第5章 非平穩(wěn)序列的隨機(jī)分析 (1)

1、第五章 非平穩(wěn)序列的隨機(jī)分析本章結(jié)構(gòu)n差分運(yùn)算nARIMA模型nAuto-Regressive模型n異方差的性質(zhì)n方差齊性變化n條件異方差模型5.1 差分運(yùn)算n差分運(yùn)算的實(shí)質(zhì)n差分方式的選擇n過(guò)差分差分運(yùn)算的實(shí)質(zhì)n差分方法是一種非常簡(jiǎn)便、有效的確定性信息提取方法nCramer分解定理在理論上保證了適當(dāng)階數(shù)的差分一定可以充分提取確定性信息n差分運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是使用自回歸的方式提取確定性信息 diitiditdtdxCxBx0) 1()1 (差分方式的選擇n序列蘊(yùn)含著顯著的線性趨勢(shì)，一階差分就可以實(shí)現(xiàn)趨勢(shì)平穩(wěn) n序列蘊(yùn)含著曲線趨勢(shì)，通常低階（二階或三階）差分就可以提取出曲線趨勢(shì)的影響 n對(duì)于蘊(yùn)含著固定

2、周期的序列進(jìn)行步長(zhǎng)為周期長(zhǎng)度的差分運(yùn)算，通?？梢暂^好地提取周期信息 例5.1 【例1.1】1964年1999年中國(guó)紗年產(chǎn)量序列蘊(yùn)含著一個(gè)近似線性的遞增趨勢(shì)。對(duì)該序列進(jìn)行一階差分運(yùn)算 考察差分運(yùn)算對(duì)該序列線性趨勢(shì)信息的提取作用 1tttxxx差分前后時(shí)序圖n原序列時(shí)序圖n差分后序列時(shí)序圖例5.2n嘗試提取1950年1999年北京市民用車輛擁有量序列的確定性信息差分后序列時(shí)序圖n一階差分n二階差分例5.3n差分運(yùn)算提取1962年1月1975年12月平均每頭奶牛的月產(chǎn)奶量序列中的確定性信息 差分后序列時(shí)序圖n一階差分n1階12步差分過(guò)差分 n足夠多次的差分運(yùn)算可以充分地提取原序列中的非平穩(wěn)確定性信息

3、n但過(guò)度的差分會(huì)造成有用信息的浪費(fèi) 例5.4n假設(shè)序列如下 n考察一階差分后序列和二階差分序列 的平穩(wěn)性與方差 ttatx10比較n一階差分n平穩(wěn)n方差小n二階差分（過(guò)差分）n平穩(wěn)n方差大111tttttaaxxx21122ttttttaaaxxx212)()(tttaaVarxVar22126)2()(ttttaaaVarxVar5.2 ARIMA模型nARIMA模型結(jié)構(gòu)nARIMA模型性質(zhì)nARIMA模型建模nARIMA模型預(yù)測(cè)n疏系數(shù)模型n季節(jié)模型ARIMA模型結(jié)構(gòu)n使用場(chǎng)合n差分平穩(wěn)序列擬合n模型結(jié)構(gòu)tsExtsEVarEBxBtsstttttd, 0, 0)(,)(0)()()(2，

4、ARIMA 模型族nd=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)nP=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)nq=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)nd=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=random walk model隨機(jī)游走模型( random walk)n模型結(jié)構(gòu)n模型產(chǎn)生典故nKarl Pearson(1905)在自然雜志上提問(wèn)：假如有個(gè)醉漢醉得非常嚴(yán)重，完全喪失方向感，把他放在荒郊野外，一段時(shí)間之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？tsExtsEVarExxtsstttttt, 0, 0)(,)(0)(21，ARIMA模型的平穩(wěn)性nARIMA(p,

5、d,q)模型共有p+d個(gè)特征根，其中p個(gè)在單位圓內(nèi)，d個(gè)在單位圓上。所以當(dāng) 時(shí)ARIMA(p,d,q)模型非平穩(wěn)。n例5.5ARIMA(0,1,0)時(shí)序圖0dARIMA模型的方差齊性n 時(shí)，原序列方差非齊性nd階差分后，差分后序列方差齊性0d2110)()()0 , 1 , 0(txVarxVarARIMAttt模型2)()()0 , 1 , 0(ttVarxVarARIMA模型ARIMA模型建模步驟獲獲得得觀觀察察值值序序列列平穩(wěn)性平穩(wěn)性檢驗(yàn)檢驗(yàn)差分差分運(yùn)算運(yùn)算YN白噪聲白噪聲檢驗(yàn)檢驗(yàn)Y分分析析結(jié)結(jié)束束N擬合擬合ARMA模型模型例5.6n對(duì)1952年1988年中國(guó)農(nóng)業(yè)實(shí)際國(guó)民收入指數(shù)序列建模

6、 一階差分序列時(shí)序圖一階差分序列自相關(guān)圖一階差分后序列白噪聲檢驗(yàn)延遲階數(shù) 統(tǒng)計(jì)量P值615.330.01781218.330.10601824.660.13442擬合ARMA模型n偏自相關(guān)圖建模n定階nARIMA(0,1,1)n參數(shù)估計(jì)n模型檢驗(yàn)n模型顯著n參數(shù)顯著ttBxB)70766. 01 (99661. 4)1 (48763.56)(tVarARIMA模型預(yù)測(cè)n原則n最小均方誤差預(yù)測(cè)原理 nGreen函數(shù)遞推公式j(luò)dpjdpjj1122112111預(yù)測(cè)值)()(111111tltltlltltltx)(let)( lxt22121)1 ()(0)(lttleVarleE例5.7n已知A

7、RIMA(1,1,1)模型為 且n求 的95的置信區(qū)間 ttBxBB)6 . 01 ()1)(8 . 01 (5 . 41tx3 . 5tx8 . 0t123tx預(yù)測(cè)值n等價(jià)形式n計(jì)算預(yù)測(cè)值69. 5) 1 (8 . 0)2(8 . 1) 3(59. 58 . 0) 1 (8 . 1)2(46. 56 . 08 . 08 . 1) 1 (1ttttttttttxxxxxxxxx12126 . 08 . 08 . 1)6 . 01 ()8 . 08 . 11 (tttttttxxxBxBB計(jì)算置信區(qū)間nGreen函數(shù)值n方差n95置信區(qū)間36. 18 . 08 . 12 . 16 . 08 .

8、11212896. 4)1 ()3(22221eVar)75. 9 ,63. 1 ()3(96. 1) 3(,)3(96. 1) 3(eVarxeVarxtt例5.6續(xù)：對(duì)中國(guó)農(nóng)業(yè)實(shí)際國(guó)民收入指數(shù)序列做為期10年的預(yù)測(cè) 疏系數(shù)模型nARIMA(p,d,q)模型是指d階差分后自相關(guān)最高階數(shù)為p，移動(dòng)平均最高階數(shù)為q的模型，通常它包含p+q個(gè)獨(dú)立的未知系數(shù)：n如果該模型中有部分自相關(guān)系數(shù) 或部分移動(dòng)平滑系數(shù) 為零，即原模型中有部分系數(shù)省缺了，那么該模型稱為疏系數(shù)模型。qp,11pjj1 ,qkk1 ,疏系數(shù)模型類型n如果只是自相關(guān)部分有省缺系數(shù)，那么該疏系數(shù)模型可以簡(jiǎn)記為n 為非零自相關(guān)系數(shù)的階數(shù)

9、n如果只是移動(dòng)平滑部分有省缺系數(shù)，那么該疏系數(shù)模型可以簡(jiǎn)記為n 為非零移動(dòng)平均系數(shù)的階數(shù)n如果自相關(guān)和移動(dòng)平滑部分都有省缺，可以簡(jiǎn)記為),),(1qdppARIMAm),( ,(1nqqdpARIMA),( ,),(11nmqqdppARIMAmpp,1nqq,1例5.8n對(duì)1917年1975年美國(guó)23歲婦女每萬(wàn)人生育率序列建模 一階差分自相關(guān)圖偏自相關(guān)圖建模n定階nARIMA(1,4),1,0)n參數(shù)估計(jì)n模型檢驗(yàn)n模型顯著n參數(shù)顯著ttBBxB433597. 026633. 011)1 (季節(jié)模型n簡(jiǎn)單季節(jié)模型n乘積季節(jié)模型 簡(jiǎn)單季節(jié)模型n簡(jiǎn)單季節(jié)模型是指序列中的季節(jié)效應(yīng)和其它效應(yīng)之間是加

10、法關(guān)系n簡(jiǎn)單季節(jié)模型通過(guò)簡(jiǎn)單的趨勢(shì)差分、季節(jié)差分之后序列即可轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)，它的模型結(jié)構(gòu)通常如下 ttttITSxttdDBBx)()(例5.9n擬合19621991年德國(guó)工人季度失業(yè)率序列 差分平穩(wěn)n對(duì)原序列作一階差分消除趨勢(shì)，再作4步差分消除季節(jié)效應(yīng)的影響，差分后序列的時(shí)序圖如下 白噪聲檢驗(yàn)延遲階數(shù) 統(tǒng)計(jì)量P值643.840.00011251.710.00011854.480.00012差分后序列自相關(guān)圖差分后序列偏自相關(guān)圖模型擬合n定階nARIMA(1,4),(1,4),0)n參數(shù)估計(jì)ttBBxBB4428132. 044746. 011)1)(1 (模型檢驗(yàn)殘差白噪聲檢驗(yàn)參數(shù)顯著性檢驗(yàn)延遲

11、階數(shù) 統(tǒng)計(jì)量P值待估參數(shù) 統(tǒng)計(jì)量P值62.090.71915.480.00011210.990.3584-3.410.00012t41擬合效果圖乘積季節(jié)模型n使用場(chǎng)合n序列的季節(jié)效應(yīng)、長(zhǎng)期趨勢(shì)效應(yīng)和隨機(jī)波動(dòng)之間有著復(fù)雜地相互關(guān)聯(lián)性，簡(jiǎn)單的季節(jié)模型不能充分地提取其中的相關(guān)關(guān)系 n構(gòu)造原理n短期相關(guān)性用低階ARMA(p,q)模型提取n季節(jié)相關(guān)性用以周期步長(zhǎng)S為單位的ARMA(P,Q)模型提取n假設(shè)短期相關(guān)和季節(jié)效應(yīng)之間具有乘積關(guān)系，模型結(jié)構(gòu)如下 tSStDSdBBBBx)()()()(例5.10 :擬合19481981年美國(guó)女性月度失業(yè)率序列 差分平穩(wěn)n一階、12步差分差分后序列自相關(guān)圖差分后序列

12、偏自相關(guān)圖簡(jiǎn)單季節(jié)模型擬合結(jié)果延遲階數(shù)擬合模型殘差白噪聲檢驗(yàn)AR(1,12)MA(1,2,12)ARMA(1,12),(1,12) 值P值 值P值 值P值614.580.00579.50.023315.770.00041216.420.088314.190.115817.990.0213結(jié)果擬合模型均不顯著222乘積季節(jié)模型擬合n模型定階nARIMA(1,1,1)(0,1,1)12n參數(shù)估計(jì)ttBBBx)77394. 01 (78978. 0166137. 011212模型檢驗(yàn)殘差白噪聲檢驗(yàn)參數(shù)顯著性檢驗(yàn)延遲階數(shù) 統(tǒng)計(jì)量P值待估參數(shù) 統(tǒng)計(jì)量P值64.500.2120-4.660.0001129

13、.420.400223.030.00011820.580.1507-6.810.0001結(jié)果模型顯著參數(shù)均顯著221121乘積季節(jié)模型擬合效果圖5.3 Auto-Regressive模型n構(gòu)造思想n首先通過(guò)確定性因素分解方法提取序列中主要的確定性信息n然后對(duì)殘差序列擬合自回歸模型，以便充分提取相關(guān)信息 ttttSTxtptptta11Auto-Regressive模型結(jié)構(gòu)1, 0),(,)(, 0)(211iaaCovaVaraEaSTxitttttptptttttt對(duì)趨勢(shì)效應(yīng)的常用擬合方法n自變量為時(shí)間t的冪函數(shù)n自變量為歷史觀察值tkktttT10tktkttxxT110對(duì)季節(jié)效應(yīng)的常用擬

14、合方法n給定季節(jié)指數(shù)n建立季節(jié)自回歸模型ttSSlmtlmttxxT10例5.6續(xù)n使用Auto-Regressive模型分析1952年1988年中國(guó)農(nóng)業(yè)實(shí)際國(guó)民收入指數(shù)序列。n時(shí)序圖顯示該序列有顯著的線性遞增趨勢(shì)，但沒(méi)有季節(jié)效應(yīng)，所以考慮建立如下結(jié)構(gòu)的Auto-Regressive模型 1, 0),(,)(, 0)(, 3 , 2 , 1,211iaaCovaVaraEatTxitttttptpttttt趨勢(shì)擬合n方法一：變量為時(shí)間t的冪函數(shù)n方法二：變量為一階延遲序列值 1tx, 3 , 2 , 1,5158. 41491.66ttTt, 3 , 2 , 1,0365. 11txxtt趨勢(shì)

15、擬合效果圖殘差自相關(guān)檢驗(yàn)n檢驗(yàn)原理n回歸模型擬合充分，殘差的性質(zhì)n回歸模型擬合得不充分，殘差的性質(zhì)1,0),(jEjtt1,0),(jEjttDurbin-Waston檢驗(yàn)（DW檢驗(yàn)） n假設(shè)條件n原假設(shè)：殘差序列不存在一階自相關(guān)性 n備擇假設(shè)：殘差序列存在一階自相關(guān)性 0:0),(:010HEHtt111:( ,)0:0ttHEH DW統(tǒng)計(jì)量n構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量nDW統(tǒng)計(jì)量和自相關(guān)系數(shù)的關(guān)系nttntttDW12221)(12DWDW統(tǒng)計(jì)量的判定結(jié)果正相關(guān)相關(guān)性待定不相關(guān)相關(guān)性待定負(fù)相關(guān)04LdUd2Ld4Ud4例5.6續(xù) n檢驗(yàn)第一個(gè)確定性趨勢(shì)模型 殘差序列的自相關(guān)性。, 3 , 2 , 1,51

16、58. 41491.66ttxttDW檢驗(yàn)結(jié)果n檢驗(yàn)結(jié)果n檢驗(yàn)結(jié)論n檢驗(yàn)結(jié)果顯示殘差序列高度正自相關(guān)。DW統(tǒng)計(jì)量的值P值0.13781.421.530.0001LdUdDurbin h檢驗(yàn) nDW統(tǒng)計(jì)量的缺陷n當(dāng)回歸因子包含延遲因變量時(shí)，殘差序列的DW統(tǒng)計(jì)量是一個(gè)有偏統(tǒng)計(jì)量。在這種場(chǎng)合下使用DW統(tǒng)計(jì)量容易產(chǎn)生殘差序列正自相關(guān)性不顯著的誤判 nDurbin h檢驗(yàn)21nnDWDh例5.6續(xù)n檢驗(yàn)第二個(gè)確定性趨勢(shì)模型 殘差序列的自相關(guān)性。, 3 , 2 , 1,0365. 11txxtttDh檢驗(yàn)結(jié)果n檢驗(yàn)結(jié)果n檢驗(yàn)結(jié)論n檢驗(yàn)結(jié)果顯示殘差序列高度自相關(guān)。Dh統(tǒng)計(jì)量的值P值2.80380.0025殘

17、差序列擬合n確定自回歸模型的階數(shù)n參數(shù)估計(jì)n模型檢驗(yàn)例5.6續(xù)n對(duì)第一個(gè)確定性趨勢(shì)模型的殘差序列 進(jìn)行擬合, 2 , 1,5158. 41491.66ttxTxtttt殘差序列自相關(guān)圖殘差序列偏自相關(guān)圖模型擬合n定階nAR(2)n參數(shù)估計(jì)方法n極大似然估計(jì)n最終擬合模型口徑ttttttatx215848. 04859. 15158. 41491.69例5.6n第二個(gè)AutoRegressive模型的擬合結(jié)果ttttttaxx114615. 0033. 1三個(gè)擬合模型的比較模型AICSBCARIMA(0,1,1)模型：249.3305252.4976AutoRegressive模型一：260.8

18、454267.2891AutoRegressive模型二：250.6317253.7987ttBxB)70766. 01 (99661. 4)1 (ttttttatx215848. 04859. 15158. 41491.69ttttttaxx114615. 0033. 15.4 異方差的性質(zhì)n異方差的定義n如果隨機(jī)誤差序列的方差會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化，這種情況被稱作為異方差n異方差的影響n忽視異方差的存在會(huì)導(dǎo)致殘差的方差會(huì)被嚴(yán)重低估，繼而參數(shù)顯著性檢驗(yàn)容易犯納偽錯(cuò)誤，這使得參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)失去意義，最終導(dǎo)致模型的擬合精度受影響。 )()(thVart異方差直觀診斷n殘差圖n殘差平方圖殘差圖n

19、方差齊性殘差圖n遞增型異方差殘差圖殘差平方圖n原理n殘差序列的方差實(shí)際上就是它平方的期望。n所以考察殘差序列是否方差齊性，主要是考察殘差平方序列是否平穩(wěn) )()(2ttEVar例5.11n直觀考察美國(guó)1963年4月1971年7月短期國(guó)庫(kù)券的月度收益率序列的方差齊性。 一階差分后殘差圖一階差分后殘差平方圖異方差處理方法n假如已知異方差函數(shù)具體形式，進(jìn)行方差齊性變化n假如不知異方差函數(shù)的具體形式，擬合條件異方差模型 5.5 方差齊性變換n使用場(chǎng)合n序列顯示出顯著的異方差性，且方差與均值之間具有某種函數(shù)關(guān)系 其中： 是某個(gè)已知函數(shù)n處理思路n嘗試尋找一個(gè)轉(zhuǎn)換函數(shù) ，使得經(jīng)轉(zhuǎn)換后的變量滿足方差齊性)(

20、2tth)(h)(g2)(txgVar轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定原理n轉(zhuǎn)換函數(shù) 在 附近作一階泰勒展開(kāi)n求轉(zhuǎn)換函數(shù)的方差n轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定)(txgt)()()()(tttttgxgxg)()()()()()(2ttttttthggxgVarxgVar)(1)(tthg常用轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定n假定n轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定2)(tttth)log()(1)(1)(tttttghg例5.11續(xù)n對(duì)美國(guó)1963年4月1971年7月短期國(guó)庫(kù)券的月度收益率序列使用方差齊性變換方法進(jìn)行分析 n假定n函數(shù)變換ttx)log(ttxy 對(duì)數(shù)序列時(shí)序圖一階差分后序列圖白噪聲檢驗(yàn)延遲階數(shù)LB統(tǒng)計(jì)量P值63.580.73371210.820

21、.54411821.710.2452擬合模型口徑及擬合效果圖ttx)log(5.6 條件異方差模型nARCH模型nGARCH模型nGARCH模型的變體nEGARCH模型nIGARCH模型nGARCH-M模型nAR-GARCH模型ARCH模型n假定n原理n通過(guò)構(gòu)造殘差平方序列的自回歸模型來(lái)擬合異方差函數(shù) nARCH(q)模型結(jié)構(gòu)qjjtjtttttttthehxxtfx1221),() 1 , 0( NhttGARCH 模型結(jié)構(gòu)n使用場(chǎng)合nARCH模型實(shí)際上適用于異方差函數(shù)短期自相關(guān)過(guò)程 nGARCH模型實(shí)際上適用于異方差函數(shù)長(zhǎng)期自相關(guān)過(guò)程 n模型結(jié)構(gòu)qjjtjpiititttttttthheh

22、xxtfx12121),(GARCH模型的約束條件n參數(shù)非負(fù) n參數(shù)有界 0, 0, 0ji111qjjpiiEGARCH模型)()()ln()ln(),(1121ttttqjtjpiititttttttteEeeegeghhehxxtfxIGARCH模型1),(1112121qjjpiiqjjtjpiititttttttthhehxxtfxGARCH-M模型qjjtjpiitittttttttthhehhxxtfx12121),(AR-GARCH模型qjjtjpiititttttmkktkttttthhehxxtfx121121),(GARCH模型擬合步驟n回歸擬合n殘差自相關(guān)性檢驗(yàn)n異方差自相關(guān)性檢驗(yàn)nA