高中數(shù)學(xué)立體幾何方法題型總結(jié)

1、立體幾何重要定理：1直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè) 平面2直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直 線和交線平行3平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行 4兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定：如果一個(gè)平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面垂直于這個(gè)平面兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面5推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，那么它們交線垂直于第三平面 證明：如圖，找0作OA、O

2、B分別垂直于Id?，因?yàn)?PM ,0A, PM ,0B 貝U PM OA, PM OB :夾角問(wèn)題 異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次 直線的傾斜角、1到；的角、的夾角的取值范圍依次是異面直線所成角：范圍：0 ,90 常用1平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線構(gòu)成三角形；解三角形求出角。2 2 2到余弦定理cos匕/2補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易 發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；向量法。轉(zhuǎn)化為向量的夾角cosAB ACABAC計(jì)算結(jié)果可能是其補(bǔ)角直線與平面所成的角=0° 時(shí),b/

3、 或 b斜線和平面所成的是一個(gè)直角三角形的銳角，線段及斜線段在平面上的射影。通常通過(guò)斜線上某個(gè)特殊點(diǎn)作出平面的垂線段，垂足和 斜足的連線，是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵；它的三條邊分別是平面的垂線段、斜向量法：設(shè)直線l的方向向量為l，平面 的法向量為n，l與 所成的角為sincos暮的求法h 'Ini面角 丨的平面角,1定義法：在棱I上取一點(diǎn)P,兩個(gè)半平面內(nèi)分別作I的垂線射線m、 n，那么射線m和n的夾角 為二面角 一I 的平面角。2三垂線法：三垂線定理法:A a作或證 AB丄B于 B，作B0丄棱于 0 ,連AO，貝U AO丄棱I ,二/ AOB為所求。向量法：設(shè)n1,n2是二面角丨的兩個(gè)面，的法

4、向量，那么向量n1,n2的夾角或其補(bǔ)角就是二面角的平面角的大小假設(shè)二面角丨的平面角為 ，那么cos.n11訕二、空間距離問(wèn)題兩異面直線間的距離方法一：轉(zhuǎn)化為線面距離。如圖，m和n為兩條異面直線，n 且m ，那么異面直m和n之間的距離可轉(zhuǎn)化為直線 m與平面 之間的距離。方法二：高考要求是給出公垂線，所以一般先利用垂直作出公垂線，然后再進(jìn)行計(jì)算m接計(jì)算公垂線段的長(zhǎng)度。點(diǎn)到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線再求解;向量法：點(diǎn)到直線距離：在直線 丨上找一點(diǎn) ，過(guò)定點(diǎn)且垂直于直線丨的向量為n，那么定點(diǎn)到直線丨的距離為 d IIcos ,n點(diǎn)到平面的距離方法幾何法。步驟 1 :過(guò)點(diǎn)P作P0于0,線段P0

5、即為所求。步驟2:計(jì)算線段P0的長(zhǎng)度。直接解三角形；等體積法和等面積法；換點(diǎn)法 等體積法步驟：在平面內(nèi)選取適當(dāng)三點(diǎn),和點(diǎn)構(gòu)成三棱錐；求出此三棱錐的體積 V和所取三點(diǎn)構(gòu)成三角形1的面積S;由V= Sh，求出h即為所求這種方法的優(yōu)點(diǎn)是不必作出垂線即可求點(diǎn)面距離3方法二：坐標(biāo)法。d AP cos n AP*nAPn線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距三、平行與垂直問(wèn)題證明直線與平面的平行：1轉(zhuǎn)化為線線平行；2轉(zhuǎn)化為面面平行 證明平面與平面平行：1轉(zhuǎn)化為線面平行；2轉(zhuǎn)化為線面垂直.證明線線垂直：1轉(zhuǎn)化為相交垂直；2轉(zhuǎn)化為線面垂直；3轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直;方法2：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。方法3：三垂線定理及其逆

6、定理。PmPOl PAl m 1 OA1證明線面垂直：1轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；2轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；3轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；4轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直方法1：用線線垂直實(shí)現(xiàn)。方法二：用面面垂直實(shí)現(xiàn)。1 AC1 ABAC AB AAC, AB側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下1柱體的體積v S底h12錐體的體積V - S底h3、m 11m,1面面垂直：方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。方法二：計(jì)算所成二面角為直角。高中數(shù)學(xué)之立體幾何空間幾何體的三視圖和直觀圖1三視圖：正視圖：從前往后 2畫三視圖的原那么： 長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等3直觀圖：斜二測(cè)畫法角度等于

7、 45度或者135度4斜二測(cè)畫法的步驟：1.平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；2平行于y軸的線長(zhǎng)度變半, 平行于x軸的線長(zhǎng)度不變；3畫法要寫好。空間幾何體的外表積與體積一丨空間幾何體的外表積：1棱柱、棱錐的外表積：各個(gè)面面積之和2圓柱的外表積 S 2 r1 2 r2 3圓錐的外表積：S r1 r2224圓臺(tái)的外表積S r1 r R1 R 5球的外表積s 4 r2c n R21.6扇形的面積公式s扇形-60 -1r 其中1表示弧長(zhǎng)，r表示半徑注：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)等于地面圓的周長(zhǎng) 二空間幾何體的體積4球體的體積V1 3臺(tái)體的體積V- S上i S上S下S下 h平面的根本性質(zhì)公理1如果一條直線上

8、的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi) 公理2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線 公理3經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 .根據(jù)上面的公理，可得以下推論.推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.空間線面的位置關(guān)系 共面平行一沒(méi)有公共點(diǎn)(1)直線與直線(2)直線和平面(J I相交一有且只有一個(gè)公共點(diǎn).異面(既不平行，又不相交).直線在平面內(nèi)一有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)-直線不在平面內(nèi)平行一沒(méi)有公共點(diǎn)、 直線在平面外)相交一有且只有一公共點(diǎn)(3) 平面與

9、平面-相交一有一條公共直線(無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)) «平行一沒(méi)有公共點(diǎn)異面直線的判定證明兩條直線是異面直線通常采用反證法；有時(shí)也可用定理“平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的連線， 與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線線面平行與垂直的判定(1) 兩直線平行的判定 定義：在同一個(gè)平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線平行 如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行， 即假設(shè) a /a ,a B，aGB =b,那么 a / b. 平行于同一直線的兩直線平行，即假設(shè) a / b,b / c,那么a / c. 垂直于同一平面的兩直線平行，即假設(shè) aXa， b丄a，那么a/b 兩平

10、行平面與同一個(gè)平面相交，那么兩條交線平行，即假設(shè)aB, aY , By =b,那么a / b 如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行，即假設(shè)anp =b,a/a ,a /p，貝U a / b.(2) 兩直線垂直的判定1. 定義：假設(shè)兩直線成90°角，那么這兩直線互相垂直.2. 一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直.即假設(shè)b / c,a丄b,那么a丄c3. 一條直線垂直于一個(gè)平面，那么垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線.即假設(shè)a丄a ,b a，a丄b.4. 如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與這個(gè)平面的垂線垂直.即假設(shè)a /a ,b丄a

11、, 那么a 丄b.即假設(shè) aXp , p 丄丫，丫丄a ,且 anp =a, 門丫 =b，丫 n5. 三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直, a =c，貝U a 丄 b,b 丄 c,c 丄 a.(3) 直線與平面平行的判定 定義：假設(shè)一條直線和平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么這直線與這個(gè)平面平行 如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線與這個(gè)平面平行即假設(shè) aa ,b a, a / b,貝 U a /a . 兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面，即假設(shè)a/B ,1 a,那么I /B . 如果一個(gè)平面和平面外的一條直線都垂直于同一平面，那么這條直線和這個(gè)平面平行即假設(shè)a丄 B ,

12、1 丄 B， I a，貝U I /a . 在一個(gè)平面同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如果它們與這個(gè)平面的距離相等，那么過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)的直線與這個(gè)平面平 行，即假設(shè)A a， B a， A、B在a同側(cè)，且A、B到a等距，那么AB/a . 兩個(gè)平行平面外的一條直線與其中一個(gè)平面平行，也與另一個(gè)平面平行，即假設(shè)a/B ,a a, aB， a /a，貝U aB . 如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么平面外與這條直線垂直的直線與該平面平行，即假設(shè)a丄a ,b a， b±a，貝U b/a . 如果兩條平行直線中的一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面(或在這個(gè)平面內(nèi))，即假設(shè) a / b,a /a ,b /a (

13、或 b a )(4) 直線與平面垂直的判定 定義：假設(shè)一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面即假設(shè)m a，n a， mA n=B,I 丄 m,l 丄 n,貝 U I 丄a . 如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一平面.即假設(shè)I / a, a丄a ,那么I丄a . 一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面，即假設(shè)a/B , I 丄B，那么I丄a . 如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面，即假設(shè)a丄B ,a AB =

14、a， I B， I 丄 a,那么 I 丄a . 如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面，即假設(shè)a丄丫，B丄丫，且 aAB = a ,貝 U a丄丫 .(5) 兩平面平行的判定 定義：如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面平行，即無(wú)公共點(diǎn)a/B . 如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行，即假設(shè) a,b a，a A b=P,a /B ,b /B ,那么 a/B . 垂直于同一直線的兩平面平行即假設(shè)a丄a, B丄a,那么a/B 平行于同一平面的兩平面平行.即假設(shè)a/B , BY ,那么a/丫 . 一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一平面內(nèi)的兩

15、條相交直線，那么這兩個(gè)平面平行，即假設(shè)a,ba ,c,d B ,a A b=P,a / c,b / d,那么 a/B .(6) 兩平面垂直的判定定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即二面角a-aB =90 a 丄 B .如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即假設(shè)I 丄 B ,l a,貝Ua一個(gè)平面垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè).即假設(shè)a/B,a丄丫，那么B丄丫 直線在平面內(nèi)的判定(1) 利用公理1： 一直線上不重合的兩點(diǎn)在平面內(nèi)，那么這條直線在平面內(nèi).(2) 假設(shè)兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平

16、面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)， 即假設(shè)a丄B ,A a，AB丄B，貝U AB a . 過(guò)一點(diǎn)和一條直線垂直的所有直線，都在過(guò)此點(diǎn)而垂直于直線的平面內(nèi)，即假設(shè)A a,a丄 b， Aa ,b 丄a，貝U a a .(4) 過(guò)平面外一點(diǎn)和該平面平行的直線，都在過(guò)此點(diǎn)而與該平面平行的平面內(nèi)，即假設(shè)P a，PB，B/a， P a,a /a，貝U a B .(5) 如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過(guò)這個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)與這條直線平行的直線必在這個(gè)平面內(nèi)，即假設(shè) a /a ,A a，A b,b / a,那么 b a .一、平面.1. 經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)面2. 兩個(gè)平面可將平面分成 3或4局部.兩個(gè)平面平

17、行，兩個(gè)平面相交3. 過(guò)三條互相平行的直線可以確定1或3個(gè)平面三條直線在一個(gè)平面內(nèi)平行，三條直線不在一個(gè)平面內(nèi)平行4. 三個(gè)平面最多可把空間分成 _8局部.X、Y、Z三個(gè)方向二、空間直線.1. 空間直線位置分三種：相交、平行、異面.相交直線一共面有且有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線一共面沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線一不同在任一平面內(nèi)2. 異面直線判定定理：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線3. 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行4. 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等如以下圖.1 1 22方向相同方

18、向不相同推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角或直角相等5. 兩異面直線的距離：公垂線的長(zhǎng)度.空間兩條直線垂直的情況：相交共面垂直和異面垂直三、直線與平面平行、直線與平面垂直1. 空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi)2. 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.“線線平行，線面平行3. 直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線4.直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直, 一個(gè)平面和一條直線垂直.過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直,過(guò)

19、一點(diǎn)有且只有和交線平行.“線面平行，線線平行假設(shè)PA丄,a丄AO ,得a丄PO三垂線定理丨，得不出 丄PO .因?yàn)閍丄PO ,但PO不垂直O(jiān)A.三垂線定理的逆定理亦成立 .直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平 面."線線垂直，線面垂直直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.推論：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行5. 垂線段和斜線段長(zhǎng)定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，射影相等的兩條斜線段相等,射影較長(zhǎng)的斜線段較長(zhǎng)；相等的斜線段的射影相等，

20、較長(zhǎng)的斜線段射影較長(zhǎng)；垂線段比任何一條斜線段短四、平面平行與平面垂直.1. 空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，哪么這兩個(gè)平面平行.“線面平行,面面平行推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行3. 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行.“面面平行，線線平行4. 兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，那么兩個(gè)平面垂直兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定二： 如果一個(gè)平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面垂直于這個(gè)平面.“線面垂直,面面垂直5.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面 推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，那么它們交線垂直于第五、棱錐、棱柱.平面1.棱柱.直棱柱側(cè)面積:斜棱住側(cè)面積： 行四邊形得出的.S Ch C為底面周長(zhǎng)，h是高該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖為Ci是斜棱柱直截面周長(zhǎng)，I是斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖