集合不等式函數(shù)等的復(fù)習(xí)建議(北師大)

1、作為“集合、不等式”是重要的“工具性知識”，這里所指的“工具性”是指為函數(shù)、數(shù)列、立體幾何及解析幾何等方面的問題提供“簡捷描述”及研究的手段。看下例：（05全國III數(shù)學(xué)理22）已知函數(shù)（）求的單調(diào)區(qū)間和值域；（）設(shè)，函數(shù)使得成立，求a的取值范圍. 由于“集合、不等式”這兩部分知識自身的特點(diǎn)，如集合及相關(guān)知識的抽象性，不等式研究對象的復(fù)雜性，手法的多樣性，故這兩部分入手容易深入難，建議大家在這兩部分的復(fù)習(xí)上把握“度”，重點(diǎn)突出，使學(xué)生知道哪些是學(xué)生必須掌握的，如重要不等式成立的條件；哪些是需要學(xué)生根據(jù)問題靈活掌握的，如不等式的多種證明方法的運(yùn)用。注意復(fù)習(xí)節(jié)奏。抓雙基，在復(fù)習(xí)中幫助學(xué)生在具體問題

2、的處理過程中作到：知識系統(tǒng)化，這包括知識內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，相關(guān)知識運(yùn)用的時(shí)機(jī)和場合；具體問題的系統(tǒng)化，這包括幫助學(xué)生尋找問題的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)問題遷移的能力，從而使學(xué)生在處理簡單問題時(shí)，不憷頭，培養(yǎng)學(xué)生的自信心，作為復(fù)數(shù)，現(xiàn)在要求明顯成下降趨勢，問題形式明確化，知識內(nèi)容簡單化，這段復(fù)習(xí)就更應(yīng)重點(diǎn)突出、抓雙基、注意復(fù)習(xí)節(jié)奏。下面分別就“集合、不等式和復(fù)數(shù)”三章內(nèi)容，談一些自己的想法，僅供參考。一、集合與簡易邏輯 作為考試要求，要理解集合、子集、交集、并集、補(bǔ)集的概念，了解空集和全集的意義，了解屬于、包含和相等關(guān)系的意義，掌握有關(guān)的術(shù)語和符號并會用它們正確表示一些簡單的集合問題；要正確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“

3、與”、“或”、“非”的含義，理解四種命題及相互關(guān)系，掌握充分條件、必要條件、充要條件的意義。 1、對于集合問題首先要注意與集合本身相關(guān)的知識的鞏固 注意“集合元素的確定性、惟一性、無續(xù)性”的復(fù)習(xí)，設(shè)，集合，則（）（07全國）A1 B C2 D設(shè)P、Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P+Q=，則P+Q中元素的個(gè)數(shù)是 （ ）（05湖北）A9B8C7D6 注意“集合的構(gòu)成方式及表示法，特別是集合代表元的含義”的復(fù)習(xí)，這是因?yàn)榭赏ㄟ^對集合代表元的分析，在一定程度上搞清集合所要表達(dá)的含義，已知集合P=xN|1x10,集合Q=xR|x2+x60, 則PQ等于( ) (06陜西) A. 2 B.1,2 C.2,

4、3 D.1,2,3若集合M0，l，2，N(x，y)|x2y10且x2y10，x，y M，則N中元素的個(gè)數(shù)為（07江西） A9 B6 C4 D2設(shè)集合M,R，R，N，R，R，則集合中元素 的個(gè)數(shù)為 （ ）（04陜西廣西海南西藏內(nèi)蒙古）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 2、注意與“集合之間關(guān)系”相關(guān)的知識復(fù)習(xí)，這包括集合的包含關(guān)系及集合運(yùn)算 集合的包含關(guān)系已知集合A1，3，21，集合B3，若BA，則實(shí)數(shù) (06上海)設(shè)集合,則滿足的集合B的個(gè)數(shù)是（06遼寧）(A)1 (B)3 (C)4 (D)8 關(guān)于“集合運(yùn)算”的內(nèi)容，除了要鞏固交、并、補(bǔ)集的構(gòu)成方法外還應(yīng)注意文氏圖含不等式解集的集合問題中

5、數(shù)軸的使用，與使用數(shù)軸相關(guān)的問題如下例，設(shè)集合，則等于（ ）（06安徽）A B C D類似的問題是已知集合Mx|，Ny|y3x21，xR，則MN（ ）（06江西）A B. x|x1 C.x|x1 D. x| x1或x0設(shè)P和Q是兩個(gè)集合，定義集合=，如果，那么等于Ax|0x1 B.x|0x1 C.x|1x2 D.x|2x3 若，則的元素個(gè)數(shù)為（07安徽）A.0B.1C.2D.3可借助文氏圖的問題如下，設(shè)A、B、I均為非空集合，且滿足ABI，則下列各式中錯(cuò)誤的是（）（04山東山西河南河北江西安徽）A.（CIA）BI B.（CIA）（CIB）I C. A（CIB） D.（CIA）（CIB）CIB若

6、A、B、C為三個(gè)集合，則一定有（2006江蘇卷）（A）（B）（C）（D）設(shè)全集，集合，則等于（ ）（2006安徽卷）A B C D 借助文氏圖，我們可以很容易的搞清集合所含元素個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，如（2006湖北卷）有限集合中元素的個(gè)數(shù)記做，設(shè)都為有限集合，給出下列命題：的充要條件是；的充要條件是；的充要條件是；的充要條件是；其中真命題的序號是A B C D3、對集合問題的綜合考察 對于集合問題的綜合考察，近年大題少有考察，只是今年在北京卷的最后一題才又有所體現(xiàn)。（07理北京卷20）已知集合，其中，由中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合：，其中是有序數(shù)對，集合和中的元素個(gè)數(shù)分別為和若對于任意的，總有，則稱集

7、合具有性質(zhì)（I）檢驗(yàn)集合與是否具有性質(zhì)并對其中具有性質(zhì)的集合，寫出相應(yīng)的集合和；（II）對任何具有性質(zhì)的集合，證明：；（III）判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論第三問提示：（III）解：，證明如下：（1）對于，根據(jù)定義，且，從而如果與是的不同元素，那么與中至少有一個(gè)不成立，從而與中也至少有一個(gè)不成立故與也是的不同元素可見，中元素的個(gè)數(shù)不多于中元素的個(gè)數(shù)，即，（2）對于，根據(jù)定義，且，從而如果與是的不同元素，那么與中至少有一個(gè)不成立，從而與中也至少有一個(gè)不成立，故與也是的不同元素可見，中元素的個(gè)數(shù)不多于中元素的個(gè)數(shù)，即，由（1）（2）可知，此類問題要求學(xué)生對集合相關(guān)概念有較深刻的理解，對學(xué)生關(guān)于

8、代數(shù)量的抽象思維能力有較高要求，而這些問題都不是學(xué)生在第一遍復(fù)習(xí)中所能建立起來的，故在條件許可的情況下，在第二遍復(fù)習(xí)時(shí)專題涉及。下面再給出幾道題作為參考。設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),A=(x,y)x=n,y=na+b,n是整數(shù),B=(x,y)x=,m,y=3m2+15,m是整數(shù),C=(x,y)x2+y2144是平面XOY內(nèi)的點(diǎn)集合.討論是否存在a和b使得 (1)(2) (a,b)C同時(shí)成立.設(shè)集合S滿足：，(1)求證： (2)是否存在滿足要求的集合S，使得card(S)=1，若存在，寫出集合S的所有可能，若不存在，說明理由。設(shè)集合S為5個(gè)非負(fù)數(shù)組成的集合，若對S中任意兩個(gè)數(shù)x,y，xy時(shí)，x+y,x-

9、y中只要有一個(gè)仍在集合S中，證明：存在一個(gè)數(shù)a，使得S=0，a，2a，3a，4a。4、簡易邏輯 關(guān)于這部分內(nèi)容由于在教學(xué)和考試中的要求都不是很高，建議在練習(xí)過程中復(fù)習(xí)，而不用專項(xiàng)復(fù)習(xí)，練習(xí)建議側(cè)重四種命題的關(guān)系，非命題的改寫，“或且非”命題的真值表，充分條件、必要條件、充要條件的判別過程等方面內(nèi)容。下面是高考中的幾個(gè)例子，（04福建）命題p：若、R，則1是1的充分而不必要條件；命題q：函數(shù)的定義域是（，. 則（）（A）“p或q”為假 （B）“p且q”為真 （C）p真q假 （D）p假q真問題的否定 (07山東)命題“對任意的”的否定是（ ）A.不存在 B.存在C.存在 D. 對任意的（07寧夏）

10、已知命題：，則（ ） A. B. C. D. (07重慶)命題：“若，則”的逆否命題是（ ）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則充要條件，（06天津）設(shè)集合，那么“”是“”的（ ）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件在充要條件的判別中綜合了各方面的數(shù)學(xué)知識（07湖北）已知是的充分條件而不是必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件。現(xiàn)有下列命題：是的充要條件；是的充分條件而不是必要條件；是的必要條件而不是充分條件；的必要條件而不是充分條件；是的充分條件而不是必要條件，則正確命題序號是（）A. B. C. D. (07山東)下列各小題中，是的

11、充分必要條件的是有兩個(gè)不同的零點(diǎn)是偶函數(shù) A. B. C. D. （07江西）設(shè)p：f(x)exIn x2x2mxl在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增，q：m5，則p是q的 A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件（06江西）下列四個(gè)條件中，是的必要不充分條件的是（）， ，為雙曲線，二、不等式 不等式作為表示問題，研究問題的重要手段，滲透于數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，即使教學(xué)的重點(diǎn)章節(jié)，其思想和方法也是考察的重點(diǎn)，當(dāng)然也是復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。但由于不等式的變化多種多樣，問題繁雜，況且一部分不等式相關(guān)問題也可用新的方法解決，如下例已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)x，g(x)=xlnx.（）求函數(shù)

12、f(x)的最大值；（）設(shè)0ab,證明0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.在這道題的問題處理中，就可用函數(shù)求導(dǎo)的方法解決，因此，類似于集合部分的復(fù)習(xí)建議，這部分在復(fù)習(xí)時(shí)切不可沉醉于各種設(shè)計(jì)精巧的不等式問題當(dāng)中，不要求大求全，而應(yīng)根據(jù)考試要求，緊扣雙基，鞏固不等式各種結(jié)論成立的條件，掌握基本的不等式證明方法及不等式求解的思考和操作步驟，與各種題型的掌握相比，“使學(xué)生復(fù)習(xí)之后在頭腦中首先留下的是知識層面的內(nèi)容”更為重要。關(guān)于本章復(fù)習(xí)，可否從以下四個(gè)方面逐一展開，請大家斟酌。 1、不等式的基本性質(zhì)、均值定理和絕對值不等式 考試要求：理解不等式的性質(zhì)和證明；掌握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)

13、平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單應(yīng)用；理解|a|-|b|a+b|a|+|b|不等式性質(zhì)的復(fù)習(xí)學(xué)生最容易出錯(cuò)的是性質(zhì)4，5，問題就出在對結(jié)論成立條件的忽視，而對于ab時(shí)，誰的絕對值大學(xué)生也把握不好，這是由于對一個(gè)數(shù)的絕對值的幾何背景不熟所致，兩者的結(jié)合常常使學(xué)生倍感困難，如下面問題，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起充分注意，（99上海理）若ab（b+）2均不能成立D.不等式和（a+）2（b+）2均不能成立在復(fù)習(xí)重要不等式的過程中，首先不是關(guān)注這個(gè)結(jié)論有什么有，而是應(yīng)先從鞏固定理的內(nèi)容入手，這包括對定理形式的了解（如知道定理所涉及的是兩個(gè)量的和與積的大小比較），定理成立的條件及定理形式的各種簡單變形，如

14、（06浙江卷）“abc”是“ab”的A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件D既不允分也不必要條件（00全國）若ab1，P，Q（lgalgb），Rlg（），則（ ）A.RPQ B.PQR C.QPRD.PRQ(04年全國卷I)的最小值為（ B ）ABCD+已知：x0，y0，x+y=1,求證：(06重慶卷)若a,b,c0且a(a+b+c)+bc=4-2,則2a+b+c的最小值為（A）-1 (B) +1 (C) 2+2 (D) 2-2解：若且 所以， ，則()，作為均值定理及其變形在不等式證明，求最值，范圍等問題的解決過程中起著重要作用，在使用這個(gè)定理的過程中所應(yīng)注意的問題也還是上面

15、所談的內(nèi)容，在開始復(fù)習(xí)階段可找些較容易的問題作為對均值定理的復(fù)習(xí)材料。 作為絕對值不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|，由于其自身的復(fù)雜性，考試頻率不是很高，側(cè)重點(diǎn)還是應(yīng)放在等號成立的條件上， (2004年福建卷)命題p：若a、bR，則|a|+|b|1是|a+b|1的充分而不必要條件；命題q：函數(shù)y=的定義域是（，13，+.則（ ）A“p或q”為假 B“p且q”為真 Cp真q假 Dp假q真當(dāng)然如果條件允許，也可通過對此不等式的證明，復(fù)習(xí)這個(gè)不等式的使用方法2、不等式的證明 考試要求：掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式作為不等式證明的內(nèi)容非常繁雜，近些年在高考中很少在大題中單獨(dú)命制，

16、因此在這部分的復(fù)習(xí)中，首先就是要掌握書中所提的三種基本的證明方法，熟悉它們解決問題的思考步驟，尤其是比較法中的作差法和綜合法，在題目配置上不應(yīng)求難求全，作到重點(diǎn)突出。注意到近年來不等式證明和函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及數(shù)列等相結(jié)合趨勢越明顯，因此在復(fù)習(xí)時(shí)，還應(yīng)適當(dāng)加入放縮法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法（限理科），反證法、數(shù)形結(jié)合的方法，作為參考可看下面幾道題。（04年全國2理 數(shù) 學(xué)）利用已有、已證結(jié)論或制造函數(shù)利用函數(shù)性質(zhì)解決已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)x，g(x)=xlnx.（）求函數(shù)f(x)的最大值；（）設(shè)0ab,證明0g(a)+g(b)-2g()-1時(shí)，(1+x)m1+mx；（）對于n6，已知，求證，m=

17、1,1,2，n；（）求出滿足等式3n+4m+(n+2)m=(n+3)n的所有正整數(shù)n.（2004北京理卷20）反證法 給定有限個(gè)正數(shù)滿足條件T：每個(gè)數(shù)都不大于50且總和L1275.現(xiàn)將這些數(shù)按下列要求進(jìn)行分組，每組數(shù)之和不大于150且分組的步驟是： 首先，從這些數(shù)中選擇這樣一些數(shù)構(gòu)成第一組，使得150與這組數(shù)之和的差與所有可能的其他選擇相比是最小的，稱為第一組余差； 然后，在去掉已選入第一組的數(shù)后，對余下的數(shù)按第一組的選擇方式構(gòu)成第二組，這時(shí)的余差為；如此繼續(xù)構(gòu)成第三組（余差為）、第四組（余差為）、，直至第N組（余差為）把這些數(shù)全部分完為止. （I）判斷的大小關(guān)系，并指出除第N組外的每組至少含

18、有幾個(gè)數(shù); （II）當(dāng)構(gòu)成第n（n0，b0，則不等式ba等價(jià)于（ ）Ax0或0x 解：B. x C. x D. x再有一點(diǎn)就是對簡單不等式的解集類型要求熟練掌握，如下面問題（2006全國II卷）設(shè)，函數(shù)若的解集為A，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由f（x）為二次函數(shù)知令f（x）0解得其兩根為由此可知（i）當(dāng)時(shí)，的充要條件是，即解得（ii）當(dāng)時(shí)，的充要條件是，即解得綜上，使成立的a的取值范圍為 對于含字母系數(shù)不等式的字母對解集影響的討論，高考中現(xiàn)在已較少出現(xiàn)，不要花大量時(shí)間在這上面，出一些較簡單的問題即可，如（04遼寧）解關(guān)于x的不等式，目的是讓學(xué)生能對這類問題有一個(gè)基本的思考方式和步驟，另外這類問題也

19、常和范圍確定問題聯(lián)系在一起，可在那一段給出一些相關(guān)問題對于指對不等式常根據(jù)函數(shù)單調(diào)性處理，作一些簡單練習(xí)，如下問題即可。（06山東卷）設(shè)f(x)= 則不等式f(x)2的解集為A（1，2）（3，+） B（，+） C（1，2）（ ，+） D（1，2）（06江蘇卷）不等式的解集為4、不等式的應(yīng)用 這部分問題包含應(yīng)用題求最值，線性規(guī)劃問題，二次方程根的分布問題，恒成立的問題，在操作手法上與不等式證明和解不等式的方法類似，特別的對于恒成立的問題，常可通過系數(shù)分離轉(zhuǎn)形，通過最值比較、數(shù)形結(jié)合得以求解。(06上海卷)三個(gè)同學(xué)對問題“關(guān)于的不等式25|5|在1，12上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍”提出各自的解題思

20、路甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”乙說：“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問題的正確結(jié)論，即的取值范圍是 解：由25|5|，而，等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；且，等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；所以，等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；故；(07安徽理科)若對任意R,不等式ax恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A a-1 B 1 C 1 D a1函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為 又若對所有的及都成立，則的取值范圍是 三、復(fù)數(shù)考試要求：了解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念以及復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義；掌握復(fù)數(shù)代數(shù)

21、形式的運(yùn)算法則，能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減、乘、除運(yùn)算；了解從自然數(shù)系到復(fù)數(shù)系的關(guān)系及擴(kuò)充的基本思想。復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義這部分內(nèi)容的復(fù)習(xí)要使學(xué)生熟練復(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)在代數(shù)表示上的不同，注意其幾何意義相關(guān)知識與其他知識的銜接，如（07遼寧）若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限對于復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求解方程的問題，只要求在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)會解實(shí)系數(shù)一元二次方程即可，如下問題（07上海）已知，且（是虛數(shù)單位）是實(shí)系數(shù)一元二次方程 的兩個(gè)根，那么的值分別是（） （06上海春） 已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），求一個(gè)以為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程.復(fù)數(shù)在理科高考中主要是代數(shù)運(yùn)算，下面就這一方面作一下重點(diǎn)說明。復(fù)數(shù)運(yùn)算主