvyyyyNNNNNNNNuuuuvvvvyyyyxxxx11312422312433331122444400000000uvNNNNuxxxxvNNNNuyyyyvN

16、NNNNNNNyxyxyxyxuv12123434 eeeeeddBBBBB ddd第五步第五步 單元應(yīng)力單元應(yīng)力-應(yīng)變應(yīng)變-節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系 ( , ) ( , ) ex yDx yD B d第六步第六步 單元力單元力-節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系由虛位移原理，利用以前所推導(dǎo)的方法，可得到節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的由虛位移原理，利用以前所推導(dǎo)的方法，可得到節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系式關(guān)系式 eTeFBD B dV d eTeeeFBD B tdxdy dKd eTKBD B tdxdy B矩陣由式矩陣由式(7-5)給出，積分區(qū)域?yàn)槿我馑倪呅螁卧獌?nèi)區(qū)域。給出，積分區(qū)域?yàn)?/p>

17、任意四邊形單元內(nèi)區(qū)域。11312422312433331122444400000000uvNNNNuxxxxvNNNNuyyyyvNNNNNNNNyxyxyxyxuv12123434 eeeeeddBBBBB ddd二、等參數(shù)坐標(biāo)變換二、等參數(shù)坐標(biāo)變換4141( , )( , )iiiiiixNxyNy 根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有xyxyxyxy ( , ) ( , )xyx yJxy 為寫成矩陣形式，記變換矩陣為寫成矩陣形式，記變換矩陣(雅可比矩陣雅可比矩陣)為為 xyxxJxyyx11 |yyxJxxJy1 J為雅可比矩陣的逆陣。為雅可比矩陣的逆陣。 |J為雅可比矩陣

18、的行列式為雅可比矩陣的行列式 |xyxyxyJxy444111( , )( , )( , )1|iiiiiiiiiNuNuNuyyxJ 41( , )iiiNyy 41( , )iiiNyy 此外，整體坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)的面積微分之間有關(guān)系式此外，整體坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)的面積微分之間有關(guān)系式|dxdyJ d d 五、面積微元的坐標(biāo)變換五、面積微元的坐標(biāo)變換ddJddjdyixjdyixdddxdydet)()(obdadyx0baddjyi xrdadb 從而計(jì)算單元剛度矩陣表達(dá)式的積分，可以從整體坐標(biāo)系任意從而計(jì)算單元剛度矩陣表達(dá)式的積分，可以從整體坐標(biāo)系任意四邊形區(qū)域的積分轉(zhuǎn)換到局部坐標(biāo)系正方

19、形區(qū)域的積分：四邊形區(qū)域的積分轉(zhuǎn)換到局部坐標(biāo)系正方形區(qū)域的積分：1111 |eTKBD B t J d d 這樣積分區(qū)域就變簡單了，所有計(jì)算都轉(zhuǎn)換到局部坐標(biāo)系下的正方形單這樣積分區(qū)域就變簡單了，所有計(jì)算都轉(zhuǎn)換到局部坐標(biāo)系下的正方形單元進(jìn)行。但是由于坐標(biāo)變換，使被積函數(shù)具有非常復(fù)雜的形式。一般來元進(jìn)行。但是由于坐標(biāo)變換，使被積函數(shù)具有非常復(fù)雜的形式。一般來講，這一積分無法解析進(jìn)行，需要采用數(shù)值積分來求解。講，這一積分無法解析進(jìn)行，需要采用數(shù)值積分來求解。31243124331122440000 0000NNNNxxxxNNNNByyyyNNNNNNNNyxyxyxyx三、能進(jìn)行等參數(shù)變換的條件三

20、、能進(jìn)行等參數(shù)變換的條件4141( , )( , )iiiiiixNxyNy 只要給定整體坐標(biāo)系內(nèi)四個節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)只要給定整體坐標(biāo)系內(nèi)四個節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo) ( ,)iix y1,2,3,4i 就可以寫出坐標(biāo)變換式。就可以寫出坐標(biāo)變換式。 為保證此變換式在單元上能確定整體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)間的一一為保證此變換式在單元上能確定整體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)間的一一對應(yīng)關(guān)系，使等參數(shù)變換能真正進(jìn)行，必須使變換行列式對應(yīng)關(guān)系，使等參數(shù)變換能真正進(jìn)行，必須使變換行列式(雅可比行雅可比行列式列式)在整個單元上均不等于零。因?yàn)樵谡麄€單元上均不等于零。因?yàn)槲⒎肿儞Q式微分變換式 |dxdyJ d d |J不能為零。不能為零。 | 0J

21、 是雅可比矩陣的逆矩陣存在的必要條件；是雅可比矩陣的逆矩陣存在的必要條件； 44114411( , )( , ) ( , )( , )iiiiiiiiiiiiNNxyxyJxyNNxy 44114411(1)(1)44(1)(1)44iiiiiiiiiiiiiiiixyxy4411441144444444iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxyyxxyy1( , )(1)(1)4iiiN 4114iiiiAx4411441144444444iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxyyxxyy4114iiiiBy41114iiiax42114iiiay43114iiia

22、x44114iiiay1234 aAaBJaAaB4411441144444444iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxyyxxyy令上式中常數(shù)4114iiiiAx4114iiiiBy41114iiiax42114iiiay43114iiiax44114iiiay1234 aAaBJaAaB14231243| ()()()Ja aa aBaAaAaBa是 , 的線性函數(shù)。 | 0J 要使要使 只需要求只需要求 |J在四個節(jié)點(diǎn)處的值具有同一符號即可。在四個節(jié)點(diǎn)處的值具有同一符號即可。 以節(jié)點(diǎn)1為例，將局部坐標(biāo) ( , )( 1, 1) 1234 aAaBJaAaB代入 121, 1

23、34 aAaBJaAaB 4114iiiiAx4114iiiiBy41114iiiax42114iiiay43114iiiax44114iiiay計(jì)算出計(jì)算出 1a2a3a4aAB2121( 1, 1)14141 12 14sinxxyyJxxyy 2121( 1, 1)14141 12 14sinxxyyJxxyy x132y41234同理，在節(jié)點(diǎn)2，3，4， (1, 1)2 21 23sinJ(1,1)3 32 34sinJ( 1,1)4 41 43sinJ123420i1,2,3,4i 條件下才會使四個 J符號一致，且一定為正。 確定的等參數(shù)變換是可行的，在整體坐標(biāo)系下所劃分的任意四邊形

24、單元必須是凸的四邊形，而不能有一個內(nèi)角等于或大于 也就是說對求解區(qū)域進(jìn)行任意四邊形分割時(shí)，不能太任意，其任意性有也就是說對求解區(qū)域進(jìn)行任意四邊形分割時(shí)，不能太任意，其任意性有一個限度。這個限度還可表述為：四邊形單元的任意兩條邊不能通過適一個限度。這個限度還可表述為：四邊形單元的任意兩條邊不能通過適當(dāng)?shù)难由煸趩卧铣霈F(xiàn)交點(diǎn)。通常為保證計(jì)算精度起見，在劃分單元時(shí)當(dāng)?shù)难由煸趩卧铣霈F(xiàn)交點(diǎn)。通常為保證計(jì)算精度起見，在劃分單元時(shí)應(yīng)盡量使四邊形單元的形狀與正方形相差不遠(yuǎn)。應(yīng)盡量使四邊形單元的形狀與正方形相差不遠(yuǎn)。431228四、節(jié)點(diǎn)等效載荷的形成四、節(jié)點(diǎn)等效載荷的形成 單元上可能受到的外載荷一般有體積力單

25、元上可能受到的外載荷一般有體積力(例如重力、離心力等例如重力、離心力等)、表面力、表面力(分分布載荷布載荷)和集中力。依據(jù)前幾章節(jié)點(diǎn)等效的方法，可將等參數(shù)單元的等效節(jié)點(diǎn)載和集中力。依據(jù)前幾章節(jié)點(diǎn)等效的方法，可將等參數(shù)單元的等效節(jié)點(diǎn)載荷表述如下。荷表述如下。 1. 體積力等效節(jié)點(diǎn)載荷體積力等效節(jié)點(diǎn)載荷 設(shè)單位體積所受到的體積力，即體積力密度對二維問題為設(shè)單位體積所受到的體積力，即體積力密度對二維問題為 vxvvyFFF則單元上外載荷所做的外力虛功為則單元上外載荷所做的外力虛功為* TeTTevvssWdF tdxdydNF tdxdy*edNd1111 |eTTvvvsFNF tdxdyNF t

26、 J d d 2. 表面力等效節(jié)點(diǎn)載荷表面力等效節(jié)點(diǎn)載荷 設(shè)單位表面積所受到的表面密度(二維情況下時(shí)單位長度上的力)為 xyqQq則單元上外載荷所做的外力虛功為* TeTTellWdQ dldNQ dl22()()dldxdy22xxyydddd如圖7-5所示，在單元的 12340d132(1,1)( 1,1)4( 1, 1) (1, 1)22xydld eTslFNQ dl 14230d132(1,1)( 1,1)4( 1, 1) (1, 1)22xydld3. 集中力等效節(jié)點(diǎn)載荷 集中力可直接作用于節(jié)點(diǎn)上，其向量記為 erF從而單元的負(fù)荷向量由體積力向量、表面力向量和集中力向量合并而成，即

27、 eeeevsrFFFF得到了單元剛度矩陣和單元負(fù)荷向量，就可以按節(jié)點(diǎn)號疊加總體剛度矩陣和總負(fù)荷向量。最后得方程組 eKdF eTslFNQ dl 五、結(jié)果處理五、結(jié)果處理可知母單元中 ( , ) 點(diǎn)在子單元中為 ( , )x y但是一般無法從方程求出 ( , )f x y( , )g x y4141( , )( , )iiiiiixNxyNy x132y( 1,1)4( 1, 1) (1, 1)00(,)xy11( ,)( 1, 1)x y 例題例題7-1 ：22(,)(1, 1)xy3300(,)(,)xyxy44(,)( 1,1)xy 求該四變形單元的雅可比矩陣， 并求 00,xy取什么

28、值時(shí)， |J在單元內(nèi)不變號？ 4123041( , )( 1)1( 1)iiixNxNNN xN 4123041( , )( 1)( 1)1iiiyNyNNNyN 000000000111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)44441(111)411( 3)(1)(1)4xxxxxxxxxx 000000000111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)44441(111)411(1)(1)(1)4yyyyyyyyyy 0000111(1)(1)(1)(1)44 11(1)(1)1(1)(1)44xyxyJxyxy 001|4(1)(1)(1)(1)4Jxy1,1|10J

29、 1,1001|()2Jxy00,1xy |J不變號。1,101|1(1)2Jy 1,101|1(1)2Jx 以及用以及用 x132(2,1)y( 1,1)4( 1, 1) (1, 1)例題例題7-2：如圖四節(jié)點(diǎn)四邊形單元，各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求坐標(biāo)變換公式 ( , )kNx y雅可比矩陣， , 表示 1Nx1Ny(1)求坐標(biāo)變換公式 由等參數(shù)元的坐標(biāo)變換公式(7-4)，可得 412341( , )( 1)12( 1)iiixNxNNNN 412341( , )( 1)( 1)11iiiyNyNNNN 1111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)44241 (51)41111(1)(1

30、)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4444 xy 415xyyy4(1)15xy(2)求求 2(32)15xyy( , )kNx y11(32)(1)( , )(1)(1)42(5)xyyN x yy21(1)(1)( , )(1)(1)45xyNx yy31(1)(1)( , )(1)(1)45xyNx yy11(32)(1)( , )(1)(1)42(5)xyyN x yy (3)求雅可比矩陣 1(5)04 1(1)14xyJxy 1|(5)4J(4)求 1Nx1Ny可以由第一步和第二步所得到的結(jié)果直接求出，可以由第一步和第二步所得到的結(jié)果直接求出， 也可以通過雅可比矩陣求解也可以通過

31、雅可比矩陣求解 11111111 |NNyyNxJNNxxNJy110(1)141111(1)(5)(5)(1)444421544(5)例題例題7-6： 求如圖四節(jié)點(diǎn)等參數(shù)元在重力載荷作用下節(jié)點(diǎn)等效外載荷。重求如圖四節(jié)點(diǎn)等參數(shù)元在重力載荷作用下節(jié)點(diǎn)等效外載荷。重力載荷集度為力載荷集度為 2132(2,1)y( 1,1)4( 1, 1) (1, 1)1(51)4xy 1(5)04 1(1)14xyJxy 1|(5)4Jyp由題意可知：由題意可知： 0 xp 各節(jié)點(diǎn)等效載荷為各節(jié)點(diǎn)等效載荷為1111111|eyypN p t J d d 1111114(1)(1)1(1443d d 1121111

32、|eyypN p t J d d 1111114(1)(1)1(1443d d 1133111|eyypN p t J d d 1111117(1)(1)1(1446d d 1144111|eyypN p t J d d 1111117(1)(1)1(1446d d 已知圖中單元已知圖中單元2-3邊受到線性分布載荷的作用，求節(jié)點(diǎn)等效外載荷。邊受到線性分布載荷的作用，求節(jié)點(diǎn)等效外載荷。解：由例題解：由例題7-2可得到坐標(biāo)變換關(guān)系如下：可得到坐標(biāo)變換關(guān)系如下：x132(2,1)y( 1,1)4( 1, 1) (1, 1)0p1(51)4xy 由圖可知線性分布載荷表示為由圖可知線性分布載荷表示為01

33、( )(1)2xpypy01( )(1)2xpp( )0yp11|2x1|1y52dld只需要考慮節(jié)點(diǎn)只需要考慮節(jié)點(diǎn)2，3的等效載荷，的等效載荷， 21|(1)/2N31|(1)/2N11200201155115(1)(1)122286sxtptpPtpdd11200301155115(1)(1)122283sxtptpPtpdd第四節(jié)第四節(jié) 試湊法來確定形函數(shù)試湊法來確定形函數(shù)一、四節(jié)點(diǎn)正方形單元的形函數(shù)一、四節(jié)點(diǎn)正方形單元的形函數(shù), 坐標(biāo)系下，單元的四條邊界線的方程分別為坐標(biāo)系下，單元的四條邊界線的方程分別為 1010 1010 根據(jù)形函數(shù)應(yīng)該具有的性質(zhì)，即根據(jù)形函數(shù)應(yīng)該具有的性質(zhì)，即本點(diǎn)

34、為本點(diǎn)為1，它點(diǎn)為，它點(diǎn)為0。1( , )(1)(1)N 2( , )(1)(1)N 3( , )(1)(1)N 4( , )(1)(1)N 132( 1,1)4(1, 1)5( 1, 1) (1,1)(0, 1)二、五節(jié)點(diǎn)正方形單元的形函數(shù)二、五節(jié)點(diǎn)正方形單元的形函數(shù)五節(jié)點(diǎn)正方形單元，單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移可表示為五節(jié)點(diǎn)正方形單元，單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移可表示為51( , )( , )kkkd x yNd 滿足本點(diǎn)為滿足本點(diǎn)為1，它點(diǎn)為，它點(diǎn)為0的特性。的特性。 ( , )kN 從四節(jié)點(diǎn)矩形單元的形函數(shù)出發(fā)，為了避免混淆。用以下記號表示從四節(jié)點(diǎn)矩形單元的形函數(shù)出發(fā)，為了避免混淆。用以下記號表示1

35、( , )(1)(1)4iiiN 在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)5 1(0, 1)1/2N2(0, 1)1/2N3(0, 1)0N4(0, 1)0N3( , )N 在在1，2，4，5都為零，在點(diǎn)都為零，在點(diǎn)3為為1，因此它滿足條件，有，因此它滿足條件，有33( , )( , )NN 44( , )( , )NN 我們設(shè)法構(gòu)造我們設(shè)法構(gòu)造 它在它在1，2，3，4點(diǎn)處為零，以下的表達(dá)式能滿足上述要求點(diǎn)處為零，以下的表達(dá)式能滿足上述要求. 5( , )N 25( , )(1)(1)Na 又需要滿足在點(diǎn)又需要滿足在點(diǎn)5處為處為1。代入。代入5點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)1/2a 1 5N是二次曲線，而該邊上有三個節(jié)點(diǎn)，故能滿足連續(xù)

36、性要求。是二次曲線，而該邊上有三個節(jié)點(diǎn)，故能滿足連續(xù)性要求。 151/2NN在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)1為為1，在點(diǎn)，在點(diǎn)2，3，4為為0，在點(diǎn)，在點(diǎn)5 151/2,1/2NN1151/2NNN2251/2NNN 對圖對圖7-6所示的五節(jié)點(diǎn)正方形單元，我們可得到其形函數(shù)表達(dá)式：所示的五節(jié)點(diǎn)正方形單元，我們可得到其形函數(shù)表達(dá)式： 111( , )(1)(1)4NN 221( , )(1)(1)4NN 331( , )(1)(1)4NN 441( , )(1)(1)4NN 251( , )(1)(1)2N 三、八節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元的形狀函數(shù)三、八節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元的形狀函數(shù)對照四節(jié)點(diǎn)的情況，八節(jié)點(diǎn)正方形單元在局部坐標(biāo)系

37、下的位移插值函數(shù)對照四節(jié)點(diǎn)的情況，八節(jié)點(diǎn)正方形單元在局部坐標(biāo)系下的位移插值函數(shù)81( , )iiidNd 利用形狀函數(shù)的性質(zhì)，八節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元的形狀函數(shù)可由下述兩個條件所利用形狀函數(shù)的性質(zhì)，八節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元的形狀函數(shù)可由下述兩個條件所唯一確定：唯一確定：( , )iN 1 是形如位移插值函數(shù)的雙二次函數(shù)。是形如位移插值函數(shù)的雙二次函數(shù)。2. 在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)i其值為其值為1，其余節(jié)點(diǎn)值為，其余節(jié)點(diǎn)值為0。 由于形狀函數(shù)是唯一的，則我們可以采用任意方法來求形狀函數(shù)。由于形狀函數(shù)是唯一的，則我們可以采用任意方法來求形狀函數(shù)。1( , )N 在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)2-8其值為零。其值為零。 10 10 10 (

38、, )(1)(1)(1)N 1( 1, 1)(1)(1)(1)1( , )(1)(1)(1)(1)(1)(1)4N 31( , )(1)(1)(1)4N 51( , )(1)(1)(1)4N 71( , )(1)(1)(1)4N 2( , ).N 它在節(jié)點(diǎn)它在節(jié)點(diǎn)1和和3-8應(yīng)為應(yīng)為0，注意到直線，注意到直線17、35、57通過這些點(diǎn)，而這三條通過這些點(diǎn)，而這三條直線的方程分別是直線的方程分別是10 10 10 2( , )(1)(1)N 2222(0, 1)(1)(1)1( , )(1)(1)(1)(1)2N 241( , )(1)(1)2N 261( , )(1)(1)2N 281( ,

39、)(1)(1)2N 第五節(jié)第五節(jié) 八節(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參數(shù)單元八節(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參數(shù)單元 任意四邊形的四節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元可以較方便地對求解區(qū)域進(jìn)行分割，任意四邊形的四節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元可以較方便地對求解區(qū)域進(jìn)行分割，但許多情況下仍嫌凈度不夠理想。一方面是因?yàn)槲灰撇逯岛瘮?shù)是雙線形函但許多情況下仍嫌凈度不夠理想。一方面是因?yàn)槲灰撇逯岛瘮?shù)是雙線形函數(shù)，次數(shù)仍較低；另一方面因?yàn)檎w坐標(biāo)系下的任意四邊形是直邊四邊形數(shù)，次數(shù)仍較低；另一方面因?yàn)檎w坐標(biāo)系下的任意四邊形是直邊四邊形，對于具有曲線邊界的求解區(qū)域的模擬仍有一定誤差。，對于具有曲線邊界的求解區(qū)域的模擬仍有一定誤差。132(1,1)( 1,1)4( 1,

40、1) (1, 1)5678 為進(jìn)步提高精度，在四節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元的基礎(chǔ)上增加節(jié)點(diǎn)數(shù)目，提高位為進(jìn)步提高精度，在四節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元的基礎(chǔ)上增加節(jié)點(diǎn)數(shù)目，提高位移插值函數(shù)的階次。使用中采用得最多的是八節(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參數(shù)單元。移插值函數(shù)的階次。使用中采用得最多的是八節(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參數(shù)單元。一、平面八節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元位移插值函數(shù)一、平面八節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元位移插值函數(shù) 局部坐標(biāo)下，八節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元仍然是局部坐標(biāo)下，八節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元仍然是邊長為邊長為2的正方形。除了原來四節(jié)點(diǎn)單元的的正方形。除了原來四節(jié)點(diǎn)單元的4個角節(jié)點(diǎn)外，又將各邊中間點(diǎn)取為節(jié)點(diǎn)。節(jié)個角節(jié)點(diǎn)外，又將各邊中間點(diǎn)取為節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)排列和單元形狀如圖點(diǎn)

41、排列和單元形狀如圖7-7所示。所示。8個節(jié)點(diǎn)的個節(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)局部坐標(biāo) ( ,)ii 222212345678d 因此這樣的位移插值函數(shù)是雙二次函數(shù)，相應(yīng)的插值稱為雙二次插值。顯因此這樣的位移插值函數(shù)是雙二次函數(shù)，相應(yīng)的插值稱為雙二次插值。顯然，它比雙線性的位移插值函數(shù)階次提高了，計(jì)算精度必然也會提高。然，它比雙線性的位移插值函數(shù)階次提高了，計(jì)算精度必然也會提高。 那么這一雙二次的位移插值函數(shù)是否在單元邊界上滿足變形協(xié)調(diào)條件呢？那么這一雙二次的位移插值函數(shù)是否在單元邊界上滿足變形協(xié)調(diào)條件呢？ 132(1,1)( 1,1)4( 1, 1) (1, 1)5678 二次函數(shù)，完全可以由該邊上三個節(jié)點(diǎn)

42、二次函數(shù)，完全可以由該邊上三個節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值所唯一確定，相鄰單元的公共邊處的函數(shù)值所唯一確定，相鄰單元的公共邊上，三個節(jié)點(diǎn)位兩相鄰單元所共有。所以插上，三個節(jié)點(diǎn)位兩相鄰單元所共有。所以插值函數(shù)在此邊上的連續(xù)性可以得到保證。值函數(shù)在此邊上的連續(xù)性可以得到保證。 在此局部坐標(biāo)系下單元變形的協(xié)調(diào)性在此局部坐標(biāo)系下單元變形的協(xié)調(diào)性條件被滿足，再加上等參數(shù)坐標(biāo)變換的相條件被滿足，再加上等參數(shù)坐標(biāo)變換的相容性，則整體坐標(biāo)下的變性協(xié)調(diào)性也將得容性，則整體坐標(biāo)下的變性協(xié)調(diào)性也將得到滿足。到滿足。二、八節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元的形狀函數(shù)二、八節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元的形狀函數(shù)三、等參數(shù)變換極其實(shí)現(xiàn)條件三、等參數(shù)變換極其實(shí)現(xiàn)條件由形

43、狀函數(shù)以及等參數(shù)變換的思想，局部坐標(biāo)到整體坐標(biāo)的坐標(biāo)變換式為由形狀函數(shù)以及等參數(shù)變換的思想，局部坐標(biāo)到整體坐標(biāo)的坐標(biāo)變換式為8181( , )( , )iiiiiixNxyNy 88118811( , )( , )( , ) ( , )( , )( , )iiiiiiiiiiiiNNxyx yJNNxy 通過坐標(biāo)變換式可以了解整體坐標(biāo)下單元的形狀。以局部通過坐標(biāo)變換式可以了解整體坐標(biāo)下單元的形狀。以局部坐標(biāo)下單元的坐標(biāo)下單元的345邊為例，過這幾個節(jié)點(diǎn)的直線方程為邊為例，過這幾個節(jié)點(diǎn)的直線方程為 1x132y4567822xabcydef132(1,1)( 1,1)4( 1, 1) (1, 1

44、)567831( , )(1)(1)(1)4N 51( , )(1)(1)(1)4N 知道這是一個拋物線方程，單元的其知道這是一個拋物線方程，單元的其他邊也是一樣的?？梢姲斯?jié)點(diǎn)等參數(shù)元在他邊也是一樣的?？梢姲斯?jié)點(diǎn)等參數(shù)元在整體坐標(biāo)系下是以拋物線為邊線的曲邊四整體坐標(biāo)系下是以拋物線為邊線的曲邊四邊形單元，如圖所示。邊形單元，如圖所示。 241( , )(1)(1)2N 為保證等參數(shù)坐標(biāo)變換順利進(jìn)行，仍需要為保證等參數(shù)坐標(biāo)變換順利進(jìn)行，仍需要 | 0J 類似四節(jié)點(diǎn)等參數(shù)元，整體坐標(biāo)下八節(jié)點(diǎn)的位置配置和單元形狀需類似四節(jié)點(diǎn)等參數(shù)元，整體坐標(biāo)下八節(jié)點(diǎn)的位置配置和單元形狀需要做一定的限制。要做一定的限制

45、。1. 不能使單元太歪斜。單元劃分時(shí)整體坐標(biāo)下曲四邊形的任意兩條對邊不能使單元太歪斜。單元劃分時(shí)整體坐標(biāo)下曲四邊形的任意兩條對邊即使通過適當(dāng)?shù)难娱L也不能在單元上出現(xiàn)交點(diǎn)。也就是不能有圖即使通過適當(dāng)?shù)难娱L也不能在單元上出現(xiàn)交點(diǎn)。也就是不能有圖7-9所示所示單元形式出現(xiàn)，否則無法計(jì)算。單元形式出現(xiàn)，否則無法計(jì)算。13245678132456782. 中間節(jié)點(diǎn)盡量位于兩節(jié)點(diǎn)的中間，若位于中間節(jié)點(diǎn)盡量位于兩節(jié)點(diǎn)的中間，若位于1/3處分點(diǎn)，則會出現(xiàn)較大的偏處分點(diǎn)，則會出現(xiàn)較大的偏差，若位于差，若位于1/4分點(diǎn)，則計(jì)算結(jié)果會完全不正確，甚至出現(xiàn)奇異性，計(jì)算無分點(diǎn)，則計(jì)算結(jié)果會完全不正確，甚至出現(xiàn)奇異性，計(jì)

46、算無法進(jìn)行。因此劃分時(shí)應(yīng)盡量作到：單元劃分盡量接近四邊形；中間節(jié)點(diǎn)盡量法進(jìn)行。因此劃分時(shí)應(yīng)盡量作到：單元劃分盡量接近四邊形；中間節(jié)點(diǎn)盡量位于每邊的位于每邊的1/2分點(diǎn)出。分點(diǎn)出。四、等參數(shù)元的特點(diǎn)四、等參數(shù)元的特點(diǎn)1. 等參數(shù)元的計(jì)算精度高，可以較好地模擬曲線邊界的求解區(qū)域，從而等參數(shù)元的計(jì)算精度高，可以較好地模擬曲線邊界的求解區(qū)域，從而使等參數(shù)單元在有限元計(jì)算中得到廣泛應(yīng)用。使等參數(shù)單元在有限元計(jì)算中得到廣泛應(yīng)用。2等參數(shù)元另一個重要優(yōu)點(diǎn)就是它所需要輸入的數(shù)據(jù)量少。等參數(shù)元另一個重要優(yōu)點(diǎn)就是它所需要輸入的數(shù)據(jù)量少。 有資料表明，對一個平面應(yīng)力分析問題，分別采用三節(jié)點(diǎn)三角形線性單有資料表明，對

47、一個平面應(yīng)力分析問題，分別采用三節(jié)點(diǎn)三角形線性單元和八節(jié)點(diǎn)等參數(shù)元求解，采用同樣多的節(jié)點(diǎn)元和八節(jié)點(diǎn)等參數(shù)元求解，采用同樣多的節(jié)點(diǎn)(200個節(jié)點(diǎn)個節(jié)點(diǎn))及完全相同的及完全相同的節(jié)點(diǎn)分布形式。三角形單元用了節(jié)點(diǎn)分布形式。三角形單元用了300個左右單元，輸入數(shù)據(jù)量多，而計(jì)算個左右單元，輸入數(shù)據(jù)量多，而計(jì)算精度在應(yīng)力集中處卻不理想。八節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元只用了精度在應(yīng)力集中處卻不理想。八節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元只用了50個單元，輸入數(shù)個單元，輸入數(shù)據(jù)大大減少，而計(jì)算精度高，應(yīng)力集中處于實(shí)際情況基本相同。因此，現(xiàn)據(jù)大大減少，而計(jì)算精度高，應(yīng)力集中處于實(shí)際情況基本相同。因此，現(xiàn)在的有限元分析大多數(shù)采用等參數(shù)單元計(jì)算。在的

48、有限元分析大多數(shù)采用等參數(shù)單元計(jì)算。 等參數(shù)單元的主要缺點(diǎn)是由于要進(jìn)行等參數(shù)變換，使程序編制變得等參數(shù)單元的主要缺點(diǎn)是由于要進(jìn)行等參數(shù)變換，使程序編制變得復(fù)雜。另外由于要進(jìn)行數(shù)值積分，使得形成剛度矩陣的計(jì)算時(shí)間加長，復(fù)雜。另外由于要進(jìn)行數(shù)值積分，使得形成剛度矩陣的計(jì)算時(shí)間加長，占用較多的計(jì)算機(jī)資源。盡管如此，在已有程序和計(jì)算機(jī)速度不斷提高占用較多的計(jì)算機(jī)資源。盡管如此，在已有程序和計(jì)算機(jī)速度不斷提高的情況下，上述缺點(diǎn)都不再成為使用中的主要障礙。的情況下，上述缺點(diǎn)都不再成為使用中的主要障礙。 如果認(rèn)為八節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元的計(jì)算精度還不夠高，還可以在單如果認(rèn)為八節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元的計(jì)算精度還不夠高，還可以在單元每邊加節(jié)點(diǎn)以提高位移插值函數(shù)的階次。例如元每邊加節(jié)點(diǎn)以提高位移插值函數(shù)的階次。例如7-10所示的十二所示的十二節(jié)點(diǎn)單元。依據(jù)試湊法可以得到它的形狀函數(shù)。實(shí)