高考專題：參數法在解題中的應用-教師

1、參數法在解題中的應用方法精要在解數學題的過程中，往往會遇到一些不能直接求解或直接求解困難，或較煩瑣的變數問題，這時往往要通過引入條件中原來沒有的輔助變量(參數)，并以此作為媒介，使問題轉化從而解決問題，這種應用參數解決問題的方法稱為參數法應用參數法的關鍵在于恰當的選取參數，只有參數引入恰當，問題才能迎刃而解，收到事半功倍的效果使用參數法的原則是引進參數后，能使問題獲解其次還要考慮引進參數的合理性，除了要考慮條件和結論的特點外，還要注意某些量的取值范圍，任何變量都有取值范圍，另外還要注意原問題并非關于參數的問題，參數并不是直接研究對象，它只是起“橋梁”和轉化作用，所以當求得間接解后要倒回去確定原

2、問題的解，這就可能要消去參數而用問題中原有的變數表示結果參數體現了近代數學中運動與變化的思想，其觀點已經滲透到中學數學的各個分支運用參數法解題已經比較普遍參數法解題的關鍵是恰到好處地引進參數，溝通已知和未知之間的內在聯系，利用參數提供的信息，順利地解答問題題型一參數法在函數問題中的應用例1定義在R上的增函數yf(x)對任意x，yR都有f(xy)f(x)f(y)(1)求f(0)；(2)求證：f(x)為奇函數；(3)若f(k·3x)f(3x9x2)<0對任意xR恒成立，求實數k的取值范圍破題切入點(1)賦值法是解決抽象函數問題的常用方法，第(1)(2)兩問可用賦值法解決(2)將恒成

3、立問題轉化成函數最值問題(1)解令xy0，得f(00)f(0)f(0)，即f(0)0.(2)證明令yx，得f(xx)f(x)f(x)，又f(0)0，則有0f(x)f(x)，即f(x)f(x)對任意xR成立，所以f(x)是奇函數(3)解方法一因為f(x)在R上是增函數，又由(2)知f(x)是奇函數f(k·3x)<f(3x9x2)f(3x9x2)，所以k·3x<3x9x2，32x(1k)·3x2>0對任意xR成立令t3x>0，問題等價于t2(1k)t2>0對任意t>0恒成立令f(t)t2(1k)t2，其對稱軸為x，當<0即k&

4、lt;1時，f(0)2>0，符合題意；當0即k1時，對任意t>0，f(t)>0恒成立解得1k<12.綜上所述，當k<12時，f(k·3x)f(3x9x2)<0對任意xR恒成立方法二由k·3x<3x9x2，得k<3x1.u3x121,3x時，取“”，即u的最小值為21，要使對xR，不等式k<3x1恒成立，只要使k<21.題型二參數法在數列問題中的應用例2設an是公差不為零的等差數列，Sn為其前n項和，滿足aaaa，S77.(1)求數列an的通項公式及前n項和Sn；(2)試求所有的正整數m，使得為數列an中的項破題切入

5、點求特定量的取值，往往需要引入參數，根據題中的條件找出參數與所求量之間的數量關系，利用條件求參數的取值或取值范圍，進而求出特定量解(1)設公差為d，則aaaa，由性質得3d(a4a3)d(a4a3)，因為d0，所以a4a30，即2a15d0，又由S77得7a1d7，解得a15，d2.所以an的通項公式為an2n7，前n項和Snn26n.(2) 因為an2n7，所以， 設2m3t，則t6，所以t為8的約數又因為t是奇數，所以t可取的值為±1，當t1時，m2，t63,2×573a5是數列an中的項；當t1時，m1，t615，數列an中的最小項是5，故不是數列中的項所以滿足條件的

6、正整數m的值是m2.題型三參數法在不等式中的應用例3已知2x3y5z，試比較2x、3y、5z的大小破題切入點本題的解決需要引入中間變量t(參數)，必須使得x，y，z都能用這個參數t表示，而后通過作差即可進行大小的比較解設2x3y5zt(t>1)，則xlog2t，ylog3t，zlog5t，所以2x3y2log2t3log3tlgt()lgt()，因為lgt>0，>0，所以lgt()>0，所以2x>3y；同理5z2xlgt()>0，所以5z>2x>3y.題型四參數法在解析幾何中的應用例4(浙江)已知拋物線C的頂點為O(0,0)，焦點為F(0,1)(

7、1)求拋物線C的方程；(2)過點F作直線交拋物線C于A，B兩點若直線AO、BO分別交直線l：yx2于M、N兩點，求|MN|的最小值破題切入點(1)已知拋物線焦點坐標為F(0,1)，可直接寫出拋物線方程；(2)利用根與系數的關系和函數的單調性求最值解(1)由題意可設拋物線C的方程為x22py(p>0)，則1，所以拋物線C的方程為x24y.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為ykx1.由消去y，整理得x24kx40，所以x1x24k，x1x24.從而|x1x2|4.由解得點M的橫坐標xM.同理，點N的橫坐標xN.所以|MN|xMxN|8.令4k3t，t0，則k.當t&

8、gt;0時，|MN|2>2.當t<0時，|MN|2.綜上所述，當t，即k時，|MN|的最小值是.總結提高數學問題中參數的選取、消去、確定、討論很普遍，而且在解題中，參數的選取多種多樣，設參數而不求參數，只是利用其作為中間變量輔助計算，是常見的形式其綜合性強，知識面廣，一般都需要根據問題的條件作出透徹分析，才能恰當的選取參數，然后利用參數提供的信息，順利解答問題強化訓練1已知正數x，y滿足x2(xy)恒成立，則實數的最小值為()A1 B2 C3 D4答案B解析x>0，y>0，x2y2(當且僅當x2y時取等號)又由x2(xy)可得，而2，當且僅當x2y時，max2.的最小值

9、為2.2在平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組構成，若M(x，y)為D上的動點，點A的坐標為(，1)，則z·的最大值是()A4 B3 C4 D3答案C解析如圖作出區(qū)域D，目標函數zxy過點(，2)時取最大值，故z的最大值為×24，故選C.3將函數ycosxsinx(xR) 的圖象向左平移m(m0)個單位長度后，所得到的圖象關于y軸對稱，則m的最小值是()A. B. C. D.答案B解析ycosxsinx2sin(x)向左平移m個單位長度后得到y(tǒng)2sin(xm)，它關于y軸對稱可得sin(m)±1，mk，kZ，mk，kZ，m>0，m的最小值為.4已知f(t

10、)log2t，t，8，對于f(t)值域內的所有實數m，不等式x2mx4>2m4x恒成立，則x的取值范圍為()A(，1) B(2，)C(1,2) D(，1)(2，)答案D解析t，8，f(t).原題轉化為當m時，不等式x2mx4>2m4x恒成立，即m(x2)(x2)2>0恒成立令g(m)m(x2)(x2)2，m，問題轉化為g(m)在m上恒大于0，解得x>2或x<1.5設函數f(x)(aR，e為自然對數的底數)若曲線ysinx上存在(x0，y0)使得f(f(y0)y0，則a的取值范圍是()A1，eBe11,1C1，e1De11，e1答案A解析曲線ysinx上存在點(x0

11、，y0)使得f(f(y0)y0，則y01,1，考查四個選項，B，D兩個選項中參數值都可取0，C，D兩個選項中參數都可取e1，A，B，C，D四個選項參數都可取1，由此可先驗證參數為0與e1時是否符合題意，即可得出正確選項，當a0時，f(x)，此時是一個增函數，且函數值恒非負，故只研究y00,1時f(f(y0)y0是否成立，由于f(x)是一個增函數，可得出f(y0)f(0)1，而f(1)>1，故a0不合題意，由此知B，D兩個選項不正確當ae1時，f(x)此函數是一個增函數，f(1)0，而f(0)沒有意義，故ae1不合題意，故C，D兩個選項不正確綜上討論知，可確定B，C，D三個選項不正確6已知

12、函數f(x)5|x|，g(x)ax2x(xR)，若fg(1)1，則a_.答案1解析因為fg(1)150，所以g(1)0，即a10，所以a1.7已知直線axy20與圓心為C的圓(x1)2(ya)24相交于A、B兩點，且ABC為等邊三角形，則實數a_.答案4±解析根據題意，圓心到直線axy20的距離為，所以，解得a4±.8.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y2x4，設圓C的半徑為1，圓心在l上(1)若圓心C也在直線yx1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點M，使MA2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍解(1)由得圓心C為(3,2)，

13、圓C的半徑為1，圓C的方程為(x3)2(y2)21，顯然切線的斜率一定存在，設所求圓C的切線方程為ykx3，即kxy30，1，|3k1|，2k(4k3)0，k0或k，所求圓C的切線方程為y3或yx3，即y3或者3x4y120.(2)圓C的圓心在直線l：y2x4上，所以，設圓心C為(a,2a4)，則圓C的方程為(xa)2y(2a4)21，又MA2MO，設M為(x，y)，則2，整理得：x2(y1)24.此圓設為圓D，點M應該既在圓C上又在圓D上，即圓C和圓D有交點，|21|21|，由5a212a80得aR；由5a212a0得0a.綜上所述，a的取值范圍為0，9已知等比數列an滿足：|a2a3|10

14、，a1a2a3125.(1)求數列an的通項公式；(2)是否存在正整數m，使得1？若存在，求m的最小值；若不存在，請說明理由解(1)設等比數列an的公比為q，則由已知可得解得或故an·3n1或an(5)·(1)n1.(2)若an·3n1，則n1，故數列是首項為，公比為的等比數列從而·<<1.若an(5)·(1)n1，則(1)n1，故數列是首項為，公比為1的等比數列，從而故<1.綜上，對任何正整數m，總有<1.故不存在正整數m，使得1成立10已知函數f(x)x43x26.(1)討論f(x)的單調性；(2)設點P在曲線yf(

15、x)上，若該曲線在點P處的切線l通過坐標原點，求l的方程解(1)f(x)4x36x4x(x)(x)，令f(x)>0得<x<0或x>；令f(x)<0得x<或0<x<.因此，f(x)在區(qū)間(，0)和(，)為增函數；在區(qū)間(，)和(0，)為減函數(2)設點P(x0，f(x0)，由l過原點知，l的方程為yf(x0)x，因此f(x0)f(x0)x0，即x3x6x0(4x6x0)0，整理得(x1)(x2)0，解得x0或x0.所以所求的方程為yx或yx.11設函數f(x)sin()2cos21.(1)求f(x)的最小正周期(2)若函數yg(x)與yf(x)的圖象關于直線x1對稱，求當x0，時yg(x)的最大值解(1)f(x)sinxcoscosxsincosxsinxcosxsin(x)故f(x)的最小正周期為T8.(2)在yg(x)的圖象上任取一點(x，g(x)，它關于x1的對稱點(2x，g(x)由題設條件，點(2x，g(x)在yf(x)的圖象上，從而g(x)f(2x)sin(2x)sinxcos(x)，當0x時，x，因此yg(x)在區(qū)間0，上的最大值為g(x)maxcos.12已知橢圓1(a>b>0)的離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線yx2相切(1)求橢圓方程；(2)設該橢圓的左，右焦點分別為F1