第07章 數(shù)學形態(tài)學在圖像處理中的應用 數(shù)字圖像處理 北航

1、第七章 數(shù)學形態(tài)學在圖像處理中的應用一、數(shù)學形態(tài)學概述二、數(shù)學形態(tài)學基本算法三、二值圖像的形態(tài)學處理四、灰值形態(tài)學1、起源： 數(shù)學形態(tài)學（Mathematics Morphology）形成于1964年，法國巴黎礦業(yè)學院馬瑟榮（G. Matheron）和其學生賽拉（J. Serra）從事鐵礦核的定量巖石學分析，提出了該理論。一、數(shù)學形態(tài)學概述2、發(fā)展： 數(shù)學形態(tài)學是一門建立在嚴格數(shù)學理論基礎上的學科，其基本思想和方法對圖像處理的理論和技術產(chǎn)生了重大的影響。目前，形態(tài)學圖像處理已成為數(shù)字圖像處理的一個主要研究領域。在文字識別、顯微圖像分析、醫(yī)學圖像、工業(yè)檢測、機器人視覺都有很成功的應用。一、數(shù)學形

2、態(tài)學概述3、定義： 數(shù)學形態(tài)學（Mathematical Morphology）是分析幾何形狀和結(jié)構(gòu)的數(shù)學方法，它建立在集合代數(shù)的基礎上，是用集合論方法定量描述目標幾何結(jié)構(gòu)的學科。 這種結(jié)構(gòu)表示的可以是分析對象的宏觀性質(zhì)，例如，在分析一個工具或印刷字符的形狀時，研究的就是其宏觀結(jié)構(gòu)；也可以是微觀性質(zhì)，例如，在分析顆粒分布或由小的基元產(chǎn)生的紋理時，研究的便是微觀結(jié)構(gòu)。一、數(shù)學形態(tài)學概述4、形態(tài)學研究幾何結(jié)構(gòu)的基本思想：利用一個結(jié)構(gòu)元素（相當于模板）去探測一個圖像，看是否能將這個結(jié)構(gòu)元素很好地填放在圖像的內(nèi)部，同時驗證填放結(jié)構(gòu)元素的方法是否有效。 通過對圖像內(nèi)適合放入結(jié)構(gòu)元素的位置做標記，就可得到

3、關于圖像結(jié)構(gòu)的信息。這些信息與結(jié)構(gòu)元素的尺寸和形狀都有關。構(gòu)造不同的結(jié)構(gòu)元素，便可完成不同的圖像分析，得到不同的分析結(jié)果。B圖1 形態(tài)學基本運算A一、數(shù)學形態(tài)學概述1、基本概念 ABABAB圖2 包含、擊中和擊不中示意圖 a) B 包含于A A, ,b) B 擊中（hit）A A, ,c) B 擊不中(miss)A A，AB A!BAB集合關系：設 A 和 B 為R2的子集，A 為物體區(qū)域，B為某種結(jié)構(gòu)元素，則 B 結(jié)構(gòu)單元對 A 的關系有三類： 二、數(shù)學形態(tài)學基本算法平移：將一個集合A平移距離x可以表示為A+x，其定義為：|AaxaxA1、基本概念 AA+xaa+x圖3 二值圖象的平移x二、

4、數(shù)學形態(tài)學基本算法1、基本概念 對稱集：設有一幅圖像A，將A中所有元素相對原點轉(zhuǎn)180o，即令(x，y)變成(-x，-y)，所得到的新集合稱為A的對稱集，記為-A.a-aA-A圖4 相對原點轉(zhuǎn)180o二、數(shù)學形態(tài)學基本算法:AxBxA B =2、腐蝕與膨脹 腐蝕：集合 A 被集合 B 腐蝕,表示為 ,數(shù)學形式為B圖5 腐蝕類似于收縮AA B二、數(shù)學形態(tài)學基本算法A B 表示將 B 平移 x 但仍包含在A 內(nèi)的所有點 x 組成. 若把 A 看作輸入圖像, B 看作模板,則 由在平移模板的過程中,所有可以添入 A 內(nèi)部的模板的原點組成.A BA BB圖6 腐蝕不是輸入圖像的子圖像A BA 一般,如

5、果原點在結(jié)構(gòu)元素內(nèi)部,則腐蝕后的圖像為輸入圖像的子集;如果原點不在結(jié)構(gòu)元素的內(nèi)部,則腐蝕后的圖像可能不在輸入圖像的內(nèi)部，但輸出形狀不變.二、數(shù)學形態(tài)學基本算法2、腐蝕與膨脹 腐蝕例 數(shù)字圖像S和結(jié)構(gòu)元素E，求腐蝕結(jié)果如下：011101011001010S1101ES E0110000100000002、腐蝕與膨脹 膨脹: 是腐蝕運算的對偶運算，可以通過對補集的腐蝕來定義。A 被 B 膨脹表示為 , 其定義為： 二、數(shù)學形態(tài)學基本算法BA BAAC (-B )C圖7 利用圓盤膨脹ABBA2、腐蝕與膨脹 膨脹:二、數(shù)學形態(tài)學基本算法膨脹的等效方程：膨脹可以通過相對結(jié)構(gòu)元素的所有點平移輸入圖像，然后

6、計算其并集得到。:BbbABA用膨脹的等效方程計算膨脹結(jié)果A B 膨脹結(jié)果二、數(shù)學形態(tài)學基本算法3、開、閉運算開運算：利用圖像 B 對圖像 A 做開運算，用符號 表示，其定義為：BABBABA)(圖10 開運算BAA B A B例：011101011001010S1101E000000011000010011000010000000001100001000000011100011000010S E001100001000000EES)(EESES)(二、數(shù)學形態(tài)學基本算法3、開、閉運算閉運算：是開運算的對偶運算,定義為先作膨脹然后再作腐蝕. 利用 B 對 A 作閉運算表示為 ,其定義為:BA)

7、()(BBABAAB)( BA(-B )圖3.2 閉運算閉運算實例011101011001010S1101E01110111111111101111)( ES1011E00000011101111001110ES二、數(shù)學形態(tài)學基本算法3、開、閉運算開、閉運算的濾波性質(zhì)： 開運算可以濾掉背景（并）噪聲胡椒狀噪聲 閉運算可以濾掉前景（差）噪聲沙眼噪聲二、數(shù)學形態(tài)學基本算法4、擊中擊不中變換定義：擊中擊不中變換需要兩個結(jié)構(gòu)基元E和F，這兩個基元被作為一個結(jié)構(gòu)元素對B=(E, F)，一個探測圖像內(nèi)部，一個探測圖像外部，其定義為：顯然FE EF擊中結(jié)構(gòu)元素 擊不中結(jié)構(gòu)元素 輸入圖像 擊中擊不中輸出)()

8、(FAEABAC二、數(shù)學形態(tài)學基本算法4、擊中擊不中變換利用擊中擊不中變換進行物體識別 利用與目標相同的結(jié)構(gòu)元素做腐蝕二、數(shù)學形態(tài)學基本算法4、擊中擊不中變換利用擊中擊不中變換進行物體識別利用擊中擊不中變換識別物體的過程擊中結(jié)構(gòu)元素擊不中結(jié)構(gòu)元素二、數(shù)學形態(tài)學基本算法4、擊中擊不中變換利用擊中擊不中變換細化利用一個結(jié)構(gòu)對的順序細化EFSS1S2S3S4S5 在實際應用中，通常選擇一組結(jié)構(gòu)元素對，迭待過程不斷在這些結(jié)構(gòu)對中循環(huán)，當一個完整的循環(huán)結(jié)束時，如果所得結(jié)果不再變化，則終止迭待過程。例如，下面是用于細化的8個方向結(jié)構(gòu)對圖中 表示擊中結(jié)構(gòu)元素E， 表示擊不中結(jié)構(gòu)元素F。細化中結(jié)構(gòu)元素對的選取

9、三、二值圖像的形態(tài)學處理1、基本概念強鄰接象素：兩個象素在豎直方向或水平方向上相鄰。弱鄰接象素：兩個象素在對角方向上相鄰相對原點的各種鄰接象素模板(a) 強鄰接象素模板 (b)弱鄰接象素模板 (c)鄰接象素模板 三、二值圖像的形態(tài)學處理1、基本概念強連通：假設x和y為區(qū)域中的任意兩個象素，在x和y之間存在一個象素序列，若這個象素也在這個區(qū)域中，并且序列中的象素之間為強鄰接的，則這個區(qū)域是強連通的。連通：序列中所有的象素之間都具有鄰接關系。 非連通：任意兩個象素之間不存在鄰接的象素序列(a)強連通區(qū)域 (b) 連通區(qū)域 (c)非連通區(qū)域三、二值圖像的形態(tài)學處理2、邊界檢測對于圖像A和圓盤B， 給

10、出外邊界 給出內(nèi)邊界 給出跨騎在實際歐氏邊界上的邊界，又稱形態(tài)學梯度。ABA )()(BAA)()(BABAA BABA )()( BAA)( )(BABA(a) 輸入圖像(b) 膨脹/強連通外邊界(c) 腐蝕/強連通內(nèi)邊界(d) 形態(tài)學梯度例，用原點鄰接象素模板得到強連通邊界。(a) 輸入圖像(b) 膨脹/弱連通外邊界(c) 腐蝕/弱連通內(nèi)邊界(d) 形態(tài)學梯度例，用原點強鄰接象素模板得到弱連通邊界。3、條件膨脹定義：假設有輸入圖像A, 結(jié)構(gòu)元素B，集合C，則利用B相對C對A作條件膨脹，可以通過將平移限制在C之內(nèi)得到，其結(jié)果為：三、二值圖像的形態(tài)學處理:)(:AaCaBCBACABBACBA

11、:結(jié)構(gòu)元素B二值輸入圖象A, 為標記點3、條件膨脹應用連通成分重建：利用給定的標記進行膨脹，找出二值圖像中含有某種標記的連通成分，這個標記可以是一個象素，也可以是一個連通子區(qū)域。三、二值圖像的形態(tài)學處理第一步把整個原始圖像數(shù)據(jù)作為條件C，抽取連通成分。第二步第三步第四步注：結(jié)構(gòu)元素的選擇很重要。例：填充一個用曲線圍成的區(qū)域結(jié)構(gòu)元素輸入圖像第一步第二步第三步第四步第五步4、骨架化基本概念：最大圓盤：對于一個目標S，S內(nèi)的最大圓盤不是其他任何完全屬于S的圓盤子集，并且至少有兩點與目標邊界輪廓相切。三、二值圖像的形態(tài)學處理xD(x)wD(w)最大圓盤非最大圓盤4、骨架化基本概念：骨架：所有最大圓盤的

12、圓心構(gòu)成了圖像的骨架。三、二值圖像的形態(tài)學處理最大圓盤定義的骨架4、骨架化數(shù)字情況下圓盤的選擇：令B為一種結(jié)構(gòu)元素，最大圓盤可表示為0B，1B，nB。其中三、二值圖像的形態(tài)學處理 次nBBBnB用鄰接象素模板作結(jié)構(gòu)元素時的數(shù)字圓盤0B1B2B3Bn=0 n=1 n=2輸入圖像最終骨架);(nSSkelnBnSSkel);(kBkSSkelnk0);(n=0 n=1 n=2利用骨架子集進行數(shù)據(jù)重建的過程4、骨架化數(shù)字骨架的應用：數(shù)據(jù)壓縮（有損或無損） 、字符識別三、二值圖像的形態(tài)學處理5、流域分割方法問題：分割下面兩個互相重疊的球狀物體三、二值圖像的形態(tài)學處理ab5、流域分割方法基本概念三、二值

13、圖像的形態(tài)學處理極限腐蝕：對于給定圖象A，用結(jié)構(gòu)元素B對其不斷進行腐蝕，在腐蝕過程中，不連通的區(qū)域不斷產(chǎn)生，某些區(qū)域又不斷消失，一個連通成分在消失前的最后一步，稱為最終連通成分。所有最終連通成分的并就是相對B的極限腐蝕，用 來表示。)(AUlt5、流域分割方法基本概念三、二值圖像的形態(tài)學處理距離函數(shù)：對于A內(nèi)給定一點x，距離函數(shù)dist(x)為從x到A的補集的距離。輸入圖象 距離函數(shù)圖5、流域分割方法流域分割原理三、二值圖像的形態(tài)學處理x- dist(x)距離函數(shù)反相圖- dist(x)相對通過圓盤水平線做出的 -dist(x)圖形5、流域分割方法流域分割原理三、二值圖像的形態(tài)學處理地形浸沒過

14、程說明5、流域分割方法實現(xiàn)三、二值圖像的形態(tài)學處理a) 對圖像做極限腐蝕，生成距離函數(shù)反相圖 - dist(x) ，記下極限腐蝕位置b) 水從最深處開始上漲，給每個新出現(xiàn)的積水盆一個新的標記，水面上漲過程中不同積水盆相接時，筑起一道壩最終的壩就是分割線6、顆粒分析 離散粒度分布 局部顆粒分析三、二值圖像的形態(tài)學處理g在f的下方：對于定義域內(nèi)任意一點x，都有 ，則稱g在f的下方，記為 。利用結(jié)構(gòu)元素g對信號f的腐蝕定義為：fg )()(xfxg四、灰值形態(tài)學1、灰值腐蝕:max)(fygyxgfxtfg利用半圓形結(jié)構(gòu)元素的腐蝕0.5tgf四、灰值形態(tài)學1、灰值腐蝕腐蝕的等價定義：: )()(mi

15、n)(xgDzzgzfxgf推導：假設在點x處，f被g腐蝕的值為y，則)()(zfzgy)()(zgzfy)()()()(min(zgzfzgzf)()(min(zgzfy例1 )01695120* (f)455(g)430445* (gf541 , 52 , 50min)2)(gf例2：*12201*1611*12760*12621*12220*f4330g*234*323*3223*3212*gf四、灰值形態(tài)學2、灰值膨脹定義：f被g膨脹可逐點地定義為：)( :min)(fygyxgfx等價定義為：: )(gDxxgfgfxgtftgf g四、灰值形態(tài)學2、灰值膨脹計算過程：1）對結(jié)構(gòu)元素

16、g的定義域Dg中的每一點x將信號f平移x；2）再對平移信號的值加上g(x)；3）對所有這些信號逐點取最大值。)9983897(f) 303(g) *6650564(31f) *9983897* (00f) 6650564* (31f)699858974(gf例1：注：定義域擴展了例2：*12201*1611*12760*12621*12220*01 ,0f*12201*1611*12760*12621*12220*f4330g*45534*4944*451093*45954*45553*30, 0f*566554*4510954*56111093*5610964*569653*455530*g

17、f四、灰值形態(tài)學3、灰值開、閉運算 灰值開運算ggfgf)( 灰值閉運算ggfgf)(四、灰值形態(tài)學3、灰值開、閉運算 開、閉運算的濾波性質(zhì)g輸入信號腐蝕膨脹g開運算四、灰值形態(tài)學4、灰值形態(tài)學算法 灰值形態(tài)學梯度)()()(gfgffGRAD扁平結(jié)構(gòu)元素 定義域上取常數(shù)的結(jié)構(gòu)元素四、灰值形態(tài)學4、灰值形態(tài)學算法 Top-Hat變換)()(gfffHAT 有檢測波峰的作用，對在較亮的背景中求暗的象素聚集體(顆粒)，或在較暗的背景中求亮的象素聚集體非常有效。輸入信號腐蝕g開運算Top-Hat變換四、灰值形態(tài)學4、灰值形態(tài)學算法 Top-Hat變換Top-Hat的對偶算子波谷檢測器fgffBTH)()(四、灰值形態(tài)學4、灰值形態(tài)學算法流域分割（watershed變換）地形浸沒過程說明原理：模仿地形浸沒的過程四、灰值形態(tài)學4、灰值形態(tài)學算法流域分割（watershed變換）一組分割實例四、灰值形態(tài)學4、灰值形態(tài)學算法基于標記的流域分割（watershed變換