土力學三++土中應力和地基應力分布

1、第三章第三章 土中應力土中應力1、土中一點的應力狀態(tài)土中一點的應力狀態(tài)2 、自重應力自重應力3 、附加應力或荷載應力、附加應力或荷載應力垂直均布荷載垂直均布荷載、垂直集中荷載垂直集中荷載、垂直線狀荷載垂直線狀荷載、條形條形荷載荷載（均布、三角形分布）、局部面積荷載（均布、三角形分布）、局部面積荷載 圓形均布荷載圓形均布荷載、矩形荷載矩形荷載（均布、三角形分布）、（均布、三角形分布）、 不規(guī)則面積任意分布荷載不規(guī)則面積任意分布荷載；非均質(zhì)各向異性土中的附加應力分布非均質(zhì)各向異性土中的附加應力分布 ；4 、基底壓力、基底附加壓力（基底凈壓力）基底壓力、基底附加壓力（基底凈壓力）地基中自重應力、地基

2、中自重應力、附加應力分布規(guī)律附加應力分布規(guī)律；小結(jié)小結(jié)土中一點的應力狀態(tài)土中一點的應力狀態(tài)在自然界中理想的彈性材料和塑性材料是沒在自然界中理想的彈性材料和塑性材料是沒有的，為了簡化設(shè)計計算，在一定條件下，有的，為了簡化設(shè)計計算，在一定條件下，把一般材料當成理想材料，在計算中引用彈把一般材料當成理想材料，在計算中引用彈性理論或塑性理論。對于土也是這樣，近似性理論或塑性理論。對于土也是這樣，近似地當成理想均勻彈性或塑性體，采用相應的地當成理想均勻彈性或塑性體，采用相應的計算理論。計算理論。假定地基土是連續(xù)的、均質(zhì)各向同性的、半無限彈性體假定地基土是連續(xù)的、均質(zhì)各向同性的、半無限彈性體 從工程角度看

3、，主要研究宏觀土體的受力問題，工程上可以把從工程角度看，主要研究宏觀土體的受力問題，工程上可以把土顆粒和孔隙混在一起，把土體當作連續(xù)介質(zhì)來分析，從平均土顆粒和孔隙混在一起，把土體當作連續(xù)介質(zhì)來分析，從平均應力的概念出發(fā)，用一般材料力學的方法來定義土中的應力。應力的概念出發(fā)，用一般材料力學的方法來定義土中的應力。 當土層性質(zhì)變化不大時，這樣假定對豎直應力分布引起的誤差，當土層性質(zhì)變化不大時，這樣假定對豎直應力分布引起的誤差，通常也在容許范圍之內(nèi)。當然，如果土層性質(zhì)變化較大時，就通常也在容許范圍之內(nèi)。當然，如果土層性質(zhì)變化較大時，就要考慮非均質(zhì)或各向異性的影響，進行必要的修正。要考慮非均質(zhì)或各向異

4、性的影響，進行必要的修正?？紤]到一般建構(gòu)筑物荷載在地基中引起的應力增量考慮到一般建構(gòu)筑物荷載在地基中引起的應力增量不是很不是很大，地基中產(chǎn)生的塑性區(qū)基本沒有或相對較小，因此，對一大，地基中產(chǎn)生的塑性區(qū)基本沒有或相對較小，因此，對一般工程而言，可以將土考慮為線彈性介質(zhì)，以便直接用彈性般工程而言，可以將土考慮為線彈性介質(zhì)，以便直接用彈性理論求土中的應力分布。但對于一些十分重要且對沉降有特理論求土中的應力分布。但對于一些十分重要且對沉降有特殊要求的建構(gòu)筑物，用彈性理論進行土體中的應力分析其精殊要求的建構(gòu)筑物，用彈性理論進行土體中的應力分析其精度是不夠的，必須借助土的彈塑性理論才能得到比較符合實度是不

5、夠的，必須借助土的彈塑性理論才能得到比較符合實際的應力與變形解答。際的應力與變形解答。 當土體受到外力作用而處于靜力平衡狀態(tài)時，土中一點當土體受到外力作用而處于靜力平衡狀態(tài)時，土中一點的應力狀態(tài)：的應力狀態(tài)： 1.可由可由6個獨立應力分量表示個獨立應力分量表示 x 、 y 、 z 、xy 、 xz 、 yz 2.確定主應力方向，由主應力確定主應力方向，由主應力1 、 2 、3 表示表示 土中一點的應力狀態(tài)。土中一點的應力狀態(tài)。 3.該點任一方向切面上的該點任一方向切面上的 、 都可確定（公式略）都可確定（公式略） xzyxyzxyyxxzzxyzzy231xy = yxxz = zxyz =

6、zyzx0 xzxzzx 二維平面問題：二維平面問題： 沿某一坐標軸向（假設(shè)沿某一坐標軸向（假設(shè)y軸），隨軸），隨 一點位置的改變其應力沒有變化。一點位置的改變其應力沒有變化。 這種情況土中一點的應力狀態(tài)：這種情況土中一點的應力狀態(tài)： 1.可由可由3個獨立應力分量表示個獨立應力分量表示 x 、 z 、 xz 2.確定主應力方向，由確定主應力方向，由主應力主應力1 、 3 表示表示 3.該點任一方向切面上該點任一方向切面上 的的 、 都確定都確定 13sincos2cossin22xzzx)sin(coscossin)(22xzzx Z由靜力平由靜力平衡條件：衡條件：Fx=0Fy=0 x0 xz

7、 xzzx ABC?, 0當= 1 或或3xzxz2sincossincos22tan2221221)2()(21xzzxzx21223)2()(21xzzxzxzx0 xzxzzx1(3) 13=0sincos2cossin22xzzx0)sin(coscossin)(22xzzx zx0 xzxzzx 132sin22cos2)(212cos2)(213131313131xzzx平面問題，土中一點的應力狀態(tài)：平面問題，土中一點的應力狀態(tài)： 1.可由可由3個獨立應力分量表示個獨立應力分量表示 x 、 z 、 xz 2.確定主應力方向，由確定主應力方向，由 主應力主應力1 、 3 表示表示 3

8、.該點任一方向切面上該點任一方向切面上 的的 、 都確定都確定 4、用摩爾應力圓表示、用摩爾應力圓表示 用摩爾應力圓表示土中一點的應力狀態(tài)：用摩爾應力圓表示土中一點的應力狀態(tài)： 規(guī)定：法向應力以壓為正，規(guī)定：法向應力以壓為正， 剪應力以逆時針方向旋轉(zhuǎn)為正剪應力以逆時針方向旋轉(zhuǎn)為正013 0 130 (z ,zx)(x ,xz)0 zx0 xzxzzx 00 13 圓上任一點圓上任一點P坐標值表示土中坐標值表示土中一點某一方向切面上的法一點某一方向切面上的法 向應向應力和剪應力（該切面與大主應力和剪應力（該切面與大主應力作用面夾角為力作用面夾角為 ）P(,)2 13 zx0 1300 (z ,z

9、x)(x ,xz)2大主應力作用面飽和土的有效壓力和孔隙水壓力飽和土的有效壓力和孔隙水壓力土體在外力作用下，土中應力由各相介質(zhì)土體在外力作用下，土中應力由各相介質(zhì)（土粒、水、氣）分別承擔，由于各介質(zhì)（土粒、水、氣）分別承擔，由于各介質(zhì)的力學性能不同，從而影響到整個土體的的力學性能不同，從而影響到整個土體的變形和強度。變形和強度。飽和土體飽和土體在外力作用下，土顆粒骨架和孔在外力作用下，土顆粒骨架和孔隙水分別承擔了部分外力。隙水分別承擔了部分外力。 有效壓力有效壓力：通過土顆粒傳遞的應力，即：通過土顆粒傳遞的應力，即:使土骨架使土骨架產(chǎn)生變形的壓力（顆粒之間產(chǎn)生錯動和壓縮，造產(chǎn)生變形的壓力（顆粒

10、之間產(chǎn)生錯動和壓縮，造成土中孔隙的減小，導致土骨架收縮。假定固體成土中孔隙的減小，導致土骨架收縮。假定固體顆粒本身的體積不變）顆粒本身的體積不變）孔隙水壓力（孔隙壓力）孔隙水壓力（孔隙壓力）u：由孔隙水承擔的壓力：由孔隙水承擔的壓力(因為土顆粒四周受到同等水壓因為土顆粒四周受到同等水壓,土骨架不會發(fā)生變土骨架不會發(fā)生變形形) 。 由外力引起的附加孔隙水壓力，稱為由外力引起的附加孔隙水壓力，稱為超靜超靜水壓力水壓力 （區(qū)別靜水壓力）（區(qū)別靜水壓力） 飽和土體上的總壓力飽和土體上的總壓力 = + u能使土骨架產(chǎn)生變形的能使土骨架產(chǎn)生變形的有效壓力有效壓力除了除了外力外力引引起的，還有土的起的，還有

11、土的自重自重，土在自重作用下也能，土在自重作用下也能逐漸壓密（在水面以上土的容重或在水面以逐漸壓密（在水面以上土的容重或在水面以下土的浮容重，為有效力），另外，水在土下土的浮容重，為有效力），另外，水在土中的中的滲流滲流也會產(chǎn)生有效力，對土骨架變形產(chǎn)也會產(chǎn)生有效力，對土骨架變形產(chǎn)生影響。生影響。h1h2土ab無滲流無滲流2h土的土的自重自重浮重度浮重度= ？ u = ？21hhsat)(21hh 土abh1h2hwih2土的土的自重、水的滲流自重、水的滲流浮重度浮重度+滲透力滲透力= ？ u = ？孔隙水向下滲流孔隙水向下滲流21hhsat)(21hhh2hhLhi水力坡度水力坡度 i= ？a

12、土土abh1h2hwih2土的土的自重、水的滲流自重、水的滲流浮重度浮重度-滲透力滲透力= ？ u = ？孔隙水向上滲流孔隙水向上滲流21hhsat)(21hhh2hhLhi水力坡度水力坡度 i= ？ 部分飽和土的孔隙壓力和有效壓力部分飽和土的孔隙壓力和有效壓力習題習題3-3auu)1 (外力外力引起的引起的基基礎(chǔ)礎(chǔ)飽和土體：飽和土體： = + u部分飽和土：部分飽和土：孔隙壓力系數(shù)孔隙壓力系數(shù)在不同應力條件作用下，在在不同應力條件作用下，在不排水土體中不排水土體中引起引起多大的孔隙壓力和有效壓力，多大的孔隙壓力和有效壓力，Skempton提出提出孔隙壓力系數(shù)方法?？紫秹毫ο禂?shù)方法。= + u

13、影響土骨架變形，影響土骨架變形，不易直接確定不易直接確定易確定易確定= - u孔隙壓力系數(shù)孔隙壓力系數(shù) u孔隙壓力系數(shù)孔隙壓力系數(shù)B123u02 +3 3 +3 1+3 u0+u3 0 1.01.0 BSru3 =B 3 = ( 公式推導略）公式推導略） CgCnn113Sr=1時，時，B=1試驗方法測試驗方法測 B123u02 +3 3 +3 1+3 =u0+u3 = u0+ B 3 u=？ 將公式改寫成：將公式改寫成：u1=A B 1 孔隙壓力系數(shù)孔隙壓力系數(shù)A2 3 1+1u0+u1 推導出理論公式：推導出理論公式： (公式推導略）公式推導略）1131Bu23u01試驗方法測試驗方法測

14、B、A 2 3 1+1u=？23u01=u0+u1 = u0+ AB 1 2 +3 3 +3 1+1u0+u 23u0u= B 3+ A B （1 - 3） 12 +3 3 +3 1+3 2 31+（1 -3） 習題習題3-2地基中應力大小，主要決定于上覆土層的自地基中應力大小，主要決定于上覆土層的自重壓力和作用于地面上的外加荷載。重壓力和作用于地面上的外加荷載。分析地基中的應力，假定地基土為彈性半無分析地基中的應力，假定地基土為彈性半無限體。限體。（滲透力） =總壓力總壓力-孔隙壓力孔隙壓力=z ：為有效容重：為有效容重zc有效容重的確定：有效容重的確定：1）水面以上的土取天然容重）水面以上

15、的土取天然容重 2）水面以下的）水面以下的 粗粒土和透水粘性土，受浮力作用，用浮容重；粗粒土和透水粘性土，受浮力作用，用浮容重； 不透水的飽和粘土，不受浮力作用，用飽和容重不透水的飽和粘土，不受浮力作用，用飽和容重Z土中垂直自重有效應力土中垂直自重有效應力zczq粘性土粘性土液性指數(shù) 22hniiih1對于成層土：對于成層土：Z自重應力分布曲線自重應力分布曲線11hzczcx=y=0 0cxcyczK1例題例題3一一1 ：第一層土為粉砂，厚度：第一層土為粉砂，厚度6m， 1=18.5kN/m3， 1sat=21.4kN/m3；第二層土為粘土，厚度；第二層土為粘土，厚度4m， 2=16.8kN/

16、m3, 2sat=19.7kN/m3，w=50%，wL=48%，wP=25%，地下水位距地表，地下水位距地表3m，求：，求： (1) 土中自重應力；土中自重應力；(2) 如果地下水位下降如果地下水位下降1.0m，不考慮毛細現(xiàn)象不考慮毛細現(xiàn)象，土自重應力出，土自重應力出現(xiàn)怎樣變化？現(xiàn)怎樣變化？ (a)地下水位下降 (b)地下水位上升 (c)填土圖3-6 由于填土或地下水位升降引起自重應力的變化（實線：變化前自重應力；虛線：變化后自重應力） 當?shù)叵滤幌陆禃r或土層為新近沉積或地面有大面積的人工填土時，土中的自重應力會增大 新增加的自重應力會引起土體本身產(chǎn)生壓縮變形，進而引起地面沉降。新增加的自重應

17、力會引起土體本身產(chǎn)生壓縮變形，進而引起地面沉降。 若考慮毛細作用，土層中由于毛細水位的上升（高度為若考慮毛細作用，土層中由于毛細水位的上升（高度為hc )，上升的水柱重量通過水膜張力傳遞到土骨架上，上升的水柱重量通過水膜張力傳遞到土骨架上，形成有效力，因此毛細作用將會提高土層的有效自重應形成有效力，因此毛細作用將會提高土層的有效自重應力。力。 由于水膜的提升作用，使孔隙水中產(chǎn)生一負孔隙水壓力由于水膜的提升作用，使孔隙水中產(chǎn)生一負孔隙水壓力 u毛毛= w hc，它相當于把高出地下水面，它相當于把高出地下水面hc的水柱懸掛的水柱懸掛起來的拉力。起來的拉力。 考慮毛細作用的垂直自重有效應力考慮毛細作

18、用的垂直自重有效應力 例題：例題： 現(xiàn)有一由兩層土組成之地現(xiàn)有一由兩層土組成之地基，上層為粉砂，厚基，上層為粉砂，厚6米，米，下層為軟塑粉質(zhì)粘土，地下層為軟塑粉質(zhì)粘土，地下水面深下水面深3米，水面以上米，水面以上土的天然容重為土的天然容重為17 kN/m3，而飽和容重為，而飽和容重為19 kN/m3 ，粉質(zhì)粘土的，粉質(zhì)粘土的飽和容重為飽和容重為20 kN/m3 ，試計算試計算10米深范圍內(nèi)的米深范圍內(nèi)的自重壓力的分布。自重壓力的分布。粉粉砂砂軟軟塑塑粉粉質(zhì)質(zhì)粘粘土土6米3米4米z5178.6119.4 hhc = u= = u = -0- u毛毛= + w hc = u =- u靜水壓力靜水壓

19、力- u毛毛 = - wh1+ w hch1 = u =- u靜水壓力靜水壓力- u毛毛 = - wh2+ w hc = = u = - wh3+ w hch2h3 例題：例題： 現(xiàn)有一由兩層土組成之地現(xiàn)有一由兩層土組成之地基，上層為粉砂，厚基，上層為粉砂，厚6米，米，下層為軟塑粉質(zhì)粘土，地下層為軟塑粉質(zhì)粘土，地下水面深下水面深3米，水面以上米，水面以上土的天然容重為土的天然容重為17 kN/m3，而飽和容重為，而飽和容重為19 kN/m3 ，粉質(zhì)粘土的，粉質(zhì)粘土的飽和容重為飽和容重為20 kN/m3 ，試計算試計算10米深范圍內(nèi)的自米深范圍內(nèi)的自重壓力的分布。（砂土中重壓力的分布。（砂土中出

20、現(xiàn)毛細水，毛細水面上出現(xiàn)毛細水，毛細水面上升升1.0m。）。）6米3米4米qzz3480.6121.4粉粉砂砂軟軟塑塑粉粉質(zhì)質(zhì)粘粘土土43.853粉砂軟塑粉質(zhì)粘土6米3米4米qzz5178.6119.4qzz3480.6121.443.853粉砂軟塑粉質(zhì)粘土不考慮毛細水作用不考慮毛細水作用考慮毛細水作用考慮毛細水作用習題習題3-4 基底的接觸應力基底的接觸應力在計算地基應力之前，首先要知道在計算地基應力之前，首先要知道地表荷載地表荷載的分布和規(guī)律的分布和規(guī)律。實際地表荷載多為局部不規(guī)。實際地表荷載多為局部不規(guī)則荷載，比較復雜。且建筑物荷載是通過基則荷載，比較復雜。且建筑物荷載是通過基礎(chǔ)傳遞給地

21、基的。因此要知道礎(chǔ)傳遞給地基的。因此要知道基礎(chǔ)底部與地基礎(chǔ)底部與地基之間的接觸應力（基底壓力）基之間的接觸應力（基底壓力）。 影響基底壓力的因素很多，實際基底的接觸應力分影響基底壓力的因素很多，實際基底的接觸應力分布復雜。布復雜。 1.影響因素：影響因素： 基礎(chǔ)基礎(chǔ)的剛?cè)岫龋▌傂曰A(chǔ)、柔性基礎(chǔ)）、基礎(chǔ)埋的剛?cè)岫龋▌傂曰A(chǔ)、柔性基礎(chǔ)）、基礎(chǔ)埋深、基礎(chǔ)面積；深、基礎(chǔ)面積； 荷載荷載大小、分布；大小、分布； 地基土地基土種類等種類等 剛性基礎(chǔ)基底壓力簡化算法剛性基礎(chǔ)基底壓力簡化算法計算基底壓力若考慮所有影響因素，那太復計算基底壓力若考慮所有影響因素，那太復雜，實際也不可能辦到。目前在進行地基基雜，實

22、際也不可能辦到。目前在進行地基基礎(chǔ)設(shè)計中，常采用簡化計算法。礎(chǔ)設(shè)計中，常采用簡化計算法。 假定剛性基礎(chǔ)基底壓力總是成直線分布假定剛性基礎(chǔ)基底壓力總是成直線分布 1中心荷載（基底上荷載合力通過基底形心）中心荷載（基底上荷載合力通過基底形心） P中心荷載下基底壓力均勻分布：中心荷載下基底壓力均勻分布：形心位置形心位置-FGpAAPp G p76(a)中心荷載 (b)雙向偏心荷載 (c)單向偏心荷載 二二. 偏心荷載偏心荷載1.單軸偏心單軸偏心: 基底壓力為不均勻直線分布基底壓力為不均勻直線分布(討論矩形基礎(chǔ)討論矩形基礎(chǔ))PPM=P*ep1p2y eXAWAWcIWcIWeAPWMAPpeAPWMA

23、Pp22112211222111)1 ()1 ( W為截面模量為截面模量 I為基礎(chǔ)底面對為基礎(chǔ)底面對y軸的慣性矩軸的慣性矩為核心半徑為核心半徑p1p2 eac1c2b)61 (beAP)61 (beAP261ab6b261ab6b矩形基礎(chǔ)F GpAAPpmaxmin61FGMFGepAWAbmaxmin61FGMFGepAWAbb力矩M作用方向的基礎(chǔ)邊長 max2()3(2)FGpbe lm ax2()3(2)FGpbe lm a x2 ()3 (2)FGpbel eb/6P2 =0p1eb/6P2 p1eb/6p1P2 P2 =0p1e=b/60)2( 32121paebPp？L=?P1=?

24、 p1eeb2L=3(b/2-e)矩形基礎(chǔ)矩形基礎(chǔ)F GpAmax2()3(2)FGpbe l(3-9)(其他形狀基礎(chǔ)其他形狀基礎(chǔ))PM=P ep1p2 o eyc1c2xFWFWcIWcIWeFVWMFVpeFVWMFVp22112211222111)1()1(PAPAPAPAAAF GpAAPp2.雙軸向偏心雙軸向偏心: 基底壓力為基底壓力為 不均勻直線分布不均勻直線分布)1()1()1()1(4321xxyyyyxxxxyyyyxxxxyyyyxxxxyyyyxxeeFVWMWMFVpeeFVWMWMFVpeeFVWMWMFVpeeFVWMWMFVp1234p1p4p3p21234yxe

25、xeyF GpAA基底附加壓力基底附加壓力基底附加壓力基底附加壓力: 作用于基底上的平均壓力減去基作用于基底上的平均壓力減去基 （基底凈壓力）（基底凈壓力） 底處原先存在于土中的自重應力。底處原先存在于土中的自重應力。 地基土在自重應力的長地基土在自重應力的長期作用下變形已完成期作用下變形已完成挖去土重挖去土重 d d d 基底壓力為基底壓力為p，但能引起地基土產(chǎn)生，但能引起地基土產(chǎn)生壓縮變形的為新增加的壓力壓縮變形的為新增加的壓力p - d ，即基底附加壓力即基底附加壓力00czpppd000例題例題3一一2某外墻柱下獨立基礎(chǔ)底面尺寸為3m2.4m，柱傳給基礎(chǔ)頂部的豎向荷載標準值F=900k

26、N，彎矩M=150kNm，求基礎(chǔ)底部的壓力p、pmax、pmin和基底附加壓力p0。例題：例題：有一有一條形條形剛性基礎(chǔ)，寬剛性基礎(chǔ)，寬b=4.0m，作用著均布線狀中，作用著均布線狀中心荷載心荷載P=1000kN/m（包括基礎(chǔ)自重），（包括基礎(chǔ)自重），(基礎(chǔ)埋深d =1.5m，地基土容重 =17.4kN/m3 ，) 試求基礎(chǔ)試求基礎(chǔ)中點下中點下6m處及基礎(chǔ)邊沿下處及基礎(chǔ)邊沿下6m處的豎向荷載應力。處的豎向荷載應力。習題：習題：有一矩形剛性基礎(chǔ)，長有一矩形剛性基礎(chǔ)，長a=6.0m, 寬寬b=4.0m，作用著中心荷載，作用著中心荷載P=1000kN（不包括基礎(chǔ)自重），（不包括基礎(chǔ)自重），(基礎(chǔ)埋深

27、d =1.5m，地基土容重 =17.4kN/m3 ，) 試求基礎(chǔ)中點下試求基礎(chǔ)中點下6m處的豎向荷載應處的豎向荷載應力。力。F GpA例題例題 有一圓環(huán)形基礎(chǔ)，圓環(huán)外徑為有一圓環(huán)形基礎(chǔ)，圓環(huán)外徑為12m，內(nèi)徑為，內(nèi)徑為8m，離，離基礎(chǔ)中心點基礎(chǔ)中心點2m處作用有合力為處作用有合力為9000kN的垂直荷載，的垂直荷載，試求基底最大和最小壓應力？試求基底最大和最小壓應力？9000kN附加應力附加應力(荷載應力）：由外加荷載引起的應力。區(qū)荷載應力）：由外加荷載引起的應力。區(qū) 別于土的自重應力。垂直方向附加應力別于土的自重應力。垂直方向附加應力 表示為表示為地面上作用有地面上作用有垂直均勻滿布荷載垂直

28、均勻滿布荷載qqzzzqz總qz垂直附加應力：垂直附加應力：z0 xyzyzx、為主應力面垂直截面、水平截面均zyx1其它方向附加應力：其它方向附加應力：自重應力ZP=111/21/21/41/83/81/43/81/82/41/165/321/321/161/325/326/1610/3210/324/164/16ZP=111/21/21/41/83/81/43/81/82/41/165/321/321/161/325/326/1610/3210/324/164/16地基中附加應力擴散示意圖 新增加的荷載產(chǎn)生應力擴散，附加應力隨深度的增加平面分布范圍增大，但數(shù)值減小。同一深度表現(xiàn)為中部應力大

29、，向兩側(cè)漸小。地面上作用有地面上作用有垂直集中荷載垂直集中荷載P,計算土中的附加應力計算土中的附加應力 zPrRzrK查表查表3-122/5225332)/(12323cos23zPzrzPRzPRPzBoussinesq解出：解出：采用彈性理論解答 三維問題：三維問題： 其余應力分量同樣解出其余應力分量同樣解出 （采用直角坐標）（采用直角坐標） xxyxzyzzPrzrrzr（采用圓柱坐標）（采用圓柱坐標）yX、Y、Z軸方向的位移 垂直線狀荷載下，土中的附加應力垂直線狀荷載下，土中的附加應力32cos23Rdypdz積分：積分：222343)(2cos2cos2zxzpzprpdzzrxzx

30、yzp0R dyP0dypp二維平面問題：其余應力分量同樣解出二維平面問題：其余應力分量同樣解出 xxzrxzxyzp0R dyP0dypp條形荷載下，土中的附加應力條形荷載下，土中的附加應力3cos)(2rdxxpdz積分：積分：213cos)(2xxzrdxxpN12rdxP(x)xx1x2條形均布荷載條形均布荷載p0zx0bNxz0s2222220)(16 1)(4)(4 1)(4)(44/2/21arctan/2/21arctanpbzbzbxbzbxbzbzbxbzbxpz積分結(jié)果：積分結(jié)果：（應力系數(shù)，與（應力系數(shù)，與x, z, b有關(guān)有關(guān), 可查表可查表 注意：坐標原點在荷載的中

31、點注意：坐標原點在荷載的中點二維平面問題：二維平面問題：其余應力分量同樣解出：其余應力分量同樣解出： xxzN12P x13sin)sin()(1212pp大小主應力大小主應力 ： 12P166 (6-1)條形三角形分布荷載條形三角形分布荷載p0 xzN0bxz積分結(jié)果：積分結(jié)果：0st220)/() 1/(1/)/1/arctan/(arctanpbzbxbxbzbzbxbzbxbxpz（應力系數(shù)，與（應力系數(shù)，與x, z, b有關(guān)有關(guān), 可查表）可查表） 注意：坐標原點在三角形頂點上，注意：坐標原點在三角形頂點上，x 軸的方向軸的方向 以荷載增長的方向為正以荷載增長的方向為正二維平面問題：

32、二維平面問題：其余應力分量同樣解出其余應力分量同樣解出 xxzpxzN0bxz例題例題3-5 局部面積荷載下，土中的附加應力局部面積荷載下，土中的附加應力 取一微分面積取一微分面積dxdy，將作用在這一微分面積，將作用在這一微分面積上的荷載上的荷載p(x，y) dxdy 作為一集中荷載，利用集作為一集中荷載，利用集中荷載下的公式求附加壓力：中荷載下的公式求附加壓力：然后對此附加壓力進行面積積分：然后對此附加壓力進行面積積分：2dxdy y)(xzpzdFzdFpz21坐標原點設(shè)在荷載圓心，求坐標原點設(shè)在荷載圓心，求z軸上一點軸上一點N的垂直應力的垂直應力 zNz Rz積分結(jié)果：積分結(jié)果：0r3

33、20)/(1/1pRzRzpz對任一點的垂直應力也可推出解析解，其結(jié)果不能用對任一點的垂直應力也可推出解析解，其結(jié)果不能用初等函數(shù)表示，不再介紹。初等函數(shù)表示，不再介紹。圓形均布荷載圓形均布荷載 p00r查表查表矩形均布荷載角點下矩形均布荷載角點下的應力系數(shù)查表的應力系數(shù)查表矩形均布荷載矩形均布荷載推導出計算公式比較復雜，可用下式查表計算：推導出計算公式比較復雜，可用下式查表計算：2222222221(21)arctan2()(1)11cmn mnmmnnmnn mnm=l/b，n=z/b 0zcpzyxzM(0,0,z)xdxbydylop0dxdyp0zyxzM(0,0,z)xdxbydy

34、lop0dxdyp0b為荷載面的短邊寬度 (3-14)角點下角點下矩形均布荷載下任一點處的垂直附加應力計算矩形均布荷載下任一點處的垂直附加應力計算：用疊加原理，轉(zhuǎn)為角點下，查表計算用疊加原理，轉(zhuǎn)為角點下，查表計算矩形內(nèi)一點下矩形內(nèi)一點下矩形邊點下矩形邊點下矩形外一點下矩形外一點下 矩形線性分布荷載在荷載為零的角點下矩形線性分布荷載在荷載為零的角點下的應力系數(shù)查表的應力系數(shù)查表矩形三角形分布荷載矩形三角形分布荷載推導出計算公式比較復雜，推導出計算公式比較復雜，可用下式查表計算：可用下式查表計算：M (0, 0, z)XZYp0bl0 xp dxdybOM (0, 0, z)XZYp0bl0 xp

35、 dxdybO0zctp22222212(1)1ctmnnmnnmnm=l/b和n=z/b b是沿三角形分布荷載方向的邊長。角點下角點下矩形線性分布荷載下任一點處的垂直附加應力計算矩形線性分布荷載下任一點處的垂直附加應力計算：用疊加原理，查表計算用疊加原理，查表計算 矩形角點下矩形角點下矩形邊點下矩形邊點下矩形內(nèi)一點下矩形內(nèi)一點下矩形外一點下矩形外一點下例題例題3一一 3pmin=200kPa4.0m2.0mCBApmax=600kPaadbcfepmin=200kPa4.0m2.0mCBApmax=600kPaadbcfe例題例題3一一4例題：例題： 有一矩形均布面積荷載，有一矩形均布面積荷

36、載， 平面尺寸為平面尺寸為3 4 ，單，單位面上壓力位面上壓力p=300kPa，如圖所示。試計算在矩形如圖所示。試計算在矩形短邊延長線上，離角點外短邊延長線上，離角點外側(cè)側(cè)1m，地面下，地面下4m處處A點點之之 （采用角點法之應力系數(shù)表）（采用角點法之應力系數(shù)表）2mz4m3mA1m4mA不規(guī)則面積任意分布的荷載不規(guī)則面積任意分布的荷載 采用近似方法求解：把荷載面積分成許多小塊，求采用近似方法求解：把荷載面積分成許多小塊，求每一小塊面積上的合力每一小塊面積上的合力pi，作為集中荷載，計算地，作為集中荷載，計算地面下一點由此集中荷載產(chǎn)生的附加應力面下一點由此集中荷載產(chǎn)生的附加應力 ，然后，然后通

37、過疊加，求總的附加應力通過疊加，求總的附加應力zizizNewmark感應圖感應圖 通過感應圖求通過感應圖求均布面積荷載作用下均布面積荷載作用下，彈性，彈性地基中任一點上的附加應力。地基中任一點上的附加應力。 A BNN比例尺比例尺AB長度長度等于等于N點的深度點的深度感應圖中每個小感應面在感應圖中每個小感應面在N點點引起垂直應力為引起垂直應力為0.005p地基中附加應力地基中附加應力 分布曲線及分布規(guī)律分布曲線及分布規(guī)律 z 附加應力附加應力 分布規(guī)律：分布規(guī)律：（1）在荷載面以下同一深度的水平面上，沿荷載軸線）在荷載面以下同一深度的水平面上，沿荷載軸線上的附加應力最大，向兩邊逐漸減小上的附加應力最大，向兩邊逐漸減?。?）在荷載軸線上（荷載作用面以內(nèi)的豎直剖面上），）在荷載軸線上（荷載作用面以內(nèi)的豎直剖面