數(shù)值分析試題及答案

1、數(shù)值分析試題一、 填空題（2 02）1. 設(shè)x=0.231是精確值x*=0.229的近似值，則x有 2 位有效數(shù)字。2. 若f(x)=x7x31，則f20,21,22,23,24,25,26,27= 1 ， f20,21,22,23,24,25,26,27,28= 0 。3. 設(shè)，A_5 _，X_ 3_，AX_15_ _。4. 非線性方程f(x)=0的迭代函數(shù)x=j(x)在有解區(qū)間滿足 |j(x)| 1 ，計算時不會放大f(xi)的誤差。8. 要使的近似值的相對誤差小于0.1%，至少要取 4 位有效數(shù)字。9. 對任意初始向量X(0)及任意向量g，線性方程組的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g

2、(k=0,1,)收斂于方程組的精確解x*的充分必要條件是 r(B)1 。10. 由下列數(shù)據(jù)所確定的插值多項式的次數(shù)最高是 5 。 x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.2511. 牛頓下山法的下山條件為 |f(xn+1)|0 。14. 使用迭代計算的步驟為建立迭代函數(shù)、 選取初值 、迭代計算。二、 判斷題（101）1、 若A是n階非奇異矩陣，則線性方程組AXb一定可以使用高斯消元法求解。( )2、 解非線性方程f(x)=0的牛頓迭代法在單根x*附近是平方收斂的。 ( )3、 若A為n階方陣，且其元素滿足不等式 則解線性方程組AXb的高斯塞德爾迭代法一定收斂。 (

3、 )4、 樣條插值一種分段插值。 ( )5、 如果插值結(jié)點相同，在滿足相同插值條件下所有的插值多項式是等價的。 ( )6、 從實際問題的精確解到實際的計算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測誤差、截斷誤差及舍入誤差。 ( )7、 解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組AXb。 ( )8、 迭代解法的舍入誤差估計要從第一步迭代計算的舍入誤差開始估計,直到最后一步迭代計算的舍入誤差。 ( )9、 數(shù)值計算中的總誤差如果只考慮截斷誤差和舍入誤差，則誤差的最佳分配原則是截斷誤差舍入誤差。 ( )10、插值計算中避免外插是為了減少舍入誤差。 ( )三、 計算題（510）1、用列主元高斯消元法解線性方

4、程組。解答：（1，5，2）最大元5在第二行，交換第一與第二行：L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4 方程化為：（-0.2,2.6）最大元在第三行，交換第二與第三行：L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化為：回代得：2、用牛頓埃爾米特插值法求滿足下列表中插值條件的四次插值多項式P4(x)，并寫出其截斷誤差的表達(dá)式(設(shè)f(x)在插值區(qū)間上具有直到五階連續(xù)導(dǎo)數(shù))。xi012f(xi)1-13f (xi)15解答：做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1Fxi.xi+1.xi+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-1

52-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)(x)/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、對下面的線性方程組變化為等價的線性方程組，使之應(yīng)用雅克比迭代法和高斯賽德爾迭代法均收斂，寫出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯賽德爾迭代法的迭代公式，并簡單說明收斂的理由。解答：交換第二和第四個方程，使系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)：雅克比迭代公式：計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(2)數(shù)值分析試題 一、單項選擇題(每小題3分，共15分)1. 已知準(zhǔn)確值x*與其有t位有效數(shù)字的近似值x0.0a1a2an10s(a10)的絕對誤差x*x( )

6、(A) 0.510 s1t (B) 0.510 st (C) 0.510s1t (D) 0.510 st2. 以下矩陣是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的為( )(A) ， (B) (C) (D) 3. 過(0，1)，(2，4)，(3，1)點的分段線性插值函數(shù)P(x)=( ) (A) (B) (C) (D) 4. 等距二點的求導(dǎo)公式是( )(A) (B) (C) (D)5. 解常微分方程初值問題的平均形式的改進歐拉法公式是那么yp,yc分別為( )(A) (B) (C) (D) 二、填空題(每小題3分，共15分)6. 設(shè)近似值x1,x2滿足e(x1)=0.05，e(x2)=0.005，那么e(x1x2)= 7

7、. 三次樣條函數(shù)S(x)滿足：S(x)在區(qū)間a,b內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，S(xk)=yk(已知)，k=0,1,2,n，且滿足S(x)在每個子區(qū)間xk,xk+1上是 8. 牛頓科茨求積公式，則 .9. 解方程f(x)=0的簡單迭代法的迭代函數(shù)j(x)滿足在有根區(qū)間內(nèi) ，則在有根區(qū)間內(nèi)任意取一點作為初始值，迭代解都收斂10. 解常微分方程初值問題的改進歐拉法預(yù)報校正公式是預(yù)報值：，校正值：yk+1= 三、計算題(每小題15分，共60分)11. 用簡單迭代法求線性方程組的X(3)取初始值(0,0,0)T，計算過程保留4位小數(shù)12. 已知函數(shù)值f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f

8、(6)=212，求函數(shù)的四階均差f(0,1,3,4,6)和二階均差f(4，1，3)13.將積分區(qū)間8等分，用梯形求積公式計算定積分，計算過程保留4位小數(shù)14. 用牛頓法求的近似值，取x=10或11為初始值，計算過程保留4位小數(shù)四、證明題(本題10分)15. 證明求常微分方程初值問題 在等距節(jié)點a=x0x1xn=b處的數(shù)值解近似值的梯形公式為y(xk+1)yk+1=yk+f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)其中h=xk+1xk(k=0,1,2,n1)計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(2)數(shù)值分析試題答案 一、單項選擇題(每小題3分，共15分)1. A 2. B 3. A 4. B 5. D 二、填空題(每小

9、題3分，共15分)6. 0.05x2+0.005x1 7. 3次多項式 8. ba 9. j(x)r1 10. yk+hf(xk1, ) 三、計算題(每小題15分，共60分)11. 寫出迭代格式 X(0)=(0,0,0)T. 得到X(1)(2.5，3，3)T 得到X(2)=(2.875，2.363 7，1.000 0)T 得到X(3)=(3.136 4，2.045 6，0.971 6)T. 12. 計算均差列給出f(xk)一階均差二階均差三階均差四階均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/15 f(0,1,3,4,6)= f(4, 1, 3)=6

10、13. f(x)=,h=分點x0=1.0，x1=1.25，x2=1.5，x3=1.75，x4=2.0，x5=2.25，x6=2.50，x7=2.75，x8=3.0. 函數(shù)值：f(1.0)=1.414 2，f(1.25)=1.600 8，f(1.5)=1.802 8，f(1.75)=2.015 6，f(2.0)=2.236 1，f(2.25)=2.462 2，f(2.50)=2.692 6，f(2.75)=2.926 2，f(3.0)=3.162 3 (9分) =1.414 2+3.162 3+2(1.600 8+1.802 8+2.015 6+2.236 1+2.462 2+2.692 6+2

11、.926 2)=0.125(4.576 5+215.736 3)=4.506 1 14. 設(shè)x為所求，即求x2115=0的正根f(x)=x2115因為f(x)=2x，f(x)=2，f(10)f(10)=(100115)20取x0=11有迭代公式xk+1=xk=(k=0,1,2,)x1=10.727 3x2=10.723 8x3=10.723 8x*10.723 8四、證明題(本題10分)15. 在子區(qū)間xk+1,xk上，對微分方程兩邊關(guān)于x積分，得y(xk+1)y(xk)= 用求積梯形公式，有y(xk+1)y(xk)= 將y(xk),y(xk+1)用yk,yk+1替代，得到y(tǒng)(xk+1)yk+

12、1=yk+f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)(k=0,1,2,n1) 數(shù)值分析期末試題一、 填空題（分）（1)設(shè) ，則_13_。（2)對于方程組 ，Jacobi迭代法的迭代矩陣是。（3)的相對誤差約是的相對誤差的倍。（4）求方程根的牛頓迭代公式是。（5）設(shè)，則差商 1 。（6）設(shè)矩陣G的特征值是，則矩陣G的譜半徑。（7）已知，則條件數(shù) 9 （8）為了提高數(shù)值計算精度，當(dāng)正數(shù)充分大時,應(yīng)將改寫為。（9）個求積節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精確度至少為次。（10）擬合三點，的水平直線是。二、 （10分）證明：方程組使用Jacobi迭代法求解不收斂性。證明：Jacobi迭代法的迭代矩陣為 的特征

13、多項式為 的特征值為，故1，因而迭代法不收斂性。三、 （10分）定義內(nèi)積試在中尋求對于的最佳平方逼近元素。解：，。法方程 解得，。所求的最佳平方逼近元素為 ，四、 （10分）給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6試用三次多項式以最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù)。解:， 法方程 的解為， 得到三次多項式誤差平方和為 五. (10分) 依據(jù)如下函數(shù)值表012419233建立不超過三次的Lagrange插值多項式，用它計算，并在假設(shè)下，估計計算誤差。解:先計算插值基函數(shù) 所求Lagrange插值多項式為從而。據(jù)誤差公式及假設(shè)得誤差估計：六. (10分) 用矩陣的直接三角分解法解方程組解 設(shè) 由矩陣乘法可求出和 解下三角方程組有，。再解上三角方程組得原方程組的解為，。 七. (10分) 試用Simpson公式計算積分的近似值,