六年級(jí)數(shù)學(xué)拓展 還原問(wèn)題牛吃草問(wèn)題

1、還原問(wèn)題心里想一個(gè)自然數(shù)，把這個(gè)數(shù)加上3，再乘以5，然后減去想的這個(gè)數(shù)，然后再加上5，再除以2，最后減去10，這個(gè)數(shù)是什么？其實(shí)這個(gè)游戲是事先設(shè)計(jì)好的，最后的結(jié)果一定是你想的數(shù)的2倍。某數(shù)經(jīng)過(guò)一系列的四則運(yùn)算算后，結(jié)果知道，要求這個(gè)數(shù)。我們就采用反推的方法，從結(jié)果開(kāi)始，原來(lái)是加的，現(xiàn)在就減，原來(lái)是乘的，現(xiàn)在就除，最后可以求出這個(gè)數(shù)例 兄弟三人分24個(gè)蘋(píng)果，每人所得個(gè)數(shù)分別等于其三年前的歲數(shù)。如果老三把所得的蘋(píng)果的一半平分給老大和老二，然后老二再把現(xiàn)有的蘋(píng)果的一半平分給老大和老三，最后老大再把現(xiàn)有的蘋(píng)果的一半平分給老二和老三，這時(shí)每人所得蘋(píng)果數(shù)恰好相同。求：兄弟三人年齡各是多少歲？分析：要求三人

2、的年齡，必須先求各人所得的蘋(píng)果數(shù)，為此我們反過(guò)來(lái)推導(dǎo)。拓展1 在做一道加法題時(shí)，小胖把個(gè)位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，結(jié)果得到123，問(wèn)：正確答案是多少？拓展2 某人去銀行取款，第一次取了存款的一半還多5元，第二次取了余下的一半還多10元，這時(shí)存折上還剩125元，問(wèn)：原來(lái)有存款多少元？拓展3 有位老人說(shuō)：“把我的年齡加上17，再用4除，再減去15后乘以10，恰好100歲。”這位老人多少歲？拓展4 兄弟二人分30塊糖，弟弟搶先抓了一大把，哥哥看弟弟分得太多，搶下了一半，弟弟不服，又從哥哥那兒搶回一半，哥哥不肯，最后弟弟又分給哥哥7塊，這時(shí)哥哥比弟弟多2塊。問(wèn)：弟弟最初抓了多少塊糖？拓展

3、5 一筐桃子，第一次取出了總數(shù)的一半又一個(gè)，第二次取出了余下的一半又一個(gè)，第三次取出第二次取出后余下的一半又一個(gè)，這時(shí)筐里還剩下一個(gè)。問(wèn)：原來(lái)筐里有多少個(gè)桃子？牛吃草問(wèn)題英國(guó)科學(xué)家牛頓在他的普通算術(shù)一書(shū)中，有一道關(guān)于牛在牧場(chǎng)上吃草的問(wèn)題，即牛在牧場(chǎng)上吃草，牧場(chǎng)上的草在不斷的、均勻的生長(zhǎng)后人把這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為牛吃草問(wèn)題或叫做“牛頓問(wèn)題”“牛吃草”問(wèn)題主要涉及三個(gè)量：草的數(shù)量、牛的頭數(shù)、時(shí)間難點(diǎn)在于隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，草也在按不變的速度均勻生長(zhǎng)，所以草的總量不定“牛吃草”問(wèn)題是小學(xué)應(yīng)用題中的難點(diǎn)解“牛吃草”問(wèn)題的主要依據(jù)： 草的每天生長(zhǎng)量不變； 每頭牛每天的食草量不變； 草的總量草場(chǎng)原有的草量新生的草量，

4、其中草場(chǎng)原有的草量是一個(gè)固定值 新生的草量每天生長(zhǎng)量天數(shù)同一片牧場(chǎng)中的“牛吃草”問(wèn)題，一般的解法可總結(jié)為：設(shè)定1頭牛1天吃草量為“1”；草的生長(zhǎng)速度(對(duì)應(yīng)牛的頭數(shù)較多天數(shù)對(duì)應(yīng)牛的頭數(shù)較少天數(shù))(較多天數(shù)較少天數(shù))；原來(lái)的草量對(duì)應(yīng)牛的頭數(shù)吃的天數(shù)草的生長(zhǎng)速度吃的天數(shù)；吃的天數(shù)原來(lái)的草量(牛的頭數(shù)草的生長(zhǎng)速度)；牛的頭數(shù)原來(lái)的草量吃的天數(shù)草的生長(zhǎng)速度“牛吃草”問(wèn)題有很多的變例，像抽水問(wèn)題、檢票口檢票問(wèn)題等等，只有理解了“牛吃草”問(wèn)題的本質(zhì)和解題思路，才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，輕松解決此類(lèi)問(wèn)題例題精講：【例 1】 青青一牧場(chǎng)，牧草喂牛羊； 放牛二十七，六周全吃光。 改養(yǎng)廿三只，九周走他方； 若養(yǎng)二十一，可作

5、幾周糧？（注：“廿”的讀音與“念”相同?！柏ァ奔炊狻＃窘庹f(shuō)】題目翻譯過(guò)來(lái)是：一牧場(chǎng)長(zhǎng)滿(mǎn)青草，27頭牛6個(gè)星期可以吃完，或者23頭牛9個(gè)星期可以吃完。若是21頭牛，要幾個(gè)星期才可以吃完？（注：牧場(chǎng)的草每天都在生長(zhǎng)）【解析】 設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，27頭牛吃6周共吃了份；23頭牛吃9周共吃了份第二種吃法比第一種吃法多吃了份草，這45份草是牧場(chǎng)的草周生長(zhǎng)出來(lái)的，所以每周生長(zhǎng)的草量為，那么原有草量為：供21頭牛吃，若有15頭牛去吃每周生長(zhǎng)的草，剩下6頭牛需要(周)可將原有牧草吃完，即它可供21頭牛吃12周【鞏固】 牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿(mǎn)牧草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)這片牧場(chǎng)可供10頭牛吃20天，可供15

6、頭牛吃10天供25頭牛可吃幾天？【解析】 設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，10頭牛吃20天共吃了份；15頭牛吃10天共吃了份第一種吃法比第二種吃法多吃了份草，這50份草是牧場(chǎng)的草天生長(zhǎng)出來(lái)的，所以每天生長(zhǎng)的草量為，那么原有草量為：供25頭牛吃，若有5頭牛去吃每天生長(zhǎng)的草，剩下20頭牛需要(天)可將原有牧草吃完，即它可供25頭牛吃5天【例 2】 牧場(chǎng)上有一片勻速生長(zhǎng)的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周，那么它可供多少頭牛吃18周？【解析】 設(shè)1頭牛1周的吃草量為“1”，草的生長(zhǎng)速度為，原有草量為，可供（頭）牛吃18周【鞏固】 有一塊勻速生長(zhǎng)的草場(chǎng)，可供12頭牛吃25天，或可供24頭牛吃1

7、0天那么它可供幾頭牛吃20天？【解析】 設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么天生長(zhǎng)的草量為，所以每天生長(zhǎng)的草量為；原有草量為：20天里，草場(chǎng)共提供草，可以讓頭牛吃20天【例 3】 由于天氣逐漸冷起來(lái)，牧場(chǎng)上的草不僅不生長(zhǎng)，反而以固定的速度在減少已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天照此計(jì)算，可以供多少頭牛吃10天？【解析】 設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天自然減少的草量為：，原有草量為：；10天吃完需要牛的頭數(shù)是：(頭)【鞏固】 由于天氣逐漸冷起來(lái)，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)，反而以固定的速度在減少。如果某塊草地上的草可供25頭牛吃4天，或可供16頭牛吃6天，那么可供多少頭牛吃

8、12天？【解析】 設(shè)1頭牛1天吃的草為“1”。牧場(chǎng)上的草每天自然減少 ； 原來(lái)牧場(chǎng)有草，12天吃完需要牛的頭數(shù)是：(頭)或（頭）?！纠?4】 由于天氣逐漸變冷，牧場(chǎng)上的草每天以均勻的速度減少經(jīng)計(jì)算，牧場(chǎng)上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天那么，可供11頭牛吃幾天？【解析】 設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，天自然減少的草量為，原有草量為：若有11頭牛來(lái)吃草，每天草減少；所以可供11頭牛吃(天)模塊二、“牛吃草問(wèn)題”的變形【例 5】 一只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，水勻速進(jìn)入船內(nèi).如果10人淘水，3小時(shí)淘完；如5人淘水，8小時(shí)淘完.如果要求2小時(shí)淘完，要安排多少人淘水？【解析】 設(shè)1人1

9、小時(shí)淘出的水量是“1”，淘水速度是，原有水量，要求2小時(shí)淘完，要安排人淘水【鞏固】 一只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，現(xiàn)在水勻速進(jìn)入船內(nèi)，如果3人淘水40分鐘可以淘完；6人淘水16分鐘可以把水淘完，那么，5人淘水幾分鐘可以把水淘完？【解析】 設(shè)1人1分鐘淘出的水量是“1”，分鐘的進(jìn)水量為，所以每分鐘的進(jìn)水量為，那么原有水量為：5人淘水需要(分鐘)把水淘完【例 6】 假設(shè)地球上新生成的資源增長(zhǎng)速度是一定的，照此計(jì)算，地球上的資源可供110億人生活90年；或供90億人生活210年。為了使人類(lèi)能夠不斷繁衍，地球上最多能養(yǎng)活多少人？【解析】 億人?！纠?7】 畫(huà)展8:30開(kāi)門(mén)，但早有人來(lái)排隊(duì)入場(chǎng)，從第

10、一個(gè)觀眾來(lái)到時(shí)起，若每分鐘來(lái)的觀眾一樣多，如果開(kāi)3個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)就不再有人排隊(duì)；如果開(kāi)5個(gè)入場(chǎng)口，8點(diǎn)45分就沒(méi)有人排隊(duì)。求第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間?！窘馕觥?設(shè)每分鐘1個(gè)入口進(jìn)入的人數(shù)為1個(gè)單位。 8:30到9:00 共30分鐘 3個(gè)入口共進(jìn)入。8:30到8:45 共15分鐘 5個(gè)入口共進(jìn)入，15分鐘到來(lái)的人數(shù) ，每分鐘到來(lái)。8：30以前原有人。 所以應(yīng)排了（分鐘），即第一個(gè)來(lái)人在7：30【鞏固】 畫(huà)展9點(diǎn)開(kāi)門(mén)，但早有人來(lái)排隊(duì)入場(chǎng)，從第一個(gè)觀眾來(lái)到時(shí)起，若每分鐘來(lái)的觀眾一樣多，如果開(kāi)3個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)；如果開(kāi)5個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)5分就沒(méi)有人排隊(duì)求第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間【解析】 如果把入

11、場(chǎng)口看作為“?！?，開(kāi)門(mén)前原有的觀眾為“原有草量”，每分鐘來(lái)的觀眾為“草的增長(zhǎng)速度”，那么本題就是一個(gè)“牛吃草”問(wèn)題設(shè)每一個(gè)入場(chǎng)口每分鐘通過(guò)“1”份人，那么4分鐘來(lái)的人為，即1分鐘來(lái)的人為，原有的人為：這些人來(lái)到畫(huà)展，所用時(shí)間為(分)所以第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間為8點(diǎn)15分點(diǎn)評(píng)：從表面上看這個(gè)問(wèn)題與“牛吃草”問(wèn)題相離很遠(yuǎn)，但仔細(xì)體會(huì)，題目中每分鐘來(lái)的觀眾一樣多，類(lèi)似于“草的生長(zhǎng)速度”，入場(chǎng)口的數(shù)量類(lèi)似于“牛”的數(shù)量，問(wèn)題就變成“牛吃草”問(wèn)題了解決一個(gè)問(wèn)題的方法往往能解決一類(lèi)問(wèn)題，關(guān)鍵在于是否掌握了問(wèn)題的實(shí)質(zhì)【例 8】 在地鐵車(chē)站中，從站臺(tái)到地面有一架向上的自動(dòng)扶梯小強(qiáng)乘坐扶梯時(shí)，如果每秒向上邁一級(jí)臺(tái)

12、階，那么他走過(guò)20級(jí)臺(tái)階后到達(dá)地面；如果每秒向上邁兩級(jí)臺(tái)階，那么走過(guò)30級(jí)臺(tái)階到達(dá)地面從站臺(tái)到地面有 級(jí)臺(tái)階【解析】 本題非常類(lèi)似于“牛吃草問(wèn)題”，如將題目改為：“在地鐵車(chē)站中，從站臺(tái)到地面有一架向上的自動(dòng)扶梯小強(qiáng)乘坐扶梯時(shí)，如果每秒向上邁一級(jí)臺(tái)階，那么他走過(guò)20秒后到達(dá)地面；如果每秒向上邁兩級(jí)臺(tái)階，那么走過(guò)15秒到達(dá)地面問(wèn)：從站臺(tái)到地面有多少級(jí)臺(tái)階？”采用牛吃草問(wèn)題的方法，電梯秒內(nèi)所走的階數(shù)等于小強(qiáng)多走的階數(shù)：階，電梯的速度為階/秒，扶梯長(zhǎng)度為（階）?！眷柟獭?兩個(gè)頑皮的孩子逆著自動(dòng)扶梯行駛的方向行走，男孩每秒可走3級(jí)梯級(jí)，女孩每秒可走2級(jí)梯級(jí)，結(jié)果從扶梯的一端到達(dá)另一端男孩走了100秒，女

13、孩走了300秒。問(wèn)：該扶梯共有多少級(jí)梯級(jí)？【解析】 本題與牛吃草問(wèn)題類(lèi)似，其中扶梯的梯級(jí)總數(shù)相當(dāng)于原有草量；而自動(dòng)扶梯運(yùn)行的速度則相當(dāng)于草的增長(zhǎng)速度。并且上樓的速度要分成兩部分一部分是孩子自己的速度，另一部分是自動(dòng)扶梯的速度。自動(dòng)扶梯的速度（女孩每秒走的梯級(jí)×女孩走的時(shí)間男孩每秒走的梯級(jí)×男孩走的時(shí)間）÷（女孩走的時(shí)間男孩走的時(shí)間），自動(dòng)扶梯的梯級(jí)總數(shù)女孩每秒走的梯級(jí)×女孩走的時(shí)間自動(dòng)扶梯的速度×女孩走的時(shí)間（級(jí)）所以自動(dòng)扶梯共有150級(jí)的梯級(jí)。練習(xí)1. 倉(cāng)庫(kù)里原有一批存貨，以后繼續(xù)運(yùn)貨進(jìn)倉(cāng)，且每天運(yùn)進(jìn)的貨一樣多。用同樣的汽車(chē)運(yùn)貨出倉(cāng)，如果每天用4輛汽車(chē)，則9天恰好運(yùn)完；如果每天用5輛汽車(chē)，則6天恰好運(yùn)完。倉(cāng)庫(kù)里原有的存貨若用1輛汽車(chē)運(yùn)則需要多少天運(yùn)完？練習(xí)2. 一片茂盛的草地，每天的生長(zhǎng)速度相同，現(xiàn)在這片青草16頭?？沙?5天，或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相當(dāng)于l頭牛的吃草量，那么8頭牛與48只羊一起吃，可以吃多少天?練習(xí)3. 一水庫(kù)原有存水量一定，河水每天勻速入庫(kù)。5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天抽干，6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干，若要6天抽干，要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)?練習(xí)4. 某建筑工