勞斯判據(jù)PPT學習教案

1、會計學1勞斯判據(jù)勞斯判據(jù)q 控制系統(tǒng)設(shè)計的首要目的就是要確保被控系統(tǒng)的穩(wěn)定； q 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性：輸入是有界信號時，當t時，其輸出也是有界值；q 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的一種屬性。第1頁/共18頁一個穩(wěn)定系統(tǒng)可定義為：在有界輸入的情況下，其輸出也是有界的。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)特征根（極點）全部具有負實部。 q 解析方法 求解系統(tǒng)的特征方程q 高階系統(tǒng)求解困難q 勞斯穩(wěn)定判據(jù)第2頁/共18頁已知系統(tǒng)的特征方程式為：00111 asasasannnn(1) 系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)必須皆為正 必要條件；(2) 勞斯行列式第一列的系數(shù)全為正 充分條件；(3) 第一列的系數(shù)符號改變的次數(shù)等于

2、實部為正的根的個數(shù)。第3頁/共18頁043214321432175316424321sddddccccbbbbaaaaaaaasssssnnnnnnnnnnnnn ,13211 nnnnnaaaaab15412 nnnnnaaaaab,17613 nnnnnaaaaab,121311bbaabcnn ,121211ccbbcd 131512bbaabcnn ,141713bbaabcnn ,131312ccbbcd 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要且充分條件是：在系統(tǒng)特征方程的系數(shù)全為正的基礎(chǔ)上，勞斯行列式中第一列的系數(shù)全為正號。勞斯穩(wěn)定判據(jù)：00111 asasasannnn第4頁/共18頁利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，

3、判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 102118712)()(234 ssssssRsY解：它的特征方程式是： 01021187234 ssss特征方程式中系數(shù)皆為正，滿足穩(wěn)定性的必要條件，勞斯行列式： 勞斯行列式第一列全為正，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。實際上該系統(tǒng)的4個根為： jsss73. 015. 1,76. 2,94. 14,321 01234sssss0217101810100001010517157105第5頁/共18頁若一系統(tǒng)的特征方程為： 05432234 ssss利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 解：列寫勞斯行列式： 該系統(tǒng)的特征方程式有兩個實部為正的特征根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 系統(tǒng)的4個根為：j

4、sjs42. 19 . 2,87. 029. 14,32, 1 符號改變一次 符號改變一次 01234sssss04253105006051 第6頁/共18頁（1）第一列有零值出現(xiàn)q 用一很小的正數(shù)來代替這個零，并繼續(xù)勞斯行列式的計算；q 當?shù)玫酵暾膭谒剐辛惺胶?，?，檢驗第一列的符號變化次數(shù)；q 若符號沒有發(fā)生變化，則說明系統(tǒng)具有一對純虛根,可利用輔助方程求出；q若符號發(fā)生變化，符號變化的次數(shù)，就是系統(tǒng)具有不穩(wěn)定根的個數(shù)。第7頁/共18頁014222345sssssS5 1 2 1S4 2 4 1S3 0 0S2 1 0S1 0 0S0 0 0 021 21 114系統(tǒng)不穩(wěn)定，第一列元素兩

5、次變號，有兩個正根在右半平面。特征根（Matlab:c=1 2 2 4 1 1;roots(c) 例例5.3 第8頁/共18頁015106322345 sssss試判定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)特征方程為：解：計算勞斯行列式如下：15621031012345ssssss0首列整理為:1510/25/521012345 ssssss系統(tǒng)有二個實部為正的特征根，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 方程解為： 1.3690j 0.9073- -1.84231.5272j 0.82844,532, 1 s ss15151012302530562 05/2 符號改變一次 符號改變一次 第9頁/共18頁l 表明系統(tǒng)具有成對的實根

6、或共軛虛根，這些根 大小相等，符號相反；l 利用全零行上面的一行系數(shù)構(gòu)成輔助多項式 P（s），然后由 的系數(shù)代替零行，繼續(xù) 勞斯行列式的計算；dssdP)(l 輔助多項式為系統(tǒng)特征多項式的因子式，可以 通過求解輔助方程求出那些對根。第10頁/共18頁05025482422345 sssss試判定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)的特征方程為： 解：計算勞斯行列式0123455048225241ssssss 輔助多項式： 50482)(24 sssP00求p(s)對s 的導數(shù):ssdssdP968)(3 導數(shù)方程的系數(shù)代入s3 行。896507 .1125024 第11頁/共18頁)2)(5)(5)(1)(1

7、( sjsjsss原原方方程程5007 .1125024)96(0)8(05048225241012345 ssssssjss5, 1 可利用輔助方程求出那些大小相等，符號相反的根： 50482)(24 sssP行列式第一列系數(shù)符號變化一次，說明系統(tǒng)有一個正實部的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。0)1)(25(22 ss輔助方程是系統(tǒng)特征方程的一個因子式。第12頁/共18頁1、判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性2、分析系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響第13頁/共18頁解題思路：1、列出閉環(huán)傳遞函數(shù)2、寫出閉環(huán)特征方程式3、利用勞斯行列式判斷 控制系統(tǒng)方塊圖如圖所示，確定能保證該系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。KssssKsRsY )2)(1()

8、()(2解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：R(s)Y(s)2)(1(2 ssssK其閉環(huán)特征方程為：勞斯行列式為：02331K為使系統(tǒng)穩(wěn)定，K必須大于零，同時還必須滿足:, 0279 K914 K即即01234sssssKKK)7/9(23/7 因此，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍是。9/140 K0233234 Kssss第14頁/共18頁(2) 若要求閉環(huán)極點全部位于s = -1垂線的左側(cè)，求K的取值范圍。 已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )177()(20 sssKsG確定使閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)振蕩的K的取值，并求振蕩頻率。分析： (1) 若使系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)振蕩，則必有一對共軛虛根存在。系統(tǒng)的振蕩頻率就

9、是此根的虛部值。1 ss (2) 只要把虛部向左平移1，構(gòu)成新的s 復平面: 用勞斯判據(jù)求出所有落在s平面的根對應(yīng)的K值。-10ss第15頁/共18頁確定使閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)振蕩的K的取值，確定振蕩頻率。（1）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) )(1)()(00sGsGsG 閉閉KsssK 17723勞斯行列式： 007K11971710123KssKss ,07119 K令令由為零的上一行組成輔助方程：則K=119。07)(2 KssP可求出：。17,17,172 njss （振蕩頻率）)177()(20 sssKsG119？第16頁/共18頁代入閉環(huán)特征方程： ,1 ss令令, 0)1(17)1(7)1(23 Ksss011642