拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性PPT學習教案

1、會計學1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性定理6.1(羅爾中值定理)上上滿滿足足：區(qū)區(qū)間間在在設設函函數(shù)數(shù),)(baxf那么在開區(qū)間(a, b)內(nèi)必定(至少)存在一點, 使( )0.f (i) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù);(ii) 在開區(qū)間 (a, b) 上可導;(iii) f(a) = f(b).第1頁/共26頁(1) 幾何意義據(jù)右圖, xyabAB1 2 O平的.一點處的切線也是水 看出, 曲線上至少有 的.由幾何直觀可以所以線段 AB 是水平因為點擊上圖動畫演示f (a) = f (b), 第2頁/共26頁(2) 條件分析Oxy定理中的三個條件都很重要，缺少一個,結(jié)論不

2、 1, 010,)( (a)xxxxf函數(shù)函數(shù)在 0, 1 上滿足條件 (ii) 和一定成立.數(shù)在 (0, 1) 上的導數(shù)恒為1.(iii), 但條件 (i) 不滿足,該函 第3頁/共26頁1, 1|,|)( (b) xxxf滿足條件 (i) 和 (iii), 但條件條件 (i) 和 (ii),但條件 (iii)1, 0,)( (c) xxxf滿足Oxy1Oyx1 1處不可導), 結(jié)論也不成立.(ii) 卻遭到破壞 ( f 在 x = 0 內(nèi)的導數(shù)恒為1. 卻遭到破壞,該函數(shù)在 (0, 1)第4頁/共26頁定理的證明因為 f (x) 在 a, b 上連續(xù),所以由連續(xù)函數(shù)的最大、 情形1 M =

3、 m.此時 f (x) 恒為常數(shù),它的導函數(shù)恒 f () = 0 . 小值 m .下面分兩種情形加以討論. 最小值定理,f (x) 在 a, b 上能取得最大值 M 和最 等于零,此時可在 (a, b) 內(nèi)隨意取一點 , 就有 第5頁/共26頁情形2 m M. 既然最大、最小值不等,從而最大.)(Mf . 0)( f因為在區(qū)間內(nèi)部取到的最大值一定是極大值,所以( , ),a b 使得大值不在端點取到,故存在 值與最小值至少有一個不在端點取到.不妨設最由費馬定理,得第6頁/共26頁12,( ),p xxx是是多多項項式式 所所以以在在上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理, 0)( p這與條件矛盾.例1

4、設 p(x) 是一個多項式, 且方程 p(x) = 0 沒有實( , )a b 的的條條件件, ,從從而而存存在在，使使得得證,)(2121xxxxxp 有兩個實根有兩個實根設設( )p x由由于于重數(shù)為 1 .根, 則方程 p(x) = 0 至多有一個實根，且這個根的第7頁/共26頁10101 ( )()( )()( ),kkp xk xxp xxxp x因因為為, 0)( 0 xp所以所以矛盾.則則次重根次重根有一個有一個又若又若 ,)(0 xkxp. 2),()()(10 kxpxxxpk第8頁/共26頁設函數(shù) f (x) 滿足：定理6.2 (拉格朗日中值定理)(i) f(x) 在閉區(qū)間

5、 a, b 上連續(xù);(ii) f(x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導.那么在開區(qū)間 內(nèi) ( 至少 ) 存在一點 , 使得),(ba .)()()(abafbff ( )( ),f af b當當時時 拉拉格格朗朗日日定定理理就就注注是是羅羅爾爾定定理理, ,第9頁/共26頁幾何意義 如右圖，( )( ).ABf bf akba ABOxyab ( )yf x 用平行推移的方法,曲線上至少在一點( ,( )f可見，羅爾定理是拉格朗日定理的一個特例.連線的斜率為 y = f (x) 的兩個端點 A, B 處的切線與 AB 平行, 其斜率 也等于( )f .ABk曲線 第10頁/共26頁定理的證明

6、設)()()()()()(afaxabafbfxfxF ( )( )()( )f bf ayxaf aABba是是直直線線的的方方程程) )可以驗證F(x) 滿足羅爾定理的三個條件, 所以,),(ba 使, 0)( F即.)()()(abafbff 第11頁/共26頁推論1設 在區(qū)間 I上的導函數(shù) , 則)(xf0)( xf)(xf是一個常值函數(shù).證對于區(qū)間 I上的任何兩點 與 , , 1x2x21xx )(xf在x1, x2上滿足拉格朗日定理的條件, 則有).,(,0)()()(211212xxxxfxfxf 這就是說, 在區(qū)間I上的任何兩個值都相等, 所)(xf以為常值函數(shù).2,fgI若若

7、函函數(shù)數(shù)和和均均在在區(qū)區(qū)間間上上推推可可導導論論且且第12頁/共26頁( )( )If xg x則則在在區(qū)區(qū)間間上上與與只只差差某某一一常常數(shù)數(shù), ,即即( )( ),fxg xxI( )( )f xg xcc ( ( 為為某某一一常常數(shù)數(shù)).).0)3 (fx設設函函數(shù)數(shù)在在點點導導推推論論數(shù)數(shù)極極限限定定理理的的某某鄰鄰域域00()lim( )xxfxfx證 分別按左右極限來證明.000()()lim( )xxU xUxfx 內(nèi)連續(xù),在內(nèi)可導,且極限內(nèi)連續(xù),在內(nèi)可導,且極限0fx存在,則在點可導,且存在,則在點可導,且第13頁/共26頁0(,),xx 定定理理條條件件, ,則則存存在在使使

8、得得00( )()( ).f xf xfxx 000,xxxxx由由于于因因此此當當時時 隨隨之之有有對上式兩邊求極限，便得00000( )()limlim( )(0).xxxxf xf xffxxx 00(1)(),( ),xUxf xxx 任任取取在在上上滿滿足足拉拉格格朗朗日日第14頁/共26頁00(2)()(0).fxfx同同理理可可得得000lim( ),(0)(0),xxfxkfxfxk因因為為所所以以000()(),().fxfxkfxk從從而而即即第15頁/共26頁例2設 f(x)在區(qū)間 I 上可微, 且, 則函數(shù)Kxf | )(|f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù).證對于任意正數(shù) ,

9、 取 , 對任意的1 K ,21Ixx ,21xx 只要 , 便有 |21xx|)(| )()(|1212xxfxfxf ,121xxKK 故 在I上一致連續(xù).)(xf第16頁/共26頁例3求證: ).(,arctanarctanbaabab 證設 顯然 在區(qū)間 上.arctan)(xxf )(xf,ba滿足拉格朗日定理的條件，故有.,)(11arctanarctan2baababab 注例3中的不等號可以成為嚴格的. 事實上, 當式成立. 當 時，ba 0ba 0和 時, 顯然不為零, 嚴格不等0 ba 第17頁/共26頁abarctan0arctan0arctanarctan abarct

10、anarctan .)(11112221abab 使得使得存在存在),0,(), 0(21ab 第18頁/共26頁改為嚴格不等號, 則相應地稱它為嚴格增 (減).下面的定理是本節(jié)中的兩個主要定理, 今后將不若函數(shù),)(21IxxIxf 上上對對任任意意在在區(qū)區(qū)間間,21xx ),()()()(2121xfxfxfxf 必有必有則稱函數(shù)則稱函數(shù)若“”.)(單調(diào)減單調(diào)減上單調(diào)增上單調(diào)增在區(qū)間在區(qū)間 I)( )(xf斷地使用.第19頁/共26頁定理6.3IxfIxf在在區(qū)區(qū)間間上上可可導導，則則在在區(qū)區(qū)間間設設)()(:( )0 ( 0).fx上上單單調(diào)調(diào)增增( (減減) )的的充充要要條條件件是是

11、證00,fx xI xx若若為為遞遞增增函函數(shù)數(shù) 則則當當時時, ,有有00( )()0.f xf xxx00,()0.xxfx令令即即得得1212( )0,.,()fxxIx xIxx反反之之, ,若若設設12,(,) ,x x 由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理第20頁/共26頁定理6.4 可微函數(shù) f (x) 在區(qū)間 I 上嚴格遞增的充,0)()()(1212 xxfxfxf 即),()(12xfxf( ).f x這這就就證證明明了了函函數(shù)數(shù)遞遞增增12121,()xxI xxf x是是嚴嚴格格遞遞增增, ,則則存存在在使使6.3( ).( )f xf x 由由定定理理可可知知遞遞增增

12、 若若充充分分性性不不證個區(qū)間.12( )(,),f xxx這這就就得得到到在在區(qū)區(qū)間間上上恒恒為為常常數(shù)數(shù) 故故2().f x滿足 的點集不含一( )0,fx ( )0fx 要條件是：第21頁/共26頁),(,0)(21xxxxf 矛盾. 充分性得證.注 請讀者寫出相應于遞減和嚴格遞減的判別定理.必要性請讀者自證.( )0( )0),Ifxfx設設函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 上上可可微微推推, ,若若論論().fI則則在在 上上嚴嚴格格遞遞增增 嚴嚴格格遞遞減減在實際應用中我們經(jīng)常會用到下面這個事實.性質(zhì)),()(),(,)(減減遞增遞增嚴格嚴格上上上連續(xù)，上連續(xù)，在在若若babaxf第22頁/共26頁( ) , ()().f xa b則則在在上上 嚴嚴格格 遞遞增增 減減作為應用，下面再舉兩個簡單的例子.例7 求證.0,1e xxx證則則設設,1e)(xxFx . 1e)( xxF所所以以( )0,0,),0,F xxx且且當當時時( )0F x( )0).F x的的點點不不含含一一個個區(qū)區(qū)間間故故( )0,)F x在在,0 ,x 上上嚴嚴格格遞遞增增 所所以以對對任任意意恒有, 0)0()( FxF第23頁/共26頁例8 設 f (x) =