第三章 相關(guān)分析

1、 第三章 隨機(jī)振動(dòng)的相關(guān)分析隨機(jī)振動(dòng)的相關(guān)分析 第三章 隨機(jī)振動(dòng)的相關(guān)分析n 相關(guān)的含義相關(guān)的含義n 相關(guān)的數(shù)學(xué)表達(dá)相關(guān)的數(shù)學(xué)表達(dá)相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)n 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) n 互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)n3.1 相關(guān)的含義相關(guān)問題：研究兩個(gè)變量之間的關(guān)系問題。（1）如： 則x、y兩者函數(shù)相關(guān)。（2）對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量而言，無法寫出確 切的函數(shù)關(guān)系。 baxy波形相似的直觀比較兩個(gè)隨機(jī)變量之間只能是概率相關(guān)關(guān)系研究隨機(jī)變量相關(guān)的目的：（1）從一個(gè)隨機(jī)變量的取值，來推測另一個(gè) 隨機(jī)變量的取值范圍。（2）相關(guān)函數(shù)是計(jì)算譜密度的重要依據(jù)。n3.2 相關(guān)的數(shù)學(xué)表達(dá)相關(guān)系數(shù) 設(shè)通過測試得到一組關(guān)于某兩個(gè)隨機(jī)變量x

2、、y的實(shí)際測試“數(shù)據(jù)對(duì)”，將每個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)用直角坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn)來表示。 a圖中兩個(gè)變量不相關(guān)； b圖中兩個(gè)變量相關(guān)（b）圖：需要討論的是如何找到一個(gè)線性方程，使它能最好的代表這組數(shù)據(jù)： 設(shè)此線性方程具有形式： 如何確定a、b使其能夠最好地代表這組數(shù)據(jù)。 應(yīng)用最小二乘法 任一數(shù)據(jù)的縱坐標(biāo) yi 與直線ya xib 之差為 （殘差），殘差的均方值最小時(shí)，得到的直線 方程為最優(yōu)方程。baxy)(baxyyiii2222222222222222)(bXabEYbEXYaEXEaYEabXbYaXYbXaYEbaXYEyEbaxy2222222222222222)(bXabEYbEXYaEXEaYEab

3、XbYaXYbXaYEbaXYEyE要求 最小，則2yE 02220222222XaEYEbbyEXbEXYEXaEayE殘差的均方值：得到：222 ()() xyxbE YaE XE XYE XYE X E YaE XE X02220222222XaEYEbbyEXbEXYEXaEayE均方值均值方差由以上（2）式222)(xyxYXEXEXEYEXEXYEaXaEYEb分母為方差)(YEXEXYEYEXEYEXEXEYEXYEYEXEXYEYXXYEYXEyxxyyxxyyx分子隨機(jī)變量X的離差與Y的離差乘積的數(shù)學(xué)期望稱為隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)矩，又成為協(xié)方差222)(xyxYXEXEXEY

4、EXEXYEaXaEYEbxyyxyxxyYXE)(xyxyaxxyxyyXaEYEb現(xiàn)定義 為相關(guān)系數(shù)xyxyaxxyxyyXaEYEbxxxyyyxybaxy代入：與此類似：要求 最小，則可得:2xE yyxyxxyx兩式相同，兩個(gè)變量具有線性的函數(shù)關(guān)系1xyyyxyyxyxxxyx1xyxxxyyyxybaxyyyxyxxyx如：兩個(gè)變量具有線性的函數(shù)關(guān)系，則有： 形式，反之：如果兩個(gè)變量間具有 這樣的函數(shù)關(guān)系，則相關(guān)系數(shù)1xybaxy證明略X、Y完全相關(guān)時(shí)：X、Y完全不相關(guān)時(shí)：0 xyxy取值在正負(fù)1之間，絕對(duì)值越大，相關(guān)程度越強(qiáng)yxyxxyYXE)(其分子稱為協(xié)方差或相關(guān)矩1xy 一

5、般情況下，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值小于1，即1xy表明不能用一個(gè)信號(hào)精確表示另一個(gè)信號(hào)，但可以用一個(gè)信號(hào)近似地表示另個(gè)信號(hào)，其近似程度用相關(guān)系數(shù)來描述n3.3 自相關(guān)函數(shù))()()(tXtXERx)(xRxyyxyxyxyxxyXYEYXE)( 分析 與 之間的關(guān)系為描述隨機(jī)過程兩個(gè)不同時(shí)刻狀態(tài)之間的聯(lián)系，引入自相關(guān)函數(shù)1212( , )R t tE x x對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程：(與時(shí)差有關(guān))yxyxyxyxxyXYEYXE)(如令隨機(jī)變量)()(tXYtXX)()()()()()()()()()()()()(txtxtxtxxtxtxtxtxyxyxtxtxRtXtXEXYE則：相關(guān)系數(shù) 可以描述兩

6、個(gè)隨機(jī)變量之間的線性程度， 公式中 和 都是常數(shù)， 可以描述兩個(gè)隨機(jī)過程之間的相關(guān)關(guān)系。( ) ()( )()( )()( )x t x txx tx tx tx tR對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程：xtxtx )()(xtxtx )()(故：22)()()(xxxtxtxR)(xR xyxy2x2x相關(guān)系數(shù)與相關(guān)函數(shù)之間的比較相關(guān)系數(shù)與相關(guān)函數(shù)之間的比較n相關(guān)系數(shù)是一個(gè)數(shù)。其缺陷：分子是兩個(gè)信號(hào)的內(nèi)積，如sinx和cosx,從波形上看只是相位不同，而相關(guān)系數(shù)為零（因?yàn)檎液陀嘞艺唬引入相關(guān)函數(shù)，將原來兩函數(shù)直接內(nèi)積改為一個(gè)函數(shù)和另一個(gè)函數(shù)的延遲作內(nèi)積。使描述兩隨機(jī)變量相關(guān)程度的方式由一個(gè)數(shù)變?yōu)楹瘮?shù)。

7、 n相關(guān)函數(shù)：不僅與兩個(gè)波形的特點(diǎn)有關(guān)，還與兩個(gè)波形之間的相對(duì)移動(dòng)值有關(guān)。全面反映了兩個(gè)波形的相似性。 例：已知組成隨機(jī)振動(dòng)過程的樣本函數(shù)幾何，求不同時(shí)刻之間的相關(guān)性。（理解相關(guān)函數(shù)概念）1111( ,)lim( ) ()NxxiiNiRt tx t x tN例:求正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)解：該正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)為式中 為振動(dòng)周期，令 ，則 。于是 0020001lim1sinsinTxTTRx t x tdtTxttdtTtddt02T0T 222000sinsincos22xxxRd 正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)余弦函數(shù)，在=0時(shí)具有最大值，但它不隨的增加而衰減至零。它保留了原正弦信號(hào)的幅值幅

8、值和頻率信息和頻率信息，而丟失了初始相位信息工程應(yīng)用 區(qū)別信號(hào)類型 檢測混雜在隨機(jī)信號(hào)中的周期成分。如：測量座椅的振動(dòng)信號(hào)，獲得其自相關(guān)函數(shù)，可以判別座椅上是否有周期信息。如果存在周期信號(hào)，可根據(jù)其頻率查找相應(yīng)振源。自相關(guān)函數(shù)有以下性質(zhì)： 1、由 22)()()(xxxtxtxR以及11)()(txtx可知：222222)(1)(1xxxxxxxxRR最大值：最小值：)(xR故22xx22xx2、 時(shí)：2)(xxR)()()()0(2tXEtXtXERx222)(xxtXE222)(xxtXE22)0(xxxR0即： 時(shí)， 具有最大值,此時(shí)相當(dāng) 于自己與自己的關(guān)系，當(dāng)然完全相關(guān))0(xR0時(shí)，

9、0)(22)()(xxxtxtxR3、 是偶函數(shù)（證明略）)(xRn3.4 互相關(guān)函數(shù) 自相關(guān)函數(shù)是描述同一平穩(wěn)過程兩個(gè)不同截口之間的線性依從關(guān)系； 互相關(guān)函數(shù)是描寫兩個(gè)平穩(wěn)過程，不同截口之間的關(guān)系。 在X(t)上選一個(gè)時(shí)間t1，對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量X(t1) 在Y(t)上選一個(gè)時(shí)間t1+，對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量Y(t1+) 兩者之間的互相關(guān)函數(shù)為：)()()()()(11tYtXEtYtXERXY)()()()()(11tYtXEtYtXERXY上式表示：在Y(t)上選則的時(shí)間截口比在X(t)上選擇的時(shí)間截口要落后一個(gè)時(shí)間如果在X(t)上選則的時(shí)間截口比在Y(t)上選擇的時(shí)間截口落后一個(gè)時(shí)間，則其相關(guān)函數(shù)表示

10、為：)()()()()(11tXtYEtXtYERYX由于平穩(wěn)隨機(jī)假設(shè)故上述公式中均與時(shí)刻無關(guān)例：設(shè)有兩個(gè)周期信號(hào)x(t)和y (t)試求其互相關(guān)函數(shù) xyR 00sinsinx txty tyt解： 因?yàn)楹瘮?shù)是周期信號(hào)，可以用一個(gè)共同周期內(nèi)的平均值代替其整個(gè)歷程的平均值，故 00000001lim1sinsin1cos2TxyTTRx t y tdtTxtytdtTx y此例可知，兩個(gè)均值為0且同頻率的信號(hào)，其互相關(guān)函數(shù)保留了圓頻率、幅值、及相位差值信息例：若兩個(gè)周期信號(hào)的圓頻率不等試求其互相關(guān)函數(shù)解：因?yàn)閮尚盘?hào)不具有共同的周期，所以有根據(jù)正余弦函數(shù)的正交性，可知 0102sinsinx t

11、xty tyt 00012001lim1limsinsinTxyTTTRx t y tdtTx yttdtT 0 xyR 如果x(t)和y (t)兩信號(hào)是同頻率的周期信號(hào)或者包含有同頻率的成分，那么即使趨于無窮，互相關(guān)函數(shù)也不收斂并會(huì)出現(xiàn)該頻率的周期成分。 如兩信號(hào)含頻率不等的周期成分，則兩者不相關(guān)。 同頻相關(guān)，不同頻不相關(guān)。 用途：（1）、相關(guān)濾波器 （2）、測速 （3）、測距用途舉例1：測定汽車速度 在相隔L米的距離布置兩個(gè)光電信號(hào)器，汽車通過時(shí)，檢測出反射光的兩個(gè)電信號(hào)，做出兩者的互相關(guān)函數(shù)，從第一個(gè)峰值的時(shí)間移動(dòng)值（毫秒）計(jì)算出汽車行駛速度。 （相關(guān)測速）內(nèi)部測速：變速箱內(nèi)部齒輪轉(zhuǎn)速計(jì)

12、算 ABS剎車上的轉(zhuǎn)速儀用途舉例2：確定操縱機(jī)構(gòu)等的靈敏度。 如：以方向盤的轉(zhuǎn)角為輸入，前橋轉(zhuǎn)向角為輸出，可得兩者的互相關(guān)函數(shù)的峰值。其峰值滯后時(shí)間越小表示操縱機(jī)構(gòu)接受指令后到執(zhí)行的時(shí)間間隔越短，機(jī)構(gòu)的靈敏度越高。用途舉例3：尋找主要振源 確定車輛座椅振動(dòng)的主要來源 如：測量座椅振動(dòng)信號(hào)、發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)信號(hào)、輪軸振動(dòng)信號(hào)；分別得到座椅與發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的互相關(guān)以及座椅與輪軸振動(dòng)的互相關(guān)函數(shù)。通過比較確定其主要振源。用途舉例4：測距（閱讀） 準(zhǔn)確定位深埋在地下的輸油管裂縫位置： 輸油管裂縫處視為聲源，向兩側(cè)傳播聲信號(hào)。 第一次開掘處如未找到漏損處，則放一傳聲器。 第二次開掘處如未找到漏損處，則再放一傳聲器

13、，兩者間 距s傳感器。 求兩傳聲器所測信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)，根據(jù)其時(shí)差確定管路 破損位置。 聲波在管路中的傳播速度已知v 首先判斷漏損點(diǎn)是否在兩傳感器之間，如時(shí)差小于s傳感器/ V 則漏損點(diǎn)必然在兩傳聲器之間。 1122lvtlvt212122()12llssv ttvsv由此判斷出的泄漏點(diǎn)位置誤差很小，在天然氣管道、石油管道故障排查時(shí)常用方法。用途舉例5：（閱讀） 用互相關(guān)函數(shù)測定材料的隔聲性能 聲源在A室中，首先在不放隔聲板的情況下，測量a、b處的噪聲信號(hào)并做互相關(guān)分析； 裝上隔聲材料后，做同樣的分析。 比較兩次得到的互相關(guān)函數(shù)，后者互相關(guān)數(shù)值大大降低，此值越低表明材料的隔聲效果越好。 互相關(guān)

14、函數(shù)具有以下性質(zhì)： 1、令tt)()()(tYtXERXY)()()()()()()(YXRtXtYEtXtYEtYtXE)()(XYXYRR)(XYR 同理：一般情況： 不等于)()(XYXYRR故： 不是偶函數(shù))(XYR圖 兩個(gè)平穩(wěn)過程的互相關(guān)函數(shù)n2、設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)過程X(t),Y(t)11)()()()()()()()()()()()()()()()(tytxtytxtytxtYtXtytxtytxtytxRtYtXE由于是平穩(wěn)隨機(jī)過程：YtYYtYXtXXtX)()()()(故：同理：yxyxXYyxyxR)(yxyxYXyxyxR)(yxyxXYyxyxR)(yxyxYXyxyxR)( 與 有相同的數(shù)值范圍)(XYR)(XYR 3、多數(shù)隨機(jī)過程，時(shí)間相隔越長，相關(guān)性越弱時(shí)，0yxyxXYXYR故：yxYXXYRR觀察 時(shí)互相關(guān)函數(shù)的取值4、互相關(guān)函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系)0()0()(2YXXYRRR)0()0()(2YXXYRRRyxyxXYyxyxR)(222222222222)()0()0(xyyxyxyxy