第四章直線、平面的相對位置

1、第四章 直線、平面的相對位置4.1 空間幾何元素間的位置關系4. 2 平行問題 4. 3 相交問題4. 4 垂直問題4. 5 綜合問題分析及解法4.1 空間幾何元素間的相對位置一、相交關系（一、相交關系（3種）種）1、兩直線相交；2、兩平面相交；3、線面相交。二、平行關系（二、平行關系（3種）種）1、兩直線平行；2、兩平面平行；3、線面平行。三、垂直關系（三、垂直關系（3種）種）1、兩直線垂直；2、兩平面垂直；3、線面垂直。四、交叉關系（四、交叉關系（1種）種） 兩直線交叉五、從屬關系（五、從屬關系（3種）種）1、點、線從屬關系；2、點、面從屬關系；3、線、面從屬關系。4.2 直線、平面的平行

2、關系一、直線與平面平行一、直線與平面平行 若平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則若平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線與該平面平行。該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問這是解決直線與平面平行作圖問題的依據(jù)。題的依據(jù)。幾何條件：幾何條件：D DB BC CA AP P若：若：ABABCD則：則：ABABPP運用幾何條件，可以在投影圖中解決有關線、面平行運用幾何條件，可以在投影圖中解決有關線、面平行的作圖問題有：的作圖問題有： （1 1）判別已知線面是否平行；）判別已知線面是否平行； （2 2）作直線與已知平面平行；）作直線與已知平面平行； （3 3）包含已知直線作平

3、面與另一已知直線平行。）包含已知直線作平面與另一已知直線平行。4.2 直線、平面的平行關系一、直線與平面平行一、直線與平面平行 例例11 試判斷直線試判斷直線AB是否平行于定平面是否平行于定平面解題思路解題思路?判斷兩直線是否平行答案：不平行n a c b m abcmn 例例2 2 過過M點作直線點作直線MN平行于平面平行于平面ABC。有無數(shù)解有無數(shù)解d dX X正平線正平線 例例3 3 過過M點作直線點作直線MN平行于平行于V面和面和 平面平面 ABC。唯一解唯一解c b a m abcmnn d dX X 例例44已知直線已知直線ABAB和線外一點和線外一點C C的投影，的投影，過過C

4、C點作平行于直線點作平行于直線ABAB的平面的平面Xababccddee 例例55已知直線已知直線ABAB和線外一點和線外一點C C的投影，的投影，過過C C點作平行于直線點作平行于直線ABAB的鉛垂面的鉛垂面Xababccddee4.2 直線、平面的平行關系一、平面與平面平行一、平面與平面平行幾何條件：幾何條件： 若一個平面內的相交二直線與另一個平面內的相交二直線對應平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依據(jù)。ABCA1B1C1ABAABA1 1B B1 1; ;ACAACA1 1C C1 1 ; ;則：則：P PQ Qacebb a d dfc f e khk h O OX Xm m由

5、于由于ek不不平行于平行于ac, ,故兩平面故兩平面不平行。不平行。 例例11 判斷平面判斷平面ABDCABDC與平面與平面EFHMEFHM是否平行，是否平行， 已知已知ABCDEFMHABCDEFMH 例例22試判斷兩已知平面ABC 和DEF 是否平行。 已知由平行兩直線AB 和CD 給定的平面。試過定點K 作一平面平行于已知平面。4.3 直線、平面的相交關系 直線和平面相交只有一個交點，它是直線和平面的共有點。它既屬于直線又屬于平面。 兩平面相交，交線是一直線。這條直線為兩平面的共有線。欲找出這一交線的位置，只要找出屬于它的兩點（或找出一點一方向）就可以了。因此，求作兩平面的交線，可歸納為

6、求直線與平面的交點作圖。 直線與平面相交，其交點是直線與平面的直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。共有點。1. 直線與平面相交直線與平面相交要討論的問題：要討論的問題：(1) (1) 求直線與平面的交點。求直線與平面的交點。 (2) (2) 判別兩者之間的相互遮判別兩者之間的相互遮 擋關系，即判別可見性。擋關系，即判別可見性。 我們將分別討論一般位置的直線與特我們將分別討論一般位置的直線與特殊位置平面和特殊位置直線和一般位置平殊位置平面和特殊位置直線和一般位置平面。面。鉛垂面與一般位置直線的點.swf2. 兩平面相交兩平面相交 兩平面相交其交線兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面為直線

7、，交線是兩平面的共有線，同時交線上的共有線，同時交線上的點都是兩平面的共有的點都是兩平面的共有點。點。要討論的問題：要討論的問題： 求兩平面的交線求兩平面的交線方法：方法： 確定兩平面的兩個共有點。確定兩平面的兩個共有點。 確定一個共有點及交線的方向。確定一個共有點及交線的方向。 判別兩平面之間的相互遮擋關系，即：判別兩平面之間的相互遮擋關系，即： 判別可見性。判別可見性。bbaaccmmnnk k一、一般位置直線與特殊位置平面相交一、一般位置直線與特殊位置平面相交由于由于特殊位置特殊位置平面的某個投影有積聚性平面的某個投影有積聚性，交點可直交點可直接求出。接求出。判斷直線的可見性kbbaac

8、cmmnnk 特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，以特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，以交點交點k k為分界線能直接判別直線的可見性。為分界線能直接判別直線的可見性。 例例1 1 求直線求直線MN與鉛錘面與鉛錘面ABC的交點的交點K并判別可見并判別可見性。性。abcmnc n b a m k k1 (2 )21X X空間及投影分析空間及投影分析: 平面平面ABC是一鉛垂是一鉛垂面，其水平投影積聚成面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與一條直線，該直線與mn的交點即為的交點即為K點的點的水平投影。水平投影。 求交點求交點 判別可見性判別可見性 由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平

9、面前，故正段在平面前，故正面投影上面投影上k n 為可見。為可見。 還可通過重影還可通過重影點判別可見性。點判別可見性。二、投影面垂直線與一般位置平面相交二、投影面垂直線與一般位置平面相交km(n)bn c b a ack 2 11 (2 )X X空間及投影分析空間及投影分析: 直線直線MN為鉛垂線，其為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，水平投影積聚成一個點，故交點故交點K的水平投影也積聚的水平投影也積聚在該點上。在該點上。 求交點求交點 判別可見性判別可見性 點點位于平面上，在位于平面上，在前，點前，點位于位于MN上，在上，在后，故后，故k 1 1 為不可見為不可見。m （ ）歸納：由以上作圖

10、可知，求歸納：由以上作圖可知，求一投影面的垂直線與一般位一投影面的垂直線與一般位置平面的交點，可歸結為在置平面的交點，可歸結為在面上取點。面上取點。例2 求鉛垂線求鉛垂線EFEF與一般位置平面與一般位置平面ABCABC的交點并的交點并判別其可見性。判別其可見性。作圖步驟：1、求交點kk2、判別可見性2112( )( )三、一般位置平面與特殊位置平面相交三、一般位置平面與特殊位置平面相交 求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題，由于特殊位置平面的某個投影有積聚性，交線可直接求出。 1.求交線 2.判斷平面的可見性MmnlFKNLMmnlacbPPHABCFKNLnlmmlnbaccabf

11、kfk1、求交線 利用投影的積聚性，可直接求出它與直線ML和MN兩條直線的交點，K和F，連接K、F，即為兩平面的交線。只判斷兩面投影面重合處的可見性，不重合的地方都是可見的。abcdefc f db e a m (n )例例3 3 求兩平面的交線求兩平面的交線 MN并判別可見性。并判別可見性?？臻g及投影分析：空間及投影分析： 求交線求交線 判別可見性判別可見性 從正面投影上可看出，從正面投影上可看出，在交線左側，平面在交線左側，平面ABC在在上，其水平投影可見。上，其水平投影可見。mn 平面平面ABC與與DEF都為都為 正垂面，它們的交線為一正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投條正垂線

12、，兩平面正面投影的交點即為交線的正面影的交點即為交線的正面投影，交線的水平投影垂投影，交線的水平投影垂直于直于OX軸。軸。abcdefc db e a m (n )mnf 2 2、從正面投影上可看從正面投影上可看出，在交線左側，平面出，在交線左側，平面ABC在上，其水平投影可在上，其水平投影可見。見。 1 1、從正面投影上可看出，從正面投影上可看出，在交線右側，平面在交線右側，平面DEF在在上，其水平投影可見。上，其水平投影可見。a abd( (e) )ebdh( (f) )cfchmn空間及投影分析：空間及投影分析： 平面平面DEFH是一鉛垂面，是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其它的水平投

13、影有積聚性，其與與ac、bc的交點的交點m 、n 即為即為兩個共有點的水平投影，故兩個共有點的水平投影，故mn即為交線即為交線MN的水平投影。的水平投影。 求交線求交線 判別可見性判別可見性 點點在在MC上，點上，點在在FH上，點上，點在前，點在前，點在后，在后，故故mc 可見?？梢?。作圖作圖X X211 1(2(2) )mn四、一般位置直線與一般位置平面相交 由于直線與平面均處于一般位置，其投影都沒有積聚性，所以這種情況，不能再圖上直接定出點來。通常我們是用輔助平面的方法把求一般位置的線面交點的問題轉化為特殊位置平面與一般位置平面交線的問題。具體步驟如下：1、含已知 直線作特殊位置的輔助平面

14、（鉛垂面）；2、求輔助平面與一般位置平面的交線；3、求交線與一般位置直線的交點，交點即為一般位置平面與一般位置直線的交點。EABCEFQ以正垂面為輔助平面求線面以正垂面為輔助平面求線面交點。交點。過過EF作作正垂面正垂面Q1 2 QV21kk步驟：步驟：1過過EF作正作正垂平面垂平面Q。2求求Q平面與平面與ABC的交線的交線。3求交線求交線與與EF的交的交點點K。以正垂面為輔助平面求直線以正垂面為輔助平面求直線EF與與ABC平面的交點平面的交點2PH1 步驟：步驟：1過過EF作鉛作鉛垂平面垂平面P。2求求P平面與平面與ABC的交線的交線。3求交線求交線與與EF的交的交點點K。kk2 以鉛垂面為

15、輔助平面求直線以鉛垂面為輔助平面求直線EF與與ABC平面的交點平面的交點11 (2)(4)3利利用用重重影影點點判判別別可可見見性性直線直線EF與平面與平面 ABC相交，判別可見性。相交，判別可見性。fee直線EF與平面 ABC相交，判別可見性。1243（ ）kk(3)4( )213注意：兩投影圖都必須判斷可見性。五、五、 兩一般位置平面相交兩一般位置平面相交 求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題, 因而可利用求一般位置直線和一般位置平面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線MBCAFKNL1、用直線與平面求交點的方法求兩平面的交線2、用三面共點法求兩平面的交線空間分

16、析作圖步驟判別可見性空間分析作圖步驟五、五、 兩一般位置平面相交兩一般位置平面相交MBCAFKNL用直線與平面求交點的方法求兩平面的交線判別可見性用三面共點法求兩平面的交線用三面共點法求兩平面的交線一、直線與平面垂直二、兩平面相互垂直5-4 直線與平面垂直、兩平面垂直線面垂直定理綜合練習空間幾何元素之間相對位置問題的求解方法直線與平面垂直中途返回請按“ESC”鍵 直線與平面垂直，則該直線必垂直于平面上的任何直線。 LK平面P 則： LK水平線AB LK正平線CD 線面垂直定理中途返回請按“ESC”鍵給定平面ABC，試過定點S 作平面的法線。中途返回請按“ESC”鍵SF 即為所求作特殊位置平面的

17、法線中途返回請按“ESC”鍵已知由平行兩直線AB 和CD 給定的平面，試判斷直線MN 是否垂直于該平面垂直垂直不垂直不垂直中途返回請按“ESC”鍵答：直線MN不垂直于該平面試過點N 作一平面，使該平面與V 面的夾角為60 ,與H 面的夾角為45MN長度任取中途返回請按“ESC”鍵兩平面垂直兩平面相垂直兩平面不垂直中途返回請按“ESC”鍵過定點S 作平面垂直于平面ABC.中途返回請按“ESC”鍵兩相交直線FS、SN 即為所求是否唯一解？試判斷KMN 與相交兩直線AB 和CD 所給定的平面是否相垂直。正平線水平線中途返回請按“ESC”鍵答案：不垂直在直線AB 上取一點K，使其與投影面V、H 等距離

18、。中途返回請按“ESC”鍵作一直線與已知三直線相交，且有一交點K 平分線段CD中途返回請按“ESC”鍵KL 即為所求本章小結（一）平行問題（一）平行問題 1 1熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件；熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件； 2 2熟練掌握線、面平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。熟練掌握線、面平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。（二）相交問題（二）相交問題 1 1熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性）交點的求法和作兩個面的交線（其中一平面的投影具有積聚性）。性）交點的求法和作兩個面的交線（其中一平面的投影具有積聚性）。 2 2熟練掌握一般位置線、面相交求交點的方法；掌握一般位置面、熟練掌握一般位置線、面相交求交點的方法；掌握一般位置面、面相交