第2講平方根與立方根

1、第2講 平方根與立方根中考說明中考內(nèi)容中考要求ABC平方根及算術(shù)平方根了解開方與乘方互為逆運(yùn)算，了解平方根及算術(shù)平方根的概念，會用根號表示非負(fù)數(shù)的平方根及算術(shù)平方根會用平方運(yùn)算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根立方根了解立方根的概念，會用根號表示數(shù)的立方根會用立方運(yùn)算求百以內(nèi)整數(shù)（對應(yīng)的負(fù)整數(shù)）的立方根知識網(wǎng)絡(luò)圖前章回顧1 什么是相交線？相交線模塊學(xué)習(xí)了哪些概念？2 平行線有哪些性質(zhì)？怎么判定兩條直線平行？3 平行線相關(guān)求角度的題型應(yīng)如何做輔助線？2.1定義及性質(zhì)概念辨析一 算術(shù)平方根1 概念：一般地，如果一個正數(shù)的平方等于，即，那么這個正數(shù)叫做的算術(shù)平方根.2 表示方法：一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根記為，讀作“

2、根號”，叫做被開方數(shù).3 規(guī)定：的算術(shù)平方根是.4 特別的，一個正數(shù)的算術(shù)平方根仍是正數(shù)，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根.5 算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即（）6 算術(shù)平方根的運(yùn)算（1）（， ） ；（2） （， ）7 常見數(shù)的平方與算術(shù)平方根平方運(yùn)算開方運(yùn)算平方運(yùn)算開方運(yùn)算二 平方根1 概念：一般地，如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)叫做的平方根(或二次方根)這就是說，若，則就叫做的平方根2 表示方法：一個非負(fù)數(shù)的平方根記為為“”，讀作“正負(fù)根號”3 一個正數(shù)有兩個互為相反數(shù)的平方根，其中正的平方根叫做的算術(shù)平方根. 有一個平方根，就是. 負(fù)數(shù)沒有平方根 4 平方根的計算：求一個非負(fù)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平

3、方（1） 開平方與加、減、乘、除、乘方一樣，是一種運(yùn)算，它的運(yùn)算結(jié)果是平方根（2） 開平方與平方是互逆運(yùn)算，可以通過平方運(yùn)算來求一個數(shù)的平方根或算術(shù)平方根，以及檢驗一個數(shù)是不是另一個數(shù)的平方根或算術(shù)平方根（3） 平方與開平方的運(yùn)算： （）； 技巧：可用口訣“出門摘帽帶夾板”幫助記憶.三 立方根1 概念：如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根（或三次方根）.這就是說，若則就叫做的立方根2 表示方法：一個數(shù)的立方根可用符號表“”，讀作“三次根號”，其中叫做被開方數(shù)，“”叫做根指數(shù)，不能省略注意：前面學(xué)習(xí)的“”其實(shí)省略了根指數(shù)“”，即：也可以表示為3 任何一個數(shù)都有立方根，且只有一個立方根.正

4、數(shù)的立方根為正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根為負(fù)數(shù)，的立方根為4 立方根的計算：求一個數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方，開立方與立方是互逆運(yùn)算.（1） 可以通過立方運(yùn)算來求一個數(shù)的立方根，以及檢驗一個數(shù)是不是另一個數(shù)的立方根（2） 立方與開立方的運(yùn)算 ； 5 常見數(shù)的立方與立方根立方運(yùn)算開立方運(yùn)算立方運(yùn)算開立方運(yùn)算 四 平方根與立方根1 區(qū)別：（1） 根指數(shù)不同：平方根的根指數(shù)是，通常省略不寫；立方根的根指數(shù)是，卻不能省略（2） 被開方數(shù)取值范圍不同：平方根中被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)；立方根中被開方數(shù)可以為任何數(shù)（3） 平方的結(jié)果不同：平方根的結(jié)果除 之外，還有兩個互為相反數(shù)的結(jié)果；立方根的結(jié)果只有一個（4） 平方

5、根等于本身的數(shù)是；算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)是， ；立方根等于它本身的數(shù)是，；2 聯(lián)系：（1） 平方根與立方根相等的數(shù)是（2） 平方根與立方根都是與乘方運(yùn)算互為逆運(yùn)算例題精講【例1】 判斷題：（1） 一定是正數(shù) ( )（2） 的算術(shù)平方根是 ( )（3） 沒有算術(shù)平方根 ( )（4） 如果兩個非負(fù)數(shù)相等，那么他們各自的算術(shù)平方根也相等 ( )【討論一下】算術(shù)平方根的概念，表示方法及性質(zhì)分別是是什么？【例2】 判斷題：（1） 若，則 ( )（2） 的平方根是 ( )（3） 是 的平方根 ( )（4） 若兩個數(shù)平方后相等，則這兩個數(shù)也一定相等 ( )（5） 如果一個數(shù)的平方根存在，那么必有兩個，且互

6、為相反數(shù) ( )（6） 沒有平方根 ( )【討論一下】平方根與算術(shù)平方根有什么聯(lián)系？又有什么差別？【例3】 判斷題：（1） 的立方根是 ( )（2） 是的立方根 ( )（3） ( )（4） 互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根互為相反數(shù)( )【討論一下】立方根、平方根及算術(shù)平方根三者之間有什么聯(lián)系？又有什么差別？【例4】 下列說法正確的是（ ） 正數(shù)都有平方根； 負(fù)數(shù)都有平方根， 正數(shù)都有立方根； 負(fù)數(shù)都有立方根；A個 B個 C個 D個【討論一下】下列說法正確的是（ ）A的平方根是 B的平方根是 C的立方根是 D的算術(shù)平方根是【例5】 一個自然數(shù)的算術(shù)平方根為，則和這個自然數(shù)相鄰的下一個自然數(shù)是（ ）A

7、 B C D【討論一下】一個自然數(shù)的立方根為，則比它小的自然數(shù)的立方根為_2.2化簡及運(yùn)算例題精講【例6】 的算術(shù)平方根是_；的算術(shù)平方根是_【討論一下】求下列各式的值（1） （2） （3） （4）（5） （6）【例7】 求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【討論一下】此題的運(yùn)算應(yīng)用的是算術(shù)平方根的哪個性質(zhì)？ 【例8】 求下列各式的值（1） （2） （3） 【討論一下】此題的運(yùn)算有什么要求？你能說出此題的計算類似于我們學(xué)過的什么運(yùn)算嗎？【例9】 的平方根是_；的平方根是_；的平方根是_【討論一下】實(shí)數(shù)的平方根為（ ）A B C D 【例10】 下列各式中x的值（1）；

8、 （2）（3） （4）【討論一下】開平方的時候需要注意什么？【例11】 已知某正數(shù)有兩個平方根分別是 與 ，求這個正數(shù)【討論一下】已知，且，下列式子正確的是（ ）A B C D 【例12】 求下列各式的值（1） （2）（3） （4）（5） （6）【討論一下】求下列等式中的：（1）若，則_； （2）若，則_；（3）若，則_； （4）若，則_【例13】 （1）填表：（2）由上你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用語言敘述這個規(guī)律（3） 根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空： 已知，則=_，=_； 已知，則=_【討論一下】已知，那么：（ ）A B C D 2.3算術(shù)平方根的非負(fù)性例題精講【例14】 為何值時，下列各式有意義？（1）；

9、（2）；（3）；（4）【討論一下】常見的非負(fù)數(shù)有哪些？ 【例15】 （2013年懷柔期末）如果，則的值是_【討論一下】已知實(shí)數(shù) 、 滿足 ，則代數(shù)式 的值為：_ 【例16】 設(shè)是整數(shù)，則使為最小正整數(shù)的的值是_【討論一下】當(dāng)?shù)闹禐樽钚r，的取值為（ ）A B C D 全能突破 基礎(chǔ)演練【練1】 的算術(shù)平方根是_；的算術(shù)平方根是_【練2】 求下列各式的值：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；【練3】 求下列各式的值（1） （2） （3） 【練4】 求下列等式中的 ：（1）若 ，則_； （2），則_；（3）若，則_； （4）若，則_【練5】 （2012年北京四中期末）若是的立方根，則 的平方根

10、是_【練6】 （2013年北大附中）平方根等于本身的數(shù)是（    ）ABC D和【練7】 下列運(yùn)算中正確的是（ ）A B C D 【練8】 若的立方根是 ，則的平方根是_【練9】 的立方根與的平方根的和是_【練10】 若的立方根是，則的平方根是_【練11】 如果那么的值是_【練12】 某數(shù)的立方根是它本身，這樣的數(shù)有（ ）A 個 B 個 C 個 D 個【練13】 （2011年北師大月考）下列說法不正確的是 （ ）A的平方根是 ； BC的平方根是； D的平方根是 【練14】 （2011年北師大月考） 的平方根是_；的算術(shù)平方根是_； 的立方根是_【練15】

11、 （2012年北京四中期末）若實(shí)數(shù)滿足，則=_【練16】 （2012年交大附中）若實(shí)數(shù)，滿足 ,求的平方根能力提升【練17】 的算術(shù)平方根是_?！揪?8】 當(dāng)，的算術(shù)平方根是_【練19】 若，則的平方根是_；若，則_.【練20】 若 ，則=_【練21】 若則與的關(guān)系是_【練22】 若則_【練23】 中的的取值范圍是_；【練24】 中的的取值范圍是_【練25】 若，則_.【練26】 已知一個立方體盒子的容積為，問做這樣的一個正方體盒子（無蓋）需要多少平方厘米的紙板？【練27】 若某數(shù)的立方根等于這個數(shù)的算術(shù)平方根，求這個數(shù)。【練28】 的立方根的相反數(shù)等于的立方根，求的值.【練29】 若代數(shù)式在

12、實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（ ）A B C D可取任意實(shí)數(shù)【練30】 已知，=_【練31】 設(shè)，都是實(shí)數(shù)，且滿足，；則代數(shù)式的值為：巔峰突破【練32】 代數(shù)式有意義，則的取值范圍是_【練33】 若，則的算術(shù)平方根是_【練34】 設(shè)是整數(shù)，則使為最小正有理數(shù)的的值是_【練35】 已知為實(shí)數(shù)，且滿足，求的值【練36】 已知 ，化簡的值【練37】 若立方比大，則滿足（ ）A B C D 以上都不對【練38】 （2012年北京四中期末）閱讀理解：我國數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題，求 的立方根。華羅庚脫口而出： 。眾人驚奇，忙問計算奧妙。你知道怎樣迅速準(zhǔn)確地計算出結(jié)果的嗎？請按照下面的分析試一試：（1）由，可知是兩位數(shù)；（2）由的個位數(shù)是 ，可知的個位數(shù)是；（3）如果劃去后面的三位 得到 ，而，由此確定的十位數(shù)是 ；請應(yīng)用以上方法計算：，【練39】 若與互為相反數(shù)，求的立方根【練40】 已知的平方根是 ，的立方根是 ，求的平方根【練41】