晉級課《證明不等式的基本方法一比較法》

1、證明不等式的基本方法第二講,|,.,.xaxa前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些證明不等式的方法我們知道 關(guān)于數(shù)的大小的基本事實、不等式的基本性質(zhì)、基本不等式以及絕對值不等式和的解集的規(guī)律等都可以作為證明不等式的出發(fā)點本講中我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)證明不等式的基本方法比較法比較法一一學(xué)習(xí)目標(biāo)1、理解并掌握證明不等式的基本方法-比較法比較法;2、熟悉并掌握比較法證明不等式的基本步驟：作差（商）-變形-判斷-結(jié)論.重、難點重點：求差比較法證明不等式。難點：求差、商后，如何對“差式”“商式”進(jìn)行適當(dāng)變形，并判斷符號。復(fù)習(xí)回顧 初中時候，我們學(xué)習(xí)了比較兩實數(shù)大小的方法，其主要依據(jù)是實數(shù)運算的符號法則，首先，我們作一簡要的復(fù)習(xí).

2、 利用上述等價形式，也可證明不等式，,0,0,0.a bRabababababab則,.,a kgb kgam kgbamaambmbbm如果用白糖制出糖溶液 則其濃度為若在上述溶液中再添加白糖 此時溶液的濃度為比較與的大小。新知探究新知探究1 1、作差比較法的依據(jù)：、作差比較法的依據(jù)： （實數(shù)的運算性質(zhì)）（實數(shù)的運算性質(zhì)）0aba b 0a ba b 步驟：作差步驟：作差變形（化簡）變形（化簡）定號定號下結(jié)論下結(jié)論 （差值差值 的符號的符號）0a ba b 作差后需要判斷差的符號，作差變形的方向常作差后需要判斷差的符號，作差變形的方向常常是因式分解（分式通分、無理式有理化等）后，常是因式分解

3、（分式通分、無理式有理化等）后，把差寫成積的形式或配成完全平方式。把差寫成積的形式或配成完全平方式。.,22331abbabababa 求證求證且且都是正數(shù)都是正數(shù)已知已知例例,.分析:可以把不等式兩邊相減 通過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?轉(zhuǎn)化為一個能夠明確確定正負(fù)的代數(shù)式 32232233babbaaabbaba 證明典型例題.,0 baba所以都是正數(shù)因為 .,02 baba所以又因為 .,0022332 abbabababa即于是.2233abbaba 所以 baba 22 2baba babbaa 22練習(xí) 設(shè) ,求證：（1） （2）證明：（1） （2）xR2314xx 2514xx22223(1

4、)4141()20314xxxxxxx 22225(1)41()41()20514xxxxxxx 2、作商比較法的原理及步驟：,112131abRaabbaabbaabb若，則（）（）（）步驟：作商步驟：作商變形（化簡）變形（化簡）判斷判斷得出結(jié)論得出結(jié)論 （商值與實數(shù)商值與實數(shù)1 1的大小關(guān)系的大小關(guān)系）,0,1.除了把不等式兩邊相減 通過比較差與的大小來證明不等式外 有時也通過把不等式兩邊相除 轉(zhuǎn)化為證明所得的商式與的大小關(guān)系1,aaba bb比商法要注意使用條件，若不能推出。要注意的符號。2,.abbaa ba ba bab例已知是正數(shù) 求證當(dāng)且僅當(dāng)時 等號成立,.,1.a b分析由于是

5、正數(shù) 所以不等式兩邊都是正數(shù) 由于要證的不等式兩邊都是指數(shù)形式 把它們相除并考察商式與的大小關(guān)系比較方便得將不等式兩邊相除證明,abbaabbabababa .baba 于是不妨設(shè)不等式不變的位置交換點根據(jù)要證的不等式的特,),(0 baba.,01 baba當(dāng)且僅當(dāng)所以, 1 baba.,等號成立時ba .,等號成立時當(dāng)且僅當(dāng)所以bababaabba 練習(xí) 220,()a bbaababa b已知求證：222222()022()( )010( )( )1()a ba ba ba bba bababaa bb aa ba ba ba ba bbaabababa ba baababbabaabbaabbaba b 證明：又且作差（商）法的一般步驟 作差（商）-變形-