《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)B》實(shí)驗(yàn)教學(xué)指導(dǎo)書

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)B實(shí)驗(yàn)教學(xué)指導(dǎo)書實(shí)驗(yàn)類別：課內(nèi)實(shí)驗(yàn) 所屬課程名稱：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)B實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)：16學(xué)時(shí) 所屬課程編碼：N02081404實(shí)驗(yàn)室名稱：大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中心 實(shí)驗(yàn)室類別：基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心參考書目：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程(第二版)，茆詩松、程依明、濮曉龍等編著，高等教育出版社、數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論、應(yīng)用與軟件實(shí)現(xiàn)，宋愛斌主編，國防工業(yè)出版社適用專業(yè)：應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)序號(hào)實(shí)驗(yàn)名稱學(xué)時(shí)頁碼實(shí)驗(yàn)一各種分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)41-6實(shí)驗(yàn)二統(tǒng)計(jì)量及抽樣分布47-10實(shí)驗(yàn)三正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)及假設(shè)檢驗(yàn)410-15實(shí)驗(yàn)四方差分析和回歸分析415-20實(shí)驗(yàn)一 各種分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖箤W(xué)

2、生了解MATLAB系統(tǒng)，熟練掌握MATLAB中基本語句以及分布律，概率密度函數(shù)和分布函數(shù)的相關(guān)命令并運(yùn)用這些命令進(jìn)行簡單的相關(guān)概率運(yùn)算。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及要求1、會(huì)利用 MATLAB 軟件計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率、連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度值, 以及產(chǎn)生離散型隨機(jī)變量的概率分布(即分布律)；2、會(huì)利用 MATLAB 軟件計(jì)算分布函數(shù)值，即：計(jì)算形如事件的概率；3、給出概率p和分布函數(shù)，會(huì)求下側(cè)p分位數(shù)；4、會(huì)利用 MATLAB 軟件畫出各種常見分布圖形。三、實(shí)驗(yàn)的重點(diǎn)和難點(diǎn) 實(shí)驗(yàn)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是要求學(xué)生掌握基本的MATLAB軟件的編程語言，掌握基本的調(diào)用命令。四、實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)室電腦需要安裝MATLAB軟

3、件。五、實(shí)驗(yàn)步驟1、通過MATLAB函數(shù)計(jì)算概率分布律及密度函數(shù)值函數(shù)：pdf或者namepdf格式：Y=pdf(name,K,A,B)或者：namepdf (K,A,B) 說明：（1）上述函數(shù)表示返回在X=K處、參數(shù)為A、B、C的概率值或密度值，對(duì)于不同的分布，參數(shù)個(gè)數(shù)是不同；name為分布函數(shù)名，其取值如表1。（2）第一個(gè)函數(shù)名加 ，第二個(gè)無需加。表1-1 常見分布名稱表name的取值函數(shù)說明beta或BetaBeta分布bino或Binomial二項(xiàng)分布chi2或Chisquare卡方分布exp或Exponential指數(shù)分布f或FF分布gam或GammaGAMMA分布geo或Geome

4、tric幾何分布hyge或Hypergeometric超幾何分布logn或Lognormal對(duì)數(shù)正態(tài)分布nbin或Negative Binomial負(fù)二項(xiàng)式分布ncf或Noncentral F非中心F分布nct或Noncentral t非中心t分布ncx2或Noncentral Chi-square非中心卡方分布norm或Normal正態(tài)分布poiss或Poisson泊松分布rayl或Rayleigh瑞利分布t或TT分布unif或Uniform連續(xù)均勻分布unid或Discrete Uniform離散均勻分布weib或WeibullWeibull分布注意以下幾個(gè)分布的分布律和密度定義：幾何分布

5、：,；正態(tài)分布：第二個(gè)參數(shù)是；指數(shù)分布：，參數(shù)是；例1事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是0.3，計(jì)算在10次試驗(yàn)中A恰好發(fā)生6次的概率。解：p=pdf(bino,6, 10, 0.3)或者p=binopdf(6, 10, 0.3) 輸出：p = 0.0368 結(jié)果表明：參數(shù)是n=10，概率是p=0.3的二項(xiàng)分布在X=6處的概率為0.0368。例2. 事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是0.3，求在4次試驗(yàn)中A發(fā)生次數(shù)的概率分布。解：p=pdf(bino,0:4,4,0.3) % 0: 4產(chǎn)生步長為 1 的等差數(shù)列 0, 1, 2, 3, 4. 或者p=binopdf(0:4,4,0.3)輸出：p = 0

6、.2401 0.4116 0.2646 0.0756 0.0081 計(jì)算的結(jié)果是：參數(shù)是n=4，概率是p=0.3的二項(xiàng)分布的分布律(當(dāng)x=0,1,2,3,4 )。 例3. 設(shè)隨機(jī)變量X服從區(qū)間2，6上的均勻分布，求X=4時(shí)的概率密度值。解：y=unifpdf(4,2,6) 或y=pdf(unif,4,2,6)輸出：y = 0 .2500 2、隨機(jī)變量的累積概率值(分布函數(shù)值)函數(shù)：cdf或者namecdf格式：cdf (name ,K,A,B)或者namecdf (K,A,B)說明：返回以name為分布、隨機(jī)變量的累積概率值，name的取值見表1。例4. 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)是3的泊松分布，求

7、概率PX6。 解：p=poisscdf(6,3) % 比較例 2-4命令 poisspdf(6,3). 輸出：p = 0.9665 結(jié)果表明：參數(shù)是=3的泊松分布在x=6處的分布函數(shù)值F(6)=PX 6=0.9665。例5. 求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量X落在區(qū)間(-，0.4)內(nèi)的概率（該值就是概率統(tǒng)計(jì)教材中的附表：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)數(shù)值表）。解：p =cdf(norm,0.4,0,1)3、隨機(jī)變量的逆累積分布函數(shù)與下側(cè)分位數(shù)逆累積分布函數(shù)是已知，求。 逆累積分布函數(shù)值的計(jì)算有兩種方法：函數(shù)：icdf或者nameinv格式：icdf(name, K，A，B)或者nameinv(K，A，B) 說明：返回分布為n

8、ame，參數(shù)為A，B，累積概率值為K的臨界值，即滿足的，就是對(duì)應(yīng)的下側(cè)分位數(shù)，這里name與前面表1相同。例5. 在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中，若已知=0.975，求x。解：x=icdf(norm,0.975,0,1)或者norminv(0.975,0,1)輸出：x = 1.9600例6. 在分布表中，若自由度為10，=0.975，求：上側(cè)分位數(shù)。解：icdf(chi2,0.025,10) 或者chi2inv(0.025,10)輸出：ans = 3.24704、常見分布的密度函數(shù)作圖函數(shù)：plot(x,y)或plot(x,y)，以x元素為橫坐標(biāo)值，y元素為縱坐標(biāo)值繪制曲線。例1、二項(xiàng)分布x =0:10;

9、y = binopdf(x,10,0.5);plot(x,y,+)例2、泊松分布x = 0:15;y = poisspdf(x,5);plot(x,y,+)例3、指數(shù)分布x = 0:0.1:10;y = exppdf(x,2);plot(x,y)例4、正態(tài)分布x=-3:0.2:3;y=normpdf(x,0,1);plot(x,y) 補(bǔ)充：繪制線性二維圖形 plot(X,Y)：當(dāng)X,Y均為實(shí)數(shù)向量時(shí)，并且為維數(shù)相同，X=X(i),Y=Y(i)，則plot(X,Y)先描述點(diǎn)(X(i),Y(i)，然后依次畫線；當(dāng)X,Y均為實(shí)數(shù)矩陣時(shí)，并且為維數(shù)相同，plot依次按照對(duì)應(yīng)的列畫出線，矩陣有幾列就有幾

10、條線；plot(X1,Y1,.,Xn,Yn) ，Xn和Yn是成對(duì)出現(xiàn)的，在同一坐標(biāo)軸下按照順序?qū)n和Yn畫圖。plot(x, y, CLM)：C表示顏色，L表示線型，M表示線標(biāo)記符表1-2畫圖特征符號(hào)表線型說明標(biāo)記符說明顏色說明-實(shí)線(默認(rèn))+加號(hào)符r紅色-雙劃線o空心圓g綠色:虛線*星號(hào)b藍(lán)色:.點(diǎn)劃線.實(shí)心圓c青綠色x叉號(hào)符m洋紅色s正方形y黃色d菱形k黑色上三角形w白色v下三角形右三角形 X=0 -1 1;Y=1 2 2； C1=cov(X) %X的協(xié)方差 C2=cov(X,Y) %列向量X、Y的協(xié)方差矩陣，對(duì)角線元素為各列向量的方差 A=1 2 3;4 0 -1;1 7 3 C1=c

11、ov(A) %求矩陣A的協(xié)方差矩陣 C2=var(A(:,1) %求A的第1列向量的方差 C3=var(A(:,2) %求A的第2列向量的方差 C4=var(A(:,3)相關(guān)系數(shù)函數(shù)：corrcoef格式：corrcoef(X,Y) %返回列向量X,Y的相關(guān)系數(shù)corrcoef (A) %返回矩陣A的列向量的相關(guān)系數(shù)矩陣?yán)?. A=1 2 3;4 0 -1;1 3 9A = 1 2 3 4 0 -1 1 3 9 C1=corrcoef(A) %求矩陣A的相關(guān)系數(shù)矩陣C1 = 1.0000 -0.9449 -0.8030 -0.9449 1.0000 0.9538 -0.8030 0.9538

12、1.0000 C1=corrcoef(A(:,2),A(:,3) %求A的第2列與第3列列向量的相關(guān)系數(shù)矩陣C1 = 1.0000 0.9538其它常用特征命令: 利用median計(jì)算中值（中位數(shù)）格式：median(X) %X為向量，返回X中各元素的中位數(shù)。median(A) %A為矩陣，返回A中各列元素的中位數(shù)構(gòu)成的向量。命令：利用geomean計(jì)算幾何平均數(shù)格式：M=geomean(X) %X為向量，返回X中各元素的幾何平均數(shù)。 M=geomean(A) %A為矩陣，返回A中各列元素的幾何平均數(shù)構(gòu)成的向量。說明 幾何平均數(shù)的數(shù)學(xué)含義是 ，其中：樣本數(shù)據(jù)非負(fù)，主要用于對(duì)數(shù)正態(tài)分布。例4.

13、B=1 3 4 5B = 1 3 4 5 M=geomean(B)M = 2.7832 A=1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5A = 1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 M=geomean(A)M = 1.2599 3.0000 2.5198 5.3133命令：樣本的偏斜度格式：y = skewness(X) %X為向量，返回X的元素的偏斜度；X為矩陣，返回X各列元素的偏斜度構(gòu)成的行向量。2、常見分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生 常見分布的隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生命令：namernd(A,B,m,n) 見表2-1. 表2-1 常見分布的隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生函數(shù)表函數(shù)名 調(diào)用形式注 釋betarndbetar

14、nd(A, B,m,n)參數(shù)為A, B的分布隨機(jī)數(shù)binorndbinornd(N,P,m,n)參數(shù)為N, p的二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù)chi2rndchi2rnd(N, m, n)自由度為N的2 分布隨機(jī)數(shù)exprndexprnd(Lambda,m,n)參數(shù)為Lambda的指數(shù)分布隨機(jī)數(shù)frndfrnd(N1, N2, m,n)第一自由度為N1,第二自由度為N2的F分 布隨機(jī)數(shù)gamrndgamrnd(A, B, m,n)參數(shù)為A, B的分布隨機(jī)數(shù)georndgeornd(P,m,n)參數(shù)為 P的幾何分布隨機(jī)數(shù)hygerndhygernd(M,K,N,m,n)參數(shù)為 M，K，N的超幾何分布隨機(jī)數(shù)log

15、nrndlognrnd(MU, SIGMA, m, n)參數(shù)為MU, SIGMA的對(duì)數(shù)正態(tài)分布隨機(jī) 數(shù)nbinrndnbinrnd(R, P,m,n)參數(shù)為R, P的負(fù)二項(xiàng)式分布隨機(jī)數(shù)ncfrndncfrnd(N1, N2, delta,m,n)參數(shù)為N1,N2, delta的非中心F分布隨機(jī)數(shù)nctrndnctrnd(N, delta, m,n)參數(shù)為N, delta的非中心t分布隨機(jī)數(shù)ncx2rndncx2rnd(N, delta, m,n)參數(shù)為N, delta的非中心卡方分布隨機(jī)數(shù)normrndnormrnd(MU, SIGMA, m,n)參數(shù)為MU, SIGMA的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)poi

16、ssrndpoissrnd(Lambda,m,n)參數(shù)為Lambda的泊松分布隨機(jī)數(shù)raylrndraylrnd(B, m,n)參數(shù)為B的瑞利分布隨機(jī)數(shù)trndtrnd(N, m,n)自由度為N的t分布隨機(jī)數(shù)unidrndunidrnd(N,m, n)離散型均勻分布隨機(jī)數(shù)unifrndunifrnd ( A,B,m,n)(A,B)上連續(xù)型均勻分布隨機(jī)數(shù)weibrndweibrnd(A, B,m, n)參數(shù)為A, B的威布爾分布隨機(jī)數(shù)例5. 產(chǎn)生參數(shù)n為10， p為0.5 的二項(xiàng)分布的隨機(jī)數(shù)。(1) 產(chǎn)生1個(gè)隨機(jī)數(shù)；(2) 產(chǎn)生10個(gè)隨機(jī)數(shù)；(3) 產(chǎn)生6(要求2行3列)個(gè)隨機(jī)數(shù)。解 只需在命令

17、窗口中依次輸入下列命令: R1=binornd(10,0.5), %產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù) 5. R2=binornd(10,0.5,1,10), %產(chǎn)生1行10列共 10個(gè)隨機(jī)數(shù). R3=binornd(10,0.5,2,3). %同命令 binornd(10,0.5,2,3). 通用函數(shù)求各分布的隨機(jī)數(shù) 在MATLAB中用函數(shù)random產(chǎn)生指定分布的隨機(jī)數(shù)，其基本的調(diào)用格式如下： y = random(name,A1,A2,A3, m, n) % name為分布函數(shù)名,例6. 用函數(shù)“random”產(chǎn)生12(含3行4列)個(gè)均值為2, 標(biāo)準(zhǔn)差為0.3的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù). 解：在命令窗口輸入： y=r

18、andom(norm, 2, 0.3, 3, 4) 回車后顯示： y = 2.3567 2.0524 1.8235 2.0342 1.9887 1.9440 2.6550 2.3200 2.0982 2.2177 1.9591 2.0178 三、統(tǒng)計(jì)作圖頻率直方圖 根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，繪出直方圖，來顯示數(shù)據(jù)的分布特征，進(jìn)而觀察實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)所反映的統(tǒng)計(jì)規(guī)律. 調(diào)用格式：n = hist(Y) % n = hist(Y)將Y中的元素分到10個(gè)間隔相同的條形中, 并返回每個(gè)條形中元素的個(gè)數(shù)，若Y是矩陣，則hist函數(shù)對(duì)每一列生成直方圖，hist() %無輸出變量的hist函數(shù)創(chuàng)建一個(gè)上面描述的直方圖輸出，hi

19、st函數(shù)在y的最小值和最大值之間沿x分配條形。直方圖用添加陰影的圖形對(duì)象創(chuàng)建，若希望改變圖形顏色，可以設(shè)置陰影屬性。例7. 創(chuàng)建服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)的鐘形直方圖，設(shè)置圖形顏色，使得條形為紅色,，條形的邊為白色。解：在命令窗口中輸入: x =-2.9:0.1:2.9;y = randn(10000, 1); %生成10000 個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù). hist(y, x) h = findobj(gca, type, patch); % gca 表示獲得當(dāng)前圖形窗口內(nèi)當(dāng)前坐標(biāo)軸的句柄值 “句柄”，每個(gè)圖形對(duì)象都用一個(gè)數(shù)字來標(biāo)識(shí)，這個(gè)數(shù)字叫“句柄”。set(h, FaceColor, r, EdgeCo

20、lor, w) %設(shè)置條形顏色和邊框顏色. 回車后顯示圖 1所示. 圖2-1 正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)的直方圖附加有正態(tài)分布概率密度曲線的直方圖 調(diào)用格式：histfit(data) %data為向量, 返回直方圖和正態(tài)曲線. histfit(data, nbins) % nbins指定bar的個(gè)數(shù), 缺省時(shí)為data中數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的平方根. 例8 產(chǎn)生 100 個(gè)均值為10，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，畫出它們的直方圖并附加正態(tài)密度曲線，觀察它們之間的擬合程度。解：在命令窗口中輸入: r = normrnd (10, 1, 100, 1); histfit(r) 回車后顯示(見圖 8): 圖2-2 直

21、方圖與正態(tài)分布概率密度曲線經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)圖形 調(diào)用格式：cdfplot(X) % 作樣本 X(向量)的累積分布函數(shù)圖形.h = cdfplot(X) %h表示曲線的句柄. h,stats = cdfplot(X) %stats表示樣本的一些特征：樣本最小值、最大值、平均值、中位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。例9. 產(chǎn)生50個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，指出它們的分布特征，并畫出經(jīng)驗(yàn)累計(jì)分布函數(shù)圖(輸出圖見2). 解：在命令窗口中輸入: X=normrnd (0,1,50,1); % 產(chǎn)生 501 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù),用命令 normrnd (0,1,1,50) 也可以, 這時(shí)產(chǎn)生 150 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù).

22、h,stats=cdfplot(X) 回車后顯示: h = 152.0016 stats = min: -2.1707 % 樣本最小值. max: 2.1832 % 樣本最大值. mean: 0.0393 % 樣本平均值. median: 0.1196 % 樣本中位數(shù). std: 0.9760 % 樣本標(biāo)準(zhǔn)差. 樣本數(shù)據(jù)的箱形圖 箱形圖可以比較清晰地表示數(shù)據(jù)的分布特征，它由 5個(gè)部分組成： 1) 箱形上、下的橫線為樣本的 25%和 75%分位數(shù)，箱形頂部和底部的差值為內(nèi)四分位極值；2) 箱形中間的橫線為樣本的中值，若該橫線沒在箱形中央，則說明存在偏度，3) 箱形向上或向下延伸的直線稱為“觸須”

23、，若沒有異常值，樣本的最大值為上觸須的頂部，樣本最小值為下觸須的底部，默認(rèn)情況下，距離箱形頂部或底部大于1.5倍內(nèi)四分位極值的值稱為異常值；4) 圖中頂部的加號(hào)表示該處數(shù)據(jù)為一異常值，該值的異?？赡苁禽斎脲e(cuò)誤、測(cè)量失誤或系統(tǒng)誤差引起； 5) 箱形兩側(cè)的“V”形槽口對(duì)應(yīng)于樣本中值的置信區(qū)間. 默認(rèn)情況下，箱形圖沒有“V”形槽口，調(diào)用格式：boxplot(X) % 產(chǎn)生矩陣 X 的每一列的箱形圖和“觸須”圖, “觸須”從箱形末端延伸出來, 表示數(shù)據(jù)向極大和極小方向延伸的程度. 如果“觸須”的外面沒有數(shù)據(jù), 則在“觸須”的底部有一個(gè)點(diǎn). boxplot(X, notch) %當(dāng)notch=1時(shí), 產(chǎn)

24、生一個(gè)帶刻槽的箱形圖. 默認(rèn)時(shí) notch=0, 產(chǎn)生一個(gè)矩形箱形圖. boxplot(X, notch, sym) %sym表示圖形顏色和符號(hào), 默認(rèn)值為藍(lán)色和“+”. boxplot(X, notch, sym, vert) %當(dāng) vert=0 時(shí), 生成水平箱形圖; vert=1 時(shí), 生成豎直箱形圖(默認(rèn)值 vert=1).boxplot(X, notch, sym, vert, whis) %whis 定義“觸須”圖的長度. 若 whis=0, 則 boxplot 函數(shù)通過繪制 sym符號(hào)圖來顯示箱形圖以外的數(shù)據(jù)值. 六、實(shí)驗(yàn)結(jié)果例10. 產(chǎn)生100個(gè)均值為5, 標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布

25、的隨機(jī)數(shù), 再產(chǎn)生100個(gè)均值為 6, 標(biāo)準(zhǔn)差為 1 的正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù), 用箱形圖比較它們均值大小. 解：在命令窗口中輸入: x1 = normrnd(5, 1, 100, 1); x2 = normrnd(6, 1, 100, 1); x = x1 x2; %形成 100 行2 列正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù). boxplot(x, 1, g+, 1, 0) %產(chǎn)生矩陣X的每一列的箱形圖和“觸須”圖. 回車后顯示(見圖 6): 圖2-3 兩個(gè)正態(tài)樣本的箱形圖比較七、注意事項(xiàng) 要求學(xué)生愛護(hù)電腦，不能損壞電腦及其他實(shí)驗(yàn)室設(shè)備。每次開機(jī)電腦會(huì)更新，要提醒學(xué)生把自己做的數(shù)據(jù)分析結(jié)果保存在自己的U盤或其他移動(dòng)設(shè)

26、備上。八、實(shí)驗(yàn)報(bào)告的格式以及內(nèi)容要求1、給出下列各題的程序和計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生 100 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，指出它們的分布特征，并畫出經(jīng)驗(yàn)累計(jì)分布函數(shù)圖；產(chǎn)生 100 個(gè)均值為 1，標(biāo)準(zhǔn)差為 1 的正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，畫出它們的直方圖并附加正態(tài)密度曲線，觀察它們之間的擬合程度；產(chǎn)生 100 個(gè)均勻分布的隨機(jī)數(shù)，對(duì)這 100 個(gè)數(shù)據(jù)的列向量，用加號(hào)“*”標(biāo)注其數(shù)據(jù)位置，作最小二乘擬合直線；產(chǎn)生100個(gè)參數(shù)為5的指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)，再產(chǎn)生100個(gè)參數(shù)為1的指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)，用箱形圖比較它們均值不確定性的穩(wěn)健性。課后作業(yè)（請(qǐng)自行輸入題目）P261. 1題，3題；P279. 1題；P282. 35，36；2

27、、 實(shí)驗(yàn)報(bào)告的格式：紙張大小為A4紙；頁邊距為上：3cm；下：2.5 cm；左：3cm; 右3 cm；整篇段落格式設(shè)定為1.5倍行距，段前，段后均為0，標(biāo)點(diǎn)用全角；正文用宋體小四號(hào)字體；標(biāo)題用黑體小四號(hào)。九、思考題如何用help命令學(xué)習(xí)常見函數(shù)的應(yīng)用十、考核方式及評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)考核方式以提交的實(shí)驗(yàn)報(bào)告為主，參考實(shí)驗(yàn)課上同學(xué)們解決問題的情況而定。評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)分為：A、B、C、D四個(gè)等級(jí)，其中A為優(yōu)秀，B為良好，C為中等，D為較差。實(shí)驗(yàn)三 正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)及假設(shè)檢驗(yàn)一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康恼莆諈?shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的 MATLAB 的有關(guān)命令。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及要求1、掌握參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的 MATLAB 的有關(guān)命令；2、

28、熟練掌握單個(gè)正態(tài)總體期望和方差的區(qū)間估計(jì)；3、熟練掌握兩個(gè)正態(tài)總體期望差和方差比的區(qū)間估計(jì)的命令；4、熟練掌握對(duì)單個(gè)正態(tài)總體均值、方差的假設(shè)檢驗(yàn)；5、掌握對(duì)兩個(gè)正態(tài)總體均值、方差有關(guān)的假設(shè)檢驗(yàn)；6、對(duì)統(tǒng)計(jì)結(jié)果能進(jìn)行正確的分析。三、實(shí)驗(yàn)的重點(diǎn)和難點(diǎn) 實(shí)驗(yàn)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是要求學(xué)生掌握基本的MATLAB軟件的編程語言，掌握基本的調(diào)用命令。四、實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備掌握假設(shè)檢驗(yàn)的相關(guān)步驟；(1) 根據(jù)問題提出合理的原假設(shè)和備擇假設(shè)；(2) 給定顯著性水平, 一般取較小的正數(shù), 如0.05,0.01等；(3) 選取合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及確定拒絕域的形式；(4) 令P當(dāng)為真拒絕, 求拒絕域；(5) 由樣本觀察值計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

29、的值, 并做出決策: 拒絕或接受.五、實(shí)驗(yàn)步驟下面是MATLAB軟件提供的一些常用的參數(shù)估計(jì)函數(shù)命令. 一、矩估計(jì) 命令：mu_ju=mean(X) % 返回樣本X的均值sigma2_ju =moment(X,2) % 返回樣本X的2階中心矩例1. 來自某總體X的樣本值如下：232.50, 232.48, 232.15, 232.52, 232.53, 232.30, 232.48, 232.05, 232.45, 232.60, 232.47, 232.30，求X的均值與方差的矩估計(jì)。解：x=232.50, 232.48, 232.15, 232.52, 232.53, 232.30, 23

30、2.48, 232.05, 232.45, 232.60, 232.47, 232.30; mu_ju=mean(X)sigma2_ju= moment(X,2)輸出：mu_ju = 232.4025sigma2_ju = 0.0255二、單個(gè)總體極大似然估計(jì)與區(qū)間估計(jì)（參數(shù)均未知）命令1: a,b=namefit (X, ALPHA) % 返回總體參數(shù)的極大似然估計(jì)a與置信度為100(1- ALPHA)%.的置信區(qū)間，若參數(shù)為多個(gè)，ab也是多個(gè)，若省略ALPHA，置信度為0.95常用分布的參數(shù)估計(jì)函數(shù)表3-1 參數(shù)估計(jì)函數(shù)表函數(shù)名調(diào) 用 形 式函 數(shù) 說 明binofitPHAT= bino

31、fit(X, N)PHAT, PCI = binofit(X,N)PHAT, PCI= binofit (X, N, ALPHA)二項(xiàng)分布的概率的最大似然估計(jì)置信度為95%的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間返回水平的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間poissfitLambdahat=poissfit(X)Lambdahat, Lambdaci = poissfit(X)Lambdahat,Lambdaci=poissfit(X, ALPHA)泊松分布的參數(shù)的最大似然估計(jì)置信度為95%的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間返回水平的參數(shù)和置信區(qū)間normfitmuhat,sigmahat,muci,sigmaci = normfit(X)m

32、uhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(X, ALPHA)正態(tài)分布的最大似然估計(jì)，置信度為95%返回水平的期望、方差值和置信區(qū)間betafitPHAT =betafit (X)PHAT, PCI= betafit (X, ALPHA)返回分布參數(shù)a和 b的最大似然估計(jì)返回最大似然估計(jì)值和水平的置信區(qū)間unifitahat,bhat = unifit(X)ahat,bhat,ACI,BCI = unifit(X)ahat,bhat,ACI,BCI=unifit(X, ALPHA)均勻分布參數(shù)的最大似然估計(jì)置信度為95%的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間返回水平的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間

33、expfitmuhat =expfit(X)muhat,muci = expfit(X)muhat,muci = expfit(X,alpha) 指數(shù)分布參數(shù)的最大似然估計(jì)置信度為95%的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間返回水平的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間gamfitphat =gamfit(X)phat,pci = gamfit(X)phat,pci = gamfit(X,alpha)分布參數(shù)的最大似然估計(jì)置信度為95%的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間返回最大似然估計(jì)值和水平的置信區(qū)間weibfitphat = weibfit(X)phat,pci = weibfit(X)phat,pci = weibfit(X,alpha

34、)韋伯分布參數(shù)的最大似然估計(jì)置信度為95%的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間返回水平的參數(shù)估計(jì)及其區(qū)間估計(jì)Mlephat = mle(dist,data)phat,pci = mle(dist,data)phat,pci = mle(dist,data,alpha)phat,pci = mle(dist,data,alpha,p1)分布函數(shù)名為dist的最大似然估計(jì)置信度為95%的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間返回水平的最大似然估計(jì)值和置信區(qū)間僅用于二項(xiàng)分布，pl為試驗(yàn)總次數(shù)說明：各函數(shù)返回已給數(shù)據(jù)向量X的參數(shù)最大似然估計(jì)值和置信度為（1-）100%的置信區(qū)間。的默認(rèn)值為0.05，即置信度為95%。例2. 產(chǎn)生 100

35、 行2列服從區(qū)間(10, 12)上的均勻分布的隨機(jī)數(shù)， 計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)“a”和“b”的極大似然估計(jì)值，求出置信度為0.95的這兩個(gè)參數(shù)的置信區(qū)間. 解：在命令窗口中輸入: r = unifrnd(10, 12, 100, 2); ahat, bhat, aci, bci = unifit(r) 回車后顯示: ahat = 10.0154 10.0060 bhat = 11.9989 11.9743 aci = 9.9551 9.9461 10.0154 10.0060 bci = 11.9989 11.9743 12.0592 12.034 結(jié)果表明: 以第一列隨機(jī)數(shù)為例, 區(qū)間端點(diǎn)a和b的極大

36、似然估計(jì)值分別是10.0154(比“10”略大)和11.9989(比“12”略小), 置信度為0.95的兩個(gè)參數(shù)的置信區(qū)間分別是(9.9551, 10.0154)和(11.9989, 12.0592). 例3. 產(chǎn)生1行100列的參數(shù)為3的指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù), 計(jì)算“”的極大似然估計(jì)值, 求出置信度為0.99的參數(shù)的置信區(qū)間. 解：在命令窗口中輸入: r=exprnd(3,1,100); lambdahat,lambdaci=expfit(r,0.01) 回車后顯示: lambdahat= 2.6787 lambdaci= 2.0988 3.5190 命令2：利用通用 mle函數(shù)來進(jìn)行參數(shù)估計(jì)

37、phat=mle(name, X); % 返回用name指定分布的極大似然估計(jì)值. phat, pci=mle( name , X); % 同時(shí)進(jìn)行區(qū)間估計(jì), 默認(rèn)置信度為95%. phat, pci=mle( name , X, alpha); %同時(shí)進(jìn)行區(qū)間估計(jì), 置信度由 alpha確定. phat, pci=mle( name , X, alpha, pl); %僅用于二項(xiàng)分布, pl為試驗(yàn)次數(shù). 說明name為分布函數(shù)名,如 beta(分布)、bino(二項(xiàng)分布)等, X 為數(shù)據(jù)樣本,alpha 為顯著水平, 100(1-)%為置信度. 例4 產(chǎn)生200個(gè)概率p為0.75的試驗(yàn)次數(shù)N

38、=50的二項(xiàng)分布的隨機(jī)數(shù), 求出置信度為 0.95的參數(shù)p的置信區(qū)間. 解 在命令窗口中輸入: X=binornd(50,0.75,200,1); % 產(chǎn)生題目要求的二項(xiàng)分布的200個(gè)隨機(jī)數(shù). p,pci=mle(bino,X,0.05,50); % 求概率的估計(jì)值和置信區(qū)間, 置信度為95%. 回車后顯示: p = 0.7471 pci = 0.7385 0.7556 關(guān)于其它分布的參數(shù)估計(jì), 讀者可以類似地寫出, 也可以在MATLAB工作空間中用 help命令獲得具體用法和命令解釋. 三、單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)估計(jì)設(shè)為來自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，求的極大似然估計(jì)與區(qū)間估計(jì)，結(jié)果如下：表3-2正態(tài)總體

39、未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)參數(shù)MLE估計(jì)函數(shù)置信區(qū)間已知,未知,已知,未知,1. 若參數(shù)均未知，由上面結(jié)果可得。例5. 分別使用金球和鉑球測(cè)定引力常數(shù), 數(shù)據(jù)如下: (1) 用金球測(cè)定觀察值為 6.683, 6.681, 6.676, 6.678,6.679, 6.672; (2) 用鉑球測(cè)定觀察值為 6.661, 6.661, 6.667, 6.667,6.664. 設(shè)測(cè)定值總體為, 和為未知. 對(duì)(1)和(2)兩種情況分別求和的置信度為 0.9的置信區(qū)間, 并比較這兩種情況的精確度. 解：在命令窗口中輸入: X=6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672; Y=6.66

40、1 6.661 6.667 6.667 6.664; mu,sigma,muci,sigmaci=normfit(X,0.1); %金球測(cè)定的估計(jì). my,sy,myci,syci=normfit(Y,0.1); %鉑球測(cè)定的估計(jì). 回車后顯示: mu = 6.6782 sigma = 0.0039 muci = 6.6750 6.6813 sigmaci = 0.0026 0.0081 my = 6.6640 sy= 0.0030 myci = 6.6611 6.6669 syci= 0.0019 0.0071 結(jié)果說明: 金球測(cè)定的估計(jì)值為6.6782, 置信區(qū)間為6.6750, 6.68

41、13; 的估計(jì)值為 0.0039, 置信區(qū)間為0.0026 , 0.0081; 泊球測(cè)定的估計(jì)值為6.6640, 置信區(qū)間為6.6611, 6.6669; 的估計(jì)值為0.0030, 置信區(qū)間為0.0019, 0.0071. 可見, 鉑球測(cè)定的精確度高(因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差小, 關(guān)于總體期望和總體標(biāo)準(zhǔn)差置信區(qū)間長度相對(duì)要小). 2. 若參數(shù)有已知的，matlab沒有命令直接得結(jié)果，需編程進(jìn)行計(jì)算。例6. 某課程命題初衷, 其成績), 考畢抽查其中10份試卷的成績?yōu)?74，95，81，43，62，52，86，78，74，67，試求該課程平均成績的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：在MATLAB的編輯窗口建立如

42、下的M-文件(并保存為myfun1.m), 以便以后套用alpha=0.05; %給定的顯著性水平sigma=13.5;%已知的標(biāo)準(zhǔn)差x=74,95,81,43,62,52,86,78,74,67;n=length(x);%計(jì)算樣本容量mu=mean(x)%計(jì)算并顯示樣本均值u=norminv(1-alpha/2,0,1);%計(jì)算置信度為1-alpha/2的正態(tài)分布臨界值muci=mu-u*sqrt(sigma2/n),mu+u*sqrt(sigma2/n)%輸出置信區(qū)間運(yùn)行后顯示結(jié)果為:mu=71.2000muci=62.8328 79.5672即置信度為0.95時(shí)，均值的置信區(qū)間為(62.

43、8328,79.5672)。這與運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式和查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表計(jì)算的結(jié)果完全一致。運(yùn)用normfit()函數(shù)計(jì)算該問題的結(jié)果為muhat=71.2000,muci=59.9912 82.4088四、兩個(gè)正態(tài)總體區(qū)間估計(jì)（沒有直接函數(shù)）1. 當(dāng)和已知時(shí),的置信水平為的置信區(qū)間為 當(dāng)=未知時(shí),的置信水平為的置信區(qū)間為 、其中2. 當(dāng)已知，的置信水平為的置信區(qū)間為當(dāng)未知，的置信水平為的置信區(qū)間為。例7. 為比較甲乙兩種型號(hào)步槍子彈的槍口速度，隨機(jī)地取甲種型號(hào)子彈10發(fā)，得到槍口速度的平均值為500（m/s）,標(biāo)準(zhǔn)差1.10（m/s）；乙種型號(hào)子彈20發(fā)，得到槍口速度的平均值為496（m/

44、s）,標(biāo)準(zhǔn)差1.20（m/s）。兩個(gè)總體都近似服從正態(tài)分布，且方差相等。求兩個(gè)總體均值差的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：t=tinv(0.975,28);s=sqrt(9*1.102+19*1.202)/28);d1=(500-496)-t*s*sqrt(1/10+1/20)d2=(500-496)+t*s*sqrt(1/10+1/20)結(jié)果：d1 =3.0727d2 = 4.9273五、單個(gè)正態(tài)總體均值、方差的假設(shè)檢驗(yàn)表3-3單個(gè)正態(tài)總體均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)檢驗(yàn)法檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域已知檢驗(yàn)未知t檢驗(yàn)已知檢驗(yàn)未知檢驗(yàn)1. 單個(gè)正態(tài)總體方差已知時(shí)的均值的假設(shè)檢驗(yàn)(Z檢驗(yàn)法) MATLAB 軟件提供的已知方差的單正態(tài)總體均值的Z檢驗(yàn)函數(shù)為ztest, 常用的使用格式有下面幾種形式: h,sig=ztest(x,m,sigma,alpha,tail) h=ztest(x,m,sigma) h=ztest(x,m,sigma,alpha) h,sig,ci=ztest(x,m,sigma,alpha,tail) 命令：h,sig