差分方程模型(講義)

1、差分方程模型一. 引言數(shù)學(xué)模型按照離散的方法和連續(xù)的方法， 可以分為離散模型和連續(xù)模型。1. 確定性連續(xù)模型1) 微分法建模(靜態(tài)優(yōu)化模型)， 如森林救火模型、血管分支模型、最優(yōu)價格模型。2) 微分方程建模(動態(tài)模型)，如傳染病模型、人口控制與預(yù)測模型、經(jīng)濟(jì)增長模型。3) 穩(wěn)定性方法建模(平衡與穩(wěn)定狀態(tài)模型)，如軍備競賽模型、種群的互相競爭模型、種群的互相依存模型、種群弱肉強(qiáng)食模型。4) 變分法建模（動態(tài)優(yōu)化模型），如生產(chǎn)計(jì)劃的制定模型、國民收入的增長模型、漁業(yè)資源的開發(fā)模型。2. 確定性離散模型1) 邏輯方法建模，如效益的合理分配模型、價格的指數(shù)模型。2) 層次分析法建模，如旅游景點(diǎn)的選擇模

2、型、科研成果的綜合評價模型。3）圖的方法建模，如循環(huán)比賽的名次模型、紅綠燈的調(diào)節(jié)模型、化學(xué)制品的存放模型。4）差分方程建模，如市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型、交通網(wǎng)絡(luò)控制模型、借貸模型、養(yǎng)老基金設(shè)置模型、人口的預(yù)測與控制模型、生物種群的數(shù)量模型。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們將愈來愈多的遇到離散動態(tài)系統(tǒng)的問題，差分方程就是建立離散動態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的有效方法。在一般情況下，動態(tài)連續(xù)模型用微分方程方法建立，與此相適應(yīng)，當(dāng)時間變量離散化以后，可以用差分方程建立動態(tài)離散模型。有些實(shí)際問題既可以建立連續(xù)模型，又可建立離散模型，究竟采用那種模型應(yīng)視建模的目的而定。例如，人口模型既可建立連續(xù)模型(其中有馬爾薩斯模型Malt

3、hus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。這里講講差分方程在建立離散動態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的的具體應(yīng)用。二. 差分方程簡介 在實(shí)際中，許多問題所研究的變量都是離散的形式，所建立的數(shù)學(xué)模型也是離散的，譬如，像政治、經(jīng)濟(jì)和社會等領(lǐng)域中的實(shí)際問題。有些時候，即使所建立的數(shù)學(xué)模型是連續(xù)形式，例如像常見的微分方程模型、積分方程模型等。但是，往往都需要用計(jì)算機(jī)求數(shù)值解。這就需要將連續(xù)變量在一定的條件下進(jìn)行離散化，從而將連續(xù)型模型轉(zhuǎn)化為離散型模型。因此，最后都?xì)w結(jié)為求解離散形式的差分方程解的問題。關(guān)于差分方程理論和求解方法在數(shù)學(xué)建模和解決實(shí)際問題的過程中起著重要作用。1. 差分方程的定義

4、給定一個數(shù)列, 把數(shù)列中的前項(xiàng)關(guān)聯(lián)起來得到的方程，則稱這個方程為差分方程。2. 常系數(shù)線性齊次差分方程常系數(shù)線性齊次差分方程的一般形式為 ， (1)或者表示為 (1)其中為差分方程的階數(shù)，其中為差分方程的系數(shù)，且。對應(yīng)的代數(shù)方程 (2)稱為差分方程(1)的對應(yīng)的特征方程。(2)式中的個根稱為(1)式的特征根。2.1 差分方程的解 常系數(shù)線性齊次差分方程的解主要是由相應(yīng)的特征根的不同情況有不同的形式。下面分別就特征根為單根、重根和復(fù)根的情況給出方程解的形式。2.1.1 特征根為單根(互不相同的根) 設(shè)差分方程(1)有個單特征根(互不相同的根)，則為該差分方程(1)的通解。其中為任意常數(shù)，且當(dāng)給定

5、初始條件 ， (3)時，可以確定一個特解。例1 在信道上傳輸三個字母且長度為的詞， 規(guī)定有兩個連續(xù)出現(xiàn)的詞不能傳輸，試確定這個信道允許傳輸?shù)脑~的個數(shù)。 解: 令表示允許傳輸且長度為為的詞的個數(shù)，通過簡單計(jì)算可得 ，(a,b,c), (即ab,ac, bc, bb,cc,ba,ca,cb)。當(dāng)時，若詞的第一個字母是或，則詞可按種方式完成; 若詞的第一個字母是，則第二個字母是或，該詞剩下的部分可按種方式完成。 于是得差分方程 ()其特征方程為 ，特征根為 ， 則通解為 ， ()利用條件，求參數(shù)，即由，解得 ， 故得到原差分方程的通解為 ， ()2.1.2 特征根為重根設(shè)是階差分方程的個根，重?cái)?shù)分別

6、為，且，則該差分方程的通解為同樣的，有給定的初始條件(3)可以唯一確定一個特解。 例2 設(shè)初始值為，解差分方程， () 解: 該差分方程的特征方程為，解得其根為，故通解為代入初始條件，得，故該差分方程的滿足初始條件的解為 2.1.3 特征根為復(fù)根設(shè)階差分方程的一對共軛復(fù)根和相異的個單根，則該差分方程的通解為其中，。 同樣由給定的初始條件(3)可以唯一確定一個特解。 另外，對于有多個共軛復(fù)根和相異實(shí)根，或共軛復(fù)根和重根的情況，都可類似的給出差分方程解的形式。3. 常系數(shù)線性非齊次差分方程 常系數(shù)線性非齊次差分方程的一般形式為 (4)其中為差分方程的階數(shù)，其中為差分方程的系數(shù)，且，為已知函數(shù)。在差

7、分方程(4)中，令，所得方程 (5)稱為非齊次差分方程(4)對應(yīng)的齊次差分方程，即與差分方程(1)的形式相同。 求解非齊次差分方程通解的一般方法： 首先求對應(yīng)的齊次差分方程(5)的通解，然后求非齊次差分方程(4)的一個特解，則為非齊次差分方程(4)的通解。 關(guān)于求的方法同求差分方程(1)的方法相同。對于求非齊次方程(4)的特解的方法，可以用觀察法確定，也可以根據(jù)的特性用待定系數(shù)法確定，具體方法可參照常系數(shù)線性非齊次微分方程求特解的方法。4. 差分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性在應(yīng)用差分方程研究問題時，一般不需要求出方程的通解，在給定初值后，通?？捎糜?jì)算機(jī)迭代求解，但常常需要討論解的穩(wěn)定性。對于差分方程

8、，若有常數(shù)是其解，即有則稱是差分方程的平衡點(diǎn)，又對該差分方程的任意由初始條件確定的解，均有 則稱這個平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的；否則是不穩(wěn)定的。 下面給出一些特殊差分方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性。4.1 一階常系數(shù)線性差分方程 一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為 ， (6) 其中為常數(shù)，且。它的通解為 (7)易知是方程(6)的平衡點(diǎn)，由(7)式知，當(dāng)且僅當(dāng)時，是方程(6)的穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。4.2 二階常系數(shù)線性差分方程 二階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為 ， (8) 其中為常數(shù)，當(dāng)時，它有一特解，當(dāng)，且時，它有一特解，不管是哪種情形，是方程(8)的平衡點(diǎn)。設(shè)方程(8)的特征方程為的兩個根分別為，則 當(dāng)是兩個不同的實(shí)

9、根時，方程(8)的通解為； 當(dāng)是兩個相同實(shí)根時，方程(8)的通解為 當(dāng)是一對共軛復(fù)根時，方程(8)的通解為易知，當(dāng)且僅當(dāng)特征方程的任一特征根時，平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。4.3 一階非線性差分方程 一階非線性差分方程的一般形式為 (9)其平衡點(diǎn)由代數(shù)方程解出。 為了分析平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，將方程(9)的右端在點(diǎn)作泰勒展開，只取一次項(xiàng)，得到 (10)(10)是(9)的近似線性方程，是(10)的平衡點(diǎn)， 根據(jù)一階常系數(shù)線性差分方程(6) 的穩(wěn)定性判定的相關(guān)結(jié)論，得： 當(dāng)時，方程(9)的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的； 當(dāng)時，方程(9)的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。三 差分方程建模實(shí)例1 貸款買房問題 某居民買房向銀行貸款6萬元，利息為月

10、利率1%，貸款期為25年，要求建立數(shù)學(xué)模型解決如下問題：1) 問該居民每月應(yīng)定額償還多少錢？2) 假設(shè)此居民每月可節(jié)余700元，是否可以去買房?1.1 確定參變量：用表示月份，表示第n個月欠銀行的錢，表示月利率，表示每月還錢數(shù)，表示貸款額。1.2 模型的建立與求解1) 模型的建立時間欠銀行款初始一個月后二個月后三個月后n個月后由上表可得相鄰兩個月的遞推關(guān)系式1.3 模型的求解：(1) 差分方程求解方法先求其特解。令，則，得特解為。再求對應(yīng)齊次方程的通解。 對應(yīng)的特征方程為，得。齊次方程的通解為：因此原方程的通解為：又因?yàn)闀r，得故(2) 遞推法：令 =60000， =300，=0.01得 元因此

11、，該居民每月應(yīng)償還632元。又632<700，所以該居民可以去買房。2借貸問題中國建設(shè)銀行北京市分行個人住房貸款一至二十年“月均還款金額表”（自1998年3月25日起執(zhí)行）的一部分如下：(借款額為一萬元) 單位：元貸款期限(年)年利率(%)還款總額(元)利息負(fù)擔(dān)總和(元)月均還款額(元)1510.20619569.609569.60108.722010.20623488.8013488.8097.87試問他們是怎樣算出來的？借貸問題的數(shù)學(xué)模型一. 符號說明 以貸款期限20年為例:借貸額-;貸款期限-為N年; 月利率-;“月均還款額”-表示每月還款額是相同的，記為;還款總額-記為.二. 建

12、立模型一開始借款，一個月后欠銀行本利為，但為了減少欠款，還了元，因而，第個月情況也是這樣的，即注意到了第N個月已經(jīng)不欠銀行的錢了，即，因此，我們得到以下的數(shù)學(xué)模型:三. 數(shù)學(xué)模型的求解 首先求出用已知量表出的表達(dá)式。由可以猜想，并用數(shù)學(xué)歸納法證明:由等比數(shù)列前項(xiàng)的求和公式知:再由 ，得到:把已知量帶入，就得到表中的。3生物種群數(shù)量問題一問題的提出種群的數(shù)量問題是當(dāng)前世界上引起普遍關(guān)注的一個問題。要預(yù)測未來種群的數(shù)量，最重要的影響因素是當(dāng)前的種群數(shù)量，今后一段時間內(nèi)種群的增長狀況和環(huán)境因素。由于隨著種群數(shù)量增加到一定的程度后，種群在有限的生存空間進(jìn)行競爭，種群的增長狀況會隨著種群數(shù)量的增加而減少

13、，而且在有限的生存空間，種群數(shù)量也不可能無限增長，假設(shè)只能達(dá)到某一固定的數(shù)量值記為，稱為最大種群容量。又假設(shè)單位時間內(nèi)種群數(shù)量的增長量與當(dāng)時種群數(shù)量的比記為：， 其中相當(dāng)于時的增長率，稱為固有增長率，記當(dāng)前 (即時)種群數(shù)量為，時刻種群數(shù)量為。若利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，則1）設(shè)為連續(xù)、可微函數(shù)，請給出未來時間里種群數(shù)量滿足的數(shù)學(xué)模型。2）由于某些種群是在固定的一段時間內(nèi)進(jìn)行繁殖，所以可用種群繁殖周期作為時間段來研究其增長狀況。請給出未來時間里這類種群數(shù)量應(yīng)滿足的離散數(shù)學(xué)模型。二. 問題分析與模型建立 1. 由于為單位時間內(nèi)種群數(shù)量的增長量與當(dāng)時種群數(shù)量的比，所以到時間內(nèi)種群數(shù)量的增量為 (1) 又由

14、于而當(dāng)時增長率應(yīng)為零，即，所以，則，把它代入方程(1)得: (2)此方程兩邊同除，并令，加上初始條件可得未來任意時刻種群數(shù)量所滿足的數(shù)學(xué)模型為： (3) 2. 由于是利用種群繁殖周期作為時段來研究種群增長狀況，則令，視為整數(shù)及代入方程(1)得： (4)加上初始條件得任意時刻種群數(shù)量所滿足的離散型數(shù)學(xué)模型為通過這個差分方程就可以很容易得到任意時刻種群的數(shù)量。三模型求解 1利用求解方程(1)，可得任意時刻種群數(shù)量為源程序?yàn)椋?2根據(jù)方程(2)，只要給出初值就可以很容易進(jìn)行遞推而得到任意時刻種群的數(shù)量。四結(jié)果分析 1上面方程(3)有時稱為阻滯增長模型或模型，它有著廣泛的應(yīng)用。例如傳染病在封閉地區(qū)的傳

15、播，耐用消費(fèi)品在有限的市場上的銷售等現(xiàn)象，都可以合理的、簡化的用這個模型來進(jìn)行描述。但它存在不足，因?yàn)殡S著環(huán)境的變遷，最大種群容量可能會發(fā)生變化，而且最大種群容量也不容易準(zhǔn)確得到。 2一方面，用離散化的時間來研究問題有時是很方便的，尤其出現(xiàn)了計(jì)算機(jī)以后，人們可以很方便的對問題進(jìn)行求解；另一方面，對這個種群數(shù)量問題，由于許多種群實(shí)際上是由單一世代構(gòu)成的，在相繼的世代之間幾乎沒有重疊，所以種群的增長是分步進(jìn)行的。這種情況下，為了準(zhǔn)確的描述種群的數(shù)量動態(tài)就不能用微分方程，而應(yīng)利用離散的模型來描述。4. 人口的控制與預(yù)測模型一問題的提出常見的兩個常微分方程模型(馬爾薩斯(Malthus)模型和洛杰斯蒂

16、克(Logistic)模型)沒有考慮到社會成員之間的個體差異，即不同年齡、不同體質(zhì)的人在死亡、生育方面存在的差異。完全忽略了這些差異顯然是不合理的。但我們不可能對每一個人的情況逐個加以考慮，故僅考慮年齡的差異對人口的變動的影響，即假設(shè)同一年齡的人具有相同的死亡率和生育能力，這樣建立的模型不但使我們能夠更細(xì)致的預(yù)測人口總數(shù)，而且能夠預(yù)測老年人口、勞動力人口、學(xué)齡人口等不同年齡組的人口信息.下面來建立離散的差分?jǐn)?shù)學(xué)模型來表現(xiàn)人口數(shù)量的變化規(guī)律。二模型的建立與求解 設(shè)為第年年齡為的人口數(shù)量，即忽略百歲以上的人口。如果知道了第年各年齡組的人口數(shù)，各年齡組人口的生育及死亡狀態(tài)，就可以根據(jù)人口發(fā)展變化規(guī)律

17、推得第年各年齡組的人口數(shù)。首先引入歲人口的死亡率和歲育齡婦女的年生育率這兩個概念，他們的含義和記號如下： 歲人口的年死亡率： 歲婦女的年生育率：第年歲的人口數(shù)就是第年歲人口數(shù)扣除它在該年的死亡人數(shù)，即，令稱為歲人口的存活率，故各年齡組人口隨時間的變化規(guī)律可用遞推公式來表示。再考慮到零歲的人數(shù)，其中為第年歲的婦女人數(shù)，為第年歲人口的女性比(占全部歲人口數(shù))，就是第年歲婦女所生育的嬰兒數(shù).由此得到的人口模型是： (1)根據(jù)人的生理特征和人口學(xué)中的習(xí)慣，婦女的育齡區(qū)間一般取為15歲至49歲之間，即當(dāng)和時， 令則人口模型（1）的矩陣形式為 (2)其中稱為萊斯利（Lwslie）矩陣.當(dāng)?shù)谀甑娜丝跔顩r已知

18、時，從式(2)就可以推得第年的人口為.5. 市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型在自由競爭的市場經(jīng)濟(jì)中，商品的價格是由市場上該商品的供應(yīng)量決定的，供應(yīng)量越大，價格就越低。另一方面，生產(chǎn)者提供的商品數(shù)量又是由該商品的價格決定的，價格上升將刺激生產(chǎn)者的生產(chǎn)積極性，導(dǎo)致商品生產(chǎn)量的增加。反之，價格降低會影響生產(chǎn)者的積極性，導(dǎo)致商品生產(chǎn)量的下降。在沒有外界干擾的情況下，這種現(xiàn)象將如此反復(fù)下去。這樣的需求和供應(yīng)關(guān)系決定了市場經(jīng)濟(jì)中商品的價格和數(shù)量必然是振蕩的。這種振蕩越小越好，如果振蕩太大就會影響人民群眾的正常生活。 產(chǎn)量減少價格下降供大于求數(shù)量和價格在振蕩供不應(yīng)求價格上漲產(chǎn)量增加(1) 商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件

19、下趨向穩(wěn)定?(2) 當(dāng)不穩(wěn)定時政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定?下面用差分方程理論建模，討論市場經(jīng)濟(jì)趨于穩(wěn)定的條件，再用圖形方法建立“蛛網(wǎng)模型”對上述現(xiàn)象進(jìn)行分析，對結(jié)果進(jìn)行解釋，然后作適當(dāng)推廣。3.1 模型的假設(shè)和符號說明 記第時段商品數(shù)量為，價格為，。這里我們把時間離散化為時段，1個時段相當(dāng)于商品的1個生產(chǎn)周期，如蔬菜、水果可以是1年，肉類可以是一個飼養(yǎng)周期。 在時段商品的價格取決于數(shù)量。設(shè)。它反映消費(fèi)者對這種商品的需求關(guān)系，稱為需求函數(shù)。因?yàn)樯唐返臄?shù)量越多，價格越低。需求函數(shù)在圖1中用一條下降的曲線表示，稱為需求曲線。 在時段商品的數(shù)量由上一時段的價格決定，用表示。它反映生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系，

20、稱為供應(yīng)函數(shù)。因?yàn)閮r格越高，生產(chǎn)量越大。供應(yīng)函數(shù)在圖1中用一條上升的曲線表示，稱為供應(yīng)曲線。gx0y0 P0fxyO圖1 商品供求關(guān)系曲線3.2 模型的建立與求解設(shè)需求曲線和供應(yīng)曲線相交于點(diǎn)，在附近取函數(shù)和的線性近似，即需求曲線： ， (11)供應(yīng)曲線：， (12) 由式(11)(12)消去，得到一階線性差分方程， (13)因此是其平衡點(diǎn)，即是平衡點(diǎn)。對式(13)進(jìn)行遞推，得，由此可得，平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件是：；不穩(wěn)定的條件是：。 下面用圖形解釋此模型。 若對某一個有，則由(11)式得，當(dāng)時，從而，即商品的數(shù)量和價格將永遠(yuǎn)保持在點(diǎn)。但是實(shí)際生活中的種種干擾使得不可能停止在上。不妨設(shè)偏離(見圖2，圖

21、3)，我們來分析隨著的增加，的變化情況。xy0fgy0x0P0 x1x2P2y1y2P3P4x3y3P1f需求曲線g供應(yīng)曲線圖2 點(diǎn)是穩(wěn)定的 數(shù)量給定后，價格由曲線上的點(diǎn)決定，下一時段的數(shù)量由曲線上的點(diǎn)決定，這樣得到一序列的點(diǎn)，,在圖2上，這些點(diǎn)將按照箭頭所示方向趨向，表明是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，意味著市場經(jīng)濟(jì)(商品的數(shù)量和價格)將趨向穩(wěn)定。 但是如果需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)由圖3的曲線所示，則類似的分析發(fā)現(xiàn)，市場將按照，的規(guī)律變化為遠(yuǎn)離，即是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，市場經(jīng)濟(jì)趨向不穩(wěn)定。P1P2P3P4xy0y0x0P0fgf需求曲線g供應(yīng)曲線圖3 點(diǎn)是不穩(wěn)定的 圖2和圖3中折線形似蛛網(wǎng)，于是這種用需求曲線和供應(yīng)曲

22、線分析市場經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定性的圖示法在經(jīng)濟(jì)學(xué)中被稱為蛛網(wǎng)模型。實(shí)際上，需求曲線和供應(yīng)曲線的具體形式通常是根據(jù)各個時段商品的數(shù)量和價格的一系列統(tǒng)計(jì)資料得到的。一般地說，取決于消費(fèi)者對這種商品地需要程度和他們地消費(fèi)水平，則與生產(chǎn)者的生產(chǎn)能力，經(jīng)營水平等因素有關(guān)。 下面來解釋此模型的實(shí)際意義。 首先來考慮參數(shù)的含義。需求函數(shù)的斜率(取絕對值)：表示商品供應(yīng)量減少1個單位時價格的上漲幅度；供應(yīng)函數(shù)的斜率：表示價格上漲1個單位時(下一時期)商品供應(yīng)增加量。 的值反映消費(fèi)者對商品需求的敏感程度。如果這種商品是生活必需品，消費(fèi)者處于持幣待購狀態(tài)，商品數(shù)量稍缺，人們立即蜂擁購買，那么會比較大；反之，若這種商品非必需品

23、，消費(fèi)者購物心理穩(wěn)定，或者消費(fèi)水平低下，則會比較小。 的數(shù)值反映生產(chǎn)經(jīng)營者對商品價格的敏感程度。如果他們目光短淺，熱衷于追逐一時的高利潤，價格稍有上漲立即大量增加生產(chǎn)，那么會比較大；反之，若他們目光長遠(yuǎn)，則會比較小。 根據(jù)的意義很容易對市場經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定與否的條件作出解釋。當(dāng)供應(yīng)函數(shù)的斜率固定時，越小，需求曲線越平，表明消費(fèi)者對商品需求的敏感程度越小，越有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定。當(dāng)需求函數(shù)的斜率固定時，越小，供應(yīng)曲線越陡，表明生產(chǎn)者對價格的敏感程度越小，越有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定。反之，當(dāng)較大，表明消費(fèi)者對商品的需求和生產(chǎn)者對商品的價格都很敏感，則會導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定。 經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定的解決方案 當(dāng)市場經(jīng)濟(jì)趨向不穩(wěn)定時，政府有兩種干預(yù)辦法：一種辦法是