上電路1wu03g正弦2011年

1、學習目標與要求學習目標與要求： (1)了解正弦穩(wěn)態(tài)響應概念，了解正弦穩(wěn)態(tài)響應概念，正弦量的三要素正弦量的三要素 及及相位差特點；相位差特點； (2)熟練掌握正弦量的相量表示方法，元件伏安方程和基熟練掌握正弦量的相量表示方法，元件伏安方程和基 爾霍夫定律的的相量形式；爾霍夫定律的的相量形式； (3)熟練掌握復阻抗、復導納的計算；熟練掌握復阻抗、復導納的計算； (4)熟練掌握用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的方法；熟練掌握用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的方法； (5)掌握正弦交流電路中的功率分析。掌握正弦交流電路中的功率分析。第三章第三章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析正弦穩(wěn)態(tài)電路分析.正弦穩(wěn)態(tài)電路分析正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 我們

2、熟悉和常用的家用電器都是交流電供電，如我們熟悉和常用的家用電器都是交流電供電，如電視、電腦、照明燈、冰箱、空調等家用電器。電視、電腦、照明燈、冰箱、空調等家用電器。 上頁 下頁目錄返回 正弦穩(wěn)態(tài)電路和正弦穩(wěn)態(tài)響應的概念 分析一個正弦激勵電路.3.1 3.1 正弦穩(wěn)態(tài)響應正弦穩(wěn)態(tài)響應Smsin( ),SSuUt設開關在計時起點 t = 0時閉合，研究開關閉合后電容電壓uC (t) 的解。 設各元件的電壓與電流為關聯(lián)參考方向， i LLCSdRiLuudtCLduCidti LLdLudtsin()t2CCCSmS2dud uRCLCuUdtdt 2CCCS2dud uRCLCuudtdt可列出方

3、程為電壓源應用電路元件特性和基爾霍夫定律, 式（3-4）所示微分方程的解在高等數(shù)學課程中討論過，可直接使用其結論，方程的通解為sin()t2CCCSmS2dud uRCLCuUdtdt研究方程的解（3-4）12m12( )sin( )ees ts tCCututKK h( ) Cutp( )Cut非齊次微分方程的一個特解，應是與激勵uS 同頻率的正弦函數(shù).齊次微分方程的通解. 當一個穩(wěn)定電路的響應不隨時間改變或隨時間周期性改變時，稱電路達到了穩(wěn)定狀態(tài)，這時電路的響應稱為穩(wěn)態(tài)響應。 正弦穩(wěn)態(tài)響應若s1、s2都具有負實部，則稱電路是穩(wěn)定的.uCh (t) 經(jīng)過足夠長的時間后衰減到零.由上面的分析可

4、知，正弦激勵下電路的響應經(jīng)過足夠長的時間后是與激勵同頻率的正弦函數(shù)，是式（3- 4）微分方程的非齊次特解，稱為電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應.pm( )( ) sin( ) CCCutututmsin( )CuUtSmsin( )SSuUtmsin( )iIt一個線性時不變電路在正弦激勵作用下，若其響應是與激勵同頻率的正弦函數(shù)，則稱此電路處于正弦穩(wěn)態(tài)，稱此時電路為正弦穩(wěn)態(tài)電路，電路中的響應稱為正弦穩(wěn)態(tài)響應。正弦穩(wěn)態(tài)電路和正弦穩(wěn)態(tài)響應還分別稱為正弦交流電路和正弦交流響應。正弦穩(wěn)態(tài)響應正弦穩(wěn)態(tài)電路正弦穩(wěn)態(tài)響應正弦激勵本章主要研究正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法。msin( )CuUtSmsin( )SSuUtmsin(

5、 )iItSmmLmCmsin()=sin()+sin()+sin()SiLCUtRItUtUt 正弦量的加減運算能否采用復數(shù)計算的方法?如前面所述，正弦穩(wěn)態(tài)電路中的響應都是正弦函數(shù)，可通過正弦函數(shù)運算進行穩(wěn)態(tài)分析.由于正弦函數(shù)運算的復雜性(需要對正弦量求導數(shù),積分,加減乘除,方程組聯(lián)立求解等)，通常采用一種數(shù)學變換的方法進行正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析與計算，稱為相量法。上頁 下頁目錄返回.2.1上頁 下頁目錄返回正弦量：正弦量：.2.t ii上頁 下頁目錄返回3.2.1.1 正弦量的三要素正弦量的三要素 tIi sinmit O 2 I Im m T上頁 下頁目錄返回Tf1fT22t O上頁 下頁目

6、錄返回3.2.1.2 正弦量的相位差正弦量的相位差it )sin(mtIiOt表示正弦量在表示正弦量在 t t =0=0時的相角。時的相角。 0)(tt上頁 下頁目錄返回兩同頻率的正弦量之間的初相位之差。兩同頻率的正弦量之間的初相位之差。)sin(1mtUu如如：)sin(2mtIi)()(21 tt21 若若021電壓超前電壓超前電流電流 uiu i tO上頁 下頁目錄返回0180 021uitui O 9021 90uitui90O021uituiO18021tuiuiO上頁 下頁目錄返回 兩同頻率的正弦量之間的相位差為常數(shù)，兩同頻率的正弦量之間的相位差為常數(shù)， 與計時起點的選擇無關。與計

7、時起點的選擇無關。 ti2i1iO 不同頻率的正弦量比較不同頻率的正弦量比較相位差相位差無意義。無意義。上頁 下頁目錄返回3.2.1.3 正弦量的有效值正弦量的有效值有效值：有效值：如果一個周期電流如果一個周期電流 i 通過電阻通過電阻 R , , 在一個周在一個周期期 T 內消耗的熱能等于直流電流內消耗的熱能等于直流電流 I 在同樣時間內通在同樣時間內通過該電阻過該電阻 R 消耗的能量消耗的能量 , , 則定義則定義I 為為 i 的有效值。的有效值。dtRiT20RTI2則有效值為則有效值為 TtiTI02d10 22msindT1IIt tT2mI 上頁 下頁目錄返回正弦量的有正弦量的有效

8、值為效值為同理：同理：mm707.02UUU mm707.02EEE 上頁 下頁目錄返回波形圖波形圖ut O瞬時值表達式瞬時值表達式2 sin()uUt +考慮復數(shù)形式考慮復數(shù)形式UU 上頁 下頁目錄返回一個電路中的各響應是同頻率的正弦量一個電路中的各響應是同頻率的正弦量, 只有只有2個要素個要素.研究相量表示研究相量表示, 先復習復數(shù)先復習復數(shù). 3.2.2.1 復數(shù)復數(shù) 復數(shù)表示形式復數(shù)表示形式設設A A為復數(shù)為復數(shù): :A =a + jbo+1+jAab式中式中:racosrbsinabarctan22bar復數(shù)的模復數(shù)的模復數(shù)的輻角復數(shù)的輻角r上頁 下頁目錄返回由歐拉公式由歐拉公式:

9、:2jeesinjj ,2eecosjj sinjcosej 可得可得: rAje rA rrrjrbaA jesincosj )sinj(cossinjcosrr rA上頁 下頁目錄返回 復數(shù)運算復數(shù)運算(1)(1)加減運算加減運算用代數(shù)型或三角型表示形式用代數(shù)型或三角型表示形式若若 A1= a1+ j b1， A2= a2+ jb2則則 A1A2=(a1a2)+j (b1b2)加減法也可用圖解法。加減法也可用圖解法。A1A2+1+jOA1+A2A1-A2-A2上頁 下頁目錄返回(2) (2) 乘除運算乘除運算用極坐標型或指數(shù)型形式用極坐標型或指數(shù)型形式若若 A1=|A1| 1 ，A2 =

10、|A2| 2121212jjAAA eAe乘法：模相乘，角相加。乘法：模相乘，角相加。111222| | FFFF上頁 下頁目錄返回除法：模相除，角相減。除法：模相除，角相減。12()21212jA A eAA112jj()11j 222| e|e| eFFFF1122| |FF例例?2510475 )226. 4063. 9()657. 341. 3(2510475jj 569. 047.12j 61. 248.12 解解:?5 j20j6)(4 j9)(17 35 220 例例 解：上式解：上式2 .126j2 .180 04.1462.203 .56211. 79 .2724.19 16

11、.70728. 62 .126j2 .180 329. 6j238. 22 .126j2 .180 365 .2255 .132j5 .182 上頁 下頁目錄返回(1)正弦量與復指數(shù)函數(shù)正弦量與復指數(shù)函數(shù)3.2.2.2 3.2.2.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示一個復指數(shù)函數(shù)一個復指數(shù)函數(shù)j()( )2 etA tI 若對若對A(t) 取虛部：取虛部：復指數(shù)函數(shù)的虛部復指數(shù)函數(shù)的虛部是一個正弦量是一個正弦量.) sin(2)(ImttA 對于任意一個正弦時間函數(shù)都可以找到唯一的與其對應對于任意一個正弦時間函數(shù)都可以找到唯一的與其對應的復指數(shù)函數(shù)：的復指數(shù)函數(shù)：A(t)還可以寫成還可以寫成

12、)(2)( )sin(2 tjIetAtIi復常數(shù)復常數(shù)tItA jee2)(j Imaginary(取虛部)2 cos( )j 2 sin( )ItIt IIeIj2 sin() iIt稱稱 為正弦量為正弦量 i(t) 的相量的相量(表示表示)。 II 相量包含了正弦量的二個要素相量包含了正弦量的二個要素 I I m , 同樣可以建立正弦電壓與相量的對應關系：同樣可以建立正弦電壓與相量的對應關系： ) sin(2)(UUtUtu (2) 相量相量(Phasor)jj2 sin() ( )2 eetiItA tI 對于任意一個正弦時間函數(shù)都可以找到唯一的與其對應的復數(shù)對于任意一個正弦時間函數(shù)都

13、可以找到唯一的與其對應的復數(shù).相量相量: : 表示正弦量的復數(shù)稱相量表示正弦量的復數(shù)稱相量)(sinmtUu設正弦量設正弦量: : UUeU j上頁 下頁目錄返回 UeUUmjmm 或或： 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。)(sinmtIiIeImjm ？= 只有正弦量才能用相量表示，只有正弦量才能用相量表示， 非正弦量不能用相量表示。非正弦量不能用相量表示。上頁 下頁目錄返回 相量的兩種表示形式相量的兩種表示形式)jsincos(ejUUUU 相量式相量式: 相量圖相量圖: : 把相量表示在復平面的圖形把相量表示在復平面的圖形V202201 UV4511

14、02 U+1+j1U 202U 451U2U超前超前落后落后？2U1U 落后于落后于上頁 下頁目錄返回(3) 用相量代替同頻率正弦量的加減運算1112sin()iIt 2222sin()iIt 12iii112sin()It 222sin()It 1212Im 2Im 2jjj tj tI eeI ee 12Im2Im2jtjtI eI e 12Im 2()j tIIe Im 2j tI e 2 sin()It 計算j()( )2 etA tI2 cos( )j 2 sin( )ItIt已知電流把三角函數(shù)的相加轉化為復數(shù)相加，簡化了計算. Im 2jj tIe e 以后進行同頻率正弦量相加減的

15、計算時，不必進行上以后進行同頻率正弦量相加減的計算時，不必進行上述推導，可將正弦量直接寫成相量，然后進行相量的述推導，可將正弦量直接寫成相量，然后進行相量的計算，最后將相量形式的計算結果反變換成正弦量計算，最后將相量形式的計算結果反變換成正弦量。tisin282)30sin(241ti AI08214 30IA 設 二個正弦量的相量形式分別為124 308 0III 2 11.63sin(10 )itA 根據(jù)求得的電流相量，寫出正弦量 i，即 12iii4cos304sin308cos08sin0jj3144802 38222jjj計算解:3.468211.46211.63 10jjA設正弦量

16、設正弦量: :)(sinmtUu mUut OxyO若若: :有向線段長度有向線段長度 = mU有向線段與橫軸夾角有向線段與橫軸夾角 = = 初相位初相位 有向線段以速度有向線段以速度 按逆時針方向旋轉按逆時針方向旋轉u01t1u上頁 下頁目錄返回 旋轉有向線段每一瞬時在縱軸上的投影即表旋轉有向線段每一瞬時在縱軸上的投影即表示相應時刻正弦量的瞬時值。示相應時刻正弦量的瞬時值。演示演示上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回 sin()t2CCCSmS2dud uRCLCuUdtdtSmsin( )SSuUtmsin( )CuUtSmsin( )SSuUtmsin( )iIt正弦穩(wěn)態(tài)電路正弦穩(wěn)態(tài)響應

17、Smmsin()=sin()SiUtRIt SRLCUUUU能否直接列出相能否直接列出相量形式的方程量形式的方程?正弦動態(tài)電路LmCm+sin()+sin()LCUtUt正弦量寫成相量正弦量寫成相量列出正弦形式的方程列出正弦形式的方程上頁 下頁目錄返回相量形式：相量形式：iRuIIURI 相量模型相量模型)sin(2)( itIti 已已知知)sin(2)()( iRtRItRitu 則則uR(t)i(t)R+- -有效值關系：有效值關系：UR=RI相位關系相位關系 u= i (u,i同相同相)R+- -RU IUR u相量伏安關系：相量伏安關系：IRUR UR=RI u= i上頁 下頁目錄返

18、回時域伏安關系：時域伏安關系：時域模型時域模型( )( )RutRi t瞬時功率瞬時功率：iupRR 波形圖及相量圖：波形圖及相量圖： i tOuRpRRUI u= iURI瞬時功率以瞬時功率以2 2 交變。但始終大于零，交變。但始終大于零，表明電阻始終是吸收（消耗）功率。表明電阻始終是吸收（消耗）功率。) (sin222iRtIU ) 2cos(1 iRtIU 上頁 下頁目錄返回TTtiuTtpTP00d1d1UIttUITT 0)dcos2(11IUP 2RI RU2單位單位: :瓦瓦（W）上頁 下頁目錄返回)90(sin2 tLI U =I L 90iu相位差相位差ddiuLt設：設：t

19、Iisin2d( 2 sin)dItuLt)90(sin2tU90utu iiOiu+-L時域模型時域模型)(jjLXILIUUI相量圖相量圖90IU超前超前)90(sin2tLIutIisin2根據(jù)：根據(jù)： 0II 9090LIUU相量模型相量模型LfLXL2LXIU 或或 電感電感L具有通直阻交的作用具有通直阻交的作用f = 0, XL =0，電感，電感L視為視為短路短路LfLXL2 fLXL2 L IUfXLILXI,fOLX感抗的物理意義：感抗的物理意義：(1) 表示限制電流的能力；表示限制電流的能力；U= XL I= LI= 2 fLI(2) 感抗和頻率成正比；感抗和頻率成正比； X

20、L相量表達式相量表達式:XL= L=2 fL，稱為感抗，單位為，稱為感抗，單位為 (歐姆歐姆)BL=1/ L = 1/2 fL， 感納，單位為感納，單位為 S (同電導同電導)感抗和感納感抗和感納: ,ILjIjXUL ; , ,; , 0 ),(0開路開路短路短路直流直流 LLXXULjULjUjBIL 11上頁 下頁目錄返回時域形式：時域形式：( )2 sin()uu tIt 2sin()2uC It相量：相量：相量關系：相量關系：iC(t)u(t)C+- -2 uCuCUIUU 有效值關系：有效值關系： IC= CU相位關系：相位關系： i = u +90 (i 超前超前 u 90)IC

21、jUCjUUCjI 11 UCI +- -Cj1UCI u上頁 下頁目錄返回時域模型時域模型相量模型相量模型若若d ( )( )2cos() dCuu titCL Utt則則令令 B B C = C， 稱為容納，單位為稱為容納，單位為 S ，XC 0 , 0 , 對高頻短路對高頻短路(旁路作用旁路作用)容抗與容納：容抗與容納：CXC1CX,If)(2CfUI O上頁 下頁目錄返回容抗與頻率成反比容抗與頻率成反比有效值關系：有效值關系： IC = CUC令令 XC = 1/ C， 稱為容抗，單位為稱為容抗，單位為 0， XC , 對直流開路對直流開路(隔直隔直) 3.4 基爾霍夫定律的相量形式基

22、爾霍夫定律的相量形式上頁 下頁目錄返回 基爾霍夫電流定律的相量形式基爾霍夫電流定律的相量形式對于電路中任一結點，對于電路中任一結點， 0i0 Ii1i2i3i4I1I2I3I4對圖中電路，有對圖中電路，有 04321 IIII連接在電路任一節(jié)點的各支路電流的相量的代數(shù)和為零連接在電路任一節(jié)點的各支路電流的相量的代數(shù)和為零上頁 下頁目錄返回 基爾霍夫電壓定律的相量形式基爾霍夫電壓定律的相量形式對于電路中任一回路，對于電路中任一回路， 0u0 U任一回路的各支路電壓的相量的代數(shù)和為零任一回路的各支路電壓的相量的代數(shù)和為零時域方程：時域方程：04321 uuuu相量方程：相量方程： 04321 UU

23、UU上頁 下頁目錄返回例例。和和，求電壓，求電壓，已知：有效值已知：有效值bdadSuuFCHLRsradAI 113/105 3 LCR+ uL - -uCa+- -i iS S+ uR - -bcdR+ - -a+- -+ - -bcdSI RU LU CU Lj Cj 1AIS 05設VIRUSR 015VILjUSL 905000 VICjUSC 9050001 上頁 下頁目錄返回R+ - -a+- -+ - -bcdSI RU LU CU Lj Cj 1VIRUSR 015VILjUSL 905000 VICjUSC 9050001 0 CLbdUUUVUUUbdRad 015Vtu

24、uadbd)10sin(21503 上頁 下頁目錄返回 例例 圖示正弦穩(wěn)態(tài)電路，電流表圖示正弦穩(wěn)態(tài)電路，電流表A1的讀數(shù)為的讀數(shù)為5A， A2的的讀數(shù)讀數(shù) 20A， A3的讀數(shù)為的讀數(shù)為25A， 求電流表求電流表A和和A4的讀數(shù)。的讀數(shù)。+- -AA1A3A2A4SU I1 I2 I3 I4 ILj Cj 1R 0SSUU設設AI 051AjI2090202 AjI2590253 AjIII 9055324AjIII 4507. 755411 I2 I3 I4 I ISU o上頁 下頁目錄返回 3.5 阻抗與導納阻抗與導納上頁 下頁目錄返回正弦激勵下正弦激勵下IZU+- -線性線性無源無源IU

25、+- - UI|Z| 阻抗三角形阻抗三角形iu 單位：單位： IUZ 阻抗模阻抗模阻抗角阻抗角 3.5.1 阻抗阻抗上頁 下頁目錄返回阻抗Z|ZRLC串聯(lián)電路串聯(lián)電路用相量法分析用相量法分析R R、L L、C C 串聯(lián)電路的阻抗。串聯(lián)電路的阻抗。由由KVL： . . . .RLCUUUU1()RjLICIjXR)( CLRuuuu 其相量關系為其相量關系為LCRuuLuCi+- -+- -+- -+- -uR. Ij LR+- -+- -+- -. ULU. CU. Cj1+- -RU. 上頁 下頁目錄返回 UZRjXI1 . . .RIj LIjIC()LCRj XXIZ阻抗；阻抗； R電阻

26、（阻抗的實部）；電阻（阻抗的實部）； X電抗（阻抗的虛部）；電抗（阻抗的虛部）； |Z|阻抗的模；阻抗的模； 阻抗角。阻抗角。關系：關系：或或R=|Z|cos X=|Z|sin |Z|RX 阻抗三角形阻抗三角形上頁 下頁目錄返回電路為感性，電壓超前電流；電路為感性，電壓超前電流；電路為容性，電壓落后電流；電路為容性，電壓落后電流；電路為電阻性，電壓與電流同相。電路為電阻性，電壓與電流同相。 ZCLjRZ)1(CL 1 0, 0 XCL 1 0, 0 XCL 1 0, 0 X上頁 下頁目錄返回畫相量圖：畫相量圖：選電流為參考向量選電流為參考向量三角形三角形UR 、UX 、U 稱為電壓三角形，它和

27、稱為電壓三角形，它和阻抗三角形相似。即阻抗三角形相似。即CUIRULUU 22XRUUU )0( i .XCLUUU 上頁 下頁目錄返回. 1. . . . . . ICjILjIRUUUUCLR CL 1 設例例已知已知：R=15 , L=0.3mH, C=0.2 F, Hz103 ),60cos(254 ftu 求求 i, uR , uL , uC .解解其相量模型為其相量模型為V 605U)1(CLjRZ 5 .56103 . 0103234jjLj 5 .26102 . 010321164jjCj 5 .265 .5615jj o4 .6354.33LCRuuLuCi+- -+- -+

28、- -+- -uR. Ij LR+- -+- -+- -. ULU. CU. Cj1+- -RU. 上頁 下頁目錄返回1)ZRj LjCUIZ串聯(lián)串聯(lián) A4 . 3149. 04 .6354.33605ooo ZUI則則 A)4 . 3(sin2149. 0o tiUL = 8.42 U = 5，電感電壓大于外加電壓。，電感電壓大于外加電壓。ULUCUIRU - -3.4相量圖相量圖V 4 . 3235. 24 . 3149. 015oo IRURV 4 .8642. 84 . 3149. 0905 .56ooo ILjUL V 4 .9395. 34 . 3149. 0905 .26C1oo

29、o IjUC V )4 . 3sin(2235. 2o tuRV )6 .86sin(242. 8o tuLV )4 .93sin(295. 3o tuC上頁 下頁目錄返回（1）R：RRIRU （2）L：（3）C：LLILjU CCUCjI 3.5.2 導納導納上頁 下頁目錄返回1LLIUj LRRIGU1CCUIj C導納導納YIYU|Y|GB 導納三角形導納三角形單位：單位：SUIY |ui 上頁 下頁目錄返回3.5.2 導納導納線性線性無源無源IU+- -IYU+- -|GjBYRLC并聯(lián)電路并聯(lián)電路由由KCL：CLRIIII iLCRuiLiC+- -iL. Ij L. ULI. CI. Cj 1R+- -RI. 1UUGUj LjC UCjLjG)1( ()LCGj BBU UjBG)(上頁 下頁目錄返回Y 復導納復導納；G電導（導納的實部）電導（導納的實部）； B電納（導納的虛部）電納（導納的虛部）； |Y|復導納的模復導納的模； 導納角導納角。關系關系：或或G=|Y|cos B=|Y|sin |Y|GB 導納三角形導納三角形 | YjBG上頁 下頁目錄返回畫相量圖畫相量圖：選電壓為參考相量：選電壓為參