第3章 地基中的應力計算

1、第第3 3章章 地基中的應力計算地基中的應力計算 3.4 基底壓力計算3.1 概述3.2 地基中的自重應力3.3 有效應力原理3.5 地基中的附加應力 3.7 剛性基礎的傾斜 3.8 幾個問題的討論3.6 平面問題條件下的附加應力 3.1 概述概述3.1.1 3.1.1 研究土中應力的目的研究土中應力的目的 建筑物地基的土體在上部荷載的作用下會發(fā)生變形，建筑物地基的土體在上部荷載的作用下會發(fā)生變形，使建筑物發(fā)生使建筑物發(fā)生沉降、傾斜沉降、傾斜和和水平位移水平位移等破壞，過大的變形等破壞，過大的變形會影響建筑物的安全和正常使用，因此有必要了解和掌握會影響建筑物的安全和正常使用，因此有必要了解和掌

2、握土體中應力土體中應力的分布規(guī)律和計算方法。的分布規(guī)律和計算方法。 自重應力：自重應力：由土體本身有效重量產生的應力，通常認由土體本身有效重量產生的應力，通常認為變形已經穩(wěn)定；為變形已經穩(wěn)定； 附加應力：附加應力：由于外荷在地基內部引起的應力，是使地由于外荷在地基內部引起的應力，是使地基失穩(wěn)和產生變形的主要原因?；Х€(wěn)和產生變形的主要原因。3.1.2 3.1.2 土中的應力狀態(tài)土中的應力狀態(tài) 一、應力一、應力應變關系的假設應變關系的假設 在計算地基中的附加應力時，把土當成線彈在計算地基中的附加應力時，把土當成線彈性體，即假定其應力與應變呈性體，即假定其應力與應變呈線性關系線性關系。 1.1.連

3、續(xù)介質假設連續(xù)介質假設 2.2.線彈性體假設線彈性體假設 3.3.均質和各向同性假設均質和各向同性假設 3.1 概述概述 二、地基中的幾種應力狀態(tài)二、地基中的幾種應力狀態(tài) 計算地基應力時，將地基看作具有水平界面、深度和計算地基應力時，將地基看作具有水平界面、深度和廣度都無限大的廣度都無限大的半空間無限體半空間無限體。1.1.三維應力狀態(tài)三維應力狀態(tài) 3.1 概述概述yyzz=xzxyyxyzzyzxxxijyzxo二維問題0000 2.2.二維應變狀態(tài)二維應變狀態(tài)（平面應變狀態(tài)）（平面應變狀態(tài)） 3.1 概述概述yyzz=xzzxxxijAByzxo 3.1 概述概述 3.3.側限應力狀態(tài)側限

4、應力狀態(tài) 它是指它是指側向應變?yōu)榱銈认驊優(yōu)榱愕囊环N應力狀態(tài)，土體只記的一種應力狀態(tài)，土體只記豎向豎向變形變形。000000=xxijyyzz由由x=y=0可得到可得到x=y，且與，且與z成正比。成正比。 三、土力學中應力符號的規(guī)定三、土力學中應力符號的規(guī)定 （1 1）應力符號的規(guī)定法與彈性力學相同，但）應力符號的規(guī)定法與彈性力學相同，但方向相反方向相反，即，即正應力：正應力：拉為正，壓為負，拉為正，壓為負，剪應力：剪應力：順時針為正，逆時針為順時針為正，逆時針為負負。 （2 2）用）用摩爾圓摩爾圓進行應力分析時，進行應力分析時，正正應力應力以壓應力為正，以壓應力為正，剪剪應力應力以逆時針為正

5、，順時針為負。以逆時針為正，順時針為負。 3.1 概述概述 ( () ) 材料力學材料力學 ( () ) 土力學土力學 3.2.1 3.2.1 豎向自重應力豎向自重應力均質土層：均質土層：設地基中某單元設地基中某單元體離地面的距離體離地面的距離h h，則，則單元體單元體上豎向自重應力為：上豎向自重應力為：式中式中 土的天然重度，土的天然重度，kN/mkN/m3 3 h h計算應力點以上土層厚度，計算應力點以上土層厚度，m m3.2 地基中的自重應力地基中的自重應力天然地面hh11hcz成層土層：成層土層：自重應力是由多層土自重應力是由多層土組成，設各層土的厚度為組成，設各層土的厚度為h h1

6、1，h h2 2.h.hn n，相應重度為，相應重度為1 1，2 2.n n，則地基中第，則地基中第n n層土底面層土底面處的豎向自重應力為：處的豎向自重應力為： 式中式中 h hi ii i 層土的厚度，層土的厚度，m m n n計算深度范圍內土層數(shù)計算深度范圍內土層數(shù)i i第第i i層土的的天然重度，層土的的天然重度，kN/mkN/m3 3 ，地，地下水位以下應取浮重度下水位以下應取浮重度i iisatisat-w w 3.2 地基中的自重應力地基中的自重應力niiiczh1123sat天然地面11h11h22h+11h22h+33h+1h2h3h計算時應注意：計算時應注意： 地下水位以上

7、用地下水位以上用天然容重；天然容重；當?shù)叵滤灰韵聻楫數(shù)叵滤灰韵聻樯巴辽巴習r，土中水為自由水，計算時用時，土中水為自由水，計算時用浮重度浮重度，對粘性土：，對粘性土：當水下為當水下為堅硬粘土時（不透水層，即液性指數(shù)堅硬粘土時（不透水層，即液性指數(shù)IL00，即即w 1時，為流動狀時，為流動狀態(tài)，考慮水浮力作用，用態(tài)，考慮水浮力作用，用。3.2 地基中的自重應力地基中的自重應力地下水位升降時的土中自重應力地下水位升降時的土中自重應力3.2 地基中的自重應力地基中的自重應力說明：說明：自重應力在均質地基中自重應力在均質地基中隨深度呈直線分布隨深度呈直線分布；自重應力在成層地基中呈自重應力在成層地基

8、中呈折線分布折線分布；在土層在土層分界面處和地下水位處發(fā)生轉折分界面處和地下水位處發(fā)生轉折；3.2 地基中的自重應力地基中的自重應力均質地基均質地基( (同一土層同一土層) ) 成層地基成層地基212)(21 3.2.2 3.2.2 水平自重應力水平自重應力 根據(jù)胡克定律根據(jù)胡克定律 土的泊松比，0.20-0.450土的側壓力(靜止土壓力)系數(shù)zzyxK01xzxzyzyzxyxyyxzzxzyyzyxxEEEEEE)1 (2)1 (2)1 (2)(1)(1)(1yxyx0側限條件側限條件3.2 地基中的自重應力地基中的自重應力例題例題1 1：按例圖所給的資料，計算并繪制地基中的自重應：按例圖

9、所給的資料，計算并繪制地基中的自重應力沿深度的分布曲線。力沿深度的分布曲線。例題4-1：按例圖所給的資料，計算并繪制地基中的自重應力沿深度的分布曲線。土中兩種應力試驗土中兩種應力試驗 3.3 有效應力原理有效應力原理甲乙鋼球砂砂水h 3. 3.3 3.1 .1 土中兩種應力試驗土中兩種應力試驗 （1 1）有效應力）有效應力 由鋼球施加的應力，通過土由鋼球施加的應力，通過土體骨架傳遞的應力為體骨架傳遞的應力為有效應力有效應力，只有這種應力才使得土體變形，只有這種應力才使得土體變形，強度改變。強度改變。 （2 2）孔隙水壓力）孔隙水壓力 由水施加的應力通過孔隙水由水施加的應力通過孔隙水來傳遞，即來

10、傳遞，即孔隙水壓力孔隙水壓力，這種應這種應力不會使土體發(fā)生壓縮變形。力不會使土體發(fā)生壓縮變形。3.3.2 3.3.2 有效應力原理有效應力原理 截面總應力的一部分由土顆粒截面總應力的一部分由土顆粒間的接觸面承擔和傳遞，即間的接觸面承擔和傳遞，即有效應有效應力力；另一部分由；另一部分由孔隙壓力孔隙壓力承擔承擔。 土體在外力作用下處于平衡，土體在外力作用下處于平衡，沿沿a-aa-a截面取脫離體，土顆粒接觸截面取脫離體，土顆粒接觸面的法向應力面的法向應力s s。s s土顆粒接觸面積之和，土顆粒接觸面積之和，u u孔隙水壓孔隙水壓力，力，A Aw w孔隙水橫截面積，孔隙水橫截面積，u a a孔隙氣壓孔

11、隙氣壓力，力，A Aa a空氣截面積空氣截面積有效應力原理示意圖有效應力原理示意圖 3.3 有效應力原理有效應力原理 根據(jù)平衡條件根據(jù)平衡條件： A= A=s ss s+ u+ uw wA Aw w+ u+ ua aA Aa a對于對于飽和土體飽和土體：A Aa a則則A=A=s ss s+ u+ uw wA Aw w式中，式中，作用于截面上的總作用于截面上的總應力。應力。變換得：變換得：=s ss sA A + + u uw w(A(A A As s) )A A 或或 =s ss sA A + + u uw w( (A As s) )又已知又已知s ss sA A為為，A As s很小，可忽

12、略。很小，可忽略。= + u有效應力原理有效應力原理 3.3 有效應力原理有效應力原理有效應力原理示意圖有效應力原理示意圖3.3.3 3.3.3 有效應力原理應用舉例有效應力原理應用舉例1.1.靜水條件下靜水條件下C C點水平面上：豎向點水平面上：豎向總應力總應力：=h=h1 1+sat sat h h2 2 孔隙水壓力孔隙水壓力： u =u =w w h h2 2 有效應力有效應力：u uhh1 1+h+h2 2sath1h2h1h1h2+sath2wh1h1h2+ uABC靜水條件下各應力的分布靜水條件下各應力的分布 3.3 有效應力原理有效應力原理2.2.毛細水上升時土中有效自重應力的變

13、化毛細水上升時土中有效自重應力的變化 毛細水上升區(qū)由于毛細水上升區(qū)由于表面張力表面張力的作用使的作用使孔隙水壓力為孔隙水壓力為負值負值，u=u=w wh hc c，使，使有效應力增加有效應力增加。 在在地下水位以下地下水位以下，由于水對土粒的浮力作用，使，由于水對土粒的浮力作用，使有有效應力減小效應力減小。毛細水上升時土中總應力、孔隙水壓力及有效應力計算毛細水上升時土中總應力、孔隙水壓力及有效應力計算 3.3 有效應力原理有效應力原理 3.3.穩(wěn)定性滲流條件下穩(wěn)定性滲流條件下 土中水滲流時土中水滲流時總應力總應力、孔隙水壓力孔隙水壓力及及有效應力計算有效應力計算： ( (a) a) 靜水時靜水

14、時 ( (b) b) 水自上向下滲流水自上向下滲流 ( (c) c) 水自下向上滲流水自下向上滲流 ( (a) a) 靜水時靜水時( (b) b) 水自上向下滲流水自上向下滲流( (c) c) 水自下向上滲流水自下向上滲流21hhubbbhhhwb21hhhwb21 3.3 有效應力原理有效應力原理 3.4 基底壓力計算基底壓力計算3.4.1 3.4.1 基底接觸應力的實際分布基底接觸應力的實際分布 基底接觸應力的實際分布取決于基底接觸應力的實際分布取決于地基土的性質地基土的性質，地地基與基礎的相對剛度，荷載大小、性質及其分布基與基礎的相對剛度，荷載大小、性質及其分布情況，情況，基礎埋深、面積

15、、形狀基礎埋深、面積、形狀等。等。 （1 1）剛性很小的基礎和）剛性很小的基礎和柔性基礎柔性基礎 剛度很小，基礎剛度很小，基礎與地基共同變形，接觸應力同上部荷載分布。與地基共同變形，接觸應力同上部荷載分布。 中心荷載作用下柔性基礎中心荷載作用下柔性基礎底面處接觸應力分布圖底面處接觸應力分布圖 3.4 基底壓力計算基底壓力計算 （2 2）剛性基礎）剛性基礎 剛度大，基礎與地基變形必須相互剛度大，基礎與地基變形必須相互協(xié)調，出現(xiàn)應力重分布現(xiàn)象。協(xié)調，出現(xiàn)應力重分布現(xiàn)象。中心荷載作用下剛性基礎中心荷載作用下剛性基礎底面處接觸應力分布圖底面處接觸應力分布圖(a) (a) 馬鞍形馬鞍形 (b) (b)

16、拋物線形拋物線形 (b) (b) 鐘形鐘形3.4.2 3.4.2 基底接觸應力簡化計算基底接觸應力簡化計算1.1.豎向中心荷載豎向中心荷載作用下的基底壓力作用下的基底壓力基底壓力基底壓力均勻分布均勻分布，按下式計算：，按下式計算： p p = (F+G) / A= (F+G) / (l= (F+G) / A= (F+G) / (lb) b) 中心荷載矩形、條形基底壓力計算中心荷載矩形、條形基底壓力計算 3.4 基底壓力計算基底壓力計算 2.2.單向偏心荷載單向偏心荷載作用下的基底壓力作用下的基底壓力 此時基底壓力按此時基底壓力按材料力學材料力學偏心受壓偏心受壓簡化公式計算：簡化公式計算： e

17、e l/6l/6時時大偏心大偏心受壓，基底壓力進受壓，基底壓力進行行重分布，此時可得到：重分布，此時可得到：偏心荷載下接觸壓力的計算)6(1 maxminleAGFWMAGFpelabaGFp2 ,3)( 2max 3.4 基底壓力計算基底壓力計算3.3.雙向偏心荷載雙向偏心荷載作用下的基底壓力作用下的基底壓力 同樣按同樣按材料力學材料力學偏心受壓公式計偏心受壓公式計算基底壓力：算基底壓力： M Mx x=(F+G)e=(F+G)ey y ，M My y=(F+G)e=(F+G)ex x I Ix x， I Iy y 為對為對x x軸軸的慣性矩，軸軸的慣性矩，m m4 4 。雙向偏心荷載作用下

18、的基底壓力yyxxIxMIyMAGFpmaxmin 3.4 基底壓力計算基底壓力計算4.4.水平荷載水平荷載作用下的基底壓力作用下的基底壓力 承受水壓力和土壓力的建筑承受水壓力和土壓力的建筑物，基礎常會受到物，基礎常會受到傾斜荷載傾斜荷載作用。作用。此時計算基底受力將斜向荷載分此時計算基底受力將斜向荷載分解為解為水平荷載水平荷載F Fh h和和豎向荷載豎向荷載F Fv v，并假定由并假定由F Fh h引起的基底水平應力引起的基底水平應力p ph h均勻分布于整個基底，則：均勻分布于整個基底，則： 矩形基礎矩形基礎 p ph h F Fh hA A F Fh hlblb 條形基礎條形基礎，取，取

19、l=1.0ml=1.0m，則，則 p ph h F Fh hA A F Fh hb b 傾斜荷載作用下的基底壓力 3.4 基底壓力計算基底壓力計算(a) 基礎無埋深 (b)基礎有埋深基底附加應力分布圖 3.4.3 3.4.3 基礎底面附加壓力基礎底面附加壓力基礎在地面上，基礎在地面上，無埋深無埋深 基底平均附加壓力：基底平均附加壓力： p p0 0=p=p基礎在地面下基礎在地面下埋深埋深d d處處 基底平均附加壓力：基底平均附加壓力： 為基礎底面以上土的為基礎底面以上土的加權加權平均重度平均重度。 從上式可知，增大埋深可減從上式可知，增大埋深可減少附加應力。少附加應力。dpppc000 3.4

20、 基底壓力計算基底壓力計算解：基礎底面作用的彎矩解：基礎底面作用的彎矩 傳到基底的力為傳到基底的力為F F，偏心距為，偏心距為e e。13600 20 12 3.5 4440(kN)GFFAd22000.495(m)44406MleF判斷為大偏心判斷為大偏心 設設a為偏心荷載作用點至最大為偏心荷載作用點至最大壓應力壓應力pmax 作用邊緣的距離：作用邊緣的距離：1.167(m)2lae max22 4440845.5(kPa)33 3 1.167Fpba 基底基底附加壓力附加壓力0maxmax0845.5 16 3.5789.5(kPa)ppd基底水平方向附加壓力基底水平方向附加壓力26005

21、0(kPa)12HFpA3a=3.5m0.5m基底接觸應力基底接觸應力845.5kPa3.27m0.73m789.5kPa基底附加壓力基底附加壓力50kPa50kPa3.5 地基中的附加應力地基中的附加應力1 1、基本概念、基本概念 建筑物荷載在地基中產生的應力稱為土中的建筑物荷載在地基中產生的應力稱為土中的附加應力附加應力。2 2、基本假定基本假定： 地基是半無限彈性體；地基是半無限彈性體； 地基土是均勻、連續(xù)、各向同性的。地基土是均勻、連續(xù)、各向同性的。3 3、地基中、地基中附加應力擴散作用附加應力擴散作用 在地面下某一深度的在地面下某一深度的水平面水平面上各點的附加應力在基上各點的附加應

22、力在基礎底面礎底面中心線上中心線上應力應力最大最大，向兩側逐漸減??；，向兩側逐漸減??； 距地面越深，附加應力分布越廣，但在同一距地面越深，附加應力分布越廣，但在同一垂直線垂直線上的應力隨深度上的應力隨深度越深越深，附加應力，附加應力越小越小。集中荷載作用下地基中的應力 3.5.1 3.5.1 布西內斯克解答布西內斯克解答 基于彈性理論，在半空基于彈性理論，在半空間彈性無限體表面作用有間彈性無限體表面作用有集集中力中力時，在彈性體內任意點時，在彈性體內任意點M M所引起的所引起的豎向應力豎向應力： 該應力是使地基土壓縮該應力是使地基土壓縮變形產生沉降。變形產生沉降。 3253cos2323RFR

23、zFz3.5 地基中的附加應力地基中的附加應力 利用利用 R R2 2=r=r2 2+z+z2 2 關系，改寫上式為：關系，改寫上式為： 為應力系數(shù)，是為應力系數(shù)，是r/zr/z的函數(shù)可查表獲得。的函數(shù)可查表獲得。22/5221123zFzrzFz2/521123zr3.5 地基中的附加應力地基中的附加應力地基中豎向應力地基中豎向應力z z分布規(guī)律：分布規(guī)律： 在集中力作用線上，在集中力作用線上，z z值隨深度增加而遞減。值隨深度增加而遞減。 在離集中力作用線某一距離時，在地表處在離集中力作用線某一距離時，在地表處z z從零從零開始隨深度增加而增大，但到一定深度后又減少。開始隨深度增加而增大，

24、但到一定深度后又減少。 當當z z一定時，即一定時，即在同一水平面上，隨著與集中力在同一水平面上，隨著與集中力作用線距離的增大作用線距離的增大z z值減小。值減小。3.5 地基中的附加應力地基中的附加應力 3.5.2 3.5.2 矩形基底受豎向均布荷載作用時的豎向附加應力矩形基底受豎向均布荷載作用時的豎向附加應力 1. 1.矩形基底受豎向均布荷載時矩形基底受豎向均布荷載時角點角點下的豎向附加應力下的豎向附加應力 取荷載微單元取荷載微單元 dp=pdp=p0 0dxdydxdy 運用集中力公式運用集中力公式 在基礎面積范圍內在基礎面積范圍內積分積分： c c(l/b, z/b)(l/b, z/b

25、)矩形豎直向均布荷載矩形豎直向均布荷載角點下角點下的的附加應力附加應力系數(shù)系數(shù), ,可可查表查表獲得。獲得。dp0002/52223023pzyxdxdyzpclbz 222530532323yxrRzdxdypRzdpdz3.5 地基中的附加應力地基中的附加應力2.2.矩形基底均布荷載下矩形基底均布荷載下任意點任意點的豎向附加應力的豎向附加應力角點法角點法：把非角點化為：把非角點化為幾個矩形的角點下再疊加幾個矩形的角點下再疊加 (a) (a) 邊點邊點MM z z= (= (cc+ + cc) p) p0 0 (b) (b) 內點內點MM z z= (= (cc+c c +c c +cc)

26、p) p0 0 (c) (c) 外點外點MM z z= (= (cc+c c - - c c - - cc) p) p0 0 (d) (d) 斜向外點斜向外點MMz z= (= (cc - - c c - - c c + + cc) p) p0 0角點法計算角點法計算M點的豎向附加應力點的豎向附加應力bechMfbecagdMbecadhMfgbecagdhMfhf(a)(b)(c)(d)3.5 地基中的附加應力地基中的附加應力角點法的運用：角點法的運用：計算地基中任意計算地基中任意M M點的附加應力時：點的附加應力時：劃分的每個矩形都要有一個劃分的每個矩形都要有一個角點是角點是M M點點；所

27、有劃分的矩形面積總和應等于所有劃分的矩形面積總和應等于原受荷面積原受荷面積；劃分后的每個矩形面積，劃分后的每個矩形面積，短邊短邊都用都用b b表示，表示，長邊長邊用用l l表示。表示。3.5 地基中的附加應力地基中的附加應力例例題題4 圖示有三個不同的基礎底面形式，均布荷載均為圖示有三個不同的基礎底面形式，均布荷載均為p p0 0=40k=40kP Pa a，試求各種情況下，試求各種情況下，A A點處地下點處地下6m6m的豎向附加應的豎向附加應力值。力值。A6m6m4m10m2m4m 解：解： 運用運用角點法角點法，劃分四部分，分別計算，劃分四部分，分別計算I I、IIII、IIIIII、IV

28、IV四四個矩形的個矩形的l l/b/b、z z/b/b，通過查表得附加應力系數(shù)，通過查表得附加應力系數(shù)c c： l l/b/b=6/2=3=6/2=3， z z/b/b =6/2=3 =6/2=3，cIcI=0.0870=0.0870 l l/b/b=4/2=2=4/2=2， z z/b/b =6/2=3 =6/2=3，cIIcII=0.0732=0.0732 l l/b/b=6/4=1.5=6/4=1.5，z z/b/b =6/4=1.5 =6/4=1.5，cIIIcIII=0.1451=0.1451 l l/b/b= =4 4/4=1./4=1.0 0，z z/b/b =6/4=1.5 =

29、6/4=1.5，cIVcIV=0.1216 =0.1216 注意注意：這里：這里l l是矩形的是矩形的長邊長邊；b b是是短邊短邊。 于是：于是：z z= p= p0 0 ( (cIcI+cIIcII+cIIIcIII+cIVcIV) = 17.076 kPa) = 17.076 kPa 令令ACIGACIG 、ACFDACFD、ABHGABHG、ABEDABED四個矩形分別為四個矩形分別為矩形矩形I I、IIII、IIIIII、IVIV。 計算各矩形計算各矩形l l/b/b、z z/b/b，通過查表得：，通過查表得： cIcI=0.1999 =0.1999 cIIcII=0.0870=0.0

30、870 cIIIcIII=0.0973 =0.0973 cIVcIV=0.0447=0.0447z z = p= p0 0( (cIcI-cIIcII-cIIIcIII+cIVcIV)= 2.412 )= 2.412 kPakPa 令令ABCDABCD、ADHGADHG、AFIHAFIH、AFKEAFKE四個矩形分四個矩形分 別為矩形別為矩形I I、IIII、IIIIII、IVIV。 計算各矩形計算各矩形l l/b/b、z z/b/b，通過查表得：，通過查表得： cIcI=0.0840 =0.0840 cIIcII=0.1202=0.1202 cIIIcIII=0.1752 =0.1752 c

31、IVcIV=0.0870=0.0870 z z= p= p0 0 (cIcI+cIIcII+cIIIcIII-cIVcIV) =11.696 kPa) =11.696 kPaADGBEHIFC2m4m2m10mCDGBAHIF3m6m3m4m2mKEADGBEHIFC2m4m2m10mCDGBAHIF3m6m3m4m2mKE3.3.矩形基底受矩形基底受豎向三角形荷載豎向三角形荷載時時角點角點下的豎向附加應力下的豎向附加應力對于對于梯形荷載梯形荷載也可以化為也可以化為三角形荷載與矩形均布荷載的疊加三角形荷載與矩形均布荷載的疊加取取微單元荷載微單元荷載 dp=p(x)dxdy=(x/b)pdp=p

32、(x)dxdy=(x/b)p0 0dxdydxdy 運用運用集中力集中力的公式的公式 在矩形基礎面積范圍內積分在矩形基礎面積范圍內積分tctc(l/b, z/b) (l/b, z/b) 附加應力系數(shù)。附加應力系數(shù)。注：注：以上計算是三角形荷載為以上計算是三角形荷載為0 0的角點下的角點下M M點，對于其它點可通過應力疊加原理計算。點，對于其它點可通過應力疊加原理計算。p(x)0002/522232)(3pzyxzdxdyxptclbz 2/52223053)(2)/(323zyxzdxdypbxRzdpdz3.5 地基中的附加應力地基中的附加應力【例【例5 5】 如圖所示，有一矩形面積基礎長如

33、圖所示，有一矩形面積基礎長l=5ml=5m，寬，寬b=3mb=3m，三角形，三角形分布荷載作用在地基表面，荷載最大值分布荷載作用在地基表面，荷載最大值為為150kPa150kPa。試計算矩形截。試計算矩形截面內面內O O點下深度點下深度z=3mz=3m處的豎向附加應力。處的豎向附加應力?！窘狻俊窘狻?求解時需要通過兩次疊加來計算。第一次是荷載作用求解時需要通過兩次疊加來計算。第一次是荷載作用面積的疊加，可利用前面的角點法進行計算；第二次是荷載分面積的疊加，可利用前面的角點法進行計算；第二次是荷載分布圖形的疊加。布圖形的疊加。 （1 1）荷載作用面積的疊加。）荷載作用面積的疊加。 如圖（如圖（a

34、 a）、（）、（b b）所示，由于）所示，由于O O點位于矩形面積點位于矩形面積abcdabcd內。通內。通過過O O點將矩形面積劃分為點將矩形面積劃分為4 4塊，假定其上作用塊，假定其上作用均布荷載均布荷載P1P1，即圖，即圖（c c）中的荷載）中的荷載DABEDABE。而。而P1=50kPaP1=50kPa。作用下點處產生的豎向應。作用下點處產生的豎向應力可用前面介紹的角點法進行計算，即力可用前面介紹的角點法進行計算，即11,1,1,1,11234()zz aeOhz ebfOz Ofcgz hOgdccccp11i500.0450.0930.1560.073zcp50 0.36718.3

35、5kPakPa（2 2）荷載分布圖形的疊加。）荷載分布圖形的疊加。 由角點法求得的應力是由均布荷載由角點法求得的應力是由均布荷載p1p1引起的，但實際作用的荷載是三角引起的，但實際作用的荷載是三角形分布。為此，可以將圖（形分布。為此，可以將圖（c c）所示的三角形分布荷載）所示的三角形分布荷載ABCABC分割成分割成3 3塊，即均布塊，即均布荷載荷載DABEDABE、三角形荷載、三角形荷載AFDAFD和和CFECFE。三角形荷載。三角形荷載ABCABC等于均布荷載等于均布荷載DABEDABE減去三角減去三角形荷載形荷載AFDAFD，再加上三角形荷載，再加上三角形荷載CFECFE。這樣，將此。這

36、樣，將此3 3塊分布荷載產生的附加應力塊分布荷載產生的附加應力進行疊加即可。進行疊加即可。 三角形分布荷載三角形分布荷載AFDAFD，其最大值為，其最大值為p1p1，作用在矩形面積，作用在矩形面積aeOhaeOh及及ebfOebfO上，并上，并且且O O點在荷載為點在荷載為0 0處。因此，它在處。因此，它在M M點引起的豎向應力是點引起的豎向應力是2 2塊矩形面積上三角形塊矩形面積上三角形分布荷載引起的附加應力之和，即：分布荷載引起的附加應力之和，即：1122,2,112()ttzzaeOhzebfOccp2500.0210.0453.3zkPakPa（） 三角形分布荷載三角形分布荷載CEFC

37、EF的最大值為的最大值為p-p1p-p1，作用在矩形面積，作用在矩形面積OfcgOfcg及及hOgdhOgd上，同上，同樣樣O O點也在荷載為點也在荷載為0 0處。因此，它在處。因此，它在M M點處產生的豎向應力是這兩塊矩形面積上點處產生的豎向應力是這兩塊矩形面積上三角形分布荷載引起的附加應力之和，即：三角形分布荷載引起的附加應力之和，即：1133,3,134()()ttzzOfcgzhOgdccpp 將上述計算結果進行疊加，即可求得三角形分布荷載將上述計算結果進行疊加，即可求得三角形分布荷載ABCABC在在M M點產生的豎向點產生的豎向應力應力 ，即：，即：kpa10)032. 0069. 0()50150(kpazz