第3章 隨機(jī)誤差

1、誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 1第3章 隨機(jī)誤差 作者：劉兆平部門(mén)：機(jī)電設(shè)備系主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 2教學(xué)目標(biāo)本章闡述隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因與特征，減小隨機(jī)誤差的途徑。通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，讀者應(yīng)會(huì)分析隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因以及減少隨機(jī)誤差的途徑；掌握用算術(shù)平均值表示測(cè)量結(jié)果的最佳估計(jì)，并用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差以及置信區(qū)間來(lái)表示該隨機(jī)誤差的大小。本章內(nèi)容是從事精密測(cè)量工作所必須掌握的基本方法，也是學(xué)習(xí)后續(xù)章節(jié)的基礎(chǔ)。 主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 3v 隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因v 隨機(jī)誤差的本質(zhì)特征v 算術(shù)平均值v 貝塞爾公式v 試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差v 測(cè)量結(jié)果的最佳估計(jì)v 置信區(qū)

2、間教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 4第一節(jié)隨機(jī)誤差概述本節(jié)介紹隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因，隨機(jī)誤差的本質(zhì)特征以及減少隨機(jī)誤差的技術(shù)途徑。主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 5一、隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因一、隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因舉例：舉例：某臺(tái)激光數(shù)字波面干涉儀，對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確度考核，在相同測(cè)量條件下對(duì)某標(biāo)準(zhǔn)平晶的表面面形進(jìn)行150次重復(fù)測(cè)量獲得面形峰谷值數(shù)據(jù)。通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析，查詢(xún)有關(guān)的技術(shù)資料和其他信息，可知隨機(jī)誤差來(lái)源結(jié)論：結(jié)論：對(duì)具體測(cè)量問(wèn)題具體分析，從所用的設(shè)備、人員、測(cè)量方法等資源以及環(huán)境等要素中去分析尋找主要的隨機(jī)誤差來(lái)源。主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)

3、誤差3- 6150次的面形峰谷值數(shù)據(jù)0.124 0.120 0.118 0.119 0.121 0.125 0.121 0.123 0.120 0.118 0.119 0.117 0.118 0.121 0.119 0.118 0.119 0.119 0.115 0.120 0.119 0.119 0.119 0.116 0.116 0.118 0.121 0.120 0.122 0.122 0.119 0.121 0.121 0.124 0.121 0.118 0.118 0.119 0.120 0.118 0.119 0.122 0.118 0.119 0.119 0.117 0.118

4、0.118 0.118 0.120 0.119 0.118 0.120 0.124 0.120 0.118 0.118 0.119 0.121 0.123 0.124 0.123 0.118 0.119 0.119 0.120 0.120 0.119 0.119 0.118 0.123 0.121 0.119 0.118 0.120 0.120 0.120 0.119 0.120 0.123 0.118 0.121 0.119 0.121 0.120 0.123 0.123 0.121 0.118 0.119 0.120 0.121 0.122 0.119 0.121 0.122 0.119

5、0.120 0.117 0.125 0.119 0.127 0.120 0.124 0.123 0.123 0.118 0.119 0.124 0.122 0.123 0.124 0.121 0.123 0.123 0.121 0.120 0.121 0.123 0.127 0.125 0.121 0.120 0.124 0.123 0.123 0.124 0.123 0.119 0.121 0.123 0.129 0.121 0.120 0.121 0.124 0.123 0.121 0.125 0.119 0.122 0.127 0.121 0.120 0.122 0.121 0.122

6、0.123 0.124 0.121 主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 7 數(shù)據(jù)列表明，各次測(cè)值不盡相同，這說(shuō)明各次測(cè)量中含有隨機(jī)誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒(méi)有確定的規(guī)律，即前一個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)后，不能預(yù)測(cè)下一個(gè)數(shù)據(jù)的大小。 但就數(shù)據(jù)整體而言，卻明顯具有某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這個(gè)規(guī)律可以用統(tǒng)計(jì)直方圖來(lái)表示。數(shù)據(jù)特點(diǎn)主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 80.130.1140.1160.1180.120.122 0.124 0.126 0.12801020304050340.12070.00240.60690.3703xs統(tǒng)計(jì)直方圖統(tǒng)計(jì)直方圖 統(tǒng)計(jì)直方圖在對(duì)稱(chēng)性方面有一些偏離理想正態(tài)分布的情形

7、。對(duì)于測(cè)量狀態(tài)不完好的光電類(lèi)測(cè)量?jī)x器，特別是對(duì)傳動(dòng)機(jī)械部件磨損較嚴(yán)重而規(guī)律尚未掌握的儀器，其測(cè)量隨機(jī)誤差可能就呈現(xiàn)其他分布的特征。對(duì)于測(cè)量狀態(tài)比較完好的光電類(lèi)測(cè)量?jī)x器，其隨機(jī)誤差的分布往往較好的呈現(xiàn)正態(tài)分布的特征主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 9激光數(shù)字波面干涉儀的隨機(jī)誤差主要來(lái)源激光數(shù)字波面干涉儀的隨機(jī)誤差主要來(lái)源測(cè)量裝置方面的因素測(cè)量裝置方面的因素 氦氖激光源輻射激光束的頻率不夠穩(wěn)定造成激光波長(zhǎng)的漂移 CCD光電探測(cè)器采集信號(hào)及其電信號(hào)處理電路造成干涉圖像信號(hào)的隨機(jī)噪聲 離散化采樣誤差、各次裝夾定位不一致 測(cè)量環(huán)境方面的因素測(cè)量環(huán)境方面的因素 放置測(cè)量主機(jī)和被測(cè)試樣的隔震臺(tái)

8、不能很好消除外界的低頻震動(dòng) 儀器所在實(shí)驗(yàn)室氣流和溫度的波動(dòng) 空氣塵埃的漂浮、穩(wěn)壓電源供電電壓的微小波動(dòng) 操作人員方面的因素操作人員方面的因素 操作人員的裝夾調(diào)整不當(dāng)引起被采集的測(cè)量干涉圖像質(zhì)量低、條紋疏密不當(dāng) 采集干涉圖像的攝像頭變焦倍數(shù)過(guò)小造成較大的離散化采樣誤差 主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 10減小隨機(jī)誤差的技術(shù)途徑減小隨機(jī)誤差的技術(shù)途徑 (1) 測(cè)量前，找出并消除或減小其隨機(jī)誤差的物理源;(2) 測(cè)量中，采用適當(dāng)?shù)募夹g(shù)措施，抑制和減小隨機(jī)誤差;(3) 測(cè)量后，對(duì)采集的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)處理，抑制和減小隨機(jī)誤差。對(duì)防震臺(tái)充氣減震、關(guān)空調(diào)減少氣流、開(kāi)機(jī)對(duì)激光器預(yù)熱等。 戴工

9、作手套裝夾工件，調(diào)整光路要盡量減少離焦、傾斜，并使干涉條紋疏密適當(dāng)，人員盡量遠(yuǎn)離測(cè)量光路；必要的話，適當(dāng)增加重復(fù)測(cè)量次數(shù)取算術(shù)平均值等 視需要，有針對(duì)性地對(duì)采集的測(cè)量干涉圖進(jìn)行預(yù)處理，如用低通濾波、平滑濾波等方法來(lái)消除中高頻隨機(jī)噪聲，用高通濾波法則可以有效消除低頻隨機(jī)噪聲。 主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 11二、隨機(jī)誤差的本質(zhì)特征二、隨機(jī)誤差的本質(zhì)特征主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 12隨機(jī)誤差的表述隨機(jī)誤差的表述0iixx 表述方法表述方法 被測(cè)量的真值 0 x 一系列測(cè)量值，假設(shè)各次測(cè)量值中不含有系統(tǒng)誤差 ix主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3-

10、 1310nii10nijij 當(dāng)測(cè)量次數(shù)n充分大時(shí)，有以及抵償性是各種隨機(jī)誤差所共有的本質(zhì)特征。抵償性是各種隨機(jī)誤差所共有的本質(zhì)特征。 隨機(jī)誤差的抵償性隨機(jī)誤差的抵償性主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 14隨機(jī)誤差的隨機(jī)性影響 對(duì)于任何的測(cè)量，其中的隨機(jī)誤差源客觀存在，它造成對(duì)每次測(cè)量數(shù)據(jù)的不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)性影響 影響表現(xiàn)在該測(cè)量總體服從某種分布 誤差大小可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)估計(jì) 誤差界限則可用置信區(qū)間表示 主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 15含有隨機(jī)誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)問(wèn)題的處理方法 有條件獲取較大樣本數(shù)據(jù)的情形 可以做出實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)直方圖，定性定量地給出測(cè)量總體及其誤差分布

11、的判斷，進(jìn)而從中提取表示被測(cè)量大小的數(shù)字特征，并給出完整的測(cè)量結(jié)果 無(wú)條件獲取大樣本數(shù)據(jù)的情形 必須依據(jù)小樣本的測(cè)量數(shù)據(jù)以及可能了解到的有關(guān)測(cè)量信息，合理給出代表測(cè)量總體的測(cè)量結(jié)果，包括其最佳估計(jì)值及其標(biāo)準(zhǔn)差、置信區(qū)間等 主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 16 第二節(jié)第二節(jié) 算術(shù)平均值算術(shù)平均值本節(jié)主要介紹算術(shù)平均值的意義以及如何計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 17一、算術(shù)平均值的意義一、算術(shù)平均值的意義11niixxn在等權(quán)測(cè)量條件下，對(duì)某被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，得到一系列測(cè)量值,常取算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果的最佳估計(jì)。12,.,nx xx

12、主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 18無(wú)限多次測(cè)量算術(shù)平均值作為真值的理論依據(jù) 若測(cè)量次數(shù)無(wú)限增多，且無(wú)系統(tǒng)誤差下，由概率論的大數(shù)定律知，算術(shù)平均值以概率為1趨近于真值因?yàn)?11nniiiixnx根據(jù)隨機(jī)誤差的抵償性，當(dāng)n充分大時(shí)，有 011niixxxn主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 19最佳估計(jì)的意義最佳估計(jì)的意義 若測(cè)量次數(shù)有限，由參數(shù)估計(jì)知，算術(shù)平均值是該測(cè)量總體期望的一個(gè)最佳的估計(jì)量 ，即滿(mǎn)足無(wú)偏性、有效性、一致性滿(mǎn)足最小二乘原理在正態(tài)分布條件下，滿(mǎn)足最大似然原理該所有測(cè)量值對(duì)其算術(shù)平均值之差的平方和達(dá)到最小該測(cè)量事件發(fā)生的概率最大 主菜單結(jié)束誤差理論與

13、數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 20二、算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差適當(dāng)增加測(cè)量次數(shù)取其算術(shù)平均值表示測(cè)量結(jié)果，是減小測(cè)量隨機(jī)誤差的一種常用方法。計(jì)算公式計(jì)算公式221( )11xiiD xDxnnn算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差測(cè)量總體標(biāo)準(zhǔn)差 ( )D x主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 2112211 010 10次算術(shù)平均值次算術(shù)平均值與單次測(cè)量的分布關(guān)系與單次測(cè)量的分布關(guān)系 兩者的分布類(lèi)型和峰值位置未發(fā)生變化，只是分散性不同。主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 22 051 01 52 0n0 .20 .40 .60 .81 .0 x10n x 測(cè)量次數(shù)

14、愈大時(shí)，也愈難保證測(cè)量條件的不變，從而帶來(lái)新的誤差。另外，增加測(cè)量次數(shù)，必10 15n 與測(cè)量次數(shù)的關(guān)系 x x 當(dāng) 一定時(shí)， 以后， 已減小得較緩慢。然會(huì)增加測(cè)量的工作量及其成本。因此一般情況下，取 以?xún)?nèi)較為適宜?？傊?，要提高測(cè)量準(zhǔn)確度，應(yīng)選用適當(dāng)準(zhǔn)確度的測(cè)量?jī)x器，選取適當(dāng)?shù)臏y(cè)量次數(shù)。主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 23第三節(jié)第三節(jié) 實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 24實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差定義實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差定義貝塞爾公式極差法最大誤差法 對(duì)于一組測(cè)量數(shù)據(jù)，用其標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表述這組數(shù)據(jù)的分散性 如果這組數(shù)據(jù)是來(lái)自于某測(cè)量總體的一個(gè)樣本，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是對(duì)該

15、測(cè)量總體標(biāo)準(zhǔn)差的一個(gè)估計(jì)，稱(chēng)其為樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差，又稱(chēng)為實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差 主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 25一、貝塞爾公式2111niisxxn公式意義公式意義 總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)(實(shí)驗(yàn)樣本標(biāo)準(zhǔn)差)計(jì)算公式計(jì)算公式iivxx2 是方差的無(wú)偏估計(jì)，但s并不是標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì)2s 為殘余誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)殘差。主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 26 nnM 21111niinnssxxMMn貝塞爾公式的修正因子貝塞爾公式的修正因子n1nM34567891015201.25 1.13 1.09 1.06 1.05 1.04 1.04 1.03 1.03 1.021.01

16、1nMn6n 值隨 減少明顯偏離系數(shù)1 在樣本數(shù)較小的情形（如），為了提高對(duì)s估計(jì)的相對(duì)誤差，最好用無(wú)偏修正的貝塞爾公式主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 27標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差 ( )12(1)ssn2( )1nnsMs2( )1nsMs在n次測(cè)量服從正態(tài)分布且獨(dú)立的條件下，有 適用的估計(jì)貝塞爾公式的相對(duì)誤差的公式 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差，用百分?jǐn)?shù)表示，該百分?jǐn)?shù)愈小，表示估計(jì)的信賴(lài)程度愈高。主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 28幾種估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差幾種估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差n貝塞爾公式0.80修正貝塞爾公式0.60極差法0.76最大誤差法0.75 0.

17、511230.570.460.520.450.470.390.430.400.400.340.370.360.360.310.340.330.320.280.310.310.300.260.290.2990.280.250.270.28100.260.230.260.27200.170.160.200.23當(dāng)樣本數(shù)較小的情形（如 ），用貝塞爾公式估計(jì)的信賴(lài)程度已經(jīng)開(kāi)始低于極差法和最大誤差法，應(yīng)當(dāng)改用修正的貝塞爾公式來(lái)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差 6n 主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 29113.43.33.550ixxn2210.191isxxn0.190.44s ()10 .1 02 (1)s

18、sn用某儀器測(cè)某物水份含量，測(cè)得50個(gè)數(shù)據(jù)如下（單位：水份百分比（）3.4,2.9,4.6,3.9,3.5,2.8,3.4,4.0,3.1,3.7,3.5,3.1,2.5,4.4,3.7,3.2,3.8,3.2,3.7,3.2,3.6,3.0,3.3,4.0,3.4,3.0,4.3,3.8,3.8,3.6,3.4,2.7,3.5,3.6,3.6,3.3,3.7,3.5,4.1,3.1,3.7,3.2,3.9,4.2,3.5,2.9,3.9,3.6,3.4,3.3 試評(píng)價(jià)該儀器的測(cè)量重復(fù)性及其相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差。【例【例3-13-1】【解】【解】分別計(jì)算故該儀器的測(cè)量重復(fù)性為0.44, 其估計(jì)相對(duì)誤差為

19、0.10。 主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 30二、極差法極差法maxminnxxnnsd( )nsCs 對(duì)多次獨(dú)立測(cè)得的數(shù)據(jù) ， 最大值， 最小值12,nx xx當(dāng)測(cè)量誤差服從正態(tài)分布時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式 估算時(shí)的相對(duì)誤差 maxxminx極差 是測(cè)量總體標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì) 主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 31 極差法系數(shù)極差法系數(shù)nnnndndndnCnCnC1.130.7692.970.27163.53 0.2131.690.52103.08 0.26173.590.2142.060.43113.170.25183.640.2052.330.37123.26

20、0.24193.690.2062.530.34133.31 0.23203.740.2072.700.31143.41 0.2282.850.29153.470.22主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 32三、最大誤差法三、最大誤差法max1insk( )nnrssk測(cè)量誤差服從正態(tài)分布時(shí)，估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式 估算時(shí)的相對(duì)誤差 在已知被測(cè)量的真值的情形，多次獨(dú)立測(cè)得的數(shù)據(jù)的真誤差，其中的絕對(duì)值最大12,nx xx12,n maxi在只進(jìn)行一次性實(shí)驗(yàn)中，是唯一可用的方法主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 33最大殘差法max1insk 在一般情況下，被測(cè)量的真值難以知道

21、，無(wú)法應(yīng)用最大誤差法估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差 最大殘余誤差 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差 maxi最大殘差法不適用于n=1的情形 主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 34最大誤差法系數(shù)最大誤差法系數(shù)n0.880.511.771230.750.451.020.680.400.830.640.360.740.610.330.680.580.310.640.560.290.61100.530.270.57200.460.230.251nknnrk1nk 1.250.75主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 35對(duì)某量測(cè)得數(shù)據(jù)7.7,7.7,7.5,7.7,7.7,7.7,7.9,7.6,7.7,7.8,7.9

22、，試分別用貝塞爾公式、修正貝塞爾公式、極差法、最大誤差法估計(jì)其測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差及其標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差?！纠纠?-23-2】【解】【解】(1) 用貝塞爾公式估算17.72ixxn2210.1361isxxn0.1360.37s ( )10.232(1)ssn查表，并插值計(jì)算 ( )10.26(0.260.17)0.2510ss主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 36(2) 用修正貝塞爾公式估算1.03 0.370.38nssM 查表，并插值計(jì)算 ( )10.23(0.230.16)0.2310ss(3) 用極差法估算maxmin117.9,7.5,11,7.97.50.4xxn113.1

23、7d110.25c 11110.40.133.17sd11( )0.25scs查表，得故計(jì)算結(jié)果1主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 37（4）用最大誤差法估算3max 0.22i( )10.27(0.270.23)0.26610ss真值未知，計(jì)算最大殘差 0 x查表，插值計(jì)算得 11110.57(0.570.51)0.565k 故max1110.56 0.220.13isk計(jì)算結(jié)果2主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 38進(jìn)行一次導(dǎo)彈發(fā)射實(shí)驗(yàn)，導(dǎo)彈著落點(diǎn)距靶心35，試求射擊的標(biāo)準(zhǔn)差。 【例【例3-33-3】【解】【解】m1n max35mi查表，得 111.25k 1

24、10.75r k 故射擊的標(biāo)準(zhǔn)差為 max111.25 3544 misk11( )0.75rssk標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差本例測(cè)量一次的情形, 唯有最大誤差法可以估計(jì)其實(shí)驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)差, 由于樣本數(shù)為1，故其估計(jì)的信賴(lài)程度只有25%。 主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 39第四節(jié)第四節(jié) 置信區(qū)間置信區(qū)間 本節(jié)介紹如何確定誤差分布的區(qū)間性指標(biāo)，即可用于表述誤差界限的置信區(qū)間。在置信概率一定的情況下，置信區(qū)間還與誤差分布的具體形態(tài)密切相關(guān)。本節(jié)對(duì)置信區(qū)間給出一般的數(shù)學(xué)描述，而且還要針對(duì)幾種常見(jiàn)的誤差分布進(jìn)行具體討論。由于測(cè)量誤差分布與測(cè)量總體的分布之間對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的描述方式上，只是相差一個(gè)常數(shù)

25、值，故以下均按測(cè)量總體分布來(lái)描述。 主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 40置信區(qū)間的基本概念置信區(qū)間的基本概念 2112()Pxfx dxp 置信區(qū)間計(jì)算公式置信區(qū)間計(jì)算公式 測(cè)量總體的概率密度 置信概率或置信水平, 為顯著水平 期望值 下半置信區(qū)間寬度， 上半置信區(qū)間寬度 概率密度呈對(duì)稱(chēng)分布的情形，常取 ( )f x12 12,( )f xp12高置信水平下的置信區(qū)間半寬度又稱(chēng)為極限誤差極限誤差1p 主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 41置信區(qū)間半寬度的常用表示方法置信區(qū)間半寬度的常用表示方法k ppk 或 或 置信因子 標(biāo)準(zhǔn)差 kpk確定置信區(qū)間半寬度的關(guān)鍵是在

26、已估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差下如何確定置信因子 主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 42一、正態(tài)分布的置信區(qū)間主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 431 1、總體標(biāo)準(zhǔn)差或大樣本標(biāo)準(zhǔn)差已知的情、總體標(biāo)準(zhǔn)差或大樣本標(biāo)準(zhǔn)差已知的情形形( )ppxk置信區(qū)間半寬度為置信區(qū)間半寬度為s置信因子由 計(jì)算得到pk()ppk 正態(tài)積分函數(shù)，可查表獲得總體標(biāo)準(zhǔn)差已知總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，但已知大樣本標(biāo)準(zhǔn)差 置信概率或置信水平p( )x(單次測(cè)量)( )ppxkn(n次測(cè)量)( )ppxks(單次測(cè)量)( )ppxksn(n次測(cè)量)主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 44k2.03.02.580.9

27、90.010.9540.0461.960.950.051.6450.900.101.00.6830.3170.67450.50.5p0.99730.00273.300.9990.001一些常用置信因子對(duì)應(yīng)的置信水平一些常用置信因子對(duì)應(yīng)的置信水平 主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 452 2、小樣本標(biāo)準(zhǔn)差已知的情形、小樣本標(biāo)準(zhǔn)差已知的情形 置信區(qū)間半寬度為置信區(qū)間半寬度為( (單次測(cè)量單次測(cè)量) ) ( )xts ( )/xtsn置信區(qū)間半寬度為置信區(qū)間半寬度為( (n n次測(cè)量次測(cè)量) )自由度 ，為樣本容量 1nn自由度 ，為測(cè)量次數(shù)1nn 值可通過(guò)查 分布表得到， 為顯著水平

28、 tt主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 463 3、沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)差已知信息的情形沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)差已知信息的情形 置信區(qū)間半寬度為置信區(qū)間半寬度為( )(1)psxtnn主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 47（1）大樣本情形，估計(jì)置信區(qū)間的置信因子都用正態(tài)分布；小樣本情形，則用t分布。（2）單次測(cè)量情形，估計(jì)置信區(qū)間的標(biāo)準(zhǔn)差都用單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差；多次測(cè)量情形，則用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。總結(jié)總結(jié)主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 481175.0175.0875.04510ixxn210.03030.030(mm)1isxxn()10 .2 32 (1)ssn用游標(biāo)卡尺

29、對(duì)某一試樣尺寸測(cè)量10次，假定測(cè)量服從正態(tài)分布，并已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，得到數(shù)據(jù)如下（單位mm）：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08(1) 求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差，并估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的信賴(lài)程度；(2) 求算術(shù)平均值的極限誤差（ =0.9973）。 【例【例3-53-5】【解】【解】(1) 分別計(jì)算故該標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)的信賴(lài)程度為 。 0.0303( )0.0096(mm)10ss xn1 0.2377%p主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 49（2）先按小樣本估計(jì)，查 分布臨界值表, t0.9973(10

30、1)4.09t有0.9973( )(1) ( )4.09 0.00960.040()xtns xmm再按大樣本估計(jì)，查正態(tài)分布臨界值表， 0.99733.0k有0.9973( )( )3.0 0.00960.029()xks xmm綜上所述：（1）算術(shù)平均值是處理等權(quán)測(cè)量數(shù)據(jù)的一個(gè)最佳估計(jì)量；（2）一般按貝塞爾公式計(jì)算和，樣本數(shù)時(shí)只能用最大誤差法計(jì)算；（3）算術(shù)平均值的極限誤差一般按確定。( )/s xsnss1n (1) ( )ptns x計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 50二、二、 其他分布的置信區(qū)間其他分布的置信區(qū)間 對(duì)稱(chēng)性分布對(duì)稱(chēng)性分布 與處理正態(tài)分布置

31、信區(qū)間的方法相仿，可以從概率密度函數(shù)直接計(jì)算該區(qū)間概率的方式得到,并用下式表示 非對(duì)稱(chēng)性分布非對(duì)稱(chēng)性分布 將非對(duì)稱(chēng)分布折算為對(duì)稱(chēng)正態(tài)分布來(lái)處理，實(shí)質(zhì)上是依分布于中點(diǎn)值表示，而折算到依均值表示。 k ppk 或主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 513N_3N3N( )+1( )kk111_xmmm非正態(tài)分布按正態(tài)分布折算 估計(jì)范圍分別依均值和中點(diǎn)值折算到正態(tài)分布為 13Nmk 111(1)(1)3(1)mNkkk13Nk分布系數(shù)3mN不對(duì)稱(chēng)系數(shù)主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 521 1、截尾正態(tài)誤差分布、截尾正態(tài)誤差分布 加工塞規(guī)，廢品率已控制在以?xún)?nèi)，統(tǒng)計(jì)塞規(guī)加工誤差，試求該塞規(guī)工件的加工極限誤差。 【例【例3-63-6】10%1.2sm【解】【解】通常塞規(guī)在10%廢品率控制下合格品的誤差服從雙邊對(duì)稱(chēng)截尾正態(tài)分布，查表 當(dāng)25%置信因子2.08k 故極限誤差2.08 1.22.5()ksm 主菜單結(jié)束誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章隨機(jī)誤差3- 532 2、均