研究生醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)3 抽樣誤差t分布

1、均數(shù)的抽樣誤差，均數(shù)的抽樣誤差，t分布，參數(shù)估計(jì)分布，參數(shù)估計(jì)Sampling error of mean，t-distribution，parameters estimation 張建軍張建軍汕大醫(yī)學(xué)院預(yù)防醫(yī)學(xué)教研室汕大醫(yī)學(xué)院預(yù)防醫(yī)學(xué)教研室Tel:mail: 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 均數(shù)的抽樣誤差均數(shù)的抽樣誤差 t分布分布 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) 概念：概念： 頻數(shù)分布以均數(shù)為中心，左右兩側(cè)基本對(duì)稱，頻數(shù)分布以均數(shù)為中心，左右兩側(cè)基本對(duì)稱，靠近均數(shù)兩側(cè)頻數(shù)較多，離均數(shù)愈遠(yuǎn)，頻數(shù)愈少，靠近均數(shù)兩側(cè)頻數(shù)較多，離均數(shù)愈遠(yuǎn)，頻數(shù)愈少，形成一個(gè)中間多，兩側(cè)逐漸減少的對(duì)稱分布。形成一個(gè)

2、中間多，兩側(cè)逐漸減少的對(duì)稱分布。 是一種連續(xù)型分布。又稱高斯分布是一種連續(xù)型分布。又稱高斯分布. 回顧：正態(tài)分布(normal distribution) 正態(tài)分布用正態(tài)分布用N(, )表示，其位置與均數(shù)有關(guān)，表示，其位置與均數(shù)有關(guān)，形狀與標(biāo)準(zhǔn)差有關(guān)。形狀與標(biāo)準(zhǔn)差有關(guān)。 醫(yī)學(xué)現(xiàn)象許多呈正態(tài)分布，或近似正態(tài)分布：如醫(yī)學(xué)現(xiàn)象許多呈正態(tài)分布，或近似正態(tài)分布：如正常人的生理，生化指標(biāo)變量，等正常人的生理，生化指標(biāo)變量，等2 正態(tài)分布的密度函數(shù)：式中正態(tài)分布的密度函數(shù)：式中為均數(shù)；為均數(shù)；為標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)差；準(zhǔn)差；為圓周率；為圓周率；為自然對(duì)數(shù)的底，即為自然對(duì)數(shù)的底，即2.71828。以上均為常數(shù)，僅。以上均

3、為常數(shù)，僅x為變量。為變量。x 2()1( )21( )2xf xe(1) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布: 為了應(yīng)用方便，常將式進(jìn)行變量變換，即：為了應(yīng)用方便，常將式進(jìn)行變量變換，即：u變換變換. 所得到的新變量所得到的新變量u的分布即為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的分布即為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。分布。 u的含義：變量到均數(shù)間的距離相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)差的含義：變量到均數(shù)間的距離相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)。的倍數(shù)。xux 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)：(2)u 2()21( )2uue 正態(tài)分布的特征和分布規(guī)律：正態(tài)分布的特征和分布規(guī)律： （1）曲線在）曲線在x軸的上方，與軸的上方，與x軸不相交，當(dāng)軸不相交，當(dāng)x=時(shí)

4、，曲線位于最高點(diǎn)。時(shí)，曲線位于最高點(diǎn)。 f(u=0)=0.3989 （2）曲線關(guān)于直線）曲線關(guān)于直線x=左右對(duì)稱。左右對(duì)稱。 （3）正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)）正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù):均數(shù)均數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差;標(biāo)準(zhǔn)正標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的參數(shù)分別為態(tài)的參數(shù)分別為:0, 1 （4）正態(tài)分布的面積分布有一定規(guī)律。）正態(tài)分布的面積分布有一定規(guī)律。正態(tài)分布正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布面積面積( (或概率或概率) ) -1_ +1 -1_ +1 -1_+1-1_+168.27%68.27%1.96_+1.961.96_+1.96-1.96_+1.96-1.96_+1.9695.00%95.00% 2.58_+2.58 2.5

5、8_+2.58-2.58_+2.58-2.58_+2.5899.00%99.00%正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下面積分布規(guī)律正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下面積分布規(guī)律（-1，1），68.27%（-1.96，1.96），95%（-2.58，2.58），99%雙側(cè)概率雙側(cè)概率單側(cè)概率單側(cè)概率請(qǐng)思考：請(qǐng)思考： 抽樣？抽樣？ 統(tǒng)計(jì)量？統(tǒng)計(jì)量？ 抽樣分布？抽樣分布？一、均數(shù)的抽樣誤差和標(biāo)準(zhǔn)誤一、均數(shù)的抽樣誤差和標(biāo)準(zhǔn)誤均數(shù)的抽樣誤差均數(shù)的抽樣誤差sampling error of mean 由于總體中存在個(gè)體變異，抽樣研究中由于總體中存在個(gè)體變異，抽樣研究中所抽取的樣本，只包含總體中一部分個(gè)體，所抽取的樣本，

6、只包含總體中一部分個(gè)體，因而樣本均數(shù)（或率）往往不等于總體均數(shù)因而樣本均數(shù)（或率）往往不等于總體均數(shù)（或率），樣本均數(shù)之間也互不相等，（或率），樣本均數(shù)之間也互不相等，這種這種由抽樣引起的差異稱為均數(shù)的抽樣誤差的體由抽樣引起的差異稱為均數(shù)的抽樣誤差的體現(xiàn)現(xiàn)。即：即：iXijXX 如何估計(jì)抽樣誤差如何估計(jì)抽樣誤差？ 標(biāo)準(zhǔn)誤標(biāo)準(zhǔn)誤 standard error，SE 以樣本均數(shù)為例：以樣本均數(shù)為例： SE 越大，均數(shù)的抽樣誤差越大，樣本均數(shù)與越大，均數(shù)的抽樣誤差越大，樣本均數(shù)與總體均數(shù)間的差異越大。總體均數(shù)間的差異越大。XSSnXn 當(dāng)樣本例數(shù)一定時(shí)，樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤與原當(dāng)樣本例數(shù)一定時(shí)，樣本均數(shù)

7、的標(biāo)準(zhǔn)誤與原始數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差成正比；當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差一定時(shí)，始數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差成正比；當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差一定時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)誤與樣本含量標(biāo)準(zhǔn)誤與樣本含量 n 的平方根成反比。增加的平方根成反比。增加樣本含量可以減小抽樣誤差。樣本含量可以減小抽樣誤差。 與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別：與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別： 標(biāo)準(zhǔn)差：表示一般個(gè)體值的離散程度；標(biāo)準(zhǔn)差：表示一般個(gè)體值的離散程度； 標(biāo)準(zhǔn)誤：特別說明統(tǒng)計(jì)量的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)誤：特別說明統(tǒng)計(jì)量的離散程度。再思考一個(gè)問題：再思考一個(gè)問題： 其它的統(tǒng)計(jì)量有抽樣誤差嗎？其它的統(tǒng)計(jì)量有抽樣誤差嗎？ 它們的計(jì)算公式怎樣？它們的計(jì)算公式怎樣？XnXSSn標(biāo)準(zhǔn)誤的應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)誤的應(yīng)用1、用來衡量抽樣誤差的大小、用來衡量抽樣誤差

8、的大小: 標(biāo)準(zhǔn)誤越小，樣本均數(shù)與總體均數(shù)越接近，標(biāo)準(zhǔn)誤越小，樣本均數(shù)與總體均數(shù)越接近，樣本均數(shù)的可信度越高；樣本均數(shù)的可信度越高；2、結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與、結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與 t 分布曲線下的面積規(guī)分布曲線下的面積規(guī)律，估計(jì)總體均數(shù)的置信區(qū)間。律，估計(jì)總體均數(shù)的置信區(qū)間。3、用于假設(shè)檢驗(yàn)。、用于假設(shè)檢驗(yàn)。 假定假定2003年汕頭市年汕頭市15歲女學(xué)生的身高服從均歲女學(xué)生的身高服從均數(shù)數(shù)155.4cm、標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)差5.3cm的正態(tài)分布。用計(jì)的正態(tài)分布。用計(jì)算機(jī)做抽樣模擬試驗(yàn)，從算機(jī)做抽樣模擬試驗(yàn)，從N(155.4, 5.32)的總體的總體中，每次抽出中，每次抽出10個(gè)數(shù)字（樣本含量為個(gè)數(shù)字（樣本

9、含量為10），），組成一個(gè)樣本，求出樣本均數(shù)組成一個(gè)樣本，求出樣本均數(shù) 、樣本標(biāo)、樣本標(biāo)準(zhǔn)差準(zhǔn)差 S。 再求得此再求得此100個(gè)樣本均數(shù)的均數(shù)、樣個(gè)樣本均數(shù)的均數(shù)、樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。X抽樣分布抽樣分布 樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是什么？樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是什么？.標(biāo)準(zhǔn)誤標(biāo)準(zhǔn)誤 100個(gè)樣本均數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的分布，也是個(gè)樣本均數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的分布，也是正態(tài)分正態(tài)分布。布。 即使原分布為偏態(tài)分布，當(dāng)樣本含量足夠大時(shí)，即使原分布為偏態(tài)分布，當(dāng)樣本含量足夠大時(shí)，新分布也新分布也近似正態(tài)分布近似正態(tài)分布）。新分布的集中趨勢(shì)用）。新分布的集中趨勢(shì)用均數(shù)的均數(shù)均數(shù)的均數(shù)來表示，離散趨勢(shì)用來表示，離散趨勢(shì)用標(biāo)

10、準(zhǔn)誤標(biāo)準(zhǔn)誤表示表示N( , ) 。 各樣本均數(shù)的均數(shù)等于總體均數(shù)各樣本均數(shù)的均數(shù)等于總體均數(shù)。2X0501001502002503003504004502.082.342.612.873.143.403.663.934.194.464.724.985.25均數(shù)頻數(shù)0501001502002503003504004502.082.342.612.873.143.403.663.934.194.464.724.985.25均數(shù)頻數(shù)0501001502002503003504004505002.082.342.612.873.143.403.663.934.194.464.724.985.25均數(shù)頻

11、數(shù)正態(tài)總體中抽樣正態(tài)總體中抽樣（樣本量（樣本量5）正態(tài)總體中抽樣正態(tài)總體中抽樣（樣本量（樣本量10）正態(tài)總體中抽樣正態(tài)總體中抽樣（樣本量（樣本量30）抽樣時(shí)樣本量抽樣時(shí)樣本量大小決定了樣大小決定了樣本均數(shù)分布的本均數(shù)分布的形狀，當(dāng)樣本形狀，當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，量足夠大時(shí)，均數(shù)分布趨向均數(shù)分布趨向正態(tài)分布。正態(tài)分布。二、二、t 分布（分布（t-distribution)還記得嗎？還記得嗎？xu u轉(zhuǎn)換將正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)轉(zhuǎn)換將正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài), N(0, 1)。 同理：將樣本均數(shù)的分布也可以轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)同理：將樣本均數(shù)的分布也可以轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布 。 即：即：2,()(0,1)X

12、NNXXu 實(shí)際工作中，總體標(biāo)準(zhǔn)差往往未知，常用實(shí)際工作中，總體標(biāo)準(zhǔn)差往往未知，常用S代替代替 計(jì)算計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤，因此：為了和標(biāo)準(zhǔn)誤，因此：為了和u分布區(qū)別，就變?yōu)椋悍植紖^(qū)別，就變?yōu)椋?/XXXtSSn均數(shù)的分布也是這樣均數(shù)的分布也是這樣 如果我們采用另一個(gè)正態(tài)變量如果我們采用另一個(gè)正態(tài)變量: 于是，均數(shù)的分布變成了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布于是，均數(shù)的分布變成了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布: XXu2,()(0,1)XNNxu但是，條件發(fā)生了變化 我們通常用代替我們通常用代替 然而，然而， 隨著樣本量的變化而變化，所以，我隨著樣本量的變化而變化，所以，我們稱之為們稱之為 t-分布，雖然它是正態(tài)分布，但只有分布，雖然它是正態(tài)

13、分布，但只有當(dāng)樣本量（自由度）無窮大的時(shí)候，它才是標(biāo)當(dāng)樣本量（自由度）無窮大的時(shí)候，它才是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，此時(shí)，準(zhǔn)正態(tài)分布，此時(shí)，u=t/XXXtSSnXXuXXSXSt t分布曲線分布曲線 t t分布是一簇分布是一簇對(duì)稱于對(duì)稱于0的單峰分布曲線。的單峰分布曲線。 自由度越?。ㄏ喈?dāng)于標(biāo)準(zhǔn)差大），曲線的中間越自由度越小（相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)差大），曲線的中間越低，兩邊越高；隨自由度增大，低，兩邊越高；隨自由度增大， t t分布曲線逐漸分布曲線逐漸逼近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線。逼近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線。 當(dāng)自由度無窮大時(shí)，當(dāng)自由度無窮大時(shí)， t t分布就是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲分布就是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線。線。 每一條每一條t

14、t分布曲線，都對(duì)應(yīng)于相應(yīng)的自由度。分布曲線，都對(duì)應(yīng)于相應(yīng)的自由度。 t t分布模擬試驗(yàn)分布模擬試驗(yàn)t t分布曲線下的面積規(guī)律分布曲線下的面積規(guī)律 與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下的面積規(guī)律相似：與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下的面積規(guī)律相似： 在某一個(gè)自由度下，兩側(cè)外部總面積為在某一個(gè)自由度下，兩側(cè)外部總面積為5%5%的界的界限的限的t t值稱為值稱為t t0.05/2()0.05/2(), ,把兩側(cè)外部總面積為把兩側(cè)外部總面積為1%1%的界限的的界限的t t值稱為值稱為t t0.01/2()0.01/2()。 因此，中部占因此，中部占95%95%面積的面積的t t值范圍：值范圍：- t t0.05/2()0.05/2()-

15、 t- t0.05/2()0.05/2(), ,- 中部占中部占99%99%面積的面積的t t值范圍：值范圍：- t- t0.01/2()0.01/2()- t- t0.01/2()0.01/2()。 當(dāng)自由度確定時(shí)，占一定面積的當(dāng)自由度確定時(shí)，占一定面積的t界限值，界限值，可以查表得出。可以查表得出。 例如：查當(dāng)自由度例如：查當(dāng)自由度=20，兩側(cè)概率之和為，兩側(cè)概率之和為0.05時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)，對(duì)應(yīng)的t值：值： t0.05/2（20）=2.086， 單側(cè)概率為單側(cè)概率為0.05時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)，對(duì)應(yīng)的t值：值： t0.05（20）=1.725， 一般，一般， t 0.05/2（v）1.96 ，t

16、0.01/2（v） 2.58 自由度越小，曲線越低平，自由度越小，曲線越低平，t 比比1.96，2.58大大的多；自由度變大，的多；自由度變大，t接近于接近于1.96，2.58；自；自由度無窮大，由度無窮大，t=1.96，2.58 使用使用t值表注意：值表注意： 同一自由度下同一自由度下, P越小，越小，t值越大；值越大；P值相同時(shí)，自值相同時(shí)，自由度越大，由度越大，t越?。划?dāng)自由度無窮大時(shí)，越??；當(dāng)自由度無窮大時(shí)，t值與值與u值相等。這也是值相等。這也是u分布與分布與t分布的區(qū)別。分布的區(qū)別。t t分布的主要應(yīng)用：分布的主要應(yīng)用： 總體均數(shù)置信區(qū)間估計(jì)；總體均數(shù)置信區(qū)間估計(jì)； t t檢驗(yàn)；檢

17、驗(yàn)；三、總體均數(shù)置信區(qū)間的估計(jì)三、總體均數(shù)置信區(qū)間的估計(jì) 統(tǒng)計(jì)推斷：參數(shù)估計(jì)，假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)推斷：參數(shù)估計(jì)，假設(shè)檢驗(yàn) 參數(shù)估計(jì)：參數(shù)估計(jì)： 點(diǎn)估計(jì)（點(diǎn)估計(jì)（point estimation):用樣本統(tǒng)計(jì)量作為對(duì)用樣本統(tǒng)計(jì)量作為對(duì)總體參數(shù)的估計(jì)值總體參數(shù)的估計(jì)值() 。比如均數(shù)的估計(jì)。比如均數(shù)的估計(jì)。 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)(interval estimation)：根據(jù)選定的置信：根據(jù)選定的置信度估計(jì)總體均數(shù)所在的區(qū)間（度估計(jì)總體均數(shù)所在的區(qū)間（a 50)足夠大足夠大 也可參考也可參考u分布進(jìn)行分布進(jìn)行 95%置信區(qū)間：置信區(qū)間： 99%置信區(qū)間：置信區(qū)間：2.58,2.58XXXSXS1.96,1.

18、96XXXSXS 3、總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，樣本例數(shù)較小、總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，樣本例數(shù)較小 按按t分布原理，依據(jù)自由度，查出某個(gè)概率相分布原理，依據(jù)自由度，查出某個(gè)概率相應(yīng)的應(yīng)的t界值，界值， 中部占中部占95%95%面積的面積的t t值范圍：值范圍： - t- t0.05/2()0.05/2()_ t_ t0.05/2()0.05/2(), , 占占99%99%面積的面積的t t值范圍：值范圍： - t- t0.01/2()0.01/2()_ t_ t0.01/2()0.01/2()進(jìn)行估計(jì)。進(jìn)行估計(jì)。 因?yàn)椋阂驗(yàn)椋?95%95%的樣本滿足：的樣本滿足： 95%95%置信區(qū)間：置信區(qū)間： 99%99%置信區(qū)間：置信區(qū)間：XXtS0.05 / 2,0.05 / 2,XXXtSXtS0.01 / 2,0.01 / 2,XXXtSXtS0.05 / 2|,vXXtS 95%置信區(qū)間的意義：置信區(qū)間的意義： 理論上，用一次抽樣所得的樣本均數(shù)估計(jì)總體理論上，用一次抽樣所得的樣本均數(shù)估計(jì)總體均數(shù)