現(xiàn)代信號處理_08

1、1內(nèi)內(nèi) 容容2內(nèi)內(nèi) 容容3研究的必要性研究的必要性高階統(tǒng)計量高階統(tǒng)計量高階譜高階譜高階累積量和多譜的性質(zhì)高階累積量和多譜的性質(zhì)三階相關(guān)和雙譜及其性質(zhì)三階相關(guān)和雙譜及其性質(zhì)基于高階譜的相位譜估計基于高階譜的相位譜估計基于高階譜的模型參數(shù)估計基于高階譜的模型參數(shù)估計多譜的應(yīng)用多譜的應(yīng)用 參考:現(xiàn)代數(shù)字信號處理(184-199；204-205)4 研究高階譜的必要性研究高階譜的必要性v 關(guān)于關(guān)于模型參數(shù)估計問題模型參數(shù)估計問題所謂模型參數(shù)估計，就是根據(jù)有限長的數(shù)據(jù)序列所謂模型參數(shù)估計，就是根據(jù)有限長的數(shù)據(jù)序列(如模如模型輸出端所觀測到的信號型輸出端所觀測到的信號y(n)來估計圖中隨機信號模型來估計圖

2、中隨機信號模型的參數(shù)，的參數(shù)，)與前面所述不同之處在于：這里考慮了觀測過程所引與前面所述不同之處在于：這里考慮了觀測過程所引入的噪聲入的噪聲v(n). H ( z ) ( h ( n ) )v(n)y(n)x(n)u(n)5 研究高階譜的必要性研究高階譜的必要性v 基于二階統(tǒng)計量的模型參數(shù)估計方法的缺陷基于二階統(tǒng)計量的模型參數(shù)估計方法的缺陷 前述模型參數(shù)估計方法中，估計得到的模型參數(shù)僅與前述模型參數(shù)估計方法中，估計得到的模型參數(shù)僅與 信號的自相關(guān)函數(shù)或功率譜包絡(luò)相匹配；其功率譜不信號的自相關(guān)函數(shù)或功率譜包絡(luò)相匹配；其功率譜不 含信號的相位特性，亦稱盲相。即含信號的相位特性，亦稱盲相。即22)(

3、)(jueHS 這種模型只適合于高斯隨機信號，因為高斯信號僅用這種模型只適合于高斯隨機信號，因為高斯信號僅用 二階統(tǒng)計量二階統(tǒng)計量(均值和方差均值和方差)就能加以描述。就能加以描述。6 研究高階譜的必要性研究高階譜的必要性v二階統(tǒng)計量方法的基本限制二階統(tǒng)計量方法的基本限制 前面討論的方法中，一般都假設(shè)：前面討論的方法中，一般都假設(shè)： 信號模型中的系統(tǒng)信號模型中的系統(tǒng)H(z)是最小相位的。是最小相位的。 激勵信號激勵信號u(n)是均值為零，方差為是均值為零，方差為 的高斯白噪聲。的高斯白噪聲。 測量信號測量信號v(n)是均值為零，方差為是均值為零，方差為 的高斯白噪聲；的高斯白噪聲； 且且v(n

4、)與信號與信號x(n)統(tǒng)計無關(guān)，即統(tǒng)計無關(guān)，即v(n)不影響信號的譜形狀不影響信號的譜形狀 故有故有 2u2v)()()()()()()(22222mhmnynuEmRHSSuuyvuvxxyy7 研究高階譜的必要性研究高階譜的必要性v 二階統(tǒng)計量方法存在的問題二階統(tǒng)計量方法存在的問題 在許多實際應(yīng)用在許多實際應(yīng)用( (如地震勘探、水聲信號處理、遠程通如地震勘探、水聲信號處理、遠程通 信信) )中，往往不能滿足上述假設(shè)；甚至系統(tǒng)是非線性的。中，往往不能滿足上述假設(shè)；甚至系統(tǒng)是非線性的。 對于非高斯信號的模型參數(shù)，如僅僅考慮與自相關(guān)函數(shù)對于非高斯信號的模型參數(shù)，如僅僅考慮與自相關(guān)函數(shù) 匹配，就不

5、可能充分獲取隱含在數(shù)據(jù)中的信息。匹配，就不可能充分獲取隱含在數(shù)據(jù)中的信息。 若信號不僅是非高斯的，而且是非最小相位的，采用基若信號不僅是非高斯的，而且是非最小相位的，采用基 于自相關(guān)函數(shù)的估計方法所得到的模型參數(shù)，就不能反于自相關(guān)函數(shù)的估計方法所得到的模型參數(shù)，就不能反 映原信號的非最小相位特點。映原信號的非最小相位特點。 當測量噪聲較大，尤其當測量噪聲有色時，基于自相關(guān)當測量噪聲較大，尤其當測量噪聲有色時，基于自相關(guān) 函數(shù)的估計方法所得到的模型參數(shù)有較大的估計誤差。函數(shù)的估計方法所得到的模型參數(shù)有較大的估計誤差。8 研究高階譜的必要性研究高階譜的必要性v 解決問題的方法解決問題的方法 從觀測

6、數(shù)據(jù)中提取相位信息從觀測數(shù)據(jù)中提取相位信息 信號分析必須具有抗有色噪聲干擾的能力信號分析必須具有抗有色噪聲干擾的能力 因此，必須用高階譜因此，必須用高階譜( (高階統(tǒng)計量高階統(tǒng)計量) )來分析信號來分析信號9隨機信號的高階特征隨機信號的高階特征功率譜估計，功率譜估計，Wiener濾波器都是以信號的相關(guān)函數(shù)為工具濾波器都是以信號的相關(guān)函數(shù)為工具。 pijiqijieezAzBP121222211)()()(模型的多重性模型的多重性：考慮功率譜故由于,1)(111*jjee)(11)(121221221222PeePpiiqiipijiiqijii即不同即不同ARMA過程具有相同形狀的功率譜。這一

7、特性過程具有相同形狀的功率譜。這一特性 稱為相關(guān)函數(shù)的多重性或模型的多重性。稱為相關(guān)函數(shù)的多重性或模型的多重性。 相關(guān)函數(shù)的局限性相關(guān)函數(shù)的局限性10隨機信號的高階特征（續(xù)）隨機信號的高階特征（續(xù)） 兩個具有零均值和相同方差的高斯白色噪聲和兩個具有零均值和相同方差的高斯白色噪聲和 指數(shù)分布白色噪聲顯然是不同的隨機過程，但它指數(shù)分布白色噪聲顯然是不同的隨機過程，但它 們的功率譜相同。們的功率譜相同。 用這樣兩個白色噪聲激勵同一個用這樣兩個白色噪聲激勵同一個ARMAARMA模型，產(chǎn)生的模型，產(chǎn)生的 兩個兩個ARMAARMA過程顯然是不同的隨機過程，但它們的功過程顯然是不同的隨機過程，但它們的功 率

8、譜相同。率譜相同。 兩個灰度圖相同的圖像有可能是不同的圖像。兩個灰度圖相同的圖像有可能是不同的圖像。以上事實說明以上事實說明, 要準確地刻畫隨機信號要準確地刻畫隨機信號, 僅使用相關(guān)函僅使用相關(guān)函數(shù)數(shù)(二階統(tǒng)計量二階統(tǒng)計量)是不夠的是不夠的, 還必須使用更高階的統(tǒng)計還必須使用更高階的統(tǒng)計量。三階和更高階的統(tǒng)計量合稱高階統(tǒng)計量。量。三階和更高階的統(tǒng)計量合稱高階統(tǒng)計量。相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)： 刻畫信號的粗糙像高階統(tǒng)計量高階統(tǒng)計量：刻畫信號的細節(jié)11v 特征函數(shù)與高階矩特征函數(shù)與高階矩 特征函數(shù)特征函數(shù)：隨機變量：隨機變量 x 的特征函數(shù)定義為的特征函數(shù)定義為)1 ()()(adxexfeEvjvxjv

9、x或或)1 ()()(bdxexfeEssxsx其中其中 f(x) 是隨機變量是隨機變量 x 的概率密度函數(shù)。的概率密度函數(shù)。 高階矩高階矩：對：對(1b)求求k 階導(dǎo)數(shù)，得階導(dǎo)數(shù)，得kksxkkdssdexEs)()(則隨機變量則隨機變量x 的的k 階矩階矩(即即k 階原點矩階原點矩)定義為定義為)2()()0(0skkkkkdssdxEm由于由于k 階矩由階矩由 生成，故特征函數(shù)生成，故特征函數(shù) 為隨機變量為隨機變量x的矩生成函數(shù)的矩生成函數(shù)(矩母函數(shù)矩母函數(shù))，又成為第一特征函數(shù)，又成為第一特征函數(shù)。)(s)(s12v 累積量生成函數(shù)與高階累積量累積量生成函數(shù)與高階累積量(cumulan

10、t)累積量生成函數(shù)累積量生成函數(shù))3()(ln)(avv或或)3()(ln)(bss稱為累積量生成函數(shù)稱為累積量生成函數(shù)(第二特征函數(shù)第二特征函數(shù)或或累積量母函數(shù)累積量母函數(shù))。高階累積量高階累積量：隨機變量：隨機變量x x 的的k k 階累積量階累積量定義為定義為 ) 3()(0skkkdssdc即累積量生成函數(shù)的即累積量生成函數(shù)的k k 階導(dǎo)數(shù)在原點的值。階導(dǎo)數(shù)在原點的值。13v累積量生成函數(shù)與高階累積量累積量生成函數(shù)與高階累積量(cumulant)高階矩與高階累積量的關(guān)系高階矩與高階累積量的關(guān)系.)(61243)5()(23)(41412213122443131213321212211m

11、xEmmmmmmmcmxEmmmmcmxEmmcxEmc 關(guān)系關(guān)系:(注意注意：k 階中心矩定義為階中心矩定義為 ) 結(jié)論結(jié)論: 二、三階累積量分別是二、三階中心矩；均值為二、三階累積量分別是二、三階中心矩；均值為 零時零時, 就是二、三階相關(guān)就是二、三階相關(guān)(矩矩) 四階以上的累積量不等于相應(yīng)的中心矩四階以上的累積量不等于相應(yīng)的中心矩kxxE)(14v 累積量的物理意義累積量的物理意義 高斯隨機變量的高階矩與累積量高斯隨機變量的高階矩與累積量 高斯隨機變量可用二階矩完全描述。實際上高斯隨機變量可用二階矩完全描述。實際上,零均值高斯零均值高斯 隨機變量的隨機變量的k 階矩階矩(或零均值的或零均

12、值的k 階中心矩階中心矩)為為 高斯隨機變量只有一階和二階累積量；其二階以上的累高斯隨機變量只有一階和二階累積量；其二階以上的累 積量為零積量為零, 它不提供新的信息。即它不提供新的信息。即為奇數(shù)，為偶數(shù)kkkxEmkkk0,)1(,.,5 , 3 , 1 可見，其高階矩仍然取決于二階矩可見，其高階矩仍然取決于二階矩 。2 若若任一隨機變量與高斯隨機變量有相同的二階矩任一隨機變量與高斯隨機變量有相同的二階矩, 則累積則累積 量就是它們高階矩的差。故有如下累積量的物理意義。量就是它們高階矩的差。故有如下累積量的物理意義。) 3(0,221kccmck15v 累積量的物理意義累積量的物理意義 一一

13、階累積量數(shù)學(xué)期望階累積量數(shù)學(xué)期望:描述了概率分布的中心描述了概率分布的中心 二階累積量方差：二階累積量方差： 描述了概率分布的離散程度描述了概率分布的離散程度 三階累積量三階矩：三階累積量三階矩： 描述了概率分布的不對稱程度描述了概率分布的不對稱程度累積量累積量衡量衡量任意隨機變量任意隨機變量偏離偏離正態(tài)正態(tài)(高斯高斯)分布的分布的程度程度物理意義物理意義偏態(tài)與峰態(tài)偏態(tài)與峰態(tài)33csx 將三階矩除以均方差的三次方將三階矩除以均方差的三次方 ,得偏態(tài)系數(shù)或得偏態(tài)系數(shù)或偏態(tài)偏態(tài)：3 將四階累積量除以均方差的四次方將四階累積量除以均方差的四次方 ,得得峰態(tài)峰態(tài):433344444422444mmmm

14、cx16高階譜高階譜功率譜的缺點功率譜的缺點：由功率譜只能恢復(fù) ，不可能恢復(fù)自相關(guān)函數(shù)辨識系統(tǒng)，無法辨識非最小相位系統(tǒng) “模型的多重性” “自相關(guān)函數(shù)等價性” “功率譜等價性”)()()()(*2fXfXfXfpx)( fX)( fX17高階譜（續(xù)）高階譜（續(xù)） 含義含義：高階譜(Higher-order spectrum),又稱多(polyspectrum), 是信號多個頻率的能量譜。 111111)(1111),(),(krjkkxrkkxecS定義定義：高階譜定義為：高階譜定義為k階累積量的階累積量的k-1維維DFT，即，即 條件： “絕對可求和”11),(11krkkxrc通常將通常將

15、 的累積量譜稱為的累積量譜稱為高階譜高階譜或或多譜多譜。3k常用常用:常用的高階譜是三階譜常用的高階譜是三階譜(雙譜雙譜)和四階譜和四階譜(三譜三譜)。 18高階譜（續(xù)）高階譜（續(xù)）222111)(21321),()(rjxrxecB二階譜二階譜即為即為功率譜功率譜，它是單個頻率的譜它是單個頻率的譜。三階譜三階譜為為雙譜雙譜(bispectrum)，即兩個頻率的譜即兩個頻率的譜四階譜四階譜為為三譜三譜(trispectrum)，即三個頻率的譜即三個頻率的譜333221121)(3214321),()(rjxrrxecT19高階譜（續(xù)）高階譜（續(xù)）功率譜功率譜：2)()(Xpx雙譜：)()()(

16、)()()(),(21*21212121XXXXXXBx三譜：)()()()()()()()(),(321*321321321321XXXXXXXXTx（1 1）雙譜估計的直接方法雙譜估計的直接方法：)()()(),()()(21*2121ffXfXfXffBfxnx20高階譜（續(xù)）高階譜（續(xù)）（2）雙譜估計的間接方法雙譜估計的間接方法：雙譜),()(3nmcnxx2D-FT峰度峰度224)(3)(txEtxEk歸一化峰度歸一化峰度)()(2241txEtxEk 31k高斯信號亞高斯信號31k超高斯信號31k21高階譜（續(xù)）高階譜（續(xù)）歸零化峰度3)()(2242txEtxEk高斯信號： 零峰

17、度亞高斯信號: 負峰度超高斯信號： 正峰度22v 主要性質(zhì)主要性質(zhì) (8個性質(zhì)) 最重要的性質(zhì)如下最重要的性質(zhì)如下: 和的累積量等于累積量之和，累積量因此得名。和的累積量等于累積量之和，累積量因此得名。 隨機信號通過線性系統(tǒng)后的累積量等于該隨機信號隨機信號通過線性系統(tǒng)后的累積量等于該隨機信號 的累積量與線性系統(tǒng)沖激響應(yīng)累積量的卷積的累積量與線性系統(tǒng)沖激響應(yīng)累積量的卷積信號的高階累積量能夠決定信號模型的沖激響應(yīng)信號的高階累積量能夠決定信號模型的沖激響應(yīng)h(n)， 即用信號模型的輸出信號即用信號模型的輸出信號(即觀測到的信號即觀測到的信號)y(n)的高的高 階累積量就能決定階累積量就能決定h(n)

18、。 23v 主要性質(zhì)主要性質(zhì)(續(xù)續(xù)) 確定性序列的多譜確定性序列的多譜: 確定性序列確定性序列h(1),h(k)的的k階累量階累量)7()().()(),.,(1111,knkhknhnhnhC其其 k 階譜為階譜為)8()()().()(),.,(11121121,kiikkhkHHHHS式中nnjenhH)()(24v用高階累積量作為時間序列分析工具的原因用高階累積量作為時間序列分析工具的原因 用高階累量而不是高階矩作為時間序列分析工具的原因：用高階累量而不是高階矩作為時間序列分析工具的原因： 理論上，使用高階累積量可避免高斯有色噪聲的影響，理論上，使用高階累積量可避免高斯有色噪聲的影響，

19、 高階矩不能做到這一點。高階矩不能做到這一點。高階白噪聲的高階累積量是多維沖激函數(shù)高階白噪聲的高階累積量是多維沖激函數(shù), 其譜是多維其譜是多維 平坦的平坦的, 但高階白噪聲的高階矩及其譜無此特性和優(yōu)點；但高階白噪聲的高階矩及其譜無此特性和優(yōu)點；累積量問題的解具有唯一性累積量問題的解具有唯一性(因特征函數(shù)唯一地確定概因特征函數(shù)唯一地確定概 率密度函數(shù)率密度函數(shù))，但矩問題不具有唯一性；，但矩問題不具有唯一性；兩個統(tǒng)計獨立的隨機過程的累積量等于各隨機過程累積兩個統(tǒng)計獨立的隨機過程的累積量等于各隨機過程累積 量之和，這一結(jié)論對高階矩不成立。量之和，這一結(jié)論對高階矩不成立。 25 三階相關(guān)：三階相關(guān)：

20、 設(shè)設(shè)x(n)為零均值的實平穩(wěn)序列，其三階相關(guān)函數(shù)為為零均值的實平穩(wěn)序列，其三階相關(guān)函數(shù)為)()()(),(2121mnxmnxnxEmmRx雙譜雙譜 R Rx x(m1,m2)的二維傅立葉變換就是雙譜，其表達式為的二維傅立葉變換就是雙譜，其表達式為2, 1)(2121,),(),(221112mmjmmxxemmRBv 性質(zhì)性質(zhì) 三階相關(guān)函數(shù)的對稱性三階相關(guān)函數(shù)的對稱性 雙譜的對稱性、周期性和共軛性雙譜的對稱性、周期性和共軛性v 定義定義26)()()(),(21*1121HHHBhv雙譜中的相位信息雙譜中的相位信息其中nnjenhH)()(這表明這表明雙譜包含信號模型的相位信息 ；而功率譜

21、 不含相位信息 。 設(shè)設(shè))(),(2121)()(),(),(21jjhheHHeBB則有則有)()()(),()()()(),(212121212121HHHBh且有)()(),(),(2121時當MnhnyBBhy)()(Sv確定性序列的雙譜確定性序列的雙譜 設(shè)設(shè)h(n)表示有限長確定性序列，其雙譜可表示為表示有限長確定性序列，其雙譜可表示為27v自相關(guān)函數(shù)丟失了信號的相位特性，而累積量可以得到自相關(guān)函數(shù)丟失了信號的相位特性，而累積量可以得到信號的相位譜。信號的相位譜。v實際應(yīng)用中，基于三階累積量的雙譜和基于四階累積量實際應(yīng)用中，基于三階累積量的雙譜和基于四階累積量的三譜已經(jīng)夠用。的三譜已

22、經(jīng)夠用。28v基本原理基本原理 與與AR功率譜估計功率譜估計(即單譜估計即單譜估計)相類似，相類似，AR過程的多譜過程的多譜 估計與已知的多譜相匹配的程度，也可用線性預(yù)測的多估計與已知的多譜相匹配的程度，也可用線性預(yù)測的多 譜來衡量，亦也可以用多譜的平坦度來衡量。說明如下：譜來衡量，亦也可以用多譜的平坦度來衡量。說明如下： 設(shè)用設(shè)用p 個值個值x(n)作線性預(yù)測，即作線性預(yù)測，即pkkknxanx1)()( 則預(yù)測誤差則預(yù)測誤差pkkknxanxnxne0)()( )()(其多譜為其多譜為)9(),.,()()().()(),.,(11,1112111,kxkkiikkekSAAAAS式中式中

23、nnjenhH)()(29v基本原理基本原理 ( (續(xù)續(xù)) ) 如果選擇系數(shù)如果選擇系數(shù)ak ，使得，使得)10()()().()(),.,(11111,11,kiiukkekAAAASukkekS,11,),.,( 式中式中 為一常量，則有為一常量，則有 uk,上式表明：上式表明：x(n)是由是由ukkneE,)(的非正態(tài)白噪聲激勵參數(shù)為的非正態(tài)白噪聲激勵參數(shù)為ak(k=1,p)的的AR過程產(chǎn)生的。過程產(chǎn)生的。結(jié)論結(jié)論：預(yù)測誤差的多譜的平坦度可用作：預(yù)測誤差的多譜的平坦度可用作AR過程多譜與實過程多譜與實際多譜接近程度的一種度量。際多譜接近程度的一種度量。30v 不穩(wěn)定問題及其解決方法不穩(wěn)定

24、問題及其解決方法 不穩(wěn)定問題不穩(wěn)定問題：用單譜(功率譜)和多譜估計AR模型參數(shù)時， 都存在穩(wěn)定性問題。 解決辦法解決辦法 當用單譜估計AR模型時，只要把不穩(wěn)定極點替換為其 倒數(shù)極點(反演技術(shù))即可，這是因為 當用多譜估計AR模型時,不能作這種替換. 以雙譜為例)()()()(1, 2111, 2zSzAzAzSxx)()()(),(12111211121, 3zzAzAzAzzSx)()()(),(2111211111211, 3zzAzAzAzzSx而故),(),(1211, 321, 3zzSzzSxx31v 多譜應(yīng)用多譜應(yīng)用: 用于信息學(xué)、海洋學(xué)、地球物理學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、用于信息學(xué)、海洋學(xué)

25、、地球物理學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、機械學(xué)和經(jīng)濟時間序列分析等學(xué)科領(lǐng)域機械學(xué)和經(jīng)濟時間序列分析等學(xué)科領(lǐng)域v對信號處理而言對信號處理而言，多譜可應(yīng)用于自適應(yīng)信號處理、陣列多譜可應(yīng)用于自適應(yīng)信號處理、陣列信號處理和多維信號處理信號處理和多維信號處理v信號處理中多譜的作用信號處理中多譜的作用 從正態(tài)信號中提取信息從正態(tài)信號中提取信息 檢測和定性分析系統(tǒng)的非線性特征檢測和定性分析系統(tǒng)的非線性特征 從有色正態(tài)噪聲中提取信號（如水下信號、空間信號等）從有色正態(tài)噪聲中提取信號（如水下信號、空間信號等） 提取非正態(tài)信號的相位信息提取非正態(tài)信號的相位信息32雙譜在目標識別中的應(yīng)用雙譜在目標識別中的應(yīng)用),(21)(212121222111),(),(),(jrjkyreBecB特性：特性：（1 1）保留了幅值